ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน

ดอกเบี้ยบี้และมูล มูค่า ค่ ของเงิน งิ Math จัดทำ โดย นาย ชุติพนธ์ กรุมรัมย์ เลขที่ 5 นาย กิตติกร แผ่นสุวรรณ เลขที่ 8 นาย ธีรโชติ สกุลรัตน์ เลขที่ 12 Srinagarindra The Princess Mother School, Phuket ชั้นมัทธยมศึกษาปีที่ 5

คำ นำ สมุด E-book เล่มนี้จัดทำ ขึ้นเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นมัทธยม ศึกาาปีที่ 5 เพื่อให้ได้ศึกษาหาความรู้ในเรื่องดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน และได้ ศึกษาอย่างเข้าใจเพื่อเป็นประโยชน์กับการเรียน นำ ไปสู้การต่อยอดต่อไป กระผมผู้จัดทำ หวังว่า รายงานเล่มนี้จะเป็นประโยชน์กับผู้อ่าน หรือนักเรียน นักศึกษา ที่กำ ลังหาข้อมูลเรื่องนี้อยู่ หากมีข้อแนะนำ หรือข้อผิดพลาดประการใด ผู้จัด ทำ ขอน้อมรับไว้และขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย ผู้จัดทำ นาย ชุติพนธิ์ กรุมรัมย์ นาย กิตติกร แผ่นสุวรรณ นาย ธีรโชติ สกุลรัตน์

สารบัญ เรื่อง หน้า หน้าปก คำ นำ สารบัญ ความรู้ที่ 1 เรื่องดอกเบี้ยคงต้น ความรู้ที่ 2 เรื่อง ดอกเบี้ยทบต้น ความรู้ที่ 3 เรื่อง มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต ความรู้ที่ 4 เรื่อง ค่างวด 1 2 3 4-6 7-9 10-11 12-13

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน A = P(1 + rt) A แทน จำ นวนเงินต้นพร้อมดอกเบี้ย P แทน เงินต้น r แทน อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี t แทน จำ นวนปีที่ เมื่อ ตัวอย่างท่ี 1 บริษัทกู้เงินจากธนาคารจํานวน 900,000 บาท โดยจะต้องจ่ายดอกเบี้ยเงินกู้แบบ คงต้น 8.5% ต่อปี ถ้าธนาคารยอมให้บริษัทยังไม่ต้องจ่ายดอกเบี้ย โดยให้ผ่อนชําระเงินต้นอย่าง เดียว แต่ต้องจ่ายดอกเบี้ยดังกล่าวเมื่อครบ 2 ปี 6 เดือน อยากทราบว่า บริษัทแห่งนี้จะต้องจ่าย ดอกเบี้ยเงินกู้เท่าใด เมื่อครบกําหนด วิธีทํา จากโจทย์กําหนดสมการการคํานวณอัตราดอกเบ้ียเงินกู้ ดังนี้ A = P(1 + rt) และจากโจทย์จะทราบว่า P แทนเงินต้นคือ 900,000 r แทน อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี นั่นคือ 0.085 t แทน จํานวนปีนั่นคือ 2.5 จากสูตรจะได้ A = P(1 + rt) = 900,000(1 + (0.085)(2.5)) = 900,000(1.2125) = 1,091,290 บาท ตอบ ดังนั้น จํานวนดอกเบี้ย ที่ต้องจ่ายกับธนาคารเมื่อครบ 2 ปี 6 เดือน คือ 1,091,290 - 900,000 เทา่กับ191,250บาท ความรู้ที่ 1 เรื่องดอกเบี้ยคงต้น อาจจะเรียกอีกอย่างว่าดอกเบี้ยเชิงเดียว ก็ได้ ความหมายของดอกเบี้ยคงต้นคือ ดอกเบี้ยที่กำ หนดให้เงินต้นมีค่าคงที่ตลอดระยะเวลาของการฝากเงินหรือการกู้ยืมเงิน ซึ่ง ดอกเบี้ยดังกล่าวจะมีค่าเท่ากันทุกปี โดยสามารถคำ นวณได้จาก ต่อไปนี้

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 1. แอ๋มกู้เงินบีมมา 13,000 บาท คิดอัตราดอกเบี้ย 5% ต่อปี กู้มา 5 ปี แอ๋มต้องคืน เงินให้กับบีมเท่าไร วิธีทํา A = P(1 + rt) P แทน เงินต้นคือ 13,000 r แทน อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี นั่นคือ 0.05 t แทน จํานวนปีนั่นคือ 5 จากสูตรจะได้ A = P(1 + rt) = 13,000(1 + (0.05)(5)) = 13,000(1.25) = 16,250 บาท ตอบ แอ๋มต้องคืนเงินให้กับบีม คือ 16,250 บาท 2. อิมฝากเงินไว้กับธนาคาร 400,000 บาท ธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 3.5 ฝาก ไว้นาน 3 ปีครึ่งจึงปิดบัญชี อิมได้เงินรวมทั้งหมดเท่าไร วิธีทํา A = P(1 + rt) P แทน เงินต้นคือ 400,000 r แทน อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี นั่นคือ 0.035 t แทน จํานวนปีนั่นคือ 3 จากสูตรจะได้ A = P(1 + rt) = 400,000(1 + (0.035)(3)) = 400,000(1.105) = 442,000 บาท ตอบ อิมได้เงินรวมทั้งหมด คือ 442,000 บาท 3. เก๊ฝากเงินกับธนาคารเป็นจำ นวนเงิน 106,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 0.15% ต่อ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบคงต้น เมื่อสิ้นปีที่ 2 เก๊จะได้รับดอกเบี้ยเป็นจำ นวนเงินเท่าใด วิธีทํา A = P(1 + rt) P แทน เงินต้นคือ 106,000 r แทน อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี นั่นคือ 0.0015 t แทน จํานวนปีนั่นคือ 2 จากสูตรจะได้ A = P(1 + rt) = 106,000(1 + (0.0015)(2)) = 106,000(1.003) = 106,318 บาท ตอบ เขียวจะได้รับดอกเบี้ยเป็นจำ นวนเงินทั้งหมด คือ 106,318 บาท เขียวจะได้รับดอกเบี้ยเป็นจำ นวนเงิน คือ 318 บาท

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 4) แดงต้องการเงินไปลงทุนทำ ธุรกิจ จึงกู้เงินธนาคารเป็นเงิน 150,000 บาท เมื่อวัน ที่ 1 มีนาคม 2561 โดยมีกำ หนดชำ ระในวันที่ 17 กุมภาพันธ์ 2562 และธนาคารคิด ดอกเบี้ยแบบคงต้นในอัตรา 8% ต่อปี แดงจะต้องจ่ายดอกเบี้ยแบบธรรมดา และนับ จำ นวนวันแบบแท้จริงเป็นเงินเท่าไร วิธีทํา A = P(1 + rt) P แทน เงินต้นคือ 150,000 r แทน อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี นั่นคือ 0.08 t แทน จํานวนปีนั่นคือ 354 = 0.98 จากสูตรจะได้ A = P(1 + rt) = 150,000(1 + (0.08)(0.98)) = 150,000(1.0784) = 161,760 บาท ตอบ แดงจะต้องจ่ายดอกเบี้ยแบบธรรมดา และนับจำ นวนวันแบบ แท้จริงเป็นเงิน 11,760 บาท ซึ่งถ้าเราลองนับจำ นวนวันดู ตั้งแต่วันที่ 1 มีนาคม 2561 จนถึง 17 กุมภาพันธ์ 2562 มีจำ นวนวันทั้งสิ้น 354 วัน _ 360

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน ความรู้ที่ 2 เรื่อง ดอกเบี้ยทบต้น ดอกเบี้ยทบต้น เราได้เรียนดอกเบี้ยคงต้นไปแล้ววันนี้เรามารู้จักความหมายของดอกเบี้ย ทบต้นกันดีกว่าครับว่าแตกต่างจากดอกเบี้ยดอกเบี้ยคงต้น สมมติผมไปฝากเงินในธนาคาร แห่งหนึ่ง 200 บาท ธนาคารให้ดอกเบี่ยร้อยละ 2 ต่อปี ผ่านไปหนึ่งปีผมก็จะได้ดอกเบี้ย จากเงินฝากนี้จำ นวน 4 บาท แสดงว่าตอนนี้ผมมีเงินรวมในบัญชี 204 บาท ในปีถัดไปใน การคำ นวณหาดอกเบี้ย ถ้าเป็นดอกเบี้ยแบบคงต้นก็จะนำ เงินต้นตอนแรกมาคำ นวณหาดอกเบี้ยคือนำ เงิน 200 บาทมาคำ นวณหาดอกเบี้ยต่อ ถ้าเป็นดอกเบี้ยแบบทบต้นก็จะนำ เงินที่เกิดจากการรวมกับดอกเบี้ยก่อนหน้านั้นก็คือ 206 บาทมาคำ นวณหาดอกเบี้ยในปีถัดไปต่อ นี้คือข้อแตกต่างของของดอกเบี้ยแบบคงต้น กับดอกเบี้ยแบบทบต้น ความหมายของดอกเบี้ยทบต้น ดอกเบี้ยทบต้น(Compound Interest) คือ ดอกเบี้ยที่กำ หนดให้มีการนำ เอา ดอกเบี้ยที่เกิดขี้นในแต่ละครั้งที่มีการคิดดอกเบี้ยไปรวมกับเงินต้น เพื่อนำ มาเป็นเงินต้นของ งวดถัดไป โดยสามารถคำ นวณได้จากสูตร

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน โดยที่ A หมายถึง เงินรวมแบบดอกเบี้ยทบต้น P หมายถึง เงินต้น i หมายถึง อัตราดอกเบี้ยต่อปี n หมายถึง จำ นวนปี k หมายถึง จำ นวนครั้งที่คิดดอกเบี้ยทบต้นใน 1 ปี การคำ นวณอัตราดอกเบี้ยทบต้น ถ้าเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น P บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย i % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ย แบบทบต้น ปีละ k ครั้ง แล้วเมื่อฝากเงินครบ n ปี จะได้ เงินรวม A = P บาท เมื่อ r = ความรู้ที่ 2 เรื่อง ดอกเบี้ยทบต้น _i 100 ตัวอย่างที่ 2 ฝากเงิน 100,000 บาท ได้ดอกเบี้ย 3 % ต่อปี จงหาว่าเมื่อฝากเงินครบ 3 ปี จะได้รับเงินรวมเท่าใด ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยทบต้นปีละครั้ง วิธีทำ จากโจทย์กําหนดสมการการคํานวณอัตราดอกเบ้ียเงินกู้ ดังนี้ A = P และจากโจทย์จะทราบว่า P = 100,000 k = 1 n = 3 r = 0.03 จากสูตรจะได้ A = 100,000(1 + 0.03) = 100,000(1.03) ≈ 100,000(1.092727) ≈ 109,272.70 บาท ตอบ ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 3 ปี จะได้รับเงินรวมประมาณ 109,272.70 บาท ( 1 + ) _r k kn ( 1 + ) _r k kn 3 3

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 1. บาสกู้เงินธนาคาร 10,000 บาท โดยธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 8 โดยธนาคารคิด ทบต้นทุกครึ่งปีถ้ ปี ถ้ าบาสกู้เงินนาน 3 ปี บาสจะเสียดอกเบี้ยให้กับธนาคารเท่าไร P = 10,000 , k = 2 , n = 3 , r = 0.08 ตอบ เมื่อฝากเงินครบ 3 ปี บาสจะเสียดอกเบี้ยให้กับธนาคาร 2,653.19 บาท วิธีทํา A = 10,000(1 + 0.08/2) = 10,000(1.04) ≈ 10,000(1.265319) ≈ 12,653.19 บาท ≈ 2,653.19 6 6 2.อาร์มฝากเงินไว้กับธนาคาร 150,000 บาท ธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย 12% โดยธนาคารคิด ดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน ถ้าอาร์มฝากครบ 4 ปี อาร์มจะได้รับเงินรวมทั้งหมดเท่าไร P = 150,000 , k = 4 , n = 4 , r = 0.12 ตอบ อาร์มจะได้รับเงินรวมทั้งหมด 240,706.5 บาท วิธีทํา A = 150,000(1 + 0.12/4) = 150,000(1.03) ≈ 150,000(1.60471) ≈ 240,706.5 บาท 16 16 3.โอมฝากเงินไว้กับธนาคารจำ นวน ุ60,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1.8% ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 4 เดือน เมื่อสิ้นปีที่ 2 โอมมีเงินพร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดเท่าไร P = 60,000 , k = 3 , n = 2 , r = 0.018 ตอบ เมื่อสิ้นปีที่ 2 โอมมีเงินพร้อมดอกเบี้ยทั้งหมด 2,192.66 บาท วิธีทํา A = 60,000(1+0.018/3) = 60,000(1.006) ≈ 60,000(1.03654) ≈ 62,192.66 บาท 6 6

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน ถ้าลงทุน P บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย i % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละ k ครั้ง เป็นเวลา n ปี กำ หนดให้ r = แล้วเมื่อครบ n ปี เงินรวมที่ได้ คือ S = P บาท เรียก S ว่า มูลค่าอนาคตของเงินต้น P ในทางกลับกัน จะ เรียก P ว่า มูลค่าปัจจุบันของเงินรวม S ดังนั้น มูลค่าปัจจุบัน P ของเงินรวม S คือ P = S บาท _i 100 ( 1 + ) _r k kn ( 1 + ) _r k -kn ตัวอย่างที่ 3 สุนีฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง ดอกเบี้ย 5 % ต่อปี ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยทบ ต้นทุก 6 เดือน ถ้าต้องการให้มีเงินในบัญชีประมาณ 200,000 บาท ในเวลา 10 ปี สุนีต้องฝากเงิน ต้นไว้อย่างน้อยเท่าใด วิธีทำ ให้ S = 200,000 , k = 2 , n = 10 และ r = 0.05 จะได้ P = 200,000 = 200,000 (1.025)-20 ≈ 122,054.19 บาท ตอบ ดังนั้น สุนีควรนำ เงินต้นไปฝากไว้อย่างน้อย 122,054.19 บาท ความรู้ที่ 3 เรื่อง มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต เมื่อเวลาผ่านไปค่าของเงินก็เปลี่ยนไปตามปัจจัยที่มากระทบ อัตราเงินเฟ้อเป็นปัจจัยพื้น ฐานที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ซึ่งมูลค่าของเงินจะลดลงตามอัตราเงินเฟ้อ มูลค่าเงินตามเวลา (time value of money) เป็นปัจจัยหนึ่งของการตัดสินใจในการลงทุน โดยมูลค่าของเงินนั้นขึ้นอยู่ กับปัจจัย 2 ประการ ได้แก่ ระยะเวลา และอัตราดอกเบี้ย และมูลค่าเงินตามกาลเวลาเกี่ยวข้อง กับแนวความคิดพื้นฐานสองกลุ่ม คือ มูลค่าเงินในปัจจุบันและมูลค่าเงินในอนาคต การคำ นวณมูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 1. อุ้มกู้เงินจากธนาคารแห่งหนึ่ง โดยคิดดอกเบี้ย 3.5 % ต่อปี ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย ทบต้นทุก 6 เดือน ถ้าอุ้มต้องการให้มีเงินในบัญชีประมาณ 800,000 บาท ในเวลา 6 ปี อุ้มต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อยเท่าใด วิธีทํา s = 800,000 , k = 2 , n = 6 , r = 0.035 P = 800,000(1 + 0.035) = 800,000(1.0175) ≈ 800,000(0.812058) ≈ 649,646.4 บาท -2(6) ____ 2 -12 ตอบ อุ้มต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อย 649,646.4 บาท 2. โอ๊ตฝากเงินไว้กับเบล 3 ปี โดยเบลคิดอัตราดอกเบี้ย 12% โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 4 เดือน โอ๊ตถอนได้รับเงินทั้งสิ้น 49,700 อยากทราบว่าโอ๊ตฝากเงินไว้เท่าไร วิธีทํา S = 49,700 , k = 3 , n = 3 , r = 0.12 P = 49,700( 1 + 0.12 ) = 49,700(1.04) ≈ 49,700(0.702587) ≈ 34,918.57 บาท -3(3) ___ 3 -9 ตอบ โอ๊ตฝากเงินไว้ 34,918.57 บาท

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน ความรู้ที่ 4 เรื่อง ค่างวด การหาเงินรวมของค่างวดทั้งหมด ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด การรับหรือจ่ายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน R บาท ซึ่งเริ่มรับหรือจ่ายเงินตอนต้นงวด รวมทั้งหมด n งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น i % ให้ r = จะได้ เงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ n คือ R(1 + r)(1 - (1+ r) ) หรือเท่ากับ R(1 + r)((1+ r)- 1) ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด การรับหรือจ่ายเงินแต่ละงวดโดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน R บาท ซึ่งเริ่มรับหรือจ่ายเงินตอนสิ้นงวด รวมทั้งหมด nงวดและอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น i % ให้ r = จะได้ เงินรวมเมื่อสิ้นงวดที่ n คือ R(1 + r)(1 - (1+ r) ) หรือเท่ากับ R((1+ r) - 1) _i n 100 1 - (1+ r) n r _i 100 1 - (1+ r) n n r ตัวอย่าง อันดาฝากเงิน 200 เข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดือน เป็นเวลา 3 ปี และได้รับดอกเบี้ย 6 % ต่อปี ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน เมื่อสิ้นปีที่ 3 อันดาจะได้รับเงินรวมเท่าใด วิธีทำ ให้ R = 200, n = 36. i = _6 = 0.5 และ r = 0.5 = 0.005 12 _ 100 จะได้ เงินรวม 200(1 .005)(1 - (1.005)^36 ) = 201((1.005)^36- 1) ≈ 7,906.56 บาท ตอบ ดังนั้น เมื่อสิ้นปีที่ 3อันดาจะได้รับเงินรวมประมาณ 7,906.56 บาท 1 - (1.005) 0.005

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 1. สุดกู้เงินนอกระบบมา 150,000 บาท อัตราดอกเบี้ย 10 % ต่อปี ต้องการผ่อนชำ ระคืน 48 เดือนโดยผ่อน ชำ ระคืนทุกสิ้นเดือนละเท่า ๆ กันรวมเงินต้นและดอกเบี้ย สุดจะต้องชำ ระคืน เดือนละเท่าไร วิธีทํา 150,000 = R(1 + (1.0083)^48 - 1) 150,000 = R(1.0083)^-3 (1-(1.0083))^-48 R ≈ 3,801.57 บาท ตอบ สุดจะต้องชำ ระคืนเดือนละ 3,801.57 บาท (1.0083) 1-(1.0083)^-1 2. ปิ๊กซื้อรถมอเตอร์ไซค์ราคา 40,000 บาท โดยทางร้านคิดดอกเบี้ยร้อยละ 6.5 ปิ๊กต้องการ ผ่อนชำ ระคืน 5 ปี โดยผ่อนชำ ระคืนทุกต้นเดือนละเท่า ๆ กันรวมเงินต้นและดอกเบี้ย ปิ๊กจะต้อง จ่ายค่ารถให้กับ ทางร้านเดือนละเท่าไร วิธีทํา 40,000 = R(1 + (1.0083)^-60 ) R ≈ 778.07 บาท ตอบ ปิ๊กจะต้องจ่ายค่ารถให้กับทางร้านเดือนละ 778.07 บาท 1-(1.0083)-1