Equivalence And Tautology

Page |1

Equivalence And Tautology

บทนิยาม ประพจน์ p จะมีความสมมลู ทางตรรกศาสตร์ (Logically equivalence) กบั q ถ้าทุก ๆ
กรณี p และ q มคี ่าความจรงิ ตรงกัน เขยี นแทนดว้ ย p  q
ตัวอยา่ งท่ี 1
บทพสิ จู น์ จงพิสูจน์ว่า p  q  r  p ~ q  r โดยใชป้ ระพจนท์ ส่ี มมลู กนั

ตวั อย่างท่ี 2 จงพสิ จู น์ว่า p  q  r p  q p  r โดยใชป้ ระพจนท์ ส่ี มมูลกัน
บทพสิ จู น์

Page |2

Exercises

จงพสิ ูจน์วา่ ประพจนต์ อ่ ไปนสี้ มมลู กัน โดยใช้กฎตรรกศาสตร์
1. ~ p  q r ~ p ~ q r

2. ~ p  r  p  ~ ~ p  q r

Page |3

3. ~ p  q r  s p  q ~ r ~ s

4. p ~ q  r ~ p ~ r  s p  s

Page |4

Inferencing

การใหเ้ หตผุ ล (Inferencing) คือ การนาสจั นริ ันดรท์ ่เี ราทราบดีอย่แู ลว้ หรอื เหตุ (Hypothesis) ตา่ ง ๆ มาใช้
สรปุ

เป็นผล (Conclusion) ดังนี้

บทนยิ าม สาหรับการอ้างเหตผุ ลจากเหตุ p1, p2,.....,pn ไปสู่ผล q จะได้วา่ การอา้ งเหตผุ ลดังกล่าว

“สมเหตสุ มผล” (Valid) เมือ่ p1 p2 .....pn q หรือมฉิ ะน้นั จะถอื ว่า “ไมส่ มเหตสุ มผล”

(Invalid)

ตัวอย่างท่ี 1 จงพสิ จู นว์ า่ p  qr ~ r  ~ p ~ q

บทพสิ ูจน์

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงพสิ จู น์ว่า p ~ q ~ r  qr  ~ p

บทพสิ ูจน์

Page |5

Exercises

จงแสดงการใหเ้ หตผุ ลว่า การให้เหตุผลน้ีสมเหตสุ มผล

1. p  p q q r r  s  s

2. ~ p  q ~ w ~ s q ~ t  ~ p  t w  x  x  s

Page |6

3. ~ r  s ~ t ~ r  w ~ w  ~ p  s  t p

PROVING METHOD

Page |7

ระเบียบวิธีการพิสูจน์ (Proving method) คือ วิธีการในการพสิ ูจน์ทฤษฎีบทต่าง ๆ ถือว่าเป็นหัวใจสาคญั ใน
การเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เป็นการฝึกทกั ษะกระบวนการให้เหตุผลเชงิ คณิตศาสตร์ โดยการนากฎเกณฑ์เบอ้ื งต้นในวิชา
ตรรกศาสตร์ มาประยกุ ตใ์ ช้ เพอ่ื เปน็ รากฐานสาหรับแขนงวชิ าคณิตศาสตร์ขนั้ สงู ต่อไป

จุดมุ่งหมายโดยรวมของการพิสจู น์ ก็คือ เป็นการยืนยันหรือทาให้แน่ใจว่า ผลสรุปเป็นจริง โดยมีการกาหนด
เงอ่ื นไข หรอื สมมตฐิ านมาก่อนหน้า

สาหรับการพิสูจน์ในทางคณิตศาสตรน์ ั้นเหตทุ นี่ ามา อ้างองิ มาจากทฤษฎีบทท่เี คยทราบมากอ่ นหรอื บทนิยาม
หรอื สัจพจน์ เปน็ ต้น แตม่ กั จะมปี ัญหาว่าสจั พจน์ บทนยิ าม หรอื ทฤษฎบี ทต่างๆ ท่จี ะนามาอ้างองิ เพ่อื นาไปส่ผู ลสรุปนั้น
มีมากมาย เป็นการยากทจี่ ะเลอื กใช้ ดงั นัน้ ผ้เู รียนควรจะศึกษาตรรกศาสตร์ และการพสิ ูจนห์ ลายๆ แบบ เพ่อื จะชว่ ยใหม้ ี
ทักษะในการพิสูจน์ สามารถเลือกวิธกี ารพสิ จู น์ได้อย่างเหมาะสม ซงึ่ จะกล่าวถึงวธิ ีการพสิ จู นแ์ บบต่างๆ ดงั ตอ่ ไปนี้

1. PROVING OF ⇒
ในการพิสจู นป์ ระพจน์ในรปู p q สามารถทาได้ 2 วิธี ไดแ้ ก่

1. การพสิ จู นโ์ ดยตรง (Direct proof)
2. การพสิ จู น์โดยการแยง้ สลบั ที่ (Contrapositive proof)
1.1 Direct Proof
การพสิ จู นล์ กั ษณะนม้ี ีทม่ี าจาก Modus Ponens เนือ่ งดว้ ยหากเราแสดงไดว้ ่า ถ้า p เกิดข้ึนแลว้ ทาให้เกิด q ได้
แลว้ นัน้ เรายอ่ มสรปุ ได้ว่า p q ไดอ้ ย่างไมม่ ขี อ้ สงสัย ดงั นน้ั ขนั้ ตอนการพสิ ูจนจ์ งึ มีดังน้ี
1. สมมตวิ า่ เกดิ p
2. แสดงใหไ้ ดว้ า่ q เป็นจริง

Page |8

ตัวอย่างที่ 1 จงพสิ ูจน์วา่ สาหรับจานวนเตม็ m, n ใด ๆ ถ้า m และ n เปน็ จานวนค่แู ลว้ m + n เปน็ จานวนคู่ดว้ ย

ตวั อย่างท่ี 2 จงพสิ จู น์วา่ สาหรบั จานวนเตม็ m, n ใด ๆ ถ้า m และ n เปน็ จานวนคู่และจานวนคี่ตามลาดบั แล้ว
mn เปน็ จานวนคู่

Page |9

ตวั อย่างที่ 3 จงพสิ จู น์วา่ สาหรบั A, B, C ทเ่ี ปน็ สบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ จงแสดงวา่ A B  A

ตัวอย่างที่ 4 จงพสิ จู นว์ า่ สาหรบั A, B, C ท่ีเปน็ สับเซตของเอกภพสัมพทั ธ์ จงแสดงว่า
A BB  C A  C

P a g e | 10

Exercises

1. จงพิสจู น์ว่าสาหรบั จานวนเตม็ m, n ใด ๆ ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ีแล้ว m + n เป็นจานวนคูด่ ้วย

2. จงพิสูจน์ว่าสาหรบั จานวนเตม็ m, n ใด ๆ ถา้ m และ n เป็นจานวนคแู่ ละคี่ตามลาดบั แล้ว m + n2 เปน็ จานวนค่ี

P a g e | 11

3. จงพิสจู นว์ ่าสาหรบั A, B, C ที่เป็นสับเซตของเอกภพสัมพทั ธ์ จงแสดงวา่ A  A  B

4. จงพิสูจนว์ ่าสาหรบั A, B, C ทีเ่ ป็นสับเซตของเอกภพสัมพทั ธ์ จงแสดงวา่ A B  C  A  C

P a g e | 12

1.2 Contrapositive Proof

การพสิ จู นล์ ักษณะนม้ี ที มี่ าจาก Modus Tollens เนื่องจาก ⇒ สมมลู กบั ~ ⇒~ จงึ เหน็ ไดว้ า่ หากเรา
แสดงได้ว่า ถา้ ~ แลว้ ทาให้ ~ ไดน้ ั้น กเ็ ป็นการพสิ จู นใ์ หเ้ หน็ วา่ ⇒ ไดเ้ ชน่ เดียวกันกบั วธิ ตี รง สาหรับวิธีน้จี ะ
เลือกใชเ้ มอ่ื วิธตี รงไมส่ ามารถอธิบายได้งา่ ย โดยมีขั้นตอนการพสิ จู น์ดังน้ี

1. แย้งสลบั ท่ี โดยสมมตวิ ่าเกิด ~
2. แสดงใหไ้ ด้ว่า ~ เปน็ จริง

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงพสิ ูจนว์ า่ nZn2 E nE

P a g e | 13

ตัวอย่างที่ 2 จงพสิ ูจนว์ า่ ถ้า A, B เปน็ สับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ แลว้ A  B  A -B 

P a g e | 14

Exercises

1. จงพิสจู นว์ า่ nZn2 O nO

2. จงพสิ ูจน์ว่า ถา้ A, B เป็นสับเซตของเอกภพสมั พทั ธ์ แล้ว A  B  B' A'

P a g e | 15

2. PROVING OF ⇔

การพสิ ูจนล์ ักษณะนีม้ ีทมี่ าจาก Law of Equivalence เนอ่ื งจาก ⇔ สมมลู กบั ( ⇒ )∧( ⇒ ) จงึ
เห็นไดว้ า่ หากเราแสดงได้วา่ ⇒ และ ⇒ ได้น้นั กเ็ ปน็ การพสิ ูจนใ์ หเ้ หน็ ว่า ⇔ ได้ โดยมีขัน้ ตอนการ
พิสจู น์ดงั นี้

1. พสิ ูจน์วา่ ⇒ (ขาไป)
2. พิสูจน์ว่า ⇒ (ขากลบั )

ตัวอย่างท่ี 1 จงพิสูจนว์ ่า ถ้า เปน็ สบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์
∪ =

P a g e | 16

ตัวอย่างท่ี 2 จงพสิ จู น์วา่ สาหรับ , ท่เี ป็นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ จงแสดงว่า
= ⇔∀ ∈ [ ∈ ↔ ∈ ]

ตัวอย่างที่ 3 จงพิสจู นว์ า่ ∀ ∈ [ ∈ ⇔ 2∈ ]

P a g e | 17

Exercises

1. จงพิสจู นว์ า่ ถ้า เปน็ สับเซตของเอกภพสัมพทั ธ์
∩ =

2. จงพิสจู น์วา่ สาหรบั , ที่เปน็ สบั เซตของเอกภพสมั พัทธ์ จงแสดงวา่ ∪ = ∪

P a g e | 18

3. กาหนดให้ a เป็นจานวนเต็ม จงพิสจู นว์ ่า a เป็นจานวนคี่กต็ อ่ เม่อื a+1 เปน็ จานวนคู่

4. จงพิสจู น์ว่า ∀ ∈ [ ∈0⇔ 2+1∈ ]

P a g e | 19

3. PROVING OF ( ∨ )⇒
การพสิ จู นล์ ักษณะน้มี ีทม่ี าจากว่า ( ∨ )→ ≡( → )∨( → ) ซึ่งหมายถงึ → และ → เปน็

สจั นริ นั ดรท์ ัง้ คู่ จะสามารถพสิ จู น์ประพจน์ลกั ษณะนไี้ ด้ สาหรบั การพสิ จู น์นจ้ี ะใชก้ ับกรณีท่ีการพสิ จู นต์ ้องมีการแจงกรณี
โดยมขี น้ั ตอนการพสิ จู น์ดงั น้ี

1. พสิ ูจนว์ า่ ⇒ (กรณแี รก)
2. พสิ ูจนว์ า่ ⇒ (กรณีต่อมา)
3. พสิ ูจนก์ รณีต่อ ๆ ไป (ถา้ มี) จนครบ
สาหรบั หลายกรณี ( 1∨ 2∨…∨ )→ ≡ ( 1→ )∨…∨( → )

ตวั อย่างท่ี 1 จงพสิ จู น์วา่ ∀ ∈ [ 2 + ∈ ]

P a g e | 20

ตวั อยา่ งที่ 2 จงพสิ จู น์วา่ สาหรบั เซต A และ B ใด ๆ ถ้า A B   แลว้ A   และ B  

จากโจทยเ์ ขียนในรปู สัญลักษณ์ตรรกศาสตรด์ ังน้ี ABC, A B    A    B  

P a g e | 21

Exercises

1. จงพสิ จู น์วา่ ∀ ∈ [ 2 – ∈ ]

P a g e | 22

2. จงพสิ จู นว์ ่า ถ้า , เปน็ สับเซตของเอกภพสมั พทั ธ์
= ∪( ∩ )

P a g e | 23

4. PROVING OF ⇒( ∧ )

การพสิ ูจนล์ กั ษณะนมี้ ีทม่ี าจากวา่ →( ∧ )≡( → )∧( → ) ซง่ึ หมายถึงถา้ → และ → เปน็
สัจนริ ันดรท์ ง้ั คู่ จะสามารถพสิ ูจนป์ ระพจนล์ ักษณะนี้ได้ สาหรบั การพสิ จู นน์ ้จี ะใช้กับกรณที ี่เหตหุ นึง่ ส่งผลมาหลายขอ้ โดยมี
ขนั้ ตอนการพสิ ูจนด์ ังน้ี

1. พสิ ูจน์ว่า ⇒ (กรณีแรก)

2. พิสูจน์วา่ ⇒ (กรณีต่อมา)

3. พสิ ูจน์กรณตี ่อ ๆ ไป (ถ้ามี) จนครบ

สาหรบั หลายกรณี →( 1∨ 2∨…∨ ) ≡ ( → 1)∨…∨( → )

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงพสิ ูจน์วา่ ∀ ∈ [ ∈ ⇒2 ∈ ∧3 ∈ ]

P a g e | 24

Exercises

1. สาหรบั จานวนเตม็ a ใด ๆ จะไดว้ า่ 2a2 เปน็ จานวนคู่ และ (2a)2 + 1 เป็นจานวนค่ี

P a g e | 25

PRINCIPLE OF MATHEMATICAL INDUCTION

การพสิ ูจนโ์ ดยการอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์

การพิสูจน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยเชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะ
คล้ายกัน การพิสูจน์แบบน้ี มีการพิสูจน์ "ข้ันฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์ "กฎการอุปนัย" ท่ีกล่าวว่าถ้ากรณใี ดกรณี
หนึง่ เปน็ จรงิ แล้วกรณีอ่นื ก็เป็นจริง เม่อื ใช้กฎการอปุ นยั ซา้ หลายคร้งั จาก "ขน้ั ฐาน" ทีพ่ ิสูจน์แยกกัน นามาพสิ จู น์กรณีอน่ื
ๆ เป็นอนันต์กรณี เพราะว่าข้ันฐานเป็นจริง กรณีอ่ืน ๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณี
ท้งั หมดโดยตรงได้ เพราะมเี ปน็ อนันต์

การใชง้ านโดยทวั่ ไปโดยอปุ นัยเชงิ คณิตศาสตรค์ อื พสิ จู น์วา่ สมบัติอยา่ งหนึ่งที่เปน็ จริงกบั จานวนหน่งึ เปน็ จริงกับ
จานวนนับทุกจานวน: ให้ N = {1,2,3,4,...} เป็นเซตของจานวนนบั และ P (n) เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ท่มี ีจานวน
นบั n เป็นสมาชกิ ของ N ที่

 (i) P (1) เป็นจริง กล่าวคือ P (n) เป็นจรงิ สาหรบั n = 1

 (ii) P (n+1) เป็นจรงิ เมอ่ื P (n) เป็นจรงิ เสมอ กลา่ วคอื P (n) เปน็ จรงิ แปลวา่ P (n+1) ก็เปน็ จริง

 แล้ว P (n) เป็นจรงิ สาหรบั ทุกจานวนนับ n

ตัวอยา่ งที่ 1 จงพสิ จู น์วา่ n  1; 1+2+3+.....+n = 1 nn  1
2

P a g e | 26

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงพสิ จู น์ว่า n  1; 1  1  1  ..... 1  n
12 23 34 nn 1 n1

P a g e | 27

ตัวอย่างท่ี 3 จงพสิ ูจนว์ ่า สาหรบั จานวนเตม็ n 1 ใด ๆ แลว้ 3|(5n−2n)

ตวั อย่างที่ 4 จงพสิ ูจนว์ ่า สาหรบั จานวนเต็ม n 1 ใด ๆ แลว้ 3|n(n+1)(n+2)

P a g e | 28

Exercises

1. จงพสิ จู นว์ า่ n  1; 13+23+33+.....+n3 =  1 nn  12
 2
 

P a g e | 29

2. จงพสิ จู นว์ า่ n  1; 1×2+2×3+3×4+.....+n(n+1) = 1 nn 1n  2
3

P a g e | 30

3. จงพิสจู นว์ า่ สาหรบั จานวนเตม็ n 1 ใด ๆ แลว้ 5|(6n+4)

4. จงพสิ จู น์ว่า สาหรบั จานวนเตม็ n 1 ใด ๆ แล้ว 11|(102n−1+1)