ลิมิตและความต่อเนื่อง

หัวข้อเรื่อง (Topics) 3.1 ลิมิต 3.2 ความต่อเนื่อง

ลิมิต (Limits) เป็นความรู้พื้นฐานที่ส าคัญในการศึกษาวิชาแคลคูลัส จึงขอกล่าวถึงเรื่องนี้อย่าง ละเอียด โดยเริ่มจากแนวคิดพื้นฐานของลิมิต ซึ่งจะน าไปสู่นิยามอย่างง่ายของลิมิต ทฤษฎีบทของ ลิมิต และการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันแบบต่าง ๆ ดังนี้ 3.1.1 แนวค ิ ดพน ื้ฐานของล ิ ม ิ ต หลักการที่ส าคัญของลิมิตคือ การอธิบายว่าค่าของฟังก์ชันจะเป็นอย่างไรในขณะที่ค่าของตัว แปรอิสระเปลี่ยนแปลงเข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่งที่ก าหนดให้ พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้ 3.1 ลิมิต f(x) = 2 x 2x 1 + −

ถ้าตั้งค าถามว่า ในขณะที่x เข้าใกล้ 1 ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะเขียนอย่างไร การตอบค าถามนี้ อาจใช้ ตารางแสดงการเปลี่ยนแปลงค่าของ x และ f(x) หรือพิจารณาจากกราฟรูป

จากตารางและกราฟ จะเห็นว่า ในขณะที่ x เข้าใกล้ 1 ทั้งทางด้านซ้ายและทางด้านขวา ค่าของ ฟังก์ชัน f(x) จะเปลี่ยนแปลงโดยเข้าใกล้ 2 ลักษณะเช่นนี้จะกล่าวว่า ลิมิตของ x 2 + 2x – 1 คือ 2 ในขณะ ที่ x เข้าใกล้ 1 ทั้ง 2 ด้าน เขียนแทนด้วย = 2 2 x 1 lim(x 2x 1) → + − สัญลักษณ์ เป็นการบอกว่าค่าของ f(x) เข้าใกล้ 2 ในขณะที่x เข้าใกล้ 1 เท่านั้น ไม่ใช่ค่าของ f(x) ที่ x = 1 2 x 1 lim(x 2x 1) → + − จากวิธีการพิจารณาที่กล่าวมาข้างต้น สามารถให้นิยามของลิมิตอย่างง่ายได้ ดังนี้ นิยาม 3.1.1 (1) ลิมิตสองด้าน (Two – Sided Limit) ก าหนดฟังก์ชัน f(x) และ a, m เป็นจ านวนจริง ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้ m ในขณะที่x เข้าใกล้ a แทนด้วยสัญลักษณ์ = m อ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a มีค่าเท่ากับ m

จากนิยาม 3.1.1 (1) เป็นการกล่าวถึงลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทั้งสองด้าน แต่ในการ พิจารณาลิมิตของฟังก์ชันบางครั้งจ าเป็นต้องแยกพิจารณาทีละด้านซึ่งเรียกว่า ลิมิตด้านเดียว ถ้าพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย ลิมิตที่ได้จะเรียกว่า ลิมิตซ้าย (Left–Handed Limit) แต่ถ้าพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา ลิมิตที่ได้จะเรียกว่า ลิมิตขวา (Right–Handed Limit) นิยามอย่างง่ายของลิมิตด้านเดียว เป็นดังต่อไปนี้ นิยาม 3.1.1 (2) ลิมิตซ้าย ก าหนดฟังก์ชัน f(x) และ a, m เป็นจ านวนจริง ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้ m ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย แทนด้วยสัญลักษณ์ = m อ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่าเท่ากับ m

ค าว่า x เข้าใกล้ a ทางซ้าย เขียนแทนด้วย หมายถึง x เข้าใกล้ a ทางด้านที่น้อยกว่า a ; (x < a) แล้วมีค่าเปลี่ยนแปลงโดยมีค่าเพิ่มขึ้น ๆ จนมีค่าเข้าใกล้ a มากขึ้น แต่ x a → − x a นิยาม 3.1.1 (3) ลิมิตขวา ก าหนดฟังก์ชัน f(x) และ a, m เป็นจ านวนจริง ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้ m ในขณะที่x เข้าใกล้ a ทางขวา แทนด้วยสัญลักษณ์ = m อ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา มีค่าเท่ากับ m ค าว่า x เข้าใกล้ a ทางขวา เขียนแทนด้วย หมายถึง x เข้าใกล้ a ทางด้านที่มากกว่า a ; (x > a) แล้วมีการเปลี่ยนแปลงโดยมีค่าลดลง ๆ จนมีค่าเข้าใกล้ a มากขึ้น แต่ x a → + x a ในการหาลิมิตของฟั งก์ชัน (ลิมิตสองด้าน) บางกรณีจ าเป็ นต้องแยกพิจารณาลิมิตซ้ายและ ลิมิตขวา ทฤษฎีบทต่อไปนี้ จะช่วยให้สามารถสรุปค่าลิมิต (ลิมิตสองด้าน) ของฟังก์ชันได้

ตัวอย่าง ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = x + 2 จงหาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ 4 แนวคิด การที่x เข้าใกล้ 4 แยกพิจารณาเป็น 2 กรณี คือ กรณ ี ท ี่1 x เข้าใกล้ 4 ทางด้านซ้าย ; (x < 4) พิจารณาค่าฟังก์ชันโดยใช้ตารางดังนี้ x f(x) = x + 2 3 5 3.5 5.5 3.9 5.9 3.99 5.99 3.999 5.999 x เข้าใกล้ 4 ทางด้านซ้าย ค่าของฟังก์ชัน f(x) = x + 2 เข้าใกล้ 6 จากตาราง พบว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 4 ทางซ้าย ค่าของฟังก์ชัน f(x) = x + 2 จะเข้าใกล้ 6 แทน ด้วยสัญลักษณ์ เรียกว่า ลิมิตซ้าย x 4 lim (x 2) 6 → − + =

กรณ ี ท ี่2 x เข้าใกล้ 4 ทางด้านขวา ; (x > 4) พิจารณาค่าฟังก์ชันโดยใช้ตารางดังนี้ x f(x) = x + 2 5 7 4.5 6.5 4.1 6.1 4.01 6.01 4.001 6.001 x เข้าใกล้ 4 ทางด้านขวา ค่าของฟังก์ชัน f(x) = x + 2 เข้าใกล้ 6 จากตาราง พบว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 4 ทางขวา ค่าของฟังก์ชัน f(x) = x + 2 จะเข้าใกล้ 6 แทน ด้วยสัญลักษณ์ = 6 เรียกว่า ลิมิตขวา x 4 lim (x 2) → + + จากทั้ง 2 กรณี จะเห็นว่าลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขวา จึงสรุปได้ว่า เมื่อ x เข้าใกล้ 4 ค่าของ ฟังก์ชัน f(x) = x + 2 จะเข้าใกล้ 6 หรือ สรุปโดยใช้ค าว่าลิมิตได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) = x + 2 เมื่อ x เข้าใกล้ 4 มีค่าเท่ากับ 6 ตอบ

3.1.2 ทฤษฎีบทลิมิต ในหัวข้อที่ผ่านมาเป็นการหาลิมิตของฟังก์ชัน โดยพิจารณาจากตารางและกราฟ ซึ่งอาจมี ความยุ่งยากไม่สะดวก ในหัวข้อนี้จะศึกษาการหาลิมิตของฟังก์ชันโดยใช้ทฤษฎีบท ซึ่งจะท าให้การหาลิมิต ท าได้ง่ายขึ้น ส าหรับ สมบัติข้อ 5และข้อ 6 สามารถขยายส าหรับหลายฟังก์ชันได้ ทั้งนี้จ านวนฟังก์ชันต้องมี จ ากัดและสมบัติทั้ง 9ข้อยังเป็นจริงส าหรับลิมิตด้านเดียว ทฤษฎีบทส าหรับลิมิตของฟังก์ชันพหุนามในขณะที่ x เข้าใกล้ a ; (x a) → ทฤษฎีบท 3.1.2 (2) ก าหนดฟังก์ชันพหุนาม p(x) = 2 3 n 0 1 2 3 n c c x c x c x ... c x + + + + + และเป็นจ านวนจริง จะได้ว่า a x a lim p(x) → = 2 n 0 1 2 n c c a c a ...c a + + + = p(a) 3.1.3 การหาลิมิตของฟังก์ชัน การหาค่าลิมิตของฟั งก์ชัน คือ การหาว่าค่าฟั งก์ชันจะเข้าใกล้จ านวนจริงใด เมื่อก า หนดให้ ตัวแปรอิสระเข้าใกล้จ านวนจริงจ านวนหนึ่ง วิธีการหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน เราสามารถใช้ทฤษฎีบทลิมิตมา ช่วยในการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงหา x 2 lim 8x → แนวคิด = x 2 lim 8x → x 2 8lim x → = 8(2) = 16 ตอบ x 2 lim 8x → พิจารณาการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันจากตัวอย่างข้างต้น สรุปได้ว่าการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันใน ขณะที่ ท าได้ง่ายขึ้นโดยการแทนค่า x = a ลงในฟังก์ชันก็จะได้ค าตอบ แต่จะต้องท าอย่าง รอบคอบโดยมีเงื่อนไข 2 ข้อดังนี้ x a → 1. ถ้าค่า f(a) ที่ได้เป็นจ านวนจริง ค่านี้จะเป็นลิมิตของฟังก์ชันที่ต้องการทันที แต่ถ้าได้ค่าที่ไม่ใช่ จ านวนจริง หรืออยู่ในรูปแบบที่หาค่าไม่ได้ เช่น มีส่วนเป็น 0 (ศูนย์) แสดงว่าการหา ค่าลิมิตโดยการแทน ค่าครั้งนี้ล้มเหลว ไม่สามารถสรุปค่าลิมิตได้ แต่สามารถหาค่าลิมิตได้โดย การเปลี่ยนรูปแบบฟังก์ชันให้ เป็นรูปแบบอื่น โดยใช้หลักการความรู้ทางพีชคณิต เช่น การดึงตัวประกอบร่วม การแยกตัวประกอบ 2. ลิมิตซ้ายและลิมิตขวาที่ x = a ต้องมีค่าเท่ากัน จึงจะหาค่าลิมิตโดยการแทนค่าได้

= 3 2 + 3(3) + 9 แนวคิด เนื่องจากค่า อยู่ในรูป ซึ่งไม่สามารถสรุปค่าได้ แต่สามาร เปลี่ยนรูปแบบฟังก์ชันใหม่ได้ ดังนี้ 3 x 3 x 27 lim → x 3 − − 0 0 = 3 x 3 x 27 lim → x 3 − − → − + + − 2 x 3 (x 3)(x 3x 9) lim x 3 = → + + 2 x 3 lim(x 3x 9) = 27 3 x 3 x 27 lim → x 3 − − ตัวอย่าง จงหา 3 x 3 x 27 lim → x 3 − −

3.1.4 การหาล ิ ม ิ ตของฟังกช ์ันทก ี่า หนดเป็ นช่วง (ฟังก์ชันแบบมีเงื่อนไข) ฟังก์ชันที่ก าหนดเป็นช่วง เป็นฟังก์ชันที่ก าหนดกฎเกณฑ์หรือเงื่อนไขให้กับโดเมนของฟังก์ชัน แต่ละช่วงแตกต่างกันออกไป พิจารณาจากตัวอย่างฟังก์ชันต่อไปนี้ ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = 2 x 1 ; x 3 2x 1 ; x 3 + + ฟังก์ชันที่ก าหนดมี 2 รูปแบบ คือ เมื่อ ใช้รูปแบบ f(x) = x2 + 1 และเมื่อ x < 3 ใช้ รูปแบบ f(x) = 2x + 1และเรียก x = 3 ว่า จ ุ ดเปล ี่ยนเงอ ื่นไขของฟังกช ์ัน x 3 โดยพื้นฐานการพิจารณาค่าลิมิตของฟังก์ชัน จะพิจารณาค่าของฟังก์ชันว่าเป็นอย่างไรใน ขณะที่ x เข้าใกล้ a ทั้งทางด้านซ้ายและทางด้านขวา ตัวอย่างข้อนี้ ถ้าต้องการหา ก็ต้องพิจารณา ค่าของฟังก์ชัน เมื่อx เข้าใกล้ 3 ทางด้านซ้ายและขวา แต่พบว่า x 3 lim f (x) → ในขณะที่ x เข้าใกล้ 3 ทางด้านซ้าย (x < 3) ฟังก์ชันมีรูปแบบเป็น f(x) = 2x + 1 แต่ในขณะที่ x เข้าใกล้ 3 ทางด้านขวา ฟังก์ชันมีรูปแบบเป็น f(x) = x2 + 1 จะเห็นว่า ร ู ปแบบของฟังกช ์ันแตกต่างกัน

โดยทั่วไปการหาลิมิตของฟังก์ชันแบบมีเงื่อนไข กรณีที่ x เข้าใกล้จุดเปลี่ยนเงื่อนไขของฟังก์ชัน จะต้องพิจารณาลิมิตซ้ายและลิมิตขวาเสมอ แต่กรณีที่ x ไม่ได้เข้าใกล้จุดเปลี่ยนเงื่อนไขของฟังก์ชัน ก็อาจไม่จ าเป็นต้องแยกพิจารณา เพราะรูปแบบของฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาเหมือนกัน เช่น กรณีฟังก์ชัน f(x) = 2 x 1 ; x 3 2x 1 ; x 3 + + ถ้าต้องการหา พิจารณาได้ว่า เนื่องจาก 5 ไม่ใช่จุดเปลี่ยนเงื่อนไขของฟังก์ชัน x 5 lim f (x) → ดังนั้น เมื่อ x เข้าใกล้ 5 ทางด้านซ้าย (x < 5 และมีค่าเข้าใกล้ 5 มาก ๆ ประมาณ 4.9999...) หรือเข้าใกล้ 5 ทางด้านขวา (x > 5 และมีค่าเข้าใกล้ 5 มาก ๆ ประมาณ 5.00001...) ไม่ว่า xจะเข้าใกล้ 5 ทางด้านใด ก็พบว่าบรรดา x เหล่านั้นมีค่ามากกว่า 3 ซึ่งเป็นจุดเปลี่ยนเงื่อนไขของฟังก์ชันที่ก าหนด ดังนั้น รูปแบบฟังก์ชันจึงใช้รูปแบบเดียวกันคือรูปแบบ f(x) = x2 + 1 ท าให้ ค่าลิมิตซ้ายและลิมิตขวา เท่ากัน จึงไม่จ าเป็นต้องแยกพิจารณาลิมิตซ้ายและลิมิตขวา และอาจแสดงแนวคิดสั้น ๆ ดังนี้ = x 5 lim f (x) → 2 x 5 lim(x 1) → + = 5 2 + 1 = 26

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ เป็นฟังก์ชันแบบมีเงื่อนไข โดยพิจารณาจากนิยามของค่าสมบูรณ์ ดังนี้ x = โดยมี 0 เป็นจุดเปลี่ยนเงื่อนไขของฟังก์ชัน x ; x 0 x ; x 0 − x a − = โดยมี a เป็นจุดเปลี่ยนเงื่อนไขของฟังก์ชัน x a ; x a (x a) ; x a − − − การหาลิมิตของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ จึงพิจารณาในลักษณะเดียวกันฟังก์ชันแบบมีเงื่อนไข และ ในการหาค่าลิมิตให้ใช้รูปแบบฟังก์ชันที่แท้จริงตามเงื่อนไขของค่า x ดังตัวอย่าง โดยมี 3 เป็นจุดเปลี่ยนเงื่อนไขของฟังก์ชัน จากโจทย์ให้หาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 5 เนื่องจาก 5 ไม่ใช่จุดเปลี่ยนเงื่อนไขของฟังก์ชันและ 5 > 3 ตัวอย่าง จงหา x 5 x 3 lim → 2x 7 − − แนวคิด เนื่องจาก = x 3 ; x 3 (x 3) ; x 3 − − − ดังนั้น = x 5 x 3 lim → 2x 7 − − x 5 x 3 lim → 2x 7 − − = 5 3 2(5) 7 − − = x 5 x 3 lim → 2x 7 − − 2 3

ข้อสรุป การหาลิมิตของฟังก์ชันเป็นการหาค่าของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้าใกล้ a โดยที่ x a และหลัก ทั่วไปส าหรับการหาลิมิตของฟังก์ชันจะต้องพิจารณาลิมิตซ้ายและลิมิตขวาก่อนเสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันที่นิยามบางช่วงของจ านวนจริง (ฟังก์ชันแบบมีเงื่อนไขฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์) จะต้องพิจารณาอย่าง รอบคอบเมื่อ x เข้าใกล้จุดเปลี่ยนเงื่อนไขของฟังก์ชัน แต่ในกรณีฟังก์ชันปกติ เช่น ฟังก์ชันพหุนาม อาจไม่ ต้องแยกพิจารณาลิมิตซ้ายและลิมิตขวา เพราะลิมิตทั้งสองด้านจะมีค่าเท่ากันเสมอ ในบางครั้งมีฟังก์ชันที่ ก าหนดบนโดเมนที่มีขอบเขต เช่น มีโดเมนก าหนดบนช่วง [0, ) การหาลิมิตของ ฟังก์ชัน ณ จุดขอบ จะพิจารณาดังตัวอย่างต่อไปนี้ f (x) x = แนวคิด เนื่องจากโดเมนของ คือ หรือก าหนดบนช่วง [0, ) เพราะว่า x = 0 เป็นจุดขอบของฟังก์ชัน จะได้ที่จุด x = 0จะหาลิมิตได้เพียงด้านเดียว คือ ทางด้านขวามือ ซึ่งลิมิตขวา (x > 0) =0 ดังนั้น ไม่มี ตอบ f (x) x = x 0 x 0 lim x → + x 0 lim x → ตัวอย่าง จงหา x 0 lim x →

3.1.5 ล ิ ม ิ ตอนันตแ ์ ละล ิ ม ิ ตทอ ี่นันต ์ 1. ลิมิตอนันต์ พิจารณาฟังก์ชัน และ ซึ่งมีกราฟดังนี้ 1 f (x) x = 1 f (x) x 2 = − ร ู ปท ี่1 ร ู ปท ี่2 จากกราฟรูปที่ 1 และ 2 พบว่า (1) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย ค่าของฟั งก์ชัน จะลดลงอย่างไม่มีขีดจ ากัด ลักษณะเช่นนี้เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ = – 1 x x 0 1 lim → − x

(2) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา ค่าของฟังก์ชัน จะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจ ากัด ลักษณะเช่นนี้เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ = – 1 x x 0 1 lim → − x (3) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางด้านซ้าย ค่าของฟังก์ชัน จะลดลงอย่างไม่มีขีดจ ากัด ลักษณะเช่นนี้เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ = – 1 x 2 − x 2 1 lim → − x 2 − (4) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา ค่าของฟังก์ชัน จะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจ ากัด ลักษณะเช่นนี้เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ = – 1 x 2 − x 2 1 lim → − x 2 − เรียกลิมิตทั้ง 4ข้อนี้ว่า ลิมิตอนันต์ หมายเหตุ สัญลักษณ์ อ่านว่า อนันต์ (Infinity) ใช้แทนค าว่า เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจ ากัด ส่วน สัญลักษณ์ –ใช้แทนค าว่า ลดลงอย่างไม่มีขีดจ ากัด

2. ล ิ ม ิ ตทอ ี่นันต ์ ล ิ ม ิ ตทอ ี่นันต ์หมายถึง ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจ ากัด หรือ x มีค่า ลดลงอย่างไม่มีขีดจ ากัด ค าว่า x มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจ ากัด แทนด้วยสัญลักษณ์ x → ในกรณีนี้ xจะมีค่า เป็นบวก ค าว่า x มีค่าลดลงอย่างไม่มีขีดจ ากัด แทนด้วยสัญลักษณ์ x → – ในกรณีนี้xจะมีค่า เป็นลบ ล ิ ม ิ ตทอ ี่นันตข ์ องฟังกช ์ันทม ี่ี ราก กรณีลิมิตที่อนันต์ของฟังก์ชันรากที่สอง ให้ใช้สมบัติของจ านวนจริงต่อไปนี้ช่วยในการเปลี่ยน รูปฟังก์ชัน และ 2 x x = x ; x 0 x x ; x 0 = − ดังนั้น กรณีลิมิตที่อนันต์จะได้ว่า 2 x ; x x x x ; x → = = − → −

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

3.2 ความต่อเนื่อง 3.2.1 น ิ ยามความต่อเน ื่องของฟังกช ์ัน ลักษณะอีกอย่างหนึ่งของฟังก์ชันที่จ าเป็นต้องศึกษา คือลักษณะการขาดตอนหรือไม่ขาดตอน ของกราฟของฟังก์ชัน หรือกล่าวในเชิงสมบัติของฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องที่จุดใดบ้าง วิธี พิจารณาความต่อเนื่องของฟั งก์ชันที่ง่ายที่สุดคือ การดูจากกราฟ กล่าวคือ ถ้ากราฟของฟั งก์ชัน ประกอบด้วยจุดเรียงติดต่อกันโดยตลอด ก็จะได้ว่าฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง แต่ถ้ามีจุดใดของกราฟกระโดดหรือ หายไปจากเส้นกราฟท าให้เกิดช่องว่างขึ้น ก็แสดงว่าฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่จุดนี้ 3.2.2 ทฤษฎ ี บทความต่อเน ื่อง จากความรู้เรื่องลิมิตและนิยามความต่อเนื่องของฟังก์ชันท าให้ได้ทฤษฎีบทที่จะใช้พิจารณา ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ดังต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 3.2.2 (1) ฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทุกจุด x R

ตัวอย่างท ี่3.37 ก าหนดให้ f(x) = และ = จงตรวจสอบว่า และ มีความต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่ 2 2x 3x 2 − − g(x) 2 4 3x x − − f g + f g − f g f g แนวคิด เพราะว่า f(x) = 2x 2 – 3x – 2 และ g(x) = 4 – 3x – x 2 เป็นฟังก์ชันพหุนามจึงมี ความต่อเนื่องทุกค่าของ x R และ = = 0 ดังนั้น , และ มีความต่อเนื่องที่ x = 1 ส่วน ไม่มีความ ต่อเนื่อง ที่ x=1 g(1) 2 4 3(1) (1) − − f g + f g − f g f g

การพิจารณาฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่จุดใด อาจพิจารณาจากนิยามความ ต่อเนื่องคือ ถ้า f(x) หาค่า ไม่ได้ที่จุดใด หรือลิมิตของฟังก์ชันหาค่าไม่ได้ที่จุด ใด แสดงว่าฟังก์ชันไม่ ต่อเนื่องที่จุดนั้น หรืออาจ พิจารณาโดยใช้ทฤษฎีบทที่ กล่าวไปแล้วก็ได้ มีข้อสรุป ส าหรับบางฟังก์ชัน ดังนี้ 1. ฟังก์ชันตรรกยะหรือฟังก์ชันเศษส่วน ไม่ต่อเนื่องที่ x ที่ท าให้ส่วนเป็น 0 เพราะฟังก์ชันไม่มีค่า เกิดขึ้นเมื่อส่วนเป็นศูนย์ เช่น f(x) = ไม่ต่อเนื่องที่ x = 2 2 x 4 x 2 − − 2. ฟังก์ชันรากที่สอง ไม่ต่อเนื่องที่จุด x ที่ท าให้ค่าภายในรากที่สองเป็นลบ และไม่ต่อเนื่องที่ x ท าให้ ฟังก์ชันหาลิมิตไม่ได้ เช่น f(x) = ไม่ต่อเนื่องที่ x < 5 เพราะฟังก์ชันไม่มีค่าเกิดขึ้น นอกจากนี้ ยังไม่ ต่อเนื่องที่ x = 5 เพราะที่จุดนี้ไม่มีลิมิต (ลิมิตซ้ายไม่มี) x 5 −