ความรู้รู้เรู้รู้บื้บื้อ บื้ อ บื้ งต้ต้น ต้ น ต้ เกี่กี่ย กี่ ย กี่ วกักับ กั บ กั จำจำจำจำนวนจริริง ริริ โดย : นางสาวมนต์ต์น ต์ น ต์ ภา อิอินอิอิทแสง รหัหัสหัหันันักนันั ศึศึกศึศึษา 65040140116 นันักนันั ศึศึกศึศึษาชั้ชั้น ชั้ น ชั้ ปีปีที่ปีที่ปีที่ที่ 2 สาขาวิวิชวิวิาคณิณิตณิณิ ศาสตร์ร์ ร์ร์ คณะครุรุศ รุ ศ รุ าสตร์ร์ ร์ร์ มหาวิวิทวิวิยาลัลัยลัลัราชภัภัฏภัภัอุอุด อุ ด อุ รธานีนีนีนี ชั้ชั้น ชั้ น ชั้ มัมั มั ธมั ธยมศึศึก ศึ ก ศึ ษาปีปีที่ ปี ที่ ปี ที่ที่2
คำ นำ E-book เรื่อง “ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำ นวนจริง” ฉบับนี้จัดทำ ขึ้นเพื่อประกอบ การเรียนในรายวิชา นวัตกรรมเทคโนโลยีสารสนเทศเพื่อการสื่อสาร การศึกษา และการเรียนรู้ รหัสวิชา ED13201 โดยมีจุดประสงค์เพื่อรวบรวมความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ จำ นวนจริงและสร้างเป็นชิ้นงานเก็บไว้เป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน ซึ่ง E-book ฉบับนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับ จำ นวนตรรกยะ จำ นวนอตรรกยะ รากที่สอง และรากที่สาม โดยเนื้อหาได้รวบรวมมาจากหนังสือแบบเรียน หนังสือคู่มือการเรียน และเอกสาร ประกอบการสอนอีกหลายเล่ม ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า E-Book ฉบับนี้ จะเป็นประโยชน์ต่อผู้อ่าน หรือนักเรียน ทุกคน ที่กำ ลังศึกษาในเรื่อง"ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำ นวนจริง” ซึ่งจะสามารถช่วย ให้นักเรียนบรรลุตามวัตถุประสงค์การเรียนรู้ตามมาตรฐานการเรียนรู้ หากมีข้อแนะนำ หรือข้อผิดพลาดประการใด ผู้จัดทำ ขอน้อมรับไว้และขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย มนต์นภา อินทแสง สิงหาคม 2566
สารบัญ วัตถุประสงค์การเรียนรู้ จำ นวนตรรกยะ จำ นวนอตรรกยะ รากที่สอง รากที่สาม แบบฝึกหัด เฉลยแบบฝึกหัด ทบทวนความรู้เกี่ยวกับจำ นวนจริง ประวัติผู้จัดทำ บรรณานุกรม 2 3 4 9 13 17 21 22 23 24
1
วัตถุประสงค์การเรียนรู้ สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้ สาระ จำ นวนและพีชคณิต มาตรฐาน ค. 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำ นวน ระบบจำ นวน การดำ เนินการของจำ นวน ผลที่เกิดขึ้นจากการดำ เนินการ สมบัติของการดำ เนินการ และนำ ไปใช้ เข้าใจจำ นวนจริงและความสัมพันธ์ของจำ นวนจริง และใช้สมบัติของจำ นวนจริง ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง นักเรียนสามารถ 1. จำ แนกจำ นวนจริงได้ว่าจำ นวนใดเป็นจำ นวนตรรกยะ จำ นวนใดเป็นจำ นวนอตรรกยะ 2. เขียนทศนิยมซ้ำ ให้อยู่ในรูปเศษส่วน 3. หารากที่สองและหารากที่สามของจำ นวนตรรกยะ 4. แก้ปัญหาโดยสมบัติของจำ นวนจริง แผนผังสาระการเรียนรู้ จำ นวนจริง 1. จำ นวนตรรกยะ 3. รากที่สอง 2. จำ นวนอตรรกยะ 4. รากที่สาม เรื่อง ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำ นวนจริง 2
จำ นวนจริง จำ นวนตรรกยะ จำ นวนเต็ม จำ นวนเต็มลบ จำ นวนอตรรกยะ จำ นวนตรรกยะที่ไม่ใช้จำ นวนเต็ม ศูนย์ จำ นวนเต็มบวก จำ นวนตรรกยะ คือ จำ นวนที่สามารถเขียนในรูปจำ นวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำ ได้ จำ นวนจริง ( Real Number ) จะประกอบไปด้วย 1. 2. จำ นวนอตรรกยะ คือ จำ นวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจำ นวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำ ได้ เรามาทบทวนความรู้เกี่ยวกับจำ นวนจริง กันก่อนเลยนะคะ โครงสร้างของระบบจำ นวนจริง (The Real Number System) “จำ นวนจริง” คือ จำ นวนที่มีลักษณะเป็นปริมาณที่สามารถแสดงให้เห็นเป็นภาพ โดยใช้จุดบนเส้นจำ นวนได้ จำ นวนจริงจะประกอบด้วย จำ นวนตรรกยะและจำ นวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ℝ ที่มา: จาก https://www.athometh.com/math/real-amount/ สรุปจำ นวนจริง จำ นวนจริงคืออะไร ? ส่วนประกอบของจำ นวนจริงมีอะไรบ้าง ? 3
จำจำจำ จำจำจำนนวนวนตตรรรรกกยยะะ 4
บทนิยาม จำ นวนตรรกยะ หมายถึง จำ นวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน เมื่อ a และ b เป็นจำ นวนเต็ม และ b ≠ 0 หรือในรูปทศนิยมซ้ำ a b จำ นวนตรรกยะ เป็นจำ นวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูป ได้ เมื่อ a และ b เป็น จำ นวนเต็ม และ b ≠ 0 เช่น 0, 3, -3.6, และ a b 9 11 3 13 ดังนั้น จำ นวนเต็มทุกจำ นวนเป็นจำ นวนตรรกยะ เพราะจำ นวนเต็มสามารถเขียน อยู่ในรูป ได้ โดยที่ b ≠ 0 และ ทศนิยมทุกจำ นวนก็เป็นจำ นวนตรรกยะ เพราะทศนิยม สามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่ a และ b เป็นจำ นวนเต็ม และ b ≠ 0 และเศษส่วนก็ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้ a b 17 5 วิธีทำ 17 5 = 3.4 3 4 วิธีทำ จำ นวนตรรกยะ จำ นวนตรรกยะ (Rational Number) a b การเขียนเศษส่วน (fraction) ในรูปทศนิยม (decimal) โดยทั่วไปใช้วิธีการนำ ตัวส่วนไป หารตัวเศษโดยการหารยาว ให้นักเรียนพิจารณาการเขียนเศษส่วนในรูปทศนิยมต่อไปนี้ 1. 5 17.0 3.4 15 20 20 0 ดังนั้น 2. 3 4.000 1.33… 3 10 9 10 9 1 … ดังนั้น 3 4 = 1.33… หรือ 1.3 . 5
ในทางกลับกัน สามารถเขียนทศนิยมซ้ำ ในรูปเศษส่วนได้ ซึ่งจะขอยกตัวอย่าง การเขียนทศนิยมซ้ำ ศูนย์ในรูปเศษส่วน เช่น 0.2 = 0.45 = -0.259 = 1. 2. 3. 2 10 45 100 259 1000 เขียน 0.4 ในรูปเศษส่วน วิธีทำ ให้ N = 0.4 ดังนั้น N = 0.444... ………………… 1 นำ 10 คูณจำ นวนทั้งสองข้างของสมการ 1 จะได้ 10N = 4.444... ……………….. 2 สมการ 2 ลบด้วยสมการ 1 จะได้ 10N - N = (4.444...) - (0.444..) 9N = 4 N = ดังนั้น 0.4 จากการพิจารณา จะเห็นได้ว่า การเขียนเศษส่วนให้เป็นทศนิยมสามารถเขียนได้ ทั้งทศนิยมที่รู้จบและทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำ เพราะฉะนั้นทศนิยมจึงแบ่งออกได้เป็น 2 ชนิด คือ 1. ทศนิยมแบบรู้จบ คือ ทศนิยมที่จำ นวนตัวเลขหลังจุดทศนิยมเป็นจำ นวนรู้จบหรือมีศูนย์ซ้ำ เช่น 0.5, 2.25, - 0.750 เป็นต้น . 2. ทศนิยมแบบไม่รู้จบ คือ ทศนิยมที่จำ นวนตัวเลขหลังจุดทศนิยมเป็นจำ นวนไม่รู้จบ แบ่งออกเป็น 2 คือ 2.1 ทศนิยมซ้ำ แบบไม่รู้จบ คือ ทศนิยมที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมตัวหนึ่งหรือมากกว่า ซ้ำ กันอย่างเป็นระบบ เช่น 0.888… หรือ 0.8 อ่านว่า ศูนย์จุดแปด แปดซ้ำ 1.666… หรือ 1.6 อ่านว่า หนึ่งจุดหก หกซ้ำ 2.181818… หรือ 2.18 อ่านว่า สองจุดหนึ่งแปด หนึ่งแปดซ้ำ -1.125125125… หรือ - 1.125 อ่านว่า ลบหนึ่งจุดหนึ่งสองห้า หนึ่งสองห้าซ้ำ . . . . . . 2.2 ทศนิยมไม่ซ้ำ แบบไม่รู้จบ คือ ทศนิยมที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมมากมายแบบไม่เป็น ระบบไม่ซ้ำ กันเลย เช่น 1.4142135..., 1.7320508..., 2.6457513... เป็นต้น สำ หรับทศนิยมช้ำ ที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำ ศูนย์ สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 4 9 4 9 = . . . 6
วิธีทำ ให้ N = 0.65 ดังนั้น N = N = 0.656565.. ………………… 1 นำ 100 คูณจำ นวนทั้งสองข้างของสมการ 1 จะได้ 100N = 65.656565... ……………….. 2 สมการ 2 ลบด้วยสมการ 1 จะได้ 100N - N = (65.656565...) - (0.656565..) 99N = 65 N = ดังนั้น 0.65 65 99 65 99 ตัวอย่างที่ 2 เขียน 0.65 ในรูปเศษส่วน = .. .. .. การเขียนทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำ ให้เป็นเศษส่วนนั้น สามารถทำ ได้โดยวิธีลัด มีหลักดังนี้ ที่มา: จาก https://pubhtml5.com/docu/vgyf/basic/ ตัวอย่างการใช้วิธีลัด 0.351 = 0.351351... 0.351 = เขียน 0.351 ในรูปเศษส่วน วิธีทำ 1. เลขทศนิยมทั้งหมด = 351 2. เลขทศนิยมตัวที่ไม่ซ้ำ = ไม่มี = 0 3. จำ นวนของทศนิยมซ้ำ = 3 (เลข 3,5,1) 4. จำ นวนของทศนิยมไม่ช้ำ = ไม่มี = 0 351 999 13 37 = . . . . . . ดังนั้น 0.351 = . . 13 37 7
1. เขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยม (เขียนแสดงวิธีทำ ) 1.) 3.) 2.) 4.) 15 8 9 4 14 3 11 37 1.) 3.) 2.) 4.) ตอบ ตอบ ตอบ ตอบ 33 90 11 30 7 9 8 9 12 99 4 33 การเขียนทศนิยมซ้ำ ในรูปเศษส่วนมีข้อสังเกต ดังนี้ ตัวเศษ หาได้จากจำ นวนที่อยู่หลังจุดทศนิยม ลบด้วยจำ นวนที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำ ตัวส่วน ประกอบด้วย 9 และ 0 เรียงต่อกัน โดยจำ นวนของ 9 หาได้จาก จำ นวนของเลขโดดหลังจุดทศนิยมที่ซ้ำ เช่น ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำ นวนเลขโดดซ้ำ 1 ตัว จะมีตัวส่วนเป็น 9 ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำ นวนเลขโดดซ้ำ 2 ตัว จะมีตัวส่วนเป็น 99 ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำ นวนเลขโดดซ้ำ 3 ตัว จะมีตัวส่วนเป็น 999 และจำ นวนของ 0 หาได้จาก จำ นวนของเลขโดดหลังจุดทศนิยมที่ไม่ซ้ำ เช่น ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำ นวนเลขโดดที่ไม่ซ้ำ 1 ตัว จะมีเลขโดด 0 จำ นวน 1 ตัว ต่อจาก 9 ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำ นวนเลขโดดที่ไม่ซ้ำ 2 ตัว จะมีเลขโดด 0 จำ นวน 2 ตัว ต่อจาก 9 ถ้าหลังจุดทศนิยมมีจำ นวนเลขโดดที่ไม่ซ้ำ 3 ตัว จะมีเลขโดด 0 จำ นวน 3 ตัว ต่อจาก 9 ข้อสังเกต ตรวจสอบความเข้าใจ 2. เขียนทศนิยมซ้ำ ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน (เขียนแสดงวิธีทำ ) 1.) 3.) 2.) 4.) . 0.36 0.8 . . 5.7 0.12 . . เฉลย 1. เขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยม 1.) 3.) 2.) 4.) 2. เขียนทศนิยมซ้ำ ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน ตอบ -1.875 ตอบ 4.66… ตอบ 2.25 ตอบ 0.297297297… หรือ หรือ 8
จำจำจำ จำจำจำนนววนนออตตรรรรกกยยะะ 9
บทนิยาม เราเรียกจำ นวนที่ไม่สามารถเขียนในรูป เมื่อ a และ b เป็นจำ นวนเต็ม และ b ≠ 0 ว่า จำ นวนอตรรกยะ a b ในการคำ นวณเรานิยมใช้จำ นวนตรรกยะเป็นค่าประมาณของจำ นวนอตรรกยะ เช่น ใช้ หรือ 3.11 เป็นค่าประมาณของ π ใช้ 1.414 เป็นค่าประมาณของ 2 เป็นต้น เราสามารถแทนจำ นวนตรรกยะทุกจำ นวนได้ด้วยจุดบนเส้นจำ นวน ในทำ นองเดียวกันเรา ก็สามารถแทนจำ นวนอตรรกยะได้ด้วยจุดบนเส้นจำ นวนเช่นเดียวกัน เช่น หาจุดหรือค่าของ π บนเส้นจำ นวนได้ ถ้ากำ หนดวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 1 หน่วย สามารถวัดความยาวของเส้นรอบรูปวงกลมนี้บนเส้นจำ นวนได้ โดยกลิ้งวงกลม บนเส้นจำ นวน ดังรูป 22 7 จำ นวนอตรรกยะ จำ นวนอตรรกยะ (Irrational Number) พิจารณาจำ นวนต่อไปนี้ 4.23133113111... 0.4656556555... π = 3.142857143... 2 = 1.414213562... จะเห็นว่า จำ นวนที่กล่าวข้รงต้นไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษสวนหรีอทศนิยมซ้ำ จำ นวนดังกล่าวจึงเป็น จำ นวนอตรรกยะ ที่มา: จาก http://academic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1552355345_example.pdf 10
รากที่สองของจำ นวนบางจำ นวน เป็นจำ นวนที่เขียนแทนด้วยจำ นวนตรรกยะไม่ได้ แต่สามารถแสดงได้ด้วยจุดบนเส้นจำ นวนเช่นเดียวกับค่า π เช่น 2 , 3 , 5 , 6 เช่น 2 + (- 2 ) = 0 2 + 13 = 3.14626... เช่น 0 x 2 = 0 เช่น 2 x 2 = 2.828127... เช่น 2 x 2 = 2 2 x 3 = 6 = 2.4494... การคำ นวณการบวกและการคูณระหว่างจำ นวนอตรรกยะด้วยกันเอง หรือระหว่าง จำ นวนตรรกยะกับอตรรกยะ มีสิ่งที่น่าสนใจที่ควรทราบและระมัดระวังได้แก่ 1. จำ นวนตรรกยะบวกกับจำ นวนอตรรกยะ ผลบวกที่ได้จะต้องเป็นจำ นวนอตรรกยะ เช่น 3 + 2 = 3. 414213562... 2. จำ นวนอตรรกยะบวกกับจำ นวนอตรรกยะ ผลบวกที่ได้อาจจะเป็นจำ นวนตรรกยะหรือ จำ นวนอตรรกยะ 3. จำ นวนตรรกยะศูนย์คูณกับจำ นวนอตรรกยะ ผลคูณที่ได้จะเป็นจำ นวนตรรกยะศูนย์ 4. จำ นวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์คูณกับจำ นวนอตรรกยะผลคูณที่ได้จะเป็นจำ นวนอตรรกยะ 5. จำ นวนอตรรกยะคูณกับจำ นวนอตรรกยะ ผลคูณที่ได้อาจจะเป็นจำ นวนตรรกยะหรือ จำ นวนอตรรกยะ จำ นวนตรรกยะและจำ นวนอตรรกยะเป็นจำ นวนคนละประเภทแยกจากกันเด็ดขาด กล่าวคือ จะไม่มีจำ นวนใดที่เป็นทั้งจำ นวนตรรกยะและจำ นวนอตรรกยะพร้อมกัน จำ นวนทั้งสองประเภทรวมกันเรียกว่า จำ นวนจริง (Real Number) กล่าวคือ จำ นวนจริงจะเป็นจำ นวนตรรกยะหรือจำ นวนอตรรกยะนั่นเอง 11
สมบัติเกี่ยวกับจำ นวนตรรกยะ (Q) และจำ นวนอตรรกยะ (Q') 1. ตรรกยะ + ตรรกยะ ผลลัพธ์จะได้ตรรกยะเสมอ 2. อตรรกยะ + อตรรกยะ ผลลัพธ์จะได้ทั้งตรรกยะและอตรรกยะ ยกตัวอย่างกรณี : อตรรกยะ + อตรรกยะ แล้วได้ ตรรกยะ เช่น - 3 + 3 = 0 3. อตรรกยะ + ตรรกยะ ผลลัพธ์จะได้อตรรกยะเสมอ 4. ตรรกยะ x ตรรกยะ ผลลัธ์จะได้ตรรกยะเสมอ 5. อตรรกยะ x ตรรกยะ ผลลัพธ์จะได้ทั้งตรรกยะและอตรรกะ ยกตัวอย่างกรณี : อตรรกยะ x อตรรกยะ แล้วได้ ตรรกยะ เช่น 2 x 8 = 2x8 = 16 = 4 6. ตรรกยะ x อตรรกยะ ผลลัพธ์จะได้ทั้งตรรกยะและอตรรกยะ ที่มา: จาก https://pubhtml5.com/docu/vgyf/basic/ 12
รราากกที่ที่ที่ ที่ สที่ สที่ สององ 13
รากที่สอง (Square Root) บทนิยาม กำ หนดให้ a เป็นจำ นวนจริงบวกหรือศูนย์ รากที่สองของ a หมายถึง จำ นวนจริง b ที่ทำ ให้ b² = a ให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 7 ² = 49 และ (-7) ² = 49 รากที่สองของ 49 คือ 7 และ -7 7 เป็นรากที่สองที่เป็นบวกของ 49 - 7 เป็นรากที่สองที่เป็นลบของ 49 ตัวอย่างที่ 3 (0.4) ² = 0.16 และ (-0.4) ² = 0.16 รากที่สองของ 0.16 คือ 0.4 และ -0.4 0.4 เป็นรากที่สองที่เป็นบวกของ 0.16 -0.4 เป็นรากที่สองที่เป็นลบของ 0.16 ตัวอย่างที่ 2 15 ² = 225 และ (-15) ² = 225 รากที่สองของ 225 คือ 15 และ -15 15 เป็นรากที่สองที่เป็นบวกของ 225 - 15 เป็นรากที่สองที่เป็นลบของ 225 ตัวอย่างที่ 4 = และ = รากที่สองของ คือ และ เป็นรากที่สองที่เป็นบวกของ เป็นรากที่สองที่เป็นลบของ 1 5 1 5 1 25 1 25 1 25 1 25 1 25 1 5 1 5 1 5 รากที่สอง ถ้า a = 0 แล้ว จะมีรากที่สองของ a เพียงจำ นวนเดียว คือ 0 เท่านั้น ถ้า a > 0 แล้ว จะมีรากที่สองของ a สองจำ นวน จำ นวนหนึ่งเป็นบวก และอีกจำ นวนเป็นลบ รากที่สองของ a ที่เป็นบวก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a รากที่สองของ a ที่เป็นลบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ - a นั่นคือ ( a ) ² = a และ (- a ) ² = a 1 5 ² ² 14
การหารากที่สอง จงหารากที่สองของ 400 ตัวอย่างที่ 1 400 = 20 x 20 รากที่สองของ 400 คือ 400 = 20 x 20 = 20 และ 400 = 20 x 20 = -20 ดังนั้น รากที่สองของ 400 คือ 20 และ -20 วิธีทำ ตัวอย่างที่ 2 0.0064 = 0.08 0.08 รากที่สองของ 0.0064 คือ 0.0064 = 0.08 x 0.08 = 0.08 และ 0.0064 = 0.08 x 0.08 = -0.08 ดังนั้น รากที่สองของ 0.0064 คือ 0.08 และ -0.08 จงหารากที่สองของ 0.0064 วิธีทำ สำ หรับการหารากที่สองของจำ นวนที่มีค่ามาก ๆ สามารถใช้การแยกตัวประกอบหรือ หาจำ นวนมาหาร เพื่อจัดให้อยู่ในรูปของจำ นวนที่ยกกำ ลังสองแล้วได้เท่ากับจำ นวน ที่นำ มาหารากที่สอง ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 15
ตัวอย่าง จงหารากที่สองของ 1,296 วิธีทำ หาจำ นวนที่นำ มาหาร 1,296 จะได้ 4 1,296 4 324 9 81 9 1,296 = 4 x 4 x 9 x 9 = 4 x 9 x 4 x 9 = 36 x 36 รากที่สองของ 1,296 คือ 1,296 = 36 x 36 = 36 และ 1,296 = 36 x 36 = -36 ดังนั้น รากที่สองของ 1,296 คือ 36 และ - 36 จำ นวนบางจำ นวนไม่สามารถหาจำ นวนตรรกยะที่ยกกำ ลังสองแล้วได้เท่ากับจำ นวน ที่นำ มาหารากที่สอง ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 5 วิธีทำ เนื่องจากไม่มีจำ นวนเต็มหรือจำ นวนตรรกยะใดที่ยกกำ ลังสองแล้วได้เท่ากับ 5 รากที่สองของ 5 คือ 5 และ 5 ดังนั้น รากที่สองของ 5 คือ 5 และ 5 ตัวอย่างที่ 2 จงหารากที่สองของ 0.02 วิธีทำ เนื่องจากไม่มีทศนิยมซ้ำ ใดที่ยกกำ ลังสองแล้วได้เท่ากับ 0.02 รากที่สองของ 0.02 คือ 0.02 และ 0.02 ดังนั้น รากที่สองของ 0.02 คือ 0.02 และ 0.02 16
รราากกที่ที่ที่ ที่ สที่ สที่ สาามม 17
รากที่สาม (Cuberoot) บทนิยาม ให้ a แทนจำ นวนจริงใด ๆ รากที่สามของ a คือ จำ นวนจริงที่ ยกกำ ลังสามแล้วได้ a รากที่สามของ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∛a ³ สัญลักษณ์ ∛a ³ อ่านว่า รากที่สามของ a จากบทนิยามจะได้ ∛a ³ = a วิธีทำ เนื่องจาก 6 ³ = 216 ดังนั้น รากที่สามของ 216 คือ 6 หรือ ∛216 = 6 วิธีทำ เนื่องจากไม่มีจำ นวนเต็มหรือจำ นวนตรรกยะใดที่ ยกกำ ลังสามแล้วเท่ากับ 59 ดังนั้น จึงเขียน ∛59 แทน รากที่สามของ 49 ∛59 เป็นจำ นวนอตรรกยะ วิธีทำ เนื่องจาก (0.7) ³ = 0.343 ดังนั้น รากที่สามของ 0.343 คือ 0.7 หรือ ∛0.343 = 0.7 รากที่สาม นักเรียนสามารถหารากที่สามของจำ นวนจริงใด ๆ โดยใช้บทนิยามได้ ดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สามของ 216 ตัวอย่างที่ 2 จงหารากที่สามของ 59 ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่สามของ 0.343 18
วิธีทำ เนื่องจาก ∛-125 = ∛(-5) x (-5) x (-5) = ∛(-5) ³ = -5 ดังนั้น ∛-125 = -5 จงหารากที่สามของ 8 27 วิธีทำ เนื่องจาก ∛ = ∛ = ∛ = ดังนั้น ∛ = ³ 8 27 8 27 8 27 2 3 2 3 2 3 2 3 หมายเหตุ 1. เราสามารถหารากที่สามของ a ใด ๆ ได้ ไม่ว่า a จะเป็นจำ นวนจริงบวก จำ นวนจริงลบ หรือศูนย์ ก็ตาม 2. รากที่สามของ a มีเพียงรากเดียวเท่านั้น 3. จำ นวนจริงลบ เมื่อยกกำ ลังสามไม่เท่ากับจำ นวนบวก ยังคงได้จำ นวนลบเช่นเดิม 4. เนื่องจาก a ³ = a ³ จะได้ว่า a เป็นรากที่สามของ a ³ นั่นคือ ∛a ³ = a เมื่อ a เป็นจำ นวนจริงใด ๆ ตัวอย่างที่ 4 จงหารากที่สามของ - 125 ตัวอย่างที่ 5 X X 2 3 19
จงหาค่าของ ∛-35,937 วิธีทำ เนื่องจาก ∛27,000 = ∛3 x 3 x 3 x 10 x 10 x 10 = ∛3 x 10 x 3 x 10 x 3 x 10 = ∛(3 x 10) ³ = ∛(30) ³ = 30 ดังนั้น ∛27,000 = 30 วิธีทำ เนื่องจาก ∛-35,937 = ∛(-3) x (-3) x (-3) x 11 x 11 x 11 = ∛(-3) x 11 x (-3) x 11 x (-3) x 11 = ∛((-3)x 11) ³ = ∛(-33) ³ = -33 ดังนั้น ∛-35,937 = -33 จงหาค่าของ ∛27,000 การหารากที่สามของจำ นวนจริงใด ๆ อาจทำ ได้โดยการแยกตัวประกอบ แล้วเขียนให้อยู่ในรูปยกกำ ลังสาม แล้วหารากที่สาม ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 ตัวอย่างที่ 1 20
1.) 2.) 1.) 0.0729 2.) 1.) ∛-0.08 2.) ∛1,728 5 11 19 30 27 512 แบบฝึกหัด จำ นวนตรรกยะ 1. เขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยม (เขียนแสดงวิธีทำ ) 2. เขียนทศนิยมซ้ำ ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน (เขียนแสดงวิธีทำ ) จำ นวนอตรรกยะ 1. ข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ รากที่สอง 1. จำ นวนต่อไปนี้เป็นรากที่สองของจำ นวนใด 2. จงหารากที่สองของจำ นวนต่อไปนี้ รากที่สาม 1. จงหารากที่สามของจำ นวนต่อไปนี้ 2. จงหาค่าของจำ นวนต่อไปนี้ 1.) 0.216 2.) 17.6 3.) 0.74 4.) 2.09 1.) -9 2.) 17 1.) 529 2.) 1,521 3.) 361 4.) 1,024 1.) 1.5777… เป็นจำ นวนอตรรกยะ 2.) π เป็นจำ นวนตรรกยะ 3.) อตรรกยะ + ตรรกยะ ผลลัพธ์จะได้อตรรกยะเสมอ 4.) อตรรกยะ + อตรรกยะ ผลลัพธ์จะได้อตรรกยะเสมอ . . . . . . 21
เฉลยแบบฝึกหัด จำ นวนตรรกยะ 1. เขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยม (เขียนแสดงวิธีทำ ) 2. เขียนทศนิยมซ้ำ ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน (เขียนแสดงวิธีทำ ) จำ นวนอตรรกยะ 1. ข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ รากที่สอง 1. จำ นวนต่อไปนี้เป็นรากที่สองของจำ นวนใด 2. จงหารากที่สองของจำ นวนต่อไปนี้ รากที่สาม 1. จงหารากที่สามของจำ นวนต่อไปนี้ 2. จงหาค่าของจำ นวนต่อไปนี้ 1.) ตอบ 2.) ตอบ 3.) ตอบ 4.) ตอบ 1.) ตอบ 0.45 2.) ตอบ 0.63 1.) ตอบ 81 2.) ตอบ 289 1.) ตอบ 23 2.) ตอบ 39 3.) ตอบ 19 4.) ตอบ 32 1.) ตอบ 0.09 2.) ตอบ 1.) ตอบ -0.02 2.) ตอบ 12 1.) ตอบ เป็นเท็จ 2.) ตอบ เป็นเท็จ 3.) ตอบ เป็นจริง 4.) ตอบ เป็นเท็จ 3 8 67 90 5 7 53 3 23 11 . . . 22
บรรณานุกรม ธีรยุทธ์ อินอักษร. (2564). เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐาน ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2. โรงเรียนกสิณธรเซนต์ปีเตอร์. สถาบันพัฒนาคุณภาพวิชาการ. (2562). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ: บริษัทพัฒนาคุณภาพวิชาการ จำ กัด. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทศโนโลยี. (2566). คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 1 ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. Athometh. (2565). สรุปเนื้อหาจำ นวนจริง ม.ต้น. สืบค้นเมื่อ 28 สิงหาคม 2566 จาก https://www.athometh.com/math/real-amount/ Opendurian. (2560). สูตรเปลี่ยนทศนิยมซ้ำ ให้เป็นเศษส่วน. สืบค้นเมื่อ 28 สิงหาคม 2566. จาก https://www.opendurian.com/news/mathcirdec/ Tuenong admin. (2561).จำ นวนจริง ม.2 ( REAL NUMBER ). สืบค้นเมื่อ 28 สิงหาคม 2566. จาก https://tuenongfree.xyz/%E0%B8%88%E0% B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%88%E0% B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%87-real-number/ 23
ประวัติผู้จัดทำ ชื่อ นางสาวมนต์นภา อินทแสง ชื่อเล่น แพรวา รหัสนักศึกษา 65040140116 นักศึกษาชั้นปีที่ 2 สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี (แพรน้อย) [email protected] 2003monnapa__ 24
ความรู้รู้เรู้รู้บื้บื้อ บื้ อ บื้ งต้ต้น ต้ น ต้ เกี่กี่ย กี่ ย กี่ วกักับ กั บ กั จำจำจำจำนวนจริริง ริริ