MAKALAH PERSAMAAN DIFERENSIAL

MAKALAH
DERET PANGKAT
(Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Persamaan Diferensial)
DOSEN PENGAMPU : Restilawati Woe Titi Cahyani, M.Pd

DISUSUN OLEH :

Kelompok 7

Novia Sari 1901061028
Puji Nur Wahyuni 1901062008
Rizal Baihaqi 1901062009

KELAS / SEMESTER C/6
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) METRO LAMPUNG

TAHUN AJARAN 2022/2023

i

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr.Wb

Puji syukur kami panjatkan kehadiran Allah SWT yang atas rahmat-Nya
dan karunianya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini tepat waktunya.
Dengan judul makalah ini adalah “ Deret Pangkat”.

Kami menyadari dalam penulisan makalah ini jauh dari kata sempurna dan
merasa masih banyak kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materinya.
Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak pembaca sangat diharapkan yang
sifatnya membangun demi perbaikan dan penyempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini bermanfaat bagi para pembaca, khususnya bagi penulis
serta memperoleh ridho Allah SWT.
Wassalamu’alaikum Wr.Wb

Metro, 12 Mei 2022

Penulis

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN COVER
KATA PENGANTAR............................................................................. ii
DAFTAR ISI........................................................................................... iii

BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ....................................................................1
B. Rumusan Masalah ...............................................................1
C. Tujuan ................................................................................2

BAB II PEMBAHASAN
A. Deret Pangkat ........................................................................... 3
B. Metode Deret Pangkat Orde Pertama....................................... 5
C. Metode Deret Pangkat Orde Kedua ......................................... 6

BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan ........................................................................8
B. Saran ..................................................................................8

DAFTAR PUSTAKA

iii

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang
Matematika sebagai salah satu disiplin ilmu sering disebut sebagai ibu

sekaligus pelayan ilmu pengetahuan. Hal itu karena matematika merupakan
salah satu ilmu pengetahuan dasar yang merupakan sumber dari ilmu
pengetahuan terapan. Sedangkan dikatakan sebagai pelayan karena matematika
juga sering dipakai untuk membantu mempermudah penyelesaian permasalahan
yang ada di dalam ilmu-ilmu lainnya.

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu
variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri atau turunannya
dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam
rekayasa, fisika, ilmu ekonomi, dan berbagai macam disiplin ilmu lain.

Pengertian lainnya yaitu Persamaan Diferensial adalah Persamaan yang
mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut.
Jika suatu persamaan terdiri dari atas 1 Konsatanta sembarang menghasilkan PD
Orde I Dan Jika suatu persamaan terdiri dari atas 2 konstanta sembarang
menghasilkan PD Orde II.

Dalam makalah ini akan dibahas mengenai deret pangkat, metode deret
pangkat orde pertama dan kedua.

B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang belakang diatas, maka dapat disusun rumusan

masalah sebagai berikut:
1. Apa definisi Deret Pangkat ?
2. Bagaimana Metode Deret Pangkat Orde Pertama?
3. Bagaimana Metode Deret Pangkat Orde Kedua?

1

C. Tujuan
Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui definisi dan teorema deret pangkat.
2. Mengetahui metode deret pangkat PD orde pertama.
3. Mengetahui metode Deret Pangkat PD orde kedua.

2

BAB II
PEMBAHASAN

A. Deret Pangkat

Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga.

∑∞ = = + + + ⋯ + + ⋯ (1)

Disebut deret pangkat dalam x dimana x adalah variabel dan adalah konstanta
sebarang, atau

∑∞ = ( − ) = + ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − ) +
⋯ (2)

Disebut deret pangkat dalam ( − )
, , … , , … adalah koefisien – koefisien konstan dari deret pangkat itu, x
adalah variabel dari deret pangkat, dan pada ( 2 ) adalah titik tertentu yang
disebut pusat dari deret pangkat tersebut.
Jika x dalam (1) diganti dengan bilangan, maka diperoleh deret dengan suku –
suku konstan yang dapat konvergen atau divergen. Hal ini menunjuk pada
masalah dasar yaitu mencari nilai x agar deret pangkat (1) konvergen. Teorema
berikut adalah hasil dasar konvergensi deret pangkat.

Teorema 1.1
Untuk setiap deret pangkat dalam x, ∑ ∞ =0 tepat satu pernyataan berikut
benar.
a) Deret konvergen hanya umtuk x = 0
b) Deret konvergen mutlak untuk semua x
c) Deret konvergen mutlak untuk semua x dalam suatu interval terbuka tertentu

(-R, R) dan divergen jika x < -R atau x > R. Pada titik-titik = =
− deret dapat konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen
tegantung pada deret secara khusus.

3

Bukti :

Bentuk deret nilai mutlak suku-sukunya ∑∞ =0| |akan konvergen mutlak
apabila dipenuhi syarat

= | + | = | + || + | = | + | = | + |
| || |
→∞ →∞ →∞ →∞

Deret pangkat konvergen mutlak jika < 1

| | | + | < 1

→∞

| | | + | =

→∞

Andaikan lim | | = maka deret pangkat ∑∞ = | | konvergen mutlak

→∞ +

bila | | < ⇔ < < dan deret pangkat akan divergen apabila | | > .

Tinggal memeriksa bila | | = . Untuk dapat mengetahui apakah deret
konvergen atau divergen dilakukan dengan cara mensubsitusikan =
= − ke dalam deret yang diketahui.

a) Jika lim | | = = ∞maka didapat | | = 0, sehingga deret pangkat akan

→∞ +

konvergen mutlak hanya = 0dan divergen ≠ 0. Jadi (a) terpenuhi.

b) Jika lim | | = = ∞ maka didapat | | < ∞atau −∞ < < +∞atau

→∞ +

deret konvergen mutlak untuk semua x.

c) Jika lim | | = maka didapat | | < − < < , sehingga

→∞ +

nilai x yang memenuhi adalah nilai x yang terdapat dalam interval − <

< dan divergen bila | | > .Jadi (c) terpenuhi.

Himpunan semua bilangan x yang menyebabkan suatu deret pangkat konvergen

disebut interval konvergensi deret. Bila R dari syarat (c) dalam teorema 1.1 di
atas disebut jari – jari konvergensi dari deret. Jika deret (a) berlaku, maka R =
0 dan jika syarat (b) berlaku maka = ∞.

Metode Deret Pangkat

4

Metode deret pangkat merupakan suatu metode umum untuk memecahkan
persamaan diferensial, termasuk persamaan " + ( ) ′ + ( ) = dengan
p(x) dan q(x) fungsi terhadap x. Metode ini menghasilkan solusi terbentuk deret
pangkat , oleh karena itu metode ini dinamakan metode deret pangkat.

B. Metode Deret Pangkat Orde Pertama

Bentuk PD orde satu :

∞

= ∑

=0

Solusi y diperoleh dalam bentuk suatu deret maclaurin :

= 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + ⋯

Dimana sering mengganti

Metode Deret Pangkat PD orde pertama

Deret ini :

1. Memenuhi persamaan diferensial diatas

2. Mempunyai harga y = jika x = x
3. Konvergen untuk semua harga x yang cukup dekat dengan x = x

a) Langkah – langkah untuk mencari solusi umum berbentuk deret pangkat

dalam pangkat x, yaitu jika x = 0

∞

= ∑

=0

1) Asumsikan bahwa solusi umum berbentuk deret pangkat dari x
= 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + ⋯

2) Diferensialkan suku demi suku deret yang di asumsikan.
3) Subsitusikan deret yang di asumsikan itu beserta deret – deret yang

diperoleh dengan diferensial suku demi suku tersebut ke dalam
persamaan diferensialnya.
4) Kumpulkan pangkat pangkat x yang sama dan menyamakan jumlah
koefisien dari setiap pangkat x yang terjadi dengan nol, dimulai dari

5

suku-suku konstanta, suku-suku yang mengandung x, suku-suku
yang mengandung 2.
5) Hitunglah koefisien deretnya dari hubungan – hubungan diatas.
6) Subsitusikan koefisien deret yang telah diperoleh kedalam
persamaan solusi yang diasumsikan pada awal langkah ini.

b) Langkah – langkah untuk mrncari solusi umum yang berbentuk deret
pangkat dalam pangkat ( − 0), yaitu solusi yang memenuhi syarat =
0 = 0

∞

∑ ( − 0) = 0 + 1( − 0) + 2( − 0)2 + ⋯

=0

1) Asumsikan bahwa solusi umum berbentuk deret pangkat dari( −
0)
= 0 + 1( − 0) + 2( − 0)2 + ⋯ + 3( − 0)3 + ⋯

2) Buat subsitusi − 0 = , yang berarti bahwa = + 0,
sehingga solusi yang diasumsikan berbentuk :
= 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + ⋯ + + ⋯

3) Gunakan langkah A untuk mendapatkan solusi yang berebntuk deret
pangkat dalam pangkat v.

4) Subsitusikan kembali = − 0 di dalam solusi yang didapatkan
dalam langkah 3 diatas dan solusi diperoleh.

C. Metode Deret Pangkat Orde Kedua
Pandang bentuk Persamaan diferensial orde dua
P0(x)y′′ + P1( )y′ + P2( ) = 0
Dimana P0(x), P1( ), P2( ) adalah polinomial-polinomial dalam x.
Jika P0( ) ≠ 0 untuk x = a maka x = a dinamakan titik ordiner (ordinary
point)
Jika x = 0 adalah suatu titik ordiner maka Persamaan Diferensial diatas dapat
diselesaikan dalam deret di dekat x = 0 sebagai :
= [ ] + [ ]

6

Dimana A dan B adalah konstanta sebarang.
Dua deret terebut adalah bebas linier dan keduanya adalah konvergen dalam
daerah sekitar x = 0.
Langkah – langkah Persamaan Diferensial orde satu dapat digunakan untuk
menentukan solusi PD orde dua.

Definisi 2.1

Pandang persaaman diferensial orde kedua dengan koefisien variabel yang

berbentuk :
2( ) ′′ + 1( ) ′ + 0( ) = 0 , 1 < < 2

(1)
Atau dalam bentuk normalnya ′′ + 1( ) ′ + 2( ) = 0

(2)

Dengan 1( ) = 1( ) 2( ) = 0( )
2( ) 2( )

Suatu titik 0 dalam interval 1 < < 2 dikatakan titik biasa dari persamaan

diferensial (1) jika kedua funsi 1( ) 2( ) dalam bentuk normal (2)

keduannya analitik pada 0. Jika salah satu atau kedua fungsi

1( ) 2( )tersebut tidak analitik pada titik 0, maka 0 disebut tituk

singular dari persaamaan (1)

Contoh 2.1
Perhatikan persamaan diferensial ′′ + ′ + ( 2 + 2) = 0.
Maka 1( ) = 2( ) = 2, yang merupakan fungsi – fungsi polinomial.
Dari pembahasan, diketahui bahwa fungsi polinomial itu analitik dimana –

mana. Jadi semua titik murupakan titik biasa dari persamaan yang diketahui.

7

BAB III
PENUTUP

A. Kesimpulan
1. Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga.
2. Disebut deret pangkat dalam x dimana x adalah variabel dan adalah
konstanta sebarang, atau , , … , , … adalah koefisien – koefisien
konstan dari deret pangkat itu, x adalah variabel dari deret pangkat, dan
pada ( 2 ) adalah titik tertentu yang disebut pusat dari deret pangkat
tersebut.
3. Himpunan semua bilangan x yang menyebabkan suatu deret pangkat
konvergen disebut interval konvergensi deret. Bila R dari syarat (c) dalam
teorema 1.1 di atas disebut jari – jari konvergensi dari deret. Jika deret (a)
berlaku, maka R = 0 dan jika syarat (b) berlaku maka = ∞.
4. Metode deret pangkat merupakan suatu metode umum untuk memecahkan
persamaan diferensial, termasuk persamaan " + ( ) ′ + ( ) =
dengan p(x) dan q(x) fungsi terhadap x. Metode ini menghasilkan solusi
terbentuk deret pangkat , oleh karena itu metode ini dinamakan metode deret
pangkat

B. Saran
Penulis tentunya masih menyadari jika makalah diatas masih terdapat

banyak kesalahan dan jauh dari kesempurnaan . Penulis akan memperbaiki
makalah tersebut dengan berpedoman pada banyak sumber serta ktitik yang
membangun dari pembaca.

8

DAFTAR PUSTAKA
Metode deret Pangkat , Online :
https://slideplayer.info/slide/3667864/(diakses pada 12 mei 2022)
Eny Noviati, Persamaan diferensial legendre dan penerapan nya, Online :
https://repository.usd.ac.id/27011/2/043114005_Full.pdf (diakses pada 12 mei
2022)
Beradeta Tri Widyastuti, Penyelesian persamaan diferensial linier homogen orde
kedua dengan koefisien variabel dengan metode deret, Online :
https://repository.usd.ac.id/27218/2/943114016_Full.pdf(diakses pada 12 Mei
2022)

9