Grup Siklik

E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

ELEKTRONIK MODUL (E- MODUL)
GRUP SIKLIK

DISUSUN OLEH:

KELOMPOK 2

1. Agnes Alfi Khairuni Sirait (4181111013)

2. Hendrawan Purba (4183111073)

3. Nabila Kyosifa (4183311003)

4. Nova Yulisa Putri (4181111018)

DOSEN PENGAMPU : Sri Lestari Manurung, S.Pd., M,Pd.

MATA KULIAH : Struktur Aljabar

KELAS : PSPM C 2018

Page1 PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2021

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page2 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah memberikan rahmat
dan karunia-Nya serta kesehatan, sehingga dapat menyelesaikan tugas rekayasa
ide untuk membuat elektronik modul ini. Tugas ini di buat untuk memenuhi salah
satu tugas mata kuliah “Stuktur Aljabar”.

Tugas E- Modul ini disusun dengan harapan dapat menambah pengetahuan
dan wawasan kita semua. Penulis menyadari bahwa tugas E-modul ini masih jauh
dari kesempurnaan, apabila dalam tugas ini terdapat banyak kekurangan dan
kesalahan, penulis mohon maaf karena sesungguhnya pengetahuan dan pemahaman
yang masih dalam proses pembelajaran.

Terima kasih kepada Ibu Sri Lestari Manurung, S.Pd., M,Pd. selaku dosen
pengampu mata kuliah Struktur Aljabar yang telah memberikan tugas rekayasa
ide ini, penulis sangat menantikan saran dan kritik dari pembaca yang sifatnya
membangun guna menyempurnakan tugas ini. Penulis berharap semoga tugas E-
Modul ini dapat bermanfaat bagi pembaca, atas perhatiannya penulis
mengucapkan terima kasih.

Medan, 25 April 2021

Kelompok 2

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page3 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

GRUP SIKLIK

1.1. Definisi 1
Misalkan G grup dengan operasi *, a, b  G dan n, m 

Maka :

i. a m  a . a . a . . . . a (sebanyak m faktor)

ii. a m  a n  a mn

   iii. an  an 1  a1 n

iv. a 0  e (Unsur Identitas)

1.2. Definisi 2
 Terhadap Penjumlahan

Grup G (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a ∈ G sedemikian
hingga G ={na | n ∈ Z}. Selanjutnya a disebut generator
(pembangun) G, dinotasikan G = < > .

 Terhadap Perkalian
Grup G (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a ∈ G sedemikian
hingga G ={an | n ∈ Z}. Selanjutnya a disebut generator
(pembangun) G, dinotasikan G = < > .

Contoh 1 :

Diketahui 8 adalah grup terhadap operasi penjumlahan. Buktikan
bahwa 8 adalah grup siklik.
Diketahui: 8 = *0,1,2,3,4,5,6,7+
Ditanya : apakah 8 adalah grup siklik
Jawab:
8 = *0,1,2,3,4,5,6,7+

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page4 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

= * | ∈ +
0 = * (0)| ∈ +

= *… , 0.0, 1.0, 2.0 … +
= *0+
1 = * (1)| ∈ +
= *… , 0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1 … +
= * , , , , , , , +
2 = * (2)| ∈ +
= *… , 0.2, 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, … +
= *0.2,4,6, +
3 = * (3)| ∈ +
= *… , 0.3, 1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3 … +
= * , , , , , , , , +
4 = * (4)| ∈ +
= *… , 0.4, 1.4, 2.4, … +
= *0,4+
5 = * (5)| ∈ +
= *… , 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5 … +
= *0, 5, 2,7, 4, 1, 6, 3+
6 = * (6)| ∈ +
= *… , 0.6, 1.6, 2.6, 3.6, 4.6, … +
= *0,6,4, 2, +
7 = * (7)| ∈ +
= *… , 0.7, 1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7 … +
= * , , , , , , , +

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page5 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

Karena terdapat = yaitu 1,3,5, dan 7 maka 8 adalah grup
siklik
Contoh 2 :
Diketahui U(10)={1, 3, 7, 9} adalah grup terhadap operasi perkalian.
Buktikan bahwa U(10) adalah grup siklik.
Diketahui: U(10)={1, 3, 7, 9}
Ditanya : apakah U(10) adalah grup siklik
Jawab:
U(10)={1, 3, 7, 9}
G ={an | n ∈ Z}.
1 = {1n | n ∈ Z}.

= {…,10, 11, 13,…}
= *1+
3 = {3n | n ∈ Z}.
= {…30, 31,.32,33…}
= * , , , +
7 = {7n | n ∈ Z}.
= {…70, 71,.72,73…}
= * , , , , +
9 = {9n | n ∈ Z}.
= {…90, 91,.92,93…}
= *1, 9+

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page6 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

Karena terdapat = yaitu 3, dan 7 maka U(10) adalah grup
siklik
1.3. Definisi 3

( ,∗) adalah suatu grup dan ∈ , generator yang membangun
suatu subgroup dinamakan subgroup siklik dari ( ,∗).
Jadi yang dimaksud dengan subgroup siklik yaitu suatu subgroup
yang dibangkitkan oleh suatu unsur.
Contoh :
Buktikan bahwa 8 adalah grup siklik. Dan tentukan subgroup
sikliknya
Diketahui: 8 = *0,1,2,3,4,5,6,7+
Ditanya : apakah 8 adalah grup siklik

tentukan subgroup siklik dari 8
Jawab:
8 = *0,1,2,3,4,5,6,7+
= * | ∈ +
0 = * (0)| ∈ +

= *… , 0.0, 1.0, 2.0 … +
= *0+
1 = * (1)| ∈ +
= *… , 0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, 8.1 … +
= *1,2,3,4,5,6,7+
2 = * (2)| ∈ +
= *… , 0.2, 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, … +

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page7 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

= *2,4,6,0+
3 = * (3)| ∈ +

= *… , 0.3, 1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3, 8.3 … +
= *2,3,6,1,4,7,2,5,0+
4 = * (4)| ∈ +
= *… , 0.4, 1.4, 2.4, … +
= *4,0+
5 = * (5)| ∈ +
= *… , 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5 … +
= *5,2,7,4,1,6,3,0+
6 = * (6)| ∈ +
= *… , 0.6, 1.6, 2.6, 3.6, 4.6, … +
= *6,4,2,0+
7 = * (7)| ∈ +
= *… , 0.7, 1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7, 7.7, 8.7 … +
= *7,6,5,4,3,2,1,0+
Karena terdapat = yaitu 1,3,5, dan 7 maka 8 adalah grup
siklik
Yang merupakan subgroup siklik yaitu:
2 = *2,4,6,0+
4 = *4,0+
6 = *6,4,2,0+

1.4. Definisi 4

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page8 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

Algoritma pembagian :
Jika n, m ∈ Z, m > 0 maka ∃! , ∈ ∋ = + , ≤ ≤
Contoh :
 Misalkan m = 5

Untuk n = 19 dapat dinyatakan sebagai 19 = 3.5+4
Maka q = 3 dan r = 4
Untuk n = -3 dapat dinyatakan sebagai -3 = (-1).5+2
Maka q = -1 dan r = 2

 Misalkan m = 8
Untuk m = 20 dapat dinyatakan sebagai 20 = 2.8+4
Maka q = 2 dan r = 4
Untuk n = -4 dapat dinyatakan sebagai -4 = (-1).8+4
Maka q = -1 dan r = 4

1.5. Teorema B-1

Misalkan < ,∗> grup dan a ∈ G maka H = { an | n ∈ Z }
merupakan subgroup terkecil dari G yang memuat a.
Bukti :
Menggunakan Teorema A-3 tentang Sub Grup untuk
membuktikannya.
1) H≠ ∅ karena untuk n = 0 ∈ Z maka a0= e ∈ H
2) H ⊆G ( Dari definisi H )
3) Sifat Tertutup

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page9 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

Ambil sembarang p, q ∈ H maka menurut syarat keanggotaan
dari H maka ∃ m, n ∈ Z ∋ = am dan q = an
Akan ditunjukkan p*q = am * an

= am+n , m + n ∈ Z
= am+n ∈ H
Jadi p*q ∈ H
4) Sifat identitas ( e ∈ G maka e∈ H)
Karena G grup maka e ∈ G ( Unsur Identitas )
e= a0, 0∈ Z maka e = a0 ∈ H
5) Sifat Invers
Ambil sembarang p ∈ H maka ∃ m ∈ Z ∋ p = am, karena m ∈ Z
maka -m ∈ Z sehingga p-1= a-m ∈ H

Dengan demikian syarat sub grup terpenuhi, maka terbukti H≤G

1.6. Teorema 2
“Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik”

Bukti :

Jika = , ℎ

Andaikan bahwa H adalah subgroup G. Maka di tunjukkan bahwa H
adalah siklik. Jika elemen dari G terdiri dari identitas diri sendiri,
maka dengan jelas H adalah siklik. Maka kita boleh mengasumsikan
bahwa ≠ * +

1. Jika = * + maka =
Jika H mengandung sebuah unsur dengan bentuk , dimana t
adalah positif

Diketahui, = , setiap unsur H mempunyai bentuk

Sehingga ∈ < 0

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

Dan lalu ; ∈ , − ℎ
Terbukti H grup siklik

Page10 2. Jika ≠ * + maka pasti memuat unsur-unsur yang berbentuk
> 0

Sekarang jika m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga
∈
Secara tertutup, ≤ . Selanjutnya menyatakan bahwa
= .

Untuk membuktikan pernyataan ini dengan memisalkan sebuah
anggota , dan menunjukan bahwa .
Selama ∈ = , kita punya = untuk beberapa k.

Menggunakan algoritma dalam pembagian untuk , untuk
mendapatkan bilangan bulat sedemikian hingga:
= + 0 ≤ ≤

Maka,
= : = .

Maka,
= ; .

Selama
= ∈ , dan
; = ( ); , ∈ .
Tapi m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga ∈ ,
dan

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

0 ≤ < , ℎ

; . = , maka dari itu

= = = ( ) ∈

Sehingga,

| | = | | adalah sebuah pembagi n

Pada akhirnya, jika k pembagi n. jelas bahwa / = = dan
/ ≠ untuk t positif < , jadi / memiliki order .

Selanjutnya menunjukkan bahwa / adalah hanya subgroup dari
orde . Untuk mengahiri ini, jika menjadi subgroup dari orde .
Sebelumnya kita sudah menunjukan bahwa = , dimana
bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga .
Sekarang dituliskan

= + , 0 ≤ < , kita punya

= = : = . , maka
= ; = ( ); ∈

Dengan, = 0 = . Jadi
= | | = | | = . Ini mengikuti
= = . Ini mengikuti
Contoh 1 :

Jika adalah pembagi dari 30, subgroup order adalah 30 .
Jadi daftar subgroup dari dan daftar subgroup dari 30
adalah:

Page11 Daftar Subgrup Order
= * , , 2, … , 29+ Orde 30
Orde 15
2 = * , 2, 4, … , 28+

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

3 = * , 3, 6, … , 27+ Orde 10
5 = * , 5, 10, 15, 20, 25+ Orde 6
6 = * , 6, 12, 18, 24+ Orde 5
10 = * , 10, 20+ Orde 3
15 = * , 15+ Orde 2
30 = * + Orde 1

Pada umumnya, jika memiliki orde

, . adalah subgroup tunggal pada orde

.

 Akibat : subgroup

Untuk setiap pembagi positif , himpunan
ℎ , lebih dari itu,
hanya ada subgroup dalam

Contoh 2

Berdasarkan contoh 1 di atas bahwa daftar subgroup dari 30

Daftar Subgrup 30 Order
1 = *0,1,2, … . ,29+ Orde 30
2 = *0,2,4, … ,28+ Orde 15

Daftar Subgrup Order
3 = *0,3,6, … ,27+ Orde 10
5 = *0,5,10,15,20,25+ Orde 6
6 = *0,6,12,18,24+ Orde 5
10 = *0,10,20+ Orde 3
15 = *0,15+ Orde 2
30 = *0+ Orde 1

1.7. Teorema 3

Page12

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page13 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

Misalkan =< > sebuah grup siklik berorder n, maka =< >
jika dan hanya jika ( , ) = 1
Bukti :
Akan dibuktikan :
(1) =< > sebuah grup siklik berorder n, jika ( , ) = 1

maka =< >
(2) =< > sebuah grup siklik berorder n, jika =< >

maka ( , ) = 1

Bukti (1)

( , ) = 1 dengan menggunakan konsep kombinasi linier dapat
ditulis bahwa ada

, ∈ ∋ 1 = +

Ambil sembarang a ∈ G maka = 1 = : = = =
( )

Ini menunjukkan bahwa =< >

Bukti (2) (Dibuktikan dengan kontraposisi)

Andaikan ( , ) ≠ 1 atau ( , ) = > 1 ini berarti =
dan =

Perhatikan ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = dengan ≤ <

Ini menunjukkan bahwa bukan generator dari G atau ≠< >

Contoh Teoema 3 :

Dari contoh sebelumnya U(10) = {1, 3, 7, 9} dengan operasi
perkalian modulo 10, merupakan grup siklik dengan generator 3
atau (10) = *30, 31, 33, 32+

|<3>| = 4, maka menurut teorema diatas 33 merupakan generator
karena gcd(3,4) = 1, demikian juga 31 merupakan generator karena

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page14 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

gcd(1,4) = 1. Tetapi 32 bukan merupakan generator karena gcd(2,4)
≠1
Akibat Teorema 3
Suatu bilangan bulat ∈ merupakan generator dari jika dan
hanya jika gcd( , ) = 1
Contoh Akibat Teorema 3 :
Z8 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dengan operasi penjumlahan modulo 8,
dapat ditentukan bahwa Z8 merupakan grup siklik. Menurut akibat
Teorema B-3 maka Z8 memiliki generator 1, 3, 5, dan 7
1.8. Teorema 4
Jika  a   n maka order sembarang subgrup dari  a  merupakan
factor dari n dan untuk setiap pembagi positif k dari n, grup  a 
mempunyai tepat satu subgrup yang berorder k dinamakan  an / k  .
Akibat Teorema B-4 :
Untuk tiap-tiap pembagi positif k dari n, himpunan <n/k> adalah
subgrup tunggal dari n yang berorder k

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri

Page15 E-Modul Grup Siklik ( Kelompok -2)

DAFTAR PUSTAKA
Andari, Ari. 2015. Teori Grup. Malang : UB Press.
Galian,J.A.1998.Contemporary Abstract Algebra.Ed.4.University of Minnesota,

New York.Boston
Saragih,Prof.Dr.Sahat.2012.Struktur Aljabar I.Medan:Larispa Indonesia.
Suyanti, Sri. 2017. Teori Grup ( Stuktur Aljabar I ). Gresik: UMG Press.

Agnes Alfi Khairuni Sirait-Hendrawan Purba-Nabila Kyosifa-Nova Yulisa Putri