fdokumen.com_buku-bahasa-inggris-kelas-xi-kurikulum-2013-kemendikbud

l3b, serta hasil kalinya sama dengan -1. Dengan kondisi ini, secara sistem persamaan,
sistem c) memiliki penyelesaian tunggal.
Secara grafik, kondisi sistem a), b), dan c) disketsakan sebagai berikut.

Gambar 4.13: Grafik sistem persamaan linear

Secara umum, misalkan garis y �A(x2, y2 ) l2

g1 : ax + by = c; a ≠ 0 dan b ≠ 0 B(x1, y1�) x2 � x1 y2 � y1 l1
g2 : rx + sy = t; r ≠ 0 dan s ≠ 0
: a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real. C(x2, y1)

Garis g1 sejajar dengan g2 jika dan hanya x2'( )�A',y'
a = b . Dengan kata lain, Garis sejajar 2
rs
dengan jika dan hanya m1 = m2. ( )B' x1' , y1' � x2' � x1' ( )y2' � y1' x

C ' x2' , y1'

Gambar 4.13

Matematika 143

Secara geomteris, kondisi dua garis sejajar dideskripsikan sebagai berikut.

( ) ( )Misal, garis l1 melalui titik A' x1' , y1' dan B' x2' , y2' , dengan

gradien m1 . Garis l2 melalui titik A( x1, y1 ) dan B ( x2 , y2 ) dengan gradien m2 .

Mari kita cermati segitiga ABC dan A'B'C' . Kedua segitiga tersebut merupakan dua
segitiga yang sebangun.

Oleh karena itu berlaku:

y2 − y1 = y2' − y1' atau m1 = m2
x2 − x1 x2' − x1'

Selain itu, jarak titik A ke titik A' sama dengan jarak titik B ke titik B' . Kondisi

ini semakin memperkaya bukti bahwa garis l1 sejajar dengan garis l2 .

Dengan demikian, sifat dua garis sejajar dinyatakan dalam sifat berikut.

Sifat 4.1

Misalkan garis g1 : ax + by = c ; a ≠ 0 dan b ≠ 0 dengan gradien m
g2 : rx + sy = t ; r ≠ 0 dan s ≠ 0 dengan 1

a, b, c, r, s,t merupakan bilangan real. gradien m2

Garis g1 sejajar dengan g2 jika dan hanya jika gradien kedua garis sama.

Secara matematis dinotasikan: g1 / / g2 ↔ m1 = m2 .

Dari Sifat 4.1, mari kita cermati hubungan di antara koefisien-koefisien a, b, c, r,

s, dan t. Karena m1 = m2, dapat kita tulis bahwa a = r atau a = b . Ingat, walaupun
b s rs

a = b ,tetapi tidak berlaku bahwa a = c atau b = c b = c (mengapa?).
rs rt s t s t
Perlakuan-perlakuan ini dapat kita simpulkan dalam sifat berikut ini.

Sifat 4.2

Misalkan garis g1 : ax + by = c ; a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0 dengan gradien m
1

g2 : rx + sy = t ; r ≠ 0, s ≠ 0 dan t ≠ 0 dengan gradien m2

a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real.

Jika a= b= c maka garis g1 berimpit dengan garis g2.
rst

144 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Untuk lebih memantapkan pemahaman kita akan hubungan dua garis yang sejajar,
mari kita cermati contoh berikut ini.

Contoh 4.3

a) Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis- garis dengan per-
samaan 3x + 2y = 12 dan 5x + 2y = 16 serta sejajar dengan garis 2x + y = 4.

b) Carilah nilai k sedemikian sehingga garis kx – 3y = 10 sejajar dengan garis 2x +
3y = 6.

Alternatif Penyelesaian
a) Terlebih dahulu kita menentukan titik potong garis 3x + 2y = 12 dan 5x + 2y =

16. Dengan cara eliminasi ataupun subsitusi, diperoleh titik potong kedua garis
tersebut (2, 3). Misal, garis g merupakan garis yang melalui titik (2, 3), serta sejajar
dengangaris 2x + y = 4 maka gradien garis , sebut mg = –2 Jadi persamaan garis g,
diperoleh:
y – 3 = –2 (x – 3) atau 2x + y = 3.

b) Karena garis, kx – 3y = 10 sebut g1, sejajar dengan garis 2x + 3y = 6, sebut g2

maka mg1 = mg2. Akitanya k = − 2 , atau k = –2. Dengan demikian dapat kita tulis
3 3

bahwa garis –2x – 3y = 10 sejajar dengan 2x + 3y = 6.

b. Garis-Garis Tegak Lurus

Perhatikan grafik berikut ini.

Sekarang mari kita amati segitiga ABC. Kita akan selidiki apakah segitiga ABC
merupakan segitiga siku-siku atau tidak. Tentu, sudut yang diduga merupakan sudut
siku-siku adalah sudut ACB. Dengan menggunakan alat pengukur sudut (busur) atau
penggaris berbentuk segitiga siku-siku, sudut ACB merupakan sudut-sudut siku-siku.

Matematika 145

Gambar 4.14: Garis l1 dan l2 berpotongan secara tegak lurus.

Oleh karena itu, dapat kita tarik kesimpulan bahwa garis l1 memotong secara tegak
lurus garis l2.
Selanjutnya, akan kita selidiki hubungan gradien garis l1(m1) dan gradien garis
l2(m2).
l1 : y = x, dengan m1 = 1;
l2 : y = –x, dengan m2 = 1.
Ternyata, m1.m2 = –1.

Masalah-4.1

Perhatikan gambar berikut ini!

146 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Gambar 4.15: Garis l1 dan l2 , dengan gradien berbeda tanda berpotongan secara tegak lurus.

Garis l1: y = m1x + c1 mempunyai gradien, sedangkan garis l2: y = m2x + c2 mempunyai
gradien tan β = m2.
Selidiki bahwa hubungan gradien garis l1 dengan l2!
Alternatif Penyelesaian
Diketahui garis l1: y = m1x + c1 mempunyai gradien, sedangkan garis l2: y = m2x + c2
mempunyai gradien tan β = m2.
Cermati segitiga siku-siku ABC!
Karena ∠ A = α dan ∠ C = 900 maka ∠ B = 1800 β. Oleh karena itu β = (900 + α)
(tunjukkan!).

Matematika 147

Diketahu tan β = m2.

Akibatnya:

tan = (900 + α) = m2 Ingat

↔− 1 a = m2 1
tan tan
tan(900 + α) = - a
1
↔ − m1 = m2

diperoleh: m1.m2 = –1
Dengan demikian, syarat dua garis yang saling tegak lurus dinyatakan dalam sifat
berikut ini.

Sifat 4.3

Misalkan garis g : bx – ay = t ; a ≠ 0 dan b ≠ 0 dengan gradien m =b
1 1 a

g : ax – by = c ;a ≠ 0 dan b ≠ 0 dengan gradien m2 =−a
a, 2 b

b, c, merupakan bilangan real maka:

Garis g1 berpotongan tegak lurus dengan garis g2, dinotasikan g1 ⊥ g2 .

Contoh 4.4

Mari kita cermati grafik di bawah ini!
Selidiki hubungan antar garis yang berlaku.

Gambar 4.16 Semester 1

148 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian

Langkah awal, dengan memperhatikan pasangan titik koordinat yang dilalui tiap-tiap
garis, kita dapat menentukan persamaan dan gardien setiap garis.

l :5x + 3y = 15 , dengan ml = −5
3

g :6y −5x = 30 , dengan mg = 5
6

k :5x −3y =0 , dengan mk = 5.
3

Latihan 4.1

Sebagai latihan secara mandiri,
• selidiki apakah garis l dan garis k berpotongan secara tegak lurus?
• selidiki juga hubungan garis l dan garis g!

Diskusikan hasil kerjamu dengan temanmu.

Uji Kompetensi 4.2

1. Selidikilah hubungan setiap pasangan garis dengan persamaan di bawah ini.
a. g1 : –2x + 5y = 7 dan g2 : 3x – 4y = 12.
b. l1 : ax + by = c dan l2 : px + qy = s, dengan a < b dan p > q, a, b, p, q ∈ R.

2. Penelitian terbaru menunjukkan bahwa suhu rata-rata permukaan Bumi meningkat
secara teratur. Beberapa peneliti memodelkan suhu permukaan Bumi sebagai
berikut: T = 0.02t + 8.50, T menyatakan suhu dalam 0C dan t menyatakan tahun
sejak 1900.
a. Tentukan kemiringan garis tersebut, dan interpretasikan bilangan tersebut.
b. Dengan menggunakan persamaan tersebut, prediksilah rata-rata perubahan
suhu pada tahun 2200

3. Seorang manager perusahaan perabot harus menyediakan modal sebesar
Rp22.000.000,00 untuk memproduksi 100 kursi kantor dan Rp48.000.000,00
untuk memproduksi 300 kursi yang sama.

Matematika 149

a. Nyatakanlah biaya tersebut sebagai persamaan kursi yang diproduksi, dengan
mengasumsikan hubungan antara biaya dan banyak kursi adalah linear.

Kemudian gambarkan.
b. Tentukan gradiennya, dan jelaskan arti bilangan itu.
c. Dari sketsa, jelaskan makna grafik tersebut.

4. Perhatikan persamaan garis di bawah ini!

g1 : ax + by = c dan g2 : px + qy = t, a, b, p, q ∈ R.
Tunjukkan hubungan antara koefisien a, b dengan p, q agar g1//g2

5. Tentukanlah k untuk setiap persamaan garis berikut.

a. g1 : (2 – k)x – y = 8 dan g2 : (4 + k)x + 3y = 12 agar g1 ⊥ g2 .
b. l1 : (3k + 5)x – 2y = 10 dan l2 : (–k – 3)x – 7y = 14 agar g1 / / g2 .

6. Tentukan persamaan garis l1 yang melalui titik (–7, 3) dan tegak lurus dengan
garis l2 : 3x – 5y = 12. Kemudian gambarkan grafiknya.

7. Diberikan dua garis dengan persamaan yang diperoleh dari matriks berikut:

 −3 p . x  =  5 
 4  y   4 
 q   

Tentukan perbandingan p dan q jika kedua garis saling tegak lurus.

8. Diketahui titik A(xa , ya), B(xb , yb), C dan AB adalah titik tengah. Tentukan
persamaan garis yang tegak lurus AB dan melalui titik C

9. Diketahui P(3,3), Q(4,-1) dan R(-8,-4). Tentukan besar sudut perpotongan garis
PQ dan QR.

10. Diberikan garis l : (x – 2y) + a(x + y) = 5 dan garis g : (5y – 3x) –3a(x + y) = 12.
Tentukan nilai a agar:
a. l / / g
b. l ⊥ g

150 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Projek

Cari masalah dalam kehidupan sehari (minimal dua masalah nyata) yang
menerapkan hubungan dua garis yang saling sejajar dan dua garis yang
berpotongan secara tegak. Deskripsikan kebermaknaan garis tersebut
dalam kehidupan sehari-hari.

Susunlah hasil temuanmu dalam bentuk laporan hasil kinerja suatu proyek.
Kamu diberikan waktu satu minggu untuk menuntaskannya secara baik
dan teliti.

D. PENUTUP

Beberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait sifat-sifat persamaan garis
lurus adalah sebagai berikut.
1. Persamaan linear, biasanya dinyatakan dalam bentuk ax + by = c, dengan a, b, c

merupakan bilangan riil. Model matematika permasalahan sehari-hari, khususnya
dalam masalah ekonomi sering menjadi masalah yang terkait persamaan garis
lurus.
2. Konsep dan sifat-sifat persamaan garis ini didasari oleh konsep persamaan linear
dua variabel. Setiap garis, ax + by = c, memiliki kemiringan atau disebut gradien
yang dinotasikan dengan m, kecuali garis vertikal. Gradien tersebut sama dengan
nilai tangen sudut yang dibentuk garis terhadap sumbu x positif.
3. Garis l : ax + by = c dikatakan sejajar dengan garis g : px + qy = t jika dan hanya
jika kedua garis tidak pernah berpotongan atau memiliki gradien yang sama.
Dikatakan saling tegak lurus jika dan hanya jika kedua garis berpotongan dan
hasil kali gradiennya sama dengan -1.
Penguasaan kamu tentang persamaan garis lurus sangat penting bermanfaat untuk
bahasan persamaan garis singgung pada lingkarang dan persamaan singgung pada
kurva. Untuk penerapan persamaan garis lurus lebih banyak digunakan pada kajian
persamaan garis singgung lingkaran dan persamaan garis singgung kurva. Sifat-sifat
garis lurus akan dibahas secara mendalam dan dimanfaatkan dalam penyelesaian
masalah matematika dan masalah otentik.

Matematika 151

Catatan:

.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................

152 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Bab

5

BARISAN DAN
DERET TAK HINGGA

A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar

1. Memiliki motivasi internal, kemampuan Melalui pembelajaran materi barisan dan deret
bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, aritmetika dan geometri atau barisan lainnya,
rasa percaya diri dan sikap toleransi dalam siswa memperoleh pengalaman belajar:
perbedaan strategi berfikir dalam memilih dan • Menemukan konsep dan pola barisan dan
menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
deret melalui pemecahan masalah otentik.
2. Mendeskripsikan konsep barisan dan deret • Berkolaborasi memecahkan masalah aktual
tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal
himpunan bilangan asli. dengan pola interaksi sosial kultur.
• Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif)
3. Menerapkan konsep barisan dan deret tak
hingga dalam penyelesaian masalah sederhana. dalam menyelidiki dan mengaplikasikan
konsep dan pola barisan dan deret tak hingga
dalam memecahkan masalah otentik

• Pola Bilangan
• Beda
• Rasio
• Barisan Tak Hingga
• Barisan Konstan, Naik,

dan Turun
• Deret Tak Hingga
• Jumlah suku tak hingga

B. PETA KONSEP

Fungsi Materi
Prasyarat

Masalah Otentik Barisan Bilangan

Suku awal Konstan

Beda Unsur Barisan Nilai Naik
Tak Hingga Suku Turun

Suku ke-n Deret
Tak Hingga

Jumlah
Suku Ke-n

154 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

C. MATERI PEMBELAJARAN

1. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Tak Hingga.
Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secara arif dan

kreatif melalui proses matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan dan deret
tak hingga berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan akan ditemukan
melalui pemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai
strategi sebagai alternatif pemecahan masalah.
Dalam mempelajari materi pada bab ini, ingat kembali barisan dan deret aritmatika
(geometri) yang sudah kamu pelajari di kelas X. Kita akan mempelajari beberapa
kasus dan contoh yang berkaitan dengan barisan dan deret tak hingga pada bab
ini. Barisan suatu obyek membicarakan masalah urutannya dengan aturan tertentu.
Aturan yang dimaksud adalah pola barisan. Kita memerlukan pengamatan terhadap
suatu barisan untuk menemukan pola. Selanjutnya cermati masalah berikut.

Masalah-5.1

Dua potong kawat besi disandarkan pada sebuah dinding rumah tempat
bunga menjalar. Di antara kedua kawat dibuat potongan–potongan kawat
E1E2, E3E4, E5E6, dan seterusnya seperti terlihat pada gambar berikut.

C

E5 E6
E3 E4

E1 E2

A 1m BQ D x
O(0,0)

GamGbaarm-5b.2a.rP-o5s.2is.i KPaowsaist iTKerasawnadtaTr edirsDainnddinagr Rdui mDainhding Rumah

Matematika 155

Kemiringan posisi kawat sebelah kiri adalah r dengan 0 < r < 1, r ∈ R dan
kemiringan kawat sebelah kanan adalah 1. Jarak kedua kawat di tanah adalah 1 meter
dan jarak BE1 = QE2 adalah r meter.
a. Tentukan panjang potongan kawat E1E2, E3E4, E5E6, dan seterusnya dalam r.
b. Temukan susunan bilangan dalam r yang menyatakan jarak dari titik A ke titik B,

jarak titik B ke Q dan seterusnya sampai ke titik D!
c. Tentukan fungsi yang menyatakan susunan bilangan dalam r!
d. Tentukan jarak titik dari A ke D!

Alternatif Penyelesaian
Mari kita gambarkan posisi kawat besi dalam sumbu koordinat.

C

E5 E6
E3 E4

E1 E2

A 1m BQ D x
O(0,0)

GaGmambbaarr--55..22.. PPoossisiisKiaKwaawt TaetrTsaenrsdaarnddiaDrinddiiDnginRduimngahRumah

Koordinat titik A(0,0) dan B(1,0) adalah dua titik yang berada pada sumbu x.
Karena ruas garis AC (kawat sebelah kiri) memiliki gradien r dengan 0 < r < 1 dan
ruas garis BC (kawat sebelah kanan) memiliki gradien 1, maka kedua ruas garis
bertemu pada satu titik, yaitu titik C.

Misalkan titik E1 pada ruas garis AC. Karena ruas garis AC bergradien r dan panjang
AB adalah 1 maka panjang BE1 adalah r. Titik E2 berada pada ruas garis BC, karena
gradien BC adalah 1, maka panjang E1E2 adalah r dan panjang E1E2 = BQ = r.

156 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

• Karena gradien garis AC adalah r dan panjang E1E2 = r, maka panjang E2E3 = r2.
• Karena gradien garis BC adalah 1, maka panjang E3E4 = r2 dan QR = r2.

Dengan cara yang sama, diperoleh panjang E5 E6 = r3 dan jika kita tambahkan
potongan kawat di antara garis AC dan BC di atas E5E6 menuju titik C, maka diperoleh
panjang potongan kawat berikutnya r3, r4, r5, …. Mengapa?

a. Panjang E1E2, E3E4, E5E6, dan seterusnya dalam r adalah r, r2 r3, r4, r5, …
b. Susunan bilangan dalam r yang menyatakan jarak titik A ke titik B, titik B ke Q, titik

Q ke R dan seterusnya sampai ke titik D, yaitu: 1, r, r2, r3, …, dengan 0 < r < 1.

c. Fungsi yang menyatakan susunan bilangan pada bagian (b) adalah u(n) = r n – 1,

n ∈ N.

d. Panjang AD adalah hasil penjumlahan 1, r, r2, r3, …

∞

∑AD = 1 + r + r2 + r3 + r4 + … = r n−1 dengan 0 < r < 1
n=1

Perhatikan Gambar-5.2 di atas, dengan menggunakan aturan dalam trigoniometri,

diperoleh jarak BD = CD = r + r2 + r3 + r4 + …

Misalkan s = 1 + r + r2 + r3 + r4 + …

Karena panjang ruas garis BD = r + r2 + r3 + r4 + … = s - 1, maka CD = s – 1

Perhatikan AD = CD atau s = s −1
AB BE1 1 r.

s = s −1 ⇔ rs = s - 1
1 r ⇔ (1- r)s = 1

⇔ s= 1
1− r

Berdasarkan uraian di atas panjang AD = s = 1 , dengan 0 < r < 1. Panjang
1− r

segmen garis AD ini dapat diartikan jumlah takhingga suku-suku barisan 1, r, r2, r3,
r4, r5, …

Matematika 157

Masalah-5.2

Siti menggunting kertas menjadi dua bagian yang sama besar. Potongan
kertas berikutnya digunting lagi menjadi dua bagian yang sama besar, seperti
gambar berikut.

Potongan pertama
Potongan kedua
Potongan ketiga
Potongan keempat
Potongan seterusnya

Susunlah bilangan-bilangan yang menyatakan banyak potongan kertas, apabila
potongan kertas berikutnya digunting dua bagian yang sama.
Alternatif Penyelesaian
Siti menggunting kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar

1 kertas 2 potong kertas

Dua potongan kertas di atas, digunting menjadi dua bagian yang sama besar untuk
setiap potongan kertas sehingga diperoleh potongan kertas berikut.

158 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

2 potong kertas 4 potong kertas
Misalnya n menyatakan guntingan ke-n

Untuk n = 1, diperoleh banyak potongan kertas adalah 2

Untuk n = 2, diperoleh banyak potongan kertas adalah 4

Untuk n = 3, diperoleh banyak potongan kertas adalah 8

Untuk n = 4, diperoleh banyak potongan kertas adalah 16

Jika guntingan kertas dilanjutkan maka akan diperoleh suatu susunan bilangan
yang menyatakan banyak potongan kertas, yaitu: 2, 4, 8, 16, 32, … Susunan bilangan
tersebut membentuk sebuah barisan tak hingga, dengan nilai suku-suku barisan dapat
dinyatakan dengan sebuah fungsi u(n) = 2n dengan n ∈ N. Lengkapilah tabel berikut

untuk melihat jumlah parsial dari susunan bilangan 2, 4, 8, 16, 32, ….

Tabel 5.2: Jumlah parsial suku-suku barisan u(n) = 2n

Deret Jumlah suku–suku Jumlah Potongan Kertas

s1 u1 2
s2 u1 + u2 6
s3 u1 + u2 + u3
s4 u1 + u2 + u3 + u4 ...
... ...

sn u1 + u2 + u3 + u4 ... + un ...
... ...

sn u1 + u2 + u…3 + u4 ... + un +

... ... ...

Amati data pada tabel yang kamu temukan. Dapatkah kamu menentukan suku
dengan n = 20? Berapa jumlah 2, 4, 8, 16, 32, …. , jika n → ∞ ?

Matematika 159

Masalah-5.3

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 9 meter ke lantai yang disajikan pada
gambar berikut

Gambar-5.3: Pantulan Bola

Bola memantul kembali secara terus menerus setinggi 2 dari ketinggian
3
sebelumnya.

a. Tentukanlah susunan bilangan yang menyatakan ketinggian pantulan bola

tersebut!

b. Tentukan panjang lintasan yang dilalui bola setelah memantul ke lantai!

Alternatif Penyelesaian

a. Ditemukan susunan bilangan dari hasil pantulan bola. 2

Dari masalah diketahui bahwa ketinggian pantulan bola adalah 3 dari ketinggian
pantulan sebelumnya. Dengan demikian ketinggian yang dicapai bola untuk tiap-

tiap pantulan ditentukan sebagai berikut.

Ketinggian bola awal = 9 m

Pantulan pertama = 2 × 9 = 6
3

Pantulan kedua = 2 × 6 = 4
3

Pantulan ketiga = 2 × 4 = 8
3 3

dan seterusnya …

160 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Tabel 5.1 Tinggi Pantulan Bola


Pantulan ke 123 4 ...
...
Tinggi pantulan (m) 6 4 8/3 16/9 ...
u4
Suku ke ... u1 u2 u3

• Coba kamu teruskan mengisi tabel pada pantulan berikutnya
• Apakah mungkin terjadi ketinggian pantulan bola sama dengan nol?

Pantulan bola diperlihatkan seperti gambar di bawah ini

tinggi

Cermati gambar di samping!
• Apakah bola suatu saat

akan berhenti?
• Bagaimana tinggi pantulan

bola untuk n menuju tak

hingga (n → ∞)

0 1 2 3 4 5 lantai

Gambar-5.4: Posisi Pantulan Bola

Berdasarkan perhitungan dan gambar di atas diperoleh susunan bilangan
menyatakan ketinggian pantulan bola, yaitu: 6, 4, 8 , 16 , 32 , …

3 9 18

9m 2 6m 2 4m 2 …
3 3 3
2
3

Matematika 161

Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berdekatan.

Nilai r dinyatakan: r= u2 = u3 = u4 =…= un . Jadi
u1 u2 u3 un−1

u1 = 9. 2=6 u1 = a
3

u2 = u1. 2 = 6. 2 =4 u2 = u1.r = ar
3 3 u3 = u2.r = ar.r = ar2
u4 = u3.r = ar2.r = ar3
u3 = u2. 2 = 4. 2 =8
3 33

u4 = u3. 2 = 8. 2 = 16
3 3 39

u5 = u4. 2 = 16 . 2 = 32 u5 = u4.r = ar3.r = ar4
3 9 3 27

Susunan bilangan 6, 4, 8 , 16 , 32 , 64 , 128 ,… dapat dinyatakan dalam
3 9 27 81 243

sebuah fungsi u(n) = 9( 2 )n , dengan n ∈ N.
3

Susunan bilangan di atas dapat diekspresikan sebagai barisan tak hingga.

a ar ar2 ….. arn-1 …..



1 2 3 … n

b. Ditentukan panjang lintasan yang dilalui bola untuk 10 kali pantulan.
Misalkan panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S.

s = 2 (u1 + u2 + u3 + u4 + …+ u10 )

⇔ s = 2 (u1 + u2 + u3 + u4 + …+ u10 ) − u1

⇔ s = 2s10

162 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Tabel 5.2: Jumlah Parsial Lintasan Bola

Deret Jumlah Nilai
s1 suku-suku
s2 6
u1
6 + 12 = 6(5) = 6(9 − 4)
u1 + u2 33 3

s3 u1 + u2 + u3 6 + 12 + 24 = 6(19) = 6( 27 − 8)
39 9 9

s4 u1 + u2 + u3 + u4 6 + 12 + 24 + 48 = 6( 65) = 6(81−16)
3 9 27 27 125

... ... ...

sn u1 + u2 + u3 + u4 + sn = 6( 3n − 2n )
... + un 3n−1

Berdasarkan tabel di atas deret bilangan tersebut adalah sebuah barisan jumlah,

s1, s2 , s3,..., sn ,... yaitu 6( 31 − 21 ), 6( 32 − 22 ), 6( 33 − 23 ), ... , 6( 3n − 2n )
30 31 32 3n−1

Jadi, panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah s=2s10 atau s = 6( 310 − 210 )
39

Perhatikan kembali susunan bilangan yang diperoleh dari Masalah-5.1, Masalah-5.2,
dan Masalah-5.3, yaitu:

• 1, r, r2, r3, r4, r5, … yang dinyatakan dalam fungsi u(n) = rn-1 dengan n ∈ N

• 2, 4, 8, 16, 32, … yang dinyatakan dalam fungsi u(n) = 2n-1 dengan n ∈ N.

• 6, 4, 8 , 16 , 32 , 64 , 128 ,… yang dinyatakan dalam fungsi u(n) = 9( 2 )n
3 9 27 81 243 3

dengan n ϵ N.

Berdasarkan beberapa model barisan bilangan di atas, dapat dipastikan bahwa
barisan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan bilangan asli (N) dan
rangenya adalah suatu himpunan (Rf) bagian dari S, ditulis f : N → S, Rf ⊆ S.

Matematika 163

Definisi 5.1

Barisan tak hingga objek di himpunan S adalah suatu fungsi u dengan daerah asal
(domain) himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya (range) suatu himpunan

Ru ⊆ S . Ditulis (un ), n ⊆ N .

Definisi 5.2

Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real dan sn = u1 + u2 + u3+ …+
un adalah jumlah parsial suku-suku barisan tak berhingga.
• Deret tak hingga adalah barisan jumlah parsial n suku barisan tak hingga.
Ditulis (sn), n ∈ N atau s1, s2,s3, …, sn, …

• Jumlah deret tak hingga adalah jumlah suku-suku barisan tak hingga. Ditulis

n=∞

∑ un = u1 + u2 + u3 +...

n=1

Contoh 5.1

Perhatikan barisan angka berikut:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ...
Amatilah barisan angka tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah angka pada urutan ke
44 × 53!

Alternatif Penyelesaian
Pertama, kita perlihatkan urutan setiap angka pada barisan, pada grafik berikut:

s

5

4  

3 

2 

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … n

GaGmabmarb-a5r.-55:.B5a: rBisaarnisSaenbSageabiaFguanigFsiungsi

164 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Jika kamu amati dengan teliti, kelompok angka 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 pada urutan
ke-1 sampai 10 berulang, bukan? Perulangan kelompok angka terjadi pada setiap
kelipatan 10 angka pertama. Jadi, angka pada urutan ke-1 sama dengan angka pada
urutan ke-11, urutan ke-21, urutan ke-31 dan seterusnya.

Kedua, angka pada urutan ke- 44 × 53 adalah angka pada urutan 256 × 125 = 32.000
atau 32000 = 3200 × 10 sehingga perulangan kelompok angka tersebut mengalami
perulangan sebanyak 3200 kali. Dengan demikian, angka pada urutan ke-32000
adalah angka pada urutan ke-10 yaitu 4.

Contoh 5.2

Sebuah susunan angka dituliskan sebagai berikut:
246810121416182022242628303234363840... dengan memandang setiap angka
adalah suku barisan bilangan sehingga suku ke-10 = 4, suku ke-11 = 1, suku ke-12
= 6 dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yang menempati suku ke-1457?

Alternatif Penyelesaian
Mari kita amati kembali barisan tersebut, dengan memandang setiap angka adalah

suku-suku barisan, maka susunan barisan menjadi:

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 ... ?
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u14 u15 u16 u17 u18 ... u2013

un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ...
Kita akan menentukan angka pada suku ke-1457, dengan menghitung banyak suku
pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut:

Langkah 1. Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (2 sampai 8): 2, 4,
6, 8

Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 4 = 4 suku.

Langkah 2. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 98)
10, 12, 14, 16, 18 terdapat 2 õ 5 suku = 10 suku
20, 22, 24, 26, 28 terdapat 2 õ 5 suku = 10 suku
...
90, 92, 94, 96, 98 terdapat 2 õ 5 suku = 10 suku

Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 10 = 90 suku. Jadi,
banyak suku pada barisan 2 sampai 98 adalah 4 + 90 = 94 suku.

Matematika 165

Langkah 3. Menentukan banyak suku pada barisan bilangan ratusan (100 sampai
998)

100, 102, 104, 106, 108, ..., 198 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku
200, 202, 204, 206, 208, ..., 298 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku
300, 302, 304, 306, 308, ..., 398 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku

...
900, 902, 904, 906, 908, ..., 998 terdapat 3 õ 50 suku = 150 suku

Banyak suku untuk barisan bilangan ratusan dari mulai 100 sampai 998 adalah
9 × 150 = 1350 suku

Jadi terdapat sebanyak 4 + 90 + 1350 = 1444 suku pada barisan bilangan 2 sampai
dengan 998 sehingga suku ke-1444 adalah 8. Suku berikutnya (suku ke-1457) adalah
barisan bilangan dengan bilangan ribuan sebagai berikut.

9 9 8 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 4 1

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ...

u1442 u1443 u1444 u1445 u1446 u1447 u1448 u1449 u1450 u1451 u1452 u1453 u1454 u1455 u1456 u1457

Bilangan pada suku ke-1457 adalah 1.

Sifat 5.1

Jika (un) adalah suatu barisan geometri dengan suku pertama adalah u1 = a

dan rasio = r dengan r ϵ R dan r < 1 maka jumlah tak hingga suku-suku barisan
tersebut adalah s = a .

1− r

Bukti:
Misalkan un = ar n-1 dengan -1 < r < 1, n ϵ N

Ingat kembali deret geometri yang telah kamu pelajari sebelumnya, telah diperoleh

bahwa …………… Pers-1
sn = a + ar + ar2 + … + ar n – 1

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan 1 dengan r, didapatkan Persamaan 2

berikut. …………… Pers-2
rsn = ar + ar2 + ar3 + … + ar n

Sekarang, dari selisih persamaan 1) dengan 2), diperoleh

166 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

sn – rsn = (a + ar + ar2 + … + ar n – 1) – (ar + ar2 + ar3 + … + ar n)
sn (1 – r) = a – arn
a − arn

1− r
sn =

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah

sn = a(1− rn ) , dengan r < 1.
1− r

Kita ingin menentukan jumlah tak berhingga suku-suku barisan geometri, ini, yaitu,

Sn bila n → ∞.

Karena rϵ R dan -1 < r < 1 dan n → ∞, maka

lim sn = lim a (1− rn ) = lim ( a r - rn r ) = 1 a r . Mengapa?
1− r 1− 1− −
n→∞ n→∞ n→∞

∞ a

= ar n−1 =
∑ s (terbukti)
n=1 1− r

• Coba pikirkan bagaimana jumlah suku-suku barisan geometri jika r ∈ R, r > 1

dan r < -1.
• Bagaimana jika r = 1 atau r = -1, coba beri contoh barisannya.

Contoh 5.3

Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 5 + 5 5 dan rasionya adalah 1 5 .
5
Tentukan suku pertama deret tersebut!

Alternatif Penyelesaian

Karena r = 1 5 < 1, maka jumlah tak hingga suku barisan
5
a
adalah a . sehingga 5+ 5 5 = 1 .
1− r 5 5
1−

⇔ a = (5 + 5 5 )(1 - 5 )

⇔ a = 5 5 + 5 5 -5
⇔ a=4

Dengan demikian suku pertama barisan tersebut adalah a = 4 5

Matematika 167

Contoh 5.4

Diberikan barisan bilangan 2, 4 , 8 , 16 , ..., 2n ,... dengan n ∈ N
• Tentukan suku ke-9! 3 9 27 3n−1

• Tentukan jumlah tak hingga barisan tersebut!

Alternatif Penyelesaian

Diketahui 2, 4 , 8 , 16 , ... , 2n ,... dengan n ∈ N
3 9 27 3n−1

(un) = 2n ,n∈N
3n−1
Suku ke-9 adalah u9 29 512
= 39−1 = 6561

un = , n ∈ N

Berati u1= a = 2 dan r = 2<1
3

Jumlah tak hingga suku-suku barisan 2, 4 , 8 , 16 , ... , 2n ,... dengan n ∈ N adalah
3 9 27 3n−1

∞ 2n ∞  2 n−1 2 2 2
3n−1 n=1  3  1− 2 1 3

n=1
∑ ∑s = = 2 = = =6 (karena r = < 1)

33

Jadi s = 6

Contoh 5.5

Jumlah deret geometri tak hingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-suku genap
adalah 2. Tentukan suku pertama deret itu!

Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 6, maka 6 = a dan
1− r

diperoleh nilai a = 6(1 - r).

Deret geometri tak hingga suku-suku genap adalah ar + ar3 + ar5 + ar7 + …, maka

rasionya adalah un+1 = ar n+2 = r2 .
un ar n

168 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Karena r < 1 atau -1 < r < 1, maka r2 <1 atau -1 < r2 < 1 dan jumlah tak hingga

suku-suku genapnya adalah
2 = ar ⇔ ar = 2(1 – r2)

1− r2
⇔ 6(1 – r)r = 2(1 – r2)

⇔ 6(1 – r)r = 2(1 – r)(1 + r)

⇔ 6r = 2(1 + r)

⇔r=1
2

r = 1 disubtitusikan ke persamaan a = 6(1– r). Sehingga diperoleh a = 3. Jadi suku
2

pertama deret geometri tak hingga tersebut adalah a = 3.

2. Barisan Konstan, Naik, dan Turun

Amatilah suku-suku beberapa barisan berikut

a. un = 1 , ∀n ∈ N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 ,1 ,1 ,1 , ,1 ,
2 2 2 2 2 2
1 ,1 …
22
b. un = -1, ∀n ∈ N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, -1, -1, -1, -1, -1, -1, …
c. un = k, ∀n ∈ N dan untuk suatu k ∈ R. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, k, k,

k, k, …

Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan

bahwa suku barisan pada poin (a), (b), dan (c), nilainya tetap atau sama untuk setiap
suku sampai n → ∞ . Jika suatu barisan dengan suku-sukunya sama atau tetap untuk
setiap n, n → ∞ , barisan itu disebut barisan konstan.

Matematika 169

Definisi 5.3

Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real.
Barisan (un) dikatakan barisan konstan jika dan hanya jika suku

sebelumnya selalu sama dengan suku berikutnya.

Ditulis (un) adalah barisan konstan ⇔ un = un+1, ∀n ∈ N .

Amatilah suku-suku dari beberapa barisan berikut

a. un = rn-1, ∀n ∈ N dengan 0 < r < 1. Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1, r, r2, r3,
…
b. un = , ∀n ∈ N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 , 1 , 1 , 1 ,...
2 345

c. un = ( 1 )n , ∀n ∈ N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1, 1 , 1 , 1 ,...
2 2 4 8 16

Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan

bahwa nilai suku barisan pada poin a, b, dan c, semakin besar urutan sukunya makin
kecil suku barisannya sampai n → ∞ . Jika suatu barisan memiliki suku-sukunya
makin kecil untuk suku sampai n → ∞ , barisan itu disebut barisan turun.

Definisi 5.4

Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real.
Barisan (un) dikatakan barisan turun jika dan hanya jika suku
berikutnya kurang dari suku sebelumnya.

Ditulis (un) disebut barisan turun ⇔ un = un+1, ∀n ∈ N .

Amatilah suku-suku dari beberapa barisan berikut.

a. un = (3)n , ∀n ∈ N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 3, 9, 27, 81, …

b. un = 1 , ∀n ∈ N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 1 , 1 , 1 , 1 ,...
n +1 2 3 4 5

c. un = n+1, ∀n ∈ N . Suku-suku barisan ini dapat ditulis, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …

170 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Berdasarkan data suku-suku setiap barisan yang diberikan di atas, dapat dikatakan
bahwa nilai suku barisan pada poin a, b, dan c, semakin besar urutan sukunya makin
besar nilai suku barisannya sampai n → ∞ . Jika suatu barisan memiliki nilai suku-
sukunya makin besar untuk suku sampai n → ∞ , barisan itu disebut barisan naik.

Definisi 5.5

Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real.
Barisan (un) dikatakan barisan naik jika dan hanya jika suku berikutnya

lebih dari suku sebelumnya.

Ditulis (un) adalah barisan konstan ⇔ un = un+1, ∀n ∈ N .

Perhatikan beberapa barisan berikut

a. Barisan: 1, 1, 1, 1, 1, … dengan un = 1, ∀n ∈ N . Barisan ini disebut barisan
konstan dengan nilainya tidak lebih dari 1 (satu).

b. Barisan -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, …, dengan un = (-1)n , ∀n ∈ N . Nilai mutlak suku-
suku barisan tersebut tidak lebih dari 1 (satu).

c. Barisan: 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,... dengan un = 1 , ∀n ∈ N . Barisan ini disebut barisan
2 345 n

turun dan suku-sukunya tidak lebih dari 1 (satu).

d. Barisan: …, -1, − 1 , − 1 , − 1, ..., 1,1,1, 1 ,... dengan un = ( −1)n 1  ,
35 7 246 8  n 
∀n ∈ N

Nilai mutlak suku-suku barisan ini tidak lebih dari 1 (satu) sampai n menuju tak

hingga. Barisan pada (a) sampai (d) merupakan barisan yang terbatas.

Definisi 5.6

Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real.
Barisan (un) dikatakan barisan terbatas jika dan hanya ada bilangan real M > 0

yang membawahi selur uh nilai mutlak suku barisan tersebut.

Ditulis (un) dikatakan barisan terbatas ⇔ (∃M ∈ R) M > 0 sehingga un = un ″ M
, ∀n ∈ N .

Matematika 171

Barisan pada a sampai d merupakan barisan yang terbatas.
Berdasarkan Definisi 5.6 di atas dapat diturunkan beberapa sifat berikut

Sifat 5.2

Jika (un) adalah suatu barisan geometri dengan suku pertama adalah u1 = a, a ≠ 0
dan rasio = r dengan r ∈ R dan r < –1 atau maka barisan tersebut tidak terbatas.

Contoh 5.6

Diberikan barisan un = 2n, n ∈ N. Selidiki apakah barisan tersebut terbatas.

Alternatif Penyelesaian

Suku-suku barisan un = (n), n ∈ N adalah 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, … Amatilah
suku-suku barisan tersebut! Semakin besar urutan suku barisan tersebut, semakin
besar sukunya dan naik menuju tak hingga.

Rasio barisan adalah r = un+1 = 2n+1 = 2 >1
un 2n

Barisan un = (2n), n ∈ N adalah barisan tak terbatas sebab berapapun kita pilih
M ∈ R, M > 0, maka ada suku barisan un yang lebih dari M. Dengan demikian ada

n ∈ N, sehingga un > M. Mengapa?

Contoh 5.7

Diberikan sbuakruis-asunkuun = (-1)n, n ∈ N . Bentuklah beberapa barisan tak hingga yang
baru dari barisan tersebut dan tentukan rumus fungsi dari barisan yang

telah dibentuk.

Alternatif Penyelesaian

Suku-suku barisan un = (-1)n, n ∈ N adalah -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, …
Kita dapat membentuk barisan tak hingga dari suku-suku barisan tersebut, dengan
cara mengambil suku-suku ganjil dan suku-suku genap untuk membentuk dua
kelompok barisan yang baru, yaitu:

172 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

a. Barisan -1, -1, -1, -1, -1, -1, … dengan rumus fungsinya u(n) = -1, ∀ n ∈ N.

b. Barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … dengan rumus fungsinya u(n) = 1, ∀ n ∈ N.

Kedua barisan yang baru dibentuk adalah barisan konstan, sebab sukunya sama
untuk setiap n ∈N. Selanjutnya kedua barisan tersebut adalah barisan terbatas, sebab
ada bilangan real M = 2 yang membawahi semua nilai suku-suku barisan tersebut
atau −1n < 2, ∀n ∈ N. Apakah nilai M = 1 membawahi semua nilai suku barisan
un = (-1)n, n ∈ N? Dapatkah kamu membentuk barisan yang lain dari suku-suku
barisan un = (-1)n, n ∈ N selain dari barisan bagian (a) dan (b)? Buatlah minimal 3
(tiga) barisan tak hingga yang baru dari suku-suku barisan pada Contoh 5.6 di atas
dan tentukan rumus fungsi barisan tersebut.

Uji Kompetensi 5.1

1. Dari setiap barisan berikut, tentukan selisih suku ke-25 dan suku ke-23

a. un = (−1)n + 1 n ∈ N

n

b. un = 1 + 1 2n , n ∈ N
n 

c. un =  n + 2 n , n ∈ N
 n + 1 

d. un =  −n  , n ∈ N
 n +1 

2. Dari setiap barisan berikut, tentukan selisih suku ke-25 dan suku ke-23.

a.1, 1 , 1 , 1 , 1 ,...
2345

b. un = (−1)n , n ∈ N

Matematika 173

c.10−5, 23, 253, 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,...
2345

d. un = n! , n∈ N
2n

3. Tunjukkanlah bahwa barisan di bawah ini adalah barisan naik atau turun atau
konstan.

a. un =  1  , n∈ N
 n 

b. un = (1)n , n∈N

c. un = 2n , n∈N
n
d. un =  n+2  , n∈ N
 n +1

4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika suku ketiga ditambah 2, maka
terbentuk barisan geometri dengan rasi (r) = 2. Tentukan suku-suku barisan
tersebut!

5. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilangan itu 292 dan
hasil kali bilangan itu 32.768. Tentukan barisan geometri tersebut!

6. Pola PQQRRRSSSSPQQRRRSSSSPQQRRRSSSS... berulang sampai tak
hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 26 34 ?

7. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan ganjil 1 3 5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 … Angka berapakah yang terletak pada bilangan
ke 2015 ? (suku ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 9)

8. Tentukan jumlah setiap deret berikut!

a. ∑ ∞  1 n
n=1  5 

∑∞ 1

b. n=1 (2n −1)(2n +1)

∑∞ 1

c. n=2 n (n −1)

∑ d. ∞ 3  − 1 n
n=0  3 

174 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

8. Tentukanlah jumlah semua bilangan asli di antara 1 sampai 200 yang habis dibagi
5!

10. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 meter. Setiap kali setelah
bola itu memantul, ia mencapai ketingggian

2 dari tinggi sebelum pemantulan. Tentukan panjang lintasan bola!
3

11. Beni berhasil lulus ujian saringan masuk PT (Perguruan Tinggi). Sebagai
mahasiswa, mulai bulan 1 Agustus 2013, ia menerima uang saku sebesar
Rp15.000.000,00 untuk satu triwulan. Uang saku ini diberikan setiap permulaan
triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya uang saku yang diterimanya dinaikkan
sebesar Rp2.500.000,00. Berapa besar uang saku yang akan diterima Beni pada
awal tahun 2018?

12. Banyaknya penduduk kota Medan pada tahun 2012, sebanyak 16 juta orang.
Setiap 15 tahun penduduk kota Medan bertambah menjadi dua kali lipat dari
jumlah semula. Berapakah banyaknya penduduk kota Medan pada tahun 1945?

13. Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian dengan panjang membentuk suatu barisan
geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 16 cm dan tali yang paling panjang
81 cm, maka panjang tali semula adalah ….

14. Sebuah bola pimpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali
dengan ketinggian 4/5 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus
menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah….

15. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 2, sedangkan jumlah suku-
suku yang bernomor ganjil (kecuali suku pertama) dan genap adalah 1. Tentukan
deret tersebut!

16. Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen. Misalnya,

pertumbuhan penduduk adalah 1,5% per tahun artinya jumlah penduduk bertambah

sebesar 1,5% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Pertambahan penduduk

menjadi dua kali setiap 30 tahun. Jumlah penduduk desa pada awalnya 100 orang,

berapakah jumlah penduduknya setelah 100 tahun apabila pertumbuhannya 2%?

17. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7 + 7 7 dan rasionya adalah 1 7 .
49
Tentukan suku pertama deret tersebut!

18. Jumlah suku-suku ganjil dari suatu deret tak hingga adalah 18. Jumlah tak hingga
suku-suku deret tersebut 24. Tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut!

19. Jumlah deret geometri tak hingga 1 p − 2 p2 + 8 p3 −... adalah 1 . Tentukan
2 5 25 3
nilai p!

Matematika 175

Projek

Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret
tak hingga dalam bidang fisika, teknologi informasi, dan masalah nyata
disekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret tak hingga
di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan
sajikan di depan kelas.

D. PENUTUP

Kita telah menemukan konsep barisan dan deret tak hingga dari pemecahan
masalah nyata beserta sifat-sifatnya. Beberapa hal penting sebagai simpulan dari
hasil pembahasan materi barisan dan deret tak hingga disajikan sebagai berikut :

1. Barisan tak hingga objek di himpunan S adalah suatu fungsi u dengan daerah asal
(domain) himpunan bilangan asli dan daerah hasilnya (range) suatu himpunan
Ru ⊆ S. Ditulis (un), n ∈ N.

2. Misalkan (un) sebuah barisan tak hingga bilangan real dan sn = u1 + u2 + u3+ …+
un adalah jumlah parsial suku-suku barisan tak berhingga.

• Deret tak hingga adalah barisan jumlah parsial n suku barisan tak hingga.
Ditulis (sn), n ∈ N atau s1, s2, s3, …, sn, …
• Jumlah deret tak hingga adalah jumlah suku-suku barisan tak hingga.

∑n=∞

Ditulis un =u1 + u2 + u3 +...
n=1

3. Barisan bilangan dikatakan barisan naik, jika dan hanya jika un < un+1, ∀n ∈ N .
4. Barisan bilangan dikatakan barisan turun, jika dan hanya jika un > un+1, ∀n ∈ N .
5. Sebuah barisan bilangan yang suku-sukunya naik atau turun tak terbatas, barisan

ini disebut barisan divergen.
6. Sebuah barisan bilangan yang semua sukunya sama disebut barisan konstan.

176 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Bab

6

TRIGONOMETRI

A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar

1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, ber- Melalui pembelajaran materi trigonometri, siswa
tanggungjawab, konsisten dan jujur serta memperoleh pengalaman belajar:
menerapkannya dalam kehidupan sehari–hari. • Menemukan konsep perbandingan trigonome-

2. Mendeskripsikan dan menganalisis aturan tri melalui pemecahan masalah otentik.
sinus dan kosinus serta menerapkannya dalam • Berkolaborasi memecahkan masalah aktual
menentukan luas daerah segitiga.
dengan pola interaksi sosial kultur.
3. Merancang dan mengajukan masalah nyata • Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan kreatif)
terkait luas segitiga dan menerapkan aturan
sinus dan kosinus untuk menyelesaikannya dalam menyelidiki dan mengaplikasikan kon-
sep trigonometri dalam memecahkan masalah
otentik

• Aturan sinus
• Aturan kosinus
• Luas segitiga

B. PETA KONSEP Segitiga Materi
Trigonometri prasyarat
Masalah
Otentik

Aturan sinus Aturan kosinus

Luas daerah
segitiga

178 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

C. MATERI PEMBELAJARAN

1. Aturan Sinus
Pada pelajaran trigonometri di kelas X, kamu telah belajar konsep trigonometri

untuk segitiga siku-siku. Pada bahasan ini kita akan menemukan rumus-rumus
trigonometri yang berlaku pada sebarang segitiga. Permasalahan pada segitiga
adalah menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga. Jika hanya sebuah panjang
sisi segitiga diketahui, apakah kamu dapat menentukan panjang sisi-sisi yang lain?
Atau kamu dapat menentukan besar sudutnya? Sebaliknya, jika hanya sebuah sudut
segitiga yang diketahui, apakah kamu dapat menentukan besar sudut-sudut yang
lain dan panjang sisi-sisinya? Pertanyaan selanjutnya adalah apa saja yang harus
diketahui agar kamu mampu menyelesaikan masalah segitiga tersebut? Agar kamu
dapat memahaminya, pelajarilah masalah-masalah berikut.

Masalah-6.1

Jalan k dan jalan l berpotongan di kota A. Dinas tata ruang kota ingin
menghubungkan kota B dengan kota C dengan membangun jalan m dan
memotong kedua jalan yang ada, seperti yang ditunjukkan Gambar 6.1 di
bawah. Jika jarak antara kota A dan kota C adalah 5 km, sudut yang dibentuk
jalan m dengan jalan l adalah 75◦ dan sudut yang dibentuk jalan k dan jalan m
adalah 30◦. Tentukanlah jarak kota A dengan kota B!

Jalan l

A

B C Jalan m
Jalan k
Gambar 6.1. Jalan k, l, dan m.

Matematika 179

Alternatif Penyelesaian ke-1
(dengan memanfaatkan garis tinggi pada segitiga)
Untuk memudahkah perhitungan, kita bentuk garis tinggi AD, dimana garis AD tegak
lurus dengan garis BC, seperti Gambar 6.2 berikut.

Jalan l

A

B C Jalan m
Jalan k D

Gambar 6.2. Segitiga ABC dengan garis tinggi AD

Ingat kembali konsep sinus pada segitiga siku-siku.

Perhatikan ∆ABD!

Dalam ∆ABD, diperoleh bahwa: sin B = AD atau AD = AB. sin B…............(1)
AB

Dalam ∆ADC, diperoleh bahwa: sin C = AD atau AD = AC. sin C…...........(2)
AC

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh bahwa: AB. sin B = AC. sin C………(3)

Diketahui bahwa ∠ C = 750; ∠ B = 300; dan jarak AC = 5.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan (3) maka diperoleh

AB. sin B = AC. sin C
AB × sin 300 = 5 × sin 750 (gunakan tabel sinus atau kalkulator, sinus 750 = 0, 965)

AB 5´0, 965
=1

2
= 10 × 0,965

= 9, 65

Jadi, jarak kota A dengan kota B adalah 9, 65 km.

180 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Perhatikan Gambar 6.3 berikut. A
b c

Q

C PB
a

Gambar 6.3 Segitiga ABC

Dari Gambar 6.3 di samping, diketahui bahwa ∆ ABC dengan panjang sisi-sisinya
adalah a, b, dan c. Garis AP merupakan garis tinggi, dimana BC ⊥ AP dan garis CQ
merupakan garis tinggi, dimana CQ ⊥ AB.

Dari ∆ABP diperoleh, sin B = AP atau AP = c sin B …………………...(1)
c

Dari ∆ACP diperoleh, sin C = AP atau AP = b sin C ..............................(2)
b

Dari Persamaan (1) dan (2) diperoleh, c sin B = b sin C

(kalikan kedua ruas dengan 1 )
sin B sin C

c sin B = bsin C
sin B sin C sin B sin C

Maka diperoleh, c C =b ………………………………………....(3)
sin sin B

Dari ∆ACQ diperoleh, sin A = CQ atau CQ = b sin A ………………....(4)
b

Dari ∆BCQ diperoleh, sin B = CQ atau CQ = a sin B ………………....(5)
a

Dari Persamaan (4) dan (5) diperoleh, b sin A = a sin B

(kalikan kedua ruas dengan 1 )
sin B sin C

bsin A = a sin B
sin Asin B sin Asin B

Matematika 181

Maka diperoleh, b B = a A ………………………………………… (6)
sin sin

Berdasarkan persamaan (3) dan (6), maka diperoleh

=a =b c
sin A sin B sin C

Alternatif Penyelesaian ke-2
Perhatikan kembali Gambar 6.4 berikut.

∆ABC lancip dan AD dan BE merupakan
diameter lingkaran O dengan jari-jari r.

Panjang garis AB = c; AC = b; BC = a;
AD = BE = 2r.
∠ ABC = ∠ ADC = β;
∠ ACB = ∠ AEB = ø
dan ∠ ACD adalah sudut siku-siku = 900.

Gambar 6.4. ∆ABC pada lingkaran O

Dari ∆ACD diperoleh

sin β = AC = b sehingga 2r = b .....................................................................(1)
AD 2r sin β

Dari ∆BAE diperoleh

sinθ = AB = c sehingga 2r = c ......................................................................(2)
BE 2r sinθ

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) di peroleh b = c
sin β sinθ
Latihan
Dengan menggunakan ∠ BAC = α, buktikanlah bahwa 2r = a .
sin α

Dari uraian di atas, maka disimpulkan aturan sinus pada segitiga seperti berikut.

182 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Aturan Sinus segitiga ABC, dengQan panjang rP b, c q ∠ A,
Untuk sembarang sisi-sisi a, dan

∠ B, ∠ C, berlaku =a =b c . p R
sin A sin B sin C

Latihan 6.1.

Untuk segitiga tumpul PQR di samping, buktikanlah bahwa

=p =q r berlaku.
sin P sin Q sin R

Alternatif Penyelesaian
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
sin P = QX .............................................................................................................(1)

r
sin R = QX .............................................................................................................(2)

P
berdasarkan (1) dan (2) diperoleh
QX = r sin P dan QX = p sin R
karena QX = QX maka
r sin P = p sin R sehingga r = p (terbukti)

sin R sin P

Matematika 183

Contoh 6.1

Perhatikan segitiga ABC berikut. Panjang AB = 8, BC = 8 2 , AC = b, sudut BAC
= 45o, sudut ACB = yo dan sudut ABC = xo. Dengan memanfaatkan tabel sinus pada
sudut xo maka tentukan panjang b.

Gambar 6.5 Segitiga ABC

Alternatif Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan sinus maka diperoleh:

BC = AB ⇔ 8 2 = 8
sin A sin yo sin 45o sin yo

⇔8 2= 8
1 2 sin yo
2

⇔16 = 8 o
sin y

⇔ sin yo = 1 atau yo =30o
2

Dengan mengingat konsep sudut pada segitiga yaitu ∠A + ∠B + ∠C = 180o sehingga
45o + 30o + xo = 180o atau xo = 105o. Dengan menggunakan aturan sinus kembali
maka diperoleh:

184 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

AC = AB ⇔ b = 8
sin xo sin yo sin105o sin 30o

⇔ b =8
sin105o 1

2

⇔ b =16
sin105o

⇔b = 16.sin 105o

Dengan memanfaatkan tabel sinus atau kalkulator maka diperoleh:
b = 16.sin 105o = 16 × 0,9659 = 15,4548.
Jadi, panjang sisi AC adalah 15,4548 satuan panjang.

2. Aturan Cosinus

Perhatikan Gambar 6.6 di bawah! Pada segitiga (i), diketahui panjang ketiga
sisinya, sedangkan pada segitiga (ii), diketahui sebuah sudut dan dua buah sisi yang
mengapitnya. Bagaimana cara Anda mengetahui ukuran sudut dan sisi lainnya dari
kedua segitiga tersebut?

s

s s
s
sd
(i) s

(ii)

Gambar 6.6. Segitiga jika diketahui (s, s, s) dan (s, sd, s)

Untuk menemukan konsep aturan kosinus dalam segitiga, pelajarilah Masalah 6.2
berikut.

Masalah-6.2

Dua kapal tanker berangkat 6d0a◦ri. titik yang sama dengan arah berbeda
sehingga membentuk sudut Jika kapal pertama bergerak dengan

kecepatan 30 km/jam, dan kapal kedua bergerak dengan kecepatan 25 km/

jam. Tentukanlah jarak kedua kapal setelah berlayar selama 2 jam perjalanan.

Matematika 185

Alternatif Penyelesaian

Untuk memudahkan penyelesaian masalah di atas, kita asumsikan bahwa pergerakan
kapal membentuk segitiga seperti gambar di bawah.

A

60○
b

c

C

aB

Gambar 6.7 Segitiga ABC dengan sudut A = 60o

Dari gambar di atas, dapat kita misalkan beberapa hal sebagai berikut.
- Titik A merupakan titik keberangkatan kedua kapal tersebut.
- Besar sudut A merupakan sudut yang dibentuk lintasan kapal yang berbeda yaitu

sebesar 600.
- AB merupakan jarak yang ditempuh kapal pertama selama 2 jam dengan kecepatan

30 km/jam, sehingga AB = 60 km.
- AC merupakan jarak yang ditempuh kapal kedua selama 2 jam perjalanan dengan

kecepatan 25 km/jam, sehingga AC = 50 km.
- BC merupakan jarak kedua kapal setelah menempuh perjalanan selama 2 jam

karena itu, pertanyaan yang harus dijawab adalah berapakah BC.

Agar kita dapat menentukan jarak BC, C
maka kita perlukan gambar berikut. Garis
CP merupakan garis tinggi segitiga ABC, b
a
dimana CP ⊥ AB. Misalkan panjang AP
adalah x maka panjang BP adalah (c – x).

Perhatikan ∆ACP! x B
Dari ∆ACP berlaku: AC2 = AP2 + CP2 A c-x
atau CP2 = AC2 – AP2.
P

c

Gambar 6.8 Segitiga ABC dengan garis tinggi CP

Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh, maka CP2 =b2 - x2 ........(1)
Dari ∆BPC berlaku: BC2 = BP2 + CP2 atau CP2 = BC2 – BP2.

186 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh,

CP2 = a2 – (c - x)2 = a2 – c2 + 2cx – x2 ........................................................................(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:
b2 - x2 = a2 – c2 + 2cx – x2
b2 = a2 – c2 + 2cx – x2 + x2
b2 = a2 – c2 + 2cx

atau

a2 = b2 + c2 - 2cx..................................................................................................(3)

Berdasarkan ∆APC, diperoleh

cos A = x , maka x = b cos A.....................................................................................(4)
b

dengan mensubstitusi persamaan. (4) ke dalam persamaan (3), maka diperoleh:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A.............................................................................................(5)

Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang telah diketahui ke dalam persamaan (5) maka

diperoleh

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

= 502 + 602 – (2×50×60×cos 600)

= 2500 + 3600 – (600× 1 )
2

= 4100 – 300

= 3800

Maka jarak antara kedua kapal tanker tersebut setelah perjalanan selama 2 jam adalah
3800 km.

Berdasarkan Alternatif Penyelesaian pada Masalah 6.2 di atas, ditemukan aturan
kosinus pada sebarang segitiga sebagai berikut.

Aturan Cosinus
Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠ A, ∠ B,
∠ C, berlaku

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Matematika 187

Contoh 6.2

Perhatikan gambar berikut. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut.

Gambar 6.9 Segitiga PQR dengan sudut P = 60o

Alternatif Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh:
RQ2 = PR2 + PQ2 – 2.PR.PQ.cos 60o
(2 x + 2 )2 = (x + 1)2 + (x – 1)2 – 2.(x + 1).(x – 1).cos 60o
4(x + 2) = (x + 1)2 + (x – 1)2 – (x + 1).(x - 1)
4x + 8 = x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1 – x2 + 1
x2 – 4x – 5 = 0 (ingat konsep persamaan kuadrat)
(x – 5)(x + 1) = 0
sehingga nilai x yang ditemukan adalah x = 5 dan x = -1. Nilai x yang memenuhi
adalah x = 5 sehingga panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah 4, 6 dan 2 7 .

3. Luas Segitiga C

Masalah-6.3 16

Sebidang tanah berbentuk segitiga 30○ PB
ABC seperti pada gambar di samping. A
Panjang sisi AB adalah 30 m, panjang
sisi BC adalah 16 m dan besar sudut 30
BAC adalah 300. Jika tanah itu dijual Gambar 6.10. Segitiga ABC
dengan harga Rp250.000,00 untuk
setiap meter persegi. Tentukan harga
penjualan tanah tersebut.

188 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Alternatif Penyelesaian

Garis CP merupakan garis tinggi segitiga ABC sehingga CP tegak lurus AB .

Luas ∆ABC = 1 × AB × CP......................................................(1)
2

Dari segitiga ACP diketahui

sin A = CP , sehingga CP = AC × sin A..................................(2)
AC

Dengan mensubstitusikan pers (2) ke pers. (1) diperoleh

Luas ∆ABC = 1 × AB × AC × sin A
2

= 1 × 30 × 16 × sin 300
2

= 120

Maka luas tanah tersebut adalah 120 m2.

Jika harga 1 m2 tanah adalah Rp250.000,00, maka harga jual tanah tersebut ditentukan
dengan 120 × 250.000 = 30.000.000.

Maka harga jual tanah tersebut adalah Rp30.000.000,00

Perhatikan Gambar 6.11 berikut.

Gambar 6.11 Segitiga ABC
Garis BP merupakan garis tinggi ∆ABC sehingga AC tegak lurus BP . Panjang sisi
AB, AC, dan BC berturut-turut adalah c, b, dan a.
Ingat kembali rumus menentukan luas daerah segitiga.
Luas ∆ABC= 1 × AC × BP......................................................(1)

2

Matematika 189

Dari segitiga ABP diketahui
sin A = BP , sehingga BP = AB × sin A...................................(2)

AB

Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh

Luas ∆ABC = 1 × AC × BP
2

Luas ∆ABC = 1 × AC × AB × sin A
2

Luas ∆ABC = 1 × b × c × sin A
2

Perhatikan Gambar 6.12 berikut.

Garis AQ merupakan garis tinggi ∆ABC sehingga BC B
Qa
tegak lurus AQ . Panjang sisi AB, AC, dan BC c
berturut-turut adalah c, b, dan a.

A bC

Gambar 6.12 Segitiga ABC

Luas ∆ABC= 1 × BC × AQ ......................................................(1)
2
Dari segitiga ABQ diketahui

sin B = AQ , sehingga AQ = AB × sin B ..................................(2)
AB

Dengan mensubstitusikan pers (2) ke pers. (1) diperoleh

Luas ∆ABC = 1 × BC × AQ
2

Luas ∆ABC = 1 × BC × AB × sin B
2

Luas ∆ABC = 1 × a × c × sin B
2

190 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1

Latihan 6.2
Dengan menggunakan ∆BPC pada Gambar 6.11 dan ∆AQC pada Gambar 6.12,

tentukanlah rumus Luas ∆ABC.
Berdasarkan penyelesaian uraian-uraian di atas, ditemukan rumus luas sebarang
segitiga sebagai berikut.

Definisi 6.1
Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c dan ∠ A, ∠ B,
∠ C, berlaku Luas ∆ABC = 1 × ab sin C = 1 × bc sin A = 1 × ac sin B.

2 22

Latihan 6.3
Dengan menggunakan segitiga ABC tumpul seperti Gambar 6.13 dibawah, buktikan
bahwa Luas ∆ABC = 1 × bc sin A.

2

Gambar 6.13. Segitiga tumpul ABC

Berdasarkan Gambar 6.13 diperoleh

ΔBQA siku-siku di Q, sehingga

BQ = c sin A dan diperoleh juga BQ = a sin C

karena Luas ΔABC = 1 ´BQ´b = 1 bsin C
2 2

Matematika 191

Contoh 6.3

Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang
AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.

Gambar 6.14 Segiempat ABCD pada lingkaran L

Tentukan luas segiempat ABCD dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.

Alternatif Penyelesaian
Langkah 1.
Bagi daerah ABCD menjadi dua bagian dengan menarik garis AC atau BD. Misalkan,
kita pilih garis BD sehingga gambar menjadi:

Gambar 6.15 Daerah segiempat ABCD terbagi atas dua segitiga

192 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1