TG_FORMELSAMMLUNG

Formelsammlung 2020 Seite 1 von 20

Version 2020

Verbesserungs- und Ergänzungswünsche an: [email protected]

Quellen:
Böge, Alfred: Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik
Bubbers, Otto: Auszüge aus der Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Mechatronik
Schultheiß, Peter: Prüfungsbuch Metall- und Maschinentechnik; Verlag Handwerk und Technik
Wellenreuther, Günter: ZPG-Mitteilungen für gewerbliche Schulen - Nr. 42 - Juli 2008

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INHALTSVERZEICHNIS
1 Steuerungstechnik

Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra ............................................................................................... 4
Notation.................................................................................................................................................... 5
Flankenoperationen .................................................................................................................................6
Zähler ........................................................................................................................................................ 6
Vergleicher................................................................................................................................................ 6
Zeitgeber (TIMER)..................................................................................................................................... 7
Multiinstanzen (TIMER) ............................................................................................................................ 8
Schrittketten: Grundregeln....................................................................................................................... 9
Initialisierung STARTSCHRITT.................................................................................................................... 9
Funktion (FC) und Funktionsbaustein (FB). ............................................................................................ 10
Darstellung von grafischen Ablauf-Funktionsplänen
Ablaufsprache DIN EN 60848 (GRAFCET) .............................................................................................. 10
Darstellung von grafischen Ablauf-Funktionsplänen
Ablaufsprache DIN EN 61131-3 .............................................................................................................. 11
Gegenüberstellung DIN EN 61131-3 und DIN EN 60848 ..................................................................... 13

2 Festigkeitslehre

Maximales Biegemoment bestimmen.................................................................................................... 15
Passfeder dimensionieren ...................................................................................................................... 16
Bolzendurchmesser bestimmen ................................... .........................................................................18

3 Getriebe

Getriebeberechnung............................................................... ...............................................................19

4 Statik

Rechnerische Ermittlungen der Resultierenden................................. ...................................................20
Richtungswinkel................................. ....................................................................................................20
Rechnerische Gleichgewichtsbedingungen............................................................................................20
Freischneiden................................. ........................................................................................................20
3-Kräfte-Verfahren................................. ................................................................................................20

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Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra

Bit-Verknüpfung Logik-Symbol Funktionstabelle Funktionsgleichung als
disjunktiven Normalform
UND E2 E1 A
00 0 A = (E2 ∧ E1)
01 0
10 0 A = (E2 ∧ E1) ∧
11 1 (E2 ∧ E1) ∧
(E2 ∧ E1)
ODER E2 E1 A
NICHT 00 0 Bei der disjunktiven
ZUWEISUNG 01 1 Normalform handelt es
10 1 sich um einen logischen
11 1 Ausdruck, der aus
ODER-Verknüpfungen
E1 A (Disjunktion) besteht.
01
10

UND / ODER Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben.

Wichtige Verknüfungsregeln: UND ≙ • ODER ≙ + ─

NICHT ≙

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Notation

Globale Variable lokale Variable
Großbuchstabe Kleinbuchstabe

In Anlehnung an die „ungarische Notation“ und der Norm IEC 61131 werden allen Variablen
bei der SPS-Programmierung
Präfixe vorangestellt, aus denen ersichtlich ist, um welchen Datentyp es sich dabei handelt.
Dabei werden Datentyp-Präfixe immer klein geschrieben, gefolgt vom eigentlichen Namen der Variablen, welche mit einem
großen Buchstaben beginnt.

Präfix-Tabelle (Auszug)

Datentyp Präfix Beispiel Bemerkung

BOOL x xStart Multiinstanz Zählerfunktion CTD
CTD ctd ctdZähler_1 Multiinstanz Zählerfunktion CTU
CTU ctu ctuZähler_2 Multiinstanz Zählerfunktion CTUD
CTUD ctud ctudZähler_3
INT i iAnzahl Multiinstanz Zeitfunktion TOF
TIME t tZeitwert Multiinstanz Zeitfunktion TON
TOF tof tofZeitglied_1 Multiinstanz Zeitfunktion TP
TON ton tonZeitglied_2
TP tp tpZeitglied_3

Die symbolischen Namen der Eingangs- und Ausgangsvariablen werden ohne Daten-Präfix in die Zuordnungsta-
belle (PLC-Variablentabelle) überführt.
Nur den Variablen, die in den Deklarationstabellen der Bausteintypen Main[OB1], Funktionen (FC), Funktionsbau-
steinen (FB) oder Datenbausteinen (DB) angelegt werden, erhalten Daten-Präfixe. Damit ist sichergestellt, dass es
zu keinen Verwechslungen mit Variablen aus der PLC-Variablentabellen kommt.
In der Programmieroberfläche TIA werden deklarierte Variablen entweder mit Anführungszeichen eingeschlossen
oder es wird das Symbol # (Hashtag, Raute) vorangestellt. Daran wird verdeutlicht, wo diese deklariert wurden.
Wird ein Baustein geschrieben, der eine generelle Funktion hat (z. B. “HONEINHEIT“), ist es sinnvoll, die Variab-
len in diesem Baustein allgemein zu benennen. Wird dieser Baustein in einer Bibliothek abgelegt, kann die
Funktion des Eingangs- bzw. Ausgangsvariablen direkt abgeleitet werden.

Beispiele:

Zuordnungstabelle Deklarationstabelle

-SF1 Taster NOT-AUS xNOT_AUS

-BG1 Sensor hintere Endlage xZylinder1_ist_hinten

-BG2 Sensor vordere Endlage xZylinder1_ist_vorne

ZÄHLERSTAND Zählerstand iZählerstand

-MB1 Ventilmagnet 1 xVentilmagnet1

Aufruf des Bausteins FB1 “HONEINHEIT“ im
MAIN [OB1]

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Flankenoperationen

TIA Portal

ZÄHLER

Rückwärtszähler IEC CTD Am Ladeeingang PV wird der Vorgabezählwert vom Datentyp
INT eingegeben.
CD Flankengesteuerter rückwärts Zähleingang Wechselt der Signalzustand am Ladeeingang LD von „0“ auf "1"
LD Statischer Ladeeingang, um den Zählstand (positive Flanke), wird der aktuelle Zählerstand CV auf den
Vorgabezählwert PV gesetzt.
auf PV zu setzen CV = PV Wenn der Signalzustand des Operanden am flankengesteuer-
PV Vorgabezählwert (Preset Value) für Ladeein- ten Rückwärtszähleingang CD von "0" auf "1" wechselt, wird die
Anweisung "Rückwärts zählen" ausgeführt und der Wert am
gang Ausgang CV um eins verringert. Bei jeder weiteren positiven
CV Aktueller Zählstand (Current Value) Signalflanke wird der Wert weiter verringert, bis der untere
Q Ausgang .Q = 1, falls CV ≤ 0 Grenzwert erreicht ist.
Der Ausgang Q liefert den Signalzustand "1", wenn der aktuelle
Zählwert CV kleiner gleich Null ist.
In allen anderen Fällen führt der Ausgang den Signalzustand
"0".

Vergleicher

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Zeitglieder – IEC TIMER

Gemäß der Programmiernorm 61131-3 wurden drei Zeitfunktionen festgelegt:

Funktionsbaustein Einschaltverzögerung TON Timer ON-Delay

Funktionsbaustein Ausschaltverzögerung TOF Timer OFF-Delay

Funktionsbaustein Impuls TP Timer Puls

TON (Timer on) – Einschaltverzögerung Mit dieser Zeitfunktion wird das Ein-
schalten eines Signals verzögert.
Impulsdiagramm TON-Timer: Die Operation „TON“ wird gestartet,
wenn das Eingangssignal „IN“ von „0"
Erst wenn die Zeitdauer PT abgelaufen ist, auf „1" wechselt (positive Signalflanke).
liefert der Ausgang Q den Signalzustand „1" Mit dem Start der Anweisung läuft die
und der Ausgang Q bleibt so lange gesetzt, programmierte Vorgabezeit „PT“ ab.
wie der Starteingang die „1" führt. Wenn die Vorgabezeit „PT“ abgelaufen
ist, liefert der Ausgang „Q“ den Signal-
TOF (Timer off) – Ausschaltverzögerung zustand „1".
Der Ausgang „Q“ bleibt so lange gesetzt,
Impulsdiagramm TOF-Timer: wie der Starteingang „IN“ die „1" führt.
Wenn der Signalzustand am
Erst wenn der Signalzustand am Eingang IN Starteingang von „1" auf „0" wechselt,
wieder auf „0" wechselt (negative wird der Ausgang „Q“ zurückgesetzt. Die
Signalflanke), läuft die parametrierte Zeitfunktion wird wieder gestartet,
Zeitdauer PT ab und der Ausgang Q bleibt wenn eine neue positive Signalflanke am
gesetzt, solange die Zeitdauer PT läuft. Starteingang erfasst wird.

TP (Timer Pulse) – Impulstimer Mit dieser Zeitfunktion das Ausschalten
eines Signals verzögert.
Impulsdiagramm TP-Timer: Der Ausgang „Q“ wird gesetzt, wenn das
Signal am Eingang „IN“ von „0" auf „1"
wechselt (positive Signalflanke).
Wenn der Signalzustand am Eingang
„IN“ wieder auf „0" wechselt (negative
Signalflanke), läuft die programmierte
Vorgabezeit „PT“ ab. Der Ausgang „Q“
bleibt gesetzt, solange die programmier-
te Vorgabezeit „PT“ läuft.
Nach dem Ablauf der programmierten
Vorgabezeit „PT“ wird der Ausgang „Q“
zurückgesetzt.
Falls der Signalzustand am Eingang „IN“
auf „1" wechselt, bevor die program-
mierte Vorgabezeit „PT“ abgelaufen ist,
wird die Zeit zurückgesetzt. Der Signal-
zustand am Ausgang „Q“ bleibt weiter-
hin auf „1" gesetzt.

Die Zeitfunktion nennt man Impuls.
Der Impuls wird mit einer positiven
Flanke am Setzeingang „IN“ gesetzt.

Gibt es am Eingang „IN“ einen Wechsel
von „0" auf „1" (positive Flanke), so wird
am Ausgang „Q“ für die am Eingang PT
eingestellte Vorgabezeit eine „1“ ausge-
geben.

Der Ausgang Q wird für die Zeitdauer PT ge- Weitere Wechsel des Eingangs von
setzt und ein Signalzustandswechsel am Ein- „0“ nach „1“ haben während des Ab-
gang IN innerhalb der ablaufenden Zeitdauer laufs der Vorgabezeit „PT“, keine Aus-
PT hat keinen Einfluss auf die ablaufende wirkung auf das Ausgangssignal am Aus-
Zeitdauer PT. gang „Q“.

Beschreibung der Ein- und Ausgangsvariablen:

IN Eingang BOOL Start des Timers

PT Preset Time TIME Vorgabezeit, z. B.: T#1s #tVorgabezeit
#tVerstricheneZeit
ET Elapsed Time TIME verstrichene Zeit

Q Ausgang BOOL Zeitstatus-Bit

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Multiinstanzen

Mit Multiinstanzen können aufgerufene Funktionsbausteine, ihre Daten in den Instanz-Datenbaustein
des aufrufenden Funktionsbausteins ablegen. D.h. wenn in einem Funktionsbaustein ein weiterer Funk-
tionsbaustein aufgerufen wird, speichert dieser seine Daten im Instanz-DB des übergeordneten FBs.
Folgende Abbildung zeigt einen FB, der einen weiteren FB („IEC-Timer“) nutzt. Alle Daten werden in ei-
nem Multiinstanz-DB gespeichert.

Vorteile

• Wiederverwendbarkeit
• Mehrfachaufrufe sind möglich
• Übersichtlicheres Programm mit weniger Instanz-DBs
• Einfacheres Kopieren von Programmen
• Gute Strukturierungsmöglichkeiten bei der Programmierung
• Zugriff auf die „inneren“ Elemente einer Instanz über die Punktschreibweise möglich

Multiinstanz eines Timerobjekts (mit Deklarationstabelle)

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Schrittketten: Grundregeln

• Beim Setzen eines Schrittes wird dieser aktiv geschaltet, die Variable hat den Wert true, die zugeordnete
Aktion wird ausgeführt.

• Rücksetzen eines Schrittes schaltet diesen inaktiv, die Variable hat den Wert false, die zugeordnete Aktion wird
nicht ausgeführt.

• Bei der Aktivierung einer Schrittkette wird der Initial-
schritt und nur dieser gesetzt.

• Alle anderen Schritte werden gesetzt, wenn der vor-
hergehende Schritt (#xSchritt_n-1) aktiv und die Wei-
terschaltbedingungen (Transitionen zwischen
(#xSchritt_n-1 und #xSchritt_n) erfüllt sind.

• Ein Schritt wird zurückgesetzt, wenn der nachfolgende
Schritt (#xSchritt_n+1) gesetzt wird.

Initialisierung des Startschritts

Grundsätzlich muss sich beim Einschalten der Steuerung die Anlage in ihrer Grundstellung befinden.
Außerdem muss gesichert sein, dass nur der erste Schritt (Initialschritt) in der Schrittkette aktiv ist.

TIA: Im Schrittketten-Funktionsbaustein FB wird in
der lokalen Deklarationstabelle der Anfangsschritt =
Initial-Schritt (hier xSchritt_1) auf den Anfangswert
„true“ eingestellt.
Damit entfällt das externe Setzen des Initialschrittes
(siehe Richtimpuls unten).

Der Initialschritt kann auch durch den Richtimpuls oder durch die
Abfrage der Grundstellung gesetzt werden.
RICHTIMULS (hier z. B. mit Merker M20.0 erzeugt)

Der Anfangsschritt = Initialschritt wird in
manchen SPS-Programmen auch durch
einen Taster, z. B. „SF_Reset“, durch
ODER-Verknüpfung am S-Eingang gesetzt.
Alle anderen Schritte werden dann meist
durch ODER-Verknüpfung am R1-Eingang
zurückgesetzt.

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Funktion (FC) und Funktionsbaustein (FB)

Der Unterschied der beiden Bausteine besteht im Speicherverhalten.

Funktionsbausteine (FBs) sind, wie die Funktionen (FCs) in der SPS, Unterprogramme.

Die Funktionsbausteine stellen eine Erweiterung von Funktionen dar.

Im Gegensatz zur Funktion (FC), besitzt der Funktionsbaustein (FB) einen eigenen Instanzdatenbaustein, ein

„Gedächtnis“.

Somit bleiben alle bei der Bearbeitung des Funktionsbausteins ermittelten Werte der Ausgangs- und Zustands-

variablen bis zur erneuten Bearbeitung des Funktionsbausteins erhalten.

Der Vorteil eines FCs ist, dass er keinen Instanzdatenbaustein (DB) benötigt und dadurch sich die Zykluszeit ver-

kürzt.

Aufruf eines FC im OB Aufruf eines FB im OB

Darstellung von grafischen Ablauf-Funktionsplänen

Nach DIN EN 60848 (GRAFCET) oder DIN EN 61131-3 (FUNKTIONSABLAUFPLAN)

Ablaufsprache DIN EN 60848 GRAFCET

Siehe Tabellenbuch.

Positive Flanke
Der in der Aktion beschriebenen Variablen „-MB1“ wird nur dann der ange-
gebene Wert zugewiesen, wenn der Schritt aktiv ist und das Ereignis eine
steigende Flanke aufweist.
Das nach links gerichtete Fähnchen zeigt an, dass die Aktion erst bei Eintre-
ten eines Ereignisses speichernd ausgeführt wird. Der Pfeil nach oben vor
„-BG1“ zeigt an, dass die steigende Flanke von „-BG1“ ausgewertet wird.
Die Variable „-MB1“ behält so lange den Wert 1, bis sie durch eine andere Aktion überschrieben wird.

Zeitbegrenzte Aktion (L-Befehl)
Bringt man über eine verzögerte Aktion einen
Negationsstrich an, so erhält man eine zeitbe-
grenzte Aktion:
Nachdem Schritt 3 aktiv wurde, erhält der
Ventilmagnet „-MB1“ für 2 s den Wert 1.
Erst danach stellt die Feder das Ventil „-QM1“
zurück und der Zylinder fährt ein.

Die gleiche Wirkung wird im GRAFCET erzielt,
wenn die Transition, hier „-BG2“, verzögert
wird:
Hat der Zylinder „-MM1“ seine vordere Endlage
(„-BG2“) erreicht, wird 2 s gewartet, bevor die
Transition „-BG2“ aktiv wird. Der Zylinder fährt
im Leer-Schritt 3 ein.

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Ablaufsprache DIN EN 61131-3

Befehlsarten

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Gegenüberstellung der unterschiedlichen Darstellungen der wichtigsten Aktionen der
Normen DIN EN 61131-3 (Funktionsablaufplan) und DIN EN 60848 (GRAFCET)

Quelle: Günter Wellenreuther, ZPG-Mitteilungen für gewerbliche Schulen - Nr. 42 - Juli 2008

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2 Festigkeitslehre

Maximales Biegemoment grafisch oder rechnerisch bestimmen

Seite 16 von 20 Formelsammlung 2020

Welle-Nabe-Verbindungen Passfederverbindungen

Kritische Elemente:

Passfeder: Flächenpressung und Scherspannung (Schubspannung)

Nabe: Flächenpressung

Welle: Flächenpressung

MtWelle Torsionsmoment Welle
FU Umfangskraft
h Höhe der Passfeder

t1 Wellennutentiefe
t2 Nabennutentiefe
b Breite der Passfeder

d Wellendurchmesser

Umfangskraft: ∙ ! MtN∙abe = MtWelle
"

Flächenpressung:
∙

Merke: A ist die Fläche senkrecht zur Kraft (projizierte Fläche)

Scherspannung:

∙

ltr tragende Länge der Passfeder
Form A: rundstirnig: ltr = l – 2r = l – b
Form B: rechteckig: ltr = l