แคลคูลัส calculus (3)

แคลคูลัส
calculus

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชัน

1.) สมบัติของค่าคงที่

เมื่อ c เป็นค่าคงที่ ลิมิตของ c เมื่อ x เข้าใกล้ a จะมีค่าเท่ากับ c ทันที

2.) สมบัติของการยกกำลัง

ถึงจะดูซับซ้อน แต่สมบัติข้อนี้ก็ไม่ยากเลย เมื่อ n เป็นจำนวนนับใด ๆ ลิมิต
ของ xn เมื่อ x เข้าใกล้ a จะเท่ากับ an เพื่อน ๆ สามารถหยิบ a เข้าไปแทนค่า

ใน x ได้เลย

3.) สมบัติการคูณของค่าคงที่

เมื่อ c เป็นค่าคงที่ที่คูณอยู่กับฟังก์ชัน f(x) เราสามารถดึง c แยกออกมา
แล้วหาลิมิตของฟังก์ชัน f(x) ได้ตามปกติ

4.) สมบัติการบวกและการลบ

นสมบัติข้อนี้เพื่อน ๆ จะเห็นว่าฟังก์ชันที่เราต้องการหาค่ามีหลายฟังก์ชัน
บวกหรือลบกันอยู่

ถ้าเจอโจทย์ลักษณะแบบนี้ เราสามารถกระจายลิมิตเข้าไปในทั้งสอง
ฟังก์ชันและหาค่าได้ตามปกติ



5.) สมบัติการคูณ

เช่นเดียวกับการบวกและการลบ ถ้าเจอโจทย์ที่มีหลายฟังก์ชันกำลังคูณกัน
อยู่ เราสามารถกระจายลิมิตเข้าไปทั้งสองฟังก์ชันได้หาเล็กน้อย

6.) สมบัติของการหาร

หากเราต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน f(x) หารด้วย g(x) เมื่อ x เข้าใกล้
a เราสามารถแจกลิมิตเข้าไปให้ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ได้เลย แต่มี

ข้อแม้ว่า ค่าของลิมิตของฟังก์ชัน g(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ต้องไม่เท่ากับ
ศูนย์

7. ) สมบัติของฟังก์ชันพหุนาม

เมื่อ P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามและ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ เราสามารถแทนค่า a ลง
ในสมการพหุนามนั้นได้ทันที ทำไมถึงเป็นแบบนี้ เราจะมาพิสูจน์กัน

8.) สมบัติของเลขยกกำลัง

9.) สมบัติของรากที่ n

หากเราต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน n f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a
เราสามารถดึงรากที่ n ออกมาและหาค่าของฟังก์ชัน f(x)
เมื่อ x เข้าใกล้ a ได้

การประยุกต์สูตรการหาอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้ง




ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P(x,y) ใดๆ
บนเส้นโค้ง y=f(x) หมายถึง ความชันของ
เส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P ซึ่งเท่ากับ f

(่ x)
สูตรการหาอนุพันธ์จะช่วยให้เราไม่ต้องใช้
นิยามในการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุด

(x,y)
ใดๆ ซึ่งค่อนข้างเสียเวลาและทำได้ยากใน

เส้นโค้งที่มีสมการซับซ้อน

อนุพันธ์อันดับสูง

ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด

ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันล
ด สามารถตรวจสอบได้จาก

กราฟและนิยาม สมการหนึ่งสมการอาจจะเป็นทั้ง
ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดขึ้นอยู่กับรูปแบบของกราฟ

และสมการ
บทนิยาม
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่ส่งจากโดเมนของฟังก์ชันไปยัง
จำนวนจริง โดยที่ A เป็นสับ
เซตของจำนวนจริง และ A
เป็นสับเซตของโดเมน จะบอกว่า
f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนเซตเซต A ก็ต่อเมื่อ
สำหรับx1<x2 และ ใดๆใน A ถ้า x1 < x2แล้ว
f(x1) < f(x2)

f เป็นฟังก์ชันลดบนเซต A ก็ต่อเมื่อ สำหรับ x1 และ
x2 ใดๆใน A ถ้า x1 < x2 แล้ว f(x1) > f(x2)

อธิบายนิยาม



f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y เพิ่มขึ้น
f เป็นฟังก์ชันลด เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น แต่ค่า y ลดลง

เมื่อ เราหยิบ x ใดๆ มาสองตัว สมมติให้เป็น 1
และ 2 และสมมติให้ f(1) = 2 , f(2) = 4 จะเห็น
ว่า f(1) < f(2) เราจะสรุปว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน

ช่วง [1, 2]



ถ้าสมมติให้ f(1) = 5 , f(2) = 3 จะเห็นว่า f(1) > f(2)
เราจะสรุปว่า f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง [1, 2]

ตรวจสอบโดยใช้นิยาม
f(x) = 4x – 3

จะตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดบน R
วิธีทำ ให้ x1 ,x2 เป็นสมาชิกใน R โดยที่ x1 < x2






g(x) = -2x + 5

∞จะตรวจสอบว่า g เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดบน R+ (หรือ (0, ))

วิธีทำ ให้ x1 , x2 เป็นสมาชิกใน R+ โดยที่ x1 <x2

สาเหตุที่ต้องคูณหรือบวกด้วยจำนวนจริงบางตัว เพราะว่าเราอยากได้
รูปแบบของ f(x) และ g(x) เนื่องจากเราไม่สามารถเริ่มพิจารณา

ตั้งแต่สมการที่เต็มรูปแบบได้ เราจึงต้องค่อยๆเริ่มจากสิ่งที่เรามี นั่นก็
คือ x1 < x2 แล้วค่อยบวกหรือคูณด้วยจำนวนจริงสักตัว เพื่อให้ได้

รูปแบบของสมการตามที่โจทย์กำหนดมา

ตรวจสอบโดยพิจารณาจากกราฟ

∞f(x) = x² + 2x เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดบน (- , 0)
∞และเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดบนช่วง (0, )

จาก f(x) = x² + 2 เป็นกราฟของพาราโบลาหงายที่มีจุด
วกกลับที่จุด (0, 2)
วาดกราฟได้ดังนี้



∞ ∞จะเห็นว่าเมื่อเราแบ่งกราฟเป็นสองช่วง คือ (- , 0) และ (0, )
∞พิจารณา (- , 0) จะเห็นว่า ค่าของ y นั้นลดลงในขณะที่ค่า x

∞เพิ่มขึ้น ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง (- , 0)
∞พิจารณา (0, ) จะเห็นว่าค่าของ y เพิ่มขึ้นและค่า x ก็เพิ่มขึ้น

∞ด้วย ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (0, )