แบบฝึกทักษะเรื่อง-การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง-เล่ม-5

แบบฝึกทกั ษะ

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2

เล่มท่ี 5

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดียว
ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a, b และ c เปน็ จานวนเต็ม
และ a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

จดั ทาโดย ครูชูเกยี รติ สยุ ะลังกา

ตาแหนง่ ครูวทิ ยฐานะชานาญการ
โรงเรยี นวัชรวทิ ยา

สานกั งานเขตพื้นทก่ี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 41

แบบฝกึ ทกั ษะ

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เลม่ ที่ 5

การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องตัวแปรเดยี ว
ในรปู ax2+bx+c เมอื่ a, b และ c เปน็ จานวนเตม็
และ a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

จัดทาโดย... ครชู เู กยี รติ สยุ ะลงั กา

ตาแหนง่ ครู วทิ ยฐานะครชู านาญการ
โรงเรยี นวัชรวทิ ยา

สานกั งานเขตพน้ื ทก่ี ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 41 ก

คานา

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2
เล่มนี ้จดั ทาขนึ ้ เพ่อื ใช้เป็นสื่อประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนที่ใช้ควบค่กู บั
แผนการจดั การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม รายวชิ า ค22202 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
ซง่ึ ได้จดั ทาทงั้ หมด จานวน 8 เลม่ ได้แก่

เลม่ ที่ 1 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง
เล่มที่ 2 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารสลบั ท่ีและสมบตั ิการเปลี่ยนหมู่
เลม่ ท่ี 3 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เมื่อ a, b เป็นจานวนเต็ม และ c = 0
เลม่ ท่ี 4 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ c ≠ 0
เล่มที่ 5 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เมื่อ a, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ a ≠ 0, a ≠ 1,
c≠0
เล่มที่ 6 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
เล่มที่ 7 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็นผลต่างของกาลงั สอง
เลม่ ที่ 8 การประยกุ ต์เก่ียวกบั พหนุ ามดีกรีสองที่เป็นผลตา่ งของกาลงั สอง

ผ้จู ดั ทาหวงั เป็นอย่างยง่ิ ว่า แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ดีกรีสองชดุ นี ้จะเป็นประโยชน์ตอ่ การจดั กิจกรรมการเรียนการสอนของครูได้เป็นอย่างดี
และช่วยยกระดบั ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนของนกั เรียนในวชิ าคณิตศาสตร์ให้สงู ขนึ ้

ชูเกยี รติ สุยะลังกา

สารบญั ข

เร่ือง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาแนะนาสาหรับครู 1
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 2
มาตรฐานการเรียนรู้ 3
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 4
แบบทดสอบก่อนเรียน 5
เนือ้ หาบทเรียน 7
แบบฝึกทกั ษะที่ 1 12
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 14
แบบฝึกทกั ษะที่ 3 15
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 16
แบบทดสอบหลงั เรียน 18
เกณฑ์การให้คะแนน 20
การผา่ นเกณฑ์การประเมิน 21
แบบบนั ทกึ คะแนน 22
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 25
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 2 27
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 3 28
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 4 29
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน 31

คารับรองของผ้บู งั คบั บญั ชา 32 1

คาแนะนาสาหรบั ครู

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2
เล่มท่ี 5 เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว
ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b และ c เป็ นจานวนเตม็ และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0
ให้ครูอ่านคาแนะนาและปฏบิ ตั ิตามขนั้ ตอน ดงั นี ้

1. ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ประกอบแผนการ
จดั การเรียนรู้ท่ี 8 – 9 จานวน 2 ชวั่ โมง

2. ทบทวนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว
ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ c ≠ 0 และศกึ ษาเนือ้ หา
ในแบบฝึกทกั ษะเลม่ นีใ้ ห้เข้าใจก่อน

3. แจ้งจดุ ประสงค์การเรียนรู้ให้นกั เรียนทราบ ให้นกั เรียนอา่ นคาแนะนาการใช้
แบบฝึกทกั ษะและปฏิบตั ติ ามคาแนะนาทกุ ขนั้ ตอน

4. จดั กิจกรรมการเรียนการสอนตามขนั้ ตอนที่กาหนดไว้ในแผนการจดั การเรียนรู้
5. สงั เกต ดแู ล และให้คาแนะนานกั เรียน เม่ือพบปัญหา เชน่ ไม่เข้าใจ ทาไม่ได้
โดยการอธิบายหรือยกตวั อย่างเพมิ่ เตมิ ให้กบั นกั เรียน
6. ควรใช้เวลา 15 – 20 นาที ในการทาแบบฝึกทกั ษะ
7. เมื่อนกั เรียนทากิจกรรมทกุ กิจกรรมเสร็จสนิ ้ ทกุ ขนั้ ตอนแล้ว ให้นกั เรียนบนั ทกึ
คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียนลงในแบบบนั ทกึ
คะแนนในเลม่ ของตนเอง เพอ่ื ประเมนิ ความก้าวหน้าของตนเอง
8. ครูควรจดั ซอ่ มเสริมนกั เรียนท่ีมีผลการทดสอบไมผ่ า่ นเกณฑ์ท่ีกาหนด
9. ครูควรให้กาลงั ใจ คาแนะนา หรือเทคนคิ วธิ ีที่เหมาะกบั ความแตกต่าง

ของนกั เรียนแต่ละคน 2

คาแนะนาสาหรับนกั เรยี น

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2
เล่มท่ี 5 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว
ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b และ c เป็ นจานวนเตม็ และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0
ใช้เพอื่ ฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม หลงั จากเรียนเนือ้ หาในบทเรียน
เสร็จสนิ ้ แล้ว ซงึ่ นกั เรียนควรปฏิบตั ิตามคาแนะนาตอ่ ไปนี ้

1. ศกึ ษาและทาความเข้าใจจดุ ประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝึกทกั ษะ
2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน จานวน 10 ข้อ เพอ่ื วดั ความรู้พนื ้ ฐาน
3. ศกึ ษาเนือ้ หาในบทเรียนและตวั อยา่ งให้เข้าใจ หรือถามครูให้ช่วยอธิบาย
เพมิ่ เตมิ ก่อนทาแบบฝึกทกั ษะแต่ละชดุ
4. ให้นกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะที่ 1 จานวน 10 ข้อ และแบบฝึกทกั ษะที่ 2
จานวน 15 ข้อ ใช้เวลา 15 – 20 นาที และทาแบบฝึกทกั ษะที่ 3 จานวน 15 ข้อ และ
แบบฝึกทกั ษะท่ี 4 จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 15 – 20 นาที
5. เม่ือทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จสนิ ้ ตามเวลาที่กาหนด ให้นกั เรียนตรวจคาตอบ
ด้วยตนเองจากเฉลยในสว่ นภาคผนวก
6. ให้ทาแบบทดสอบหลงั เรียน จานวน 10 ข้อ และตรวจคาตอบด้วยตนเอง
จากเฉลยในสว่ นภาคผนวก
7. บนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และแบบทดสอบหลงั เรียน ลงในแบบบนั ทกึ คะแนนของแตล่ ะคน เพือ่ ประเมิน
การพฒั นาและความก้าวหน้าของตนเอง

8. ในการปฏิบตั กิ ิจกรรมทกุ ครัง้ นกั เรียนควรซ่ือสตั ย์ตอ่ ตนเอง โดยไม่เปิดเฉลย
แล้วตอบ หรือลอกคาตอบจากเพอื่ น

3

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 4 : พีชคณิต
มาตรฐาน ค 4.1: เข้าใจและวเิ คราะห์แบบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์ และ

ฟังก์ชนั

สาระท่ี 6: ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1: มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตผุ ล การส่ือสาร

การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ
การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อืน่ ๆ และมีความคดิ ริเร่ิมสร้างสรรค์

ผลการเรียนรู้

แยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีอย่ใู นรูป ax2 + bx + c
เมือ่ a,b,c เป็นค่าคงตวั และ a  0 ได้

4

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

ด้านความรู้

นกั เรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ a ≠ 0, a ≠ 1,
c ≠ 0 ได้

ด้านทกั ษะกระบวนการ

1. การให้เหตผุ ล
2. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนาเสนอ
3. การเชื่อมโยง

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

1. มีวินยั
2. ใฝ่เรียนรู้
3. มีความม่งุ มนั่ ในการทางาน

5

แบบทดสอบก่อนเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอ่านคาถามตอ่ ไปนี ้แล้วเขียนเครื่องหมาย X บนตวั เลือก
ท่ีถกู ต้องท่ีสดุ เพียงข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 2x2 – 13x – 7

ก. (2x – 7)(x + 1) ข. (2x + 7)(x – 1)

ค. (2x – 1)(x + 7) ง. (2x + 1)(x – 7)

2. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 2x2 + 17x – 30

ก. (2x – 10)(x + 3) ข. (2x – 3)(x + 10)

ค. (2x + 10)(x – 3) ง. (2x + 3)(x – 10)

3. พหนุ าม 2x2 – x – 36 แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. (2x – 9)(x + 4) ข. (2x – 4)(x + 9)

ค. (2x + 9)(x – 4) ง. (2x + 4)(x – 9)

4. จากพหนุ าม 2x2 – x – 36 เขียนพหนุ ามให้อย่ใู นรูป ax2 + bx + c แล้วข้อใดต่อไปนี ้

ถกู ต้อง

ก. a = 2, b = 1, c = 36 ข. a = -2, b = 1, c = 36

ค. a = 2, b = -1, c = -36 ง. a = 2, b = 0, c = -36

5. พหนุ าม 8x2 – 42x + 27 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (4x – 3)(2x + 9) ข. (4x + 9)(2x – 3)

ค. (4x – 3)(2x – 9) ง. (4x – 9)(2x + 3) 6

6. ข้อใดเป็นตวั ประกอบของพหนุ าม 8x2 – 2x – 15

ก. (2x – 3) ข. (4x – 5)

ค. (2x + 3) ง. (2x + 5)

7. (2x – 9)(2x + 9) เป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อใด

ก. 2x2 + 18x – 81 ข. 4x2 + 18x – 81

ค. 4x2 – 81 ง. 2x2 – 81

8. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 3x2 – 11x – 20

ก. (3x + 5)(x – 4) ข. (3x + 4)(x – 5)

ค. (3x – 5)(x + 4) ง. (3x – 4)(x + 4)

9. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 4x2 + 4x – 35

ก. (2x – 7)(2x + 5) ข. (2x – 5)(2x + 7)

ค. (-2x + 7)(2x – 5) ง. (-2x + 5)(2x – 7)

10. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 3x2 - 25x + 42

ก. (3x – 7)(x – 6) ข. (3x + 7)(x + 6)

ค. (3x + 7)(x – 6) ง. (3x – 7)(x + 6)

ทาข้อสอบก่อนเรียน
กนั แล้ว เราไปลุย
เนือ้ หากนั เลยครับ

7

เนื้อหาบทเรยี น

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c
เม่ือ a, b และ c เป็ นจานวนเตม็ และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0

จากที่นกั เรียนได้ศกึ ษาการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม ในรูป ax2 + bx + c
เมื่อ a = 1 และ c ≠ 0 แล้ว ทาให้นกั เรียนสามารถบอกได้วา่ a, b และ c มีค่าเท่ากบั
เทา่ ไร โดยมีความรู้วา่ ax2 คือพจน์หน้า bx คือพจน์กลาง และ c คือ พจน์หลัง
ซงึ่ ในบทเรียนนี ้มีหลกั การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม ในรูป ax2+ bx + c เมื่อ a ≠ 0,
a ≠ 1 และ c ≠ 0 ดงั ตวั อย่างต่อไปนี ้

ตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ 8x2 – 26x + 15

วิธีทา 8x2 – 26x + 15 = (2x – 5)(4x – 3)
ตรวจสอบ
-6x
+ พจน์กลาง = -26x

-20x

(2x - 5)(4x - 3)

15 พจน์หลงั หรือ c
8x2 พจน์หน้า หรือ ax2

ดงั นนั ้ 8x2 – 26x + 15 = (2x – 5)(4x – 3)

ข้อสังเกต การแยกตวั ประกอบมีหลกั การง่าย ๆ ดงั นี ้ 8
1. แยกตวั ประกอบของพจน์หน้า (ax2) แล้วนาไปใสใ่ นตาแหนง่ ซ้าย
ของทงั้ สองวงเลบ็ ดงั เชน่ (2x )(4x )

2. แยกตวั ประกอบของพจน์หลงั (c) แล้วนาไปใส่ในตาแหน่งขวา
ของทงั้ สองวงเล็บ ดงั เชน่ (2x – 5)(4x – 3)

3. ตรวจสอบความถกู ต้องของการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม ดงั นี ้
3.1 นาเอกนามตวั หลงั ของวงเลบ็ แรก (-5) คณู กบั เอกนาม
ตวั แรกของวงเล็บหลงั (4x) ดงั เชน่ (-5)(4x) = -20x
(หรือเรียกว่า ตวั ใกล้ x ตวั ใกล้)
3.2 นาเอกนามตวั แรกของวงเลบ็ แรก (2x) คณู กบั เอกนาม
ตวั หลงั ของวงเล็บหลงั (-3) ดงั เช่น (2x)(-3) = -6x
(หรือเรียกวา่ ตวั ไกล x ตวั ไกล)
3.3 นาผลลพั ธ์ท่ีได้จากข้อ 3.1 และ 3.2 มาบวกกนั ดงั เชน่
(-20x) + (-6x) = -26x ซง่ึ ผลลพั ธ์ท่ีได้จะต้องมีคา่ เทา่ กบั พจน์
กลางของพหนุ าม นนั่ คือ -26x นนั่ เอง
3.4 สรุป ๆ งา่ ย คือ เม่ือเราแยกตวั ประกอบแล้วนาไปใสใ่ นวงเลบ็
ให้นาเอกนามท่ีอย่ใู กล้กนั มาคณู กนั นาเอกนามที่อย่ไู กลกนั
คณู กนั แล้วหาผลบวกที่ได้จากการคณู เพอ่ื ตรวจสอบผลบวก
ท่ีได้วา่ ตรงกบั พจน์กลางของพหนุ ามที่กาหนดให้หรือไม่ หรือ
เรียกสนั้ ๆ งา่ ยๆ ว่า “ใกล้คณู ใกล้ ไกลคณู ไกล บวกกนั ได้พจน์
กลางอยา่ งไรละครับ”

ตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 + 13x + 10

วิธีทา 4x2 + 13x + 10 = (4x + 5)(x + 2)

ตรวจสอบ 8x
+ พจน์กลาง = 13x
5x (ใกล้)(ใกล้)
+
(4x + 5)(x + 2)
(ไกล)(ไกล)
พจน์กลาง

10 พจน์หลัง หรือ c
4x2 พจน์หน้า หรือ ax2

ดงั นนั ้ 4x2 + 13x + 10 = (4x + 5)(x + 2) 9

ตวั อย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ 12x2 + 5x – 2 (ใกล้)(ใกล้)
+
วิธีทา 12x2 + 5x – 2 = (4x – 1)(3x + 2)
(ไกล)(ไกล)
ตรวจสอบ 8x พจน์กลาง
+ พจน์กลาง = 5x
-3x

(4x - 1)(3x + 2)

-2 พจน์หลัง หรือ c

12x พจน์หน้า หรือ ax2

2

ดงั นนั ้ 4x2 + 13x + 10 = (4x + 5)(x + 2)

ตวั อย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ 6x2 – 10x – 4 ดงึ 2 ออกจาก
ทกุ พจน์นะครับ
วิธีท่ี 1 6x2 – 10x – 4 = 2(3x2 – 5x – 2)
ดงั นนั ้ 6x2 – 10x – 4 = 2(3x + 1)(x – 2) ดงึ 2 ออกจาก

วิธีท่ี 2 6x2 – 10x – 4 = (3x + 1)(2x – 4) (2x - 4)
= (3x + 1)2(x – 2)
ดงึ 2 ออกจาก
ดงั นนั ้ 6x2 – 10x – 4 = 2(3x + 1)(x – 2)
(6x + 2)
วิธีท่ี 3 6x2 – 10x – 4 = (6x + 2)(x – 2)
ดงั นนั ้ 6x2 – 10x – 4 = 2(3x + 1)(x – 2)

ข้อสังเกต

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในตวั อย่างท่ี 4
อาจใช้วธิ ีที่ 1 วิธีท่ี 2 หรือวิธีที่ 3 ก็ได้นะครับ
แตว่ ิธีที่ 1 เป็นวิธีท่ีง่ายที่สดุ ครับ ^^

10

ตวั อย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ -3x2 + 10x + 8

วธิ ีท่ี 1 -3x2 + 10x + 8 = (3x + 2)(-x + 4)
ตรวจสอบ
12x
+ พจน์กลาง = 10x (ใกล้)(ใกล้)
+
-2x
(ไกล)(ไกล)
(3x + 2)(-x + 4) พจน์กลาง
(ใกล้)(ใกล้)
8 พจน์หลงั หรือ c
-3x2 พจน์หน้า หรือ ax2 +
(ไกล)(ไกล)
ดงั นนั ้ -3x2 + 10x + 8 = (3x + 2)(-x + 4) พจน์กลาง
หรือ -3x2 + 10x + 8 = (-3x – 2)(x – 4)
(-1)(x – 4)
ตรวจสอบ 12x พจน์กลาง = 10x
+

-2x

(-3x - 2)(x - 4)

8 พจน์หลัง หรือ c
-3x2 พจน์หน้า หรือ ax2

ดงั นนั ้ -3x2 + 10x + 8 = (3x + 2)(-x + 4)

วธิ ีท่ี 2 -3x2 + 10x + 8 = (-1)(3x2 – 10x – 8)
= (-1)(3x + 2)(x – 4)

ดงั นนั ้ -3x2 + 10x + 8 = (3x + 2)(-x + 4)

หรือ -3x2 + 10x + 8 = (-3x – 2)(x – 4)

11

จากตวั อย่างการแยกตวั ประอบของพหนุ ามข้างต้น มีข้อควรระวัง ดงั นี้
1. การแยกพจน์หน้า หรือ ax2 ท่ีนาไปใส่ในวงเล็บ ต้องคานงึ ถงึ ความถกู ต้อง

ของการแยกตวั ประกอบและการกาหนดเครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบ
2. การแยกพจน์หลงั หรือ c ท่ีนาไปใส่ในวงเล็บ ต้องคานงึ ถงึ ความถกู ต้อง

ของการแยกตวั ประกอบและการกาหนดเครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบ
3. ควรตรวจสอบความถกู ต้องของการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทกุ ครัง้

โดยใช้หลกั การการตรวจสอบดงั ตวั อยา่ งข้างต้น หรือใช้หลกั การง่ายว่า
“ใกล้คณู ใกล้ ไกลคณู ไกล บวกกนั ได้พจน์กลาง”

อยา่ ลืม! ตรวจสอบความถูกต้อง
ของเคร่ืองหมายบวกและลบ

อยา่ ลมื ! ตรวจสอบความถูกตอ้ ง
ของตัวเลขในแต่ละวงเล็บ

อยา่ ลมื ! เทคนคิ

“(ใกล)้ (ใกล้) + (ไกล)(ไกล) =พจน์กลาง”

นะครบั

12

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1

คาชีแ้ จง 1) จงเขียนพหนุ ามในชอ่ งว่างที่กาหนดให้พร้อมทงั้ ตรวจสอบคาตอบท่ีได้
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

ตัวอย่าง 2x2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)
ตรวจสอบ (1)(x) + (2x)(2) = x + 4x
= 5x (พจน์กลาง)

1) 3x2 + 15x + 18 = (3x + 9)(………...)

ตรวจสอบ .....................................................................

2) 3x2 + 17x + 22 = (3x + 11)(………...)

ตรวจสอบ .....................................................................

3) 4x2 + 8x + 3 = (………...)(2x + 1)

ตรวจสอบ .....................................................................

4) 2x2 – 7x + 3 = (………...)(2x – 1)
ตรวจสอบ .....................................................................

13

5) 7x2 – 37x + 10 = (x – 5)(………...)

ตรวจสอบ .....................................................................

6) 30x2 – 70x + 20 = (30x – 10)(………...)

ตรวจสอบ .....................................................................

7) 5x2 – 13x + 6 = (………...)(x – 2)

ตรวจสอบ .....................................................................

8) 18x2 - 9x - 20 = (………...)(3x – 4)

ตรวจสอบ .....................................................................

9) 8x2 – 6x – 9 = (4x + 3)(………...)

ตรวจสอบ .....................................................................
10) 6x2 + 5x – 25
= (………...)(2x + 5) ดสู ิ! เด็กๆ ขยันจงั เลย
สอบคราวนีต้ ้องได้
คะแนนเยอะแน่ นอน

ตรวจสอบ .....................................................................

14

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2

คาชีแ้ จง 1) จบั คพู่ หนุ ามท่ีกาหนดให้ โดยเขียนอกั ษรหน้าข้อที่เป็นพหนุ ามเดียวกนั
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 15 คะแนน)

………. 1) 3x2 – 20x – 7 ก. (7x – 1)(x + 1)

………. 2) 6x2 – 7x – 5 ข. (4x + 7)(x – 1)

………. 3) 8x2 + 14x + 3 ค. (4x + 3)(-5x + 2)

………. 4) 7x2 – 37x + 10 ง. (4x – 1)(4x – 1)

………. 5) 2x2 + 5x + 2 จ. (4x + 1)(3x – 5)

………. 6) 7x2 + 6x – 1 ฉ. (3x – 5)(2x + 1)

………. 7) 4x2 + 3x – 7 ช. (2x + 12)(2x – 8)

………. 8) 24x2 + 19x + 2 ซ. (3x + 1)(x – 7)

………. 9) 16x2 – 8x + 1 ฌ. (2x + 1)(x + 2)

………. 10) 6x2 + 33x – 63 ญ. (-6x + 1)(4x + 1)

………. 11) 4x2 + 8x – 96 ฎ. (5x – 7)(3x – 2)

………. 12) -24x2 – 2x + 1 ฏ. (7x – 2)(x – 5)

………. 13) 15x2 – 31x + 14 ฐ. (8x + 1)(3x + 2) 15
………. 14) -20x2 – 7x + 6 ฑ. (3x + 21)(2x – 3)
………. 15) 12x2 – 17x – 5 ฒ. (4x + 1)(2x + 3)

แบบฝกึ ทักษะท่ี 3
1

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี ้
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 15 คะแนน)

1) 3 – 5p – 12p2 = …………………………………………………………

2) 15 + 16p – 15p2 = …………………………………………………………

3) 2a2 + 5a + 2 = …………………………………………………………

4) 2a2 + 9a + 4 = …………………………………………………………

5) 2b2 + 9b + 10 = …………………………………………………………

6) 3b2 – 11b + 6 = …………………………………………………………

7) 6c2 – c – 2 = …………………………………………………………

8) 2c2 + c – 28 = …………………………………………………………

9) 6x2 + 5x – 6 = …………………………………………………………

10) 4x2 + x - 14 = …………………………………………………………

11) 12y2 + y – 6 = …………………………………………………………

12) 24y2 + 22y – 21 = …………………………………………………………

13) 6 + 17h + 5h2 = …………………………………………………………
14) 8 + h – 7h2 = …………………………………………………………
15) 2x2 – 5x + 3 = …………………………………………………………

. 16

แบบฝึกทักษะท่ี 4

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี ้
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

ตวั อย่าง (แบบยาก) 2x2y2 – 13xy + 15 = (2xy – 3)(xy – 5)

ตรวจสอบ (-3)(xy) + (2xy)(-5) = -3xy – 10xy

= -13xy (พจน์กลาง)

1) 6x2 – 5xy – 6y2 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .………………………………………………...

2) 5a2 + 13ab + 6b2 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .………………………………………………...

3) 4x2 – 8xy + 3y2 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .………………………………………………...

4) 6a2b2 – 19ab – 20 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .………………………………………………...

17

5) 12x2 + 14xy – 40y2 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .....................................................................

6) 8x2y2 – 44xy + 48 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .....................................................................

7) 10a2 + 5ab – 15b2 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .....................................................................

8) 4a2 + 16ab + 16b2 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .....................................................................

9) 2x2 – 24xy + 72y2 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .....................................................................

ดสู ิ! เดก็ ๆ ขยนั จังเลย
สอบคราวนีต้ ้องได้
คะแนนเยอะแน่ นอน

10) 8m2n2 + 40mn + 50 = ……………………………………………..

ตรวจสอบ .....................................................................

18

แบบทดสอบหลังเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอ่านคาถามตอ่ ไปนี ้แล้วเขียนเคร่ืองหมาย X บนตวั เลือก
ท่ีถกู ต้องที่สดุ เพียงข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. ข้อใดเป็นตวั ประกอบของพหนุ าม 8x2 – 2x – 15

ก. (2x – 3) ข. (4x – 5)

ค. (2x + 3) ง. (2x + 5)

2. (2x – 9)(2x + 9) เป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อใด

ก. 2x2 + 18x - 81 ข. 4x2 + 18x – 81

ค. 4x2 – 81 ง. 2x2 – 81

3. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 2x2 + 17x - 30

ก. (2x – 10)(x + 3) ข. (2x – 3)(x + 10)

ค. (2x + 10)(x – 3) ง. (2x + 3)(x – 10)

4. พหนุ าม 8x2 - 42x + 27 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (4x – 3)(2x + 9) ข. (4x + 9)(2x – 3)

ค. (4x – 3)(2x – 9) ง. (4x – 9)(2x + 3)

5. พหนุ าม 2x2 – x – 36 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (2x – 9)(x + 4) ข. (2x – 4)(x + 9)

ค. (2x + 9)(x – 4) ง. (2x + 4)(x – 9)

19

6. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 4x2 + 4x – 35

ก. (2x – 7)(2x + 5) ข. (2x – 5)(2x + 7)

ค. (-2x + 7)(2x – 5) ง. (-2x + 5)(2x – 7)

7. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 2x2 – 13x – 7

ก. (2x – 7)(x + 1) ข. (2x + 7)(x – 1)

ค. (2x – 1)(x + 7) ง. (2x + 1)(x – 7)

8. จากพหนุ าม 2x2 - x - 36 เขียนพหนุ ามให้อย่ใู นรูป ax2 + bx + c แล้วข้อใดตอ่ ไปนี ้

ถกู ต้อง

ก. a = 2, b = 1, c = 36 ข. a = -2, b = 1, c = 36

ค. a = 2, b = -1, c = -36 ง. a = 2, b = 0, c = -36

9. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 3x2 – 25x + 42

ก. (3x – 7)(x – 6) ข. (3x + 7)(x + 6)

ค. (3x + 7)(x – 6) ง. (3x – 7)(x + 6)

10. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 3x2 – 11x – 20

ก. (3x + 5)(x – 4) ข. (3x + 4)(x – 5)

ค. (3x – 5)(x + 4) ง. (3x – 4)(x + 4)

20

เกณฑ์การใหค้ ะแนน

ด้านความรู้

- แบบฝึกทกั ษะท่ี 1: เติมคาตอบในช่องว่างได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
- แบบฝึกทกั ษะที่ 2: จบั คพู่ หนุ ามท่ีกาหนดให้ โดยเขียนอกั ษรหน้าข้อ

ที่เป็นพหนุ ามเดียวกนั ได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 – 4: เติมคาตอบในชอ่ งว่างได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
- แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน: ตอบได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน

ด้านทกั ษะกระบวนการ

การให้เหตผุ ล การส่ือสารและการเช่ือมโยง แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้
3 หมายถงึ ระดบั ดี
2 หมายถงึ ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรับปรุง

ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์

มีวนิ ยั ใฝ่เรียนรู้ และม่งุ มนั่ ในการทางาน แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้

3 หมายถงึ ระดบั ดี 21
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถงึ ระดบั ปรับปรุง

การผา่ นเกณฑก์ ารประเมนิ

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 – 4 นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป
- แบบทดสอบหลงั เรียน นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านทกั ษะกระบวนการ

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

22
3

แบบบันทกึ คะแนน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนบนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และหลงั เรียน

2. ให้ทาเครื่องหมาย ท่ีชอ่ งสรุปผลตามผลการประเมนิ จากแบบฝึกทกั ษะ
แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

ท่ี รายการ คะแนน คะแนน สรุปผล
เตม็ ท่ไี ด้ ผ่าน ไม่ผ่าน
1 แบบทดสอบก่อนเรียน 10
2 แบบฝึกทกั ษะ 1 10
3 แบบฝึกทกั ษะ 2 15
4 แบบฝึกทกั ษะ 3 15
5 แบบฝึกทกั ษะ 4 10
6 แบบทดสอบหลงั เรียน 10

วธิ ีคิดคะแนนนะครับ
ให้นกั เรียนนาคะแนนของตนเองในแต่ละรายการคณู กบั 100 แล้วหารด้วย

คะแนนเตม็ ของแตล่ ะรายการ เทา่ นี ้นกั เรียนก็จะรู้ว่าตนเองผ่านหรือไม่ผา่ นการทดสอบ
แล้วละ่ ครับ

ตัวอย่าง พราวได้คะแนนจากแบบฝึกทกั ษะที่ 1 13 คะแนน จากคะแนนเต็ม 15 คะแนน

คดิ เป็นร้อยละได้ดงั นี ้ 13100  86.67
15
ดงั นนั้ พราวมีคะแนน 86.67% และผา่ นการทดสอบจากแบบฝึกทกั ษะ 1

คดิ เปน็ แล้วใชไ่ หมครบั .. ถ้าอยา่ งนั้นเราควรนาผลการประเมินมาพัฒนาตนเองด้วยนะ ^^ 23

บรรณานุกรม

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และคณะ. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ :
ภมู ิบณั ฑิต, 2550.

ชลธิศ พทิ ยงั กรู และคณะ. ส่ือเสริมสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.2
เล่ม 2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2550.

โชคชยั สิริหาญอดุ ม. แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ม.2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2553.
เทพฤทธิ์ ยอดใส และอดุ มศกั ดิ์ ลกู เสือ. ตะลุยโจทย์คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ม.2.

กรุงเทพฯ : เพม่ิ ทรัพย์การพมิ พ์, 2553.
พรรณี ศลิ ปะวฒั นานนั ท์. ส่ือเสริมรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ 2

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : ฟิสกิ ส์เซน็ เตอร์, 2554.
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . คู่มือสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ

คณิตศาสตร์ เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษา
ปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2551.
________ . หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ :
โรงพมิ พ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2547.

ภาคผนวก

25

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1

1) 3x2 + 15x + 18 = (3x + 9)(x + 2)

ตรวจสอบ (9)(x) + (3x)(2) = 9x + 6x = 15x = พจน์กลาง

2) 3x2 + 17x + 22 = (3x + 11)(x + 2)

ตรวจสอบ (11)(x) + (3x)(2) = 11x + 6x = 17x = พจน์กลาง

3) 4x2 + 8x + 3 = (2x + 3)(2x + 1)

ตรวจสอบ (3)(2x) + (2x)(1) = 6x + 2x = 8x = พจน์กลาง

4) 2x2 – 7x + 3 = (x – 3)(2x – 1)

ตรวจสอบ (-3)(2x) + (x)(-1) = -6x – x = -7x = พจน์กลาง

5) 7x2 – 37x + 10 = (x – 5)(7x – 2)

ตรวจสอบ (-5)(7x) + (x)(-2) = -35x – 2x = -37x = พจน์กลาง

26

6) 30x2 – 70x + 20 = (30x – 10)(x – 2)

ตรวจสอบ (-10)(x) + (30x)(-2) = -10x – 60x = -70x = พจน์กลาง

7) 5x2 – 13x + 6 = (5x – 3)(x – 2)

ตรวจสอบ (-3)(x) + (5x)(-2) = -3x – 10x = -13x = พจน์กลาง

8) 18x2 – 9x – 20 = (6x + 5)(3x – 4)

ตรวจสอบ (5)(3x) + (6x)(-4) = 15x – 24x = -9x = พจน์กลาง

9) 8x2 – 6x – 9 = (4x + 3)(2x – 3)

ตรวจสอบ (3)(2x) + (4x)(-3) = 6x – 12x = -6x = พจน์กลาง

10) 6x2 + 5x – 25 = (3x – 5)(2x + 5)

ตรวจสอบ (-5)(2x) + (3x)(5) = -10x + 15x = 5x = พจน์กลาง

พอเข้าใจ
บ้างไหมจ๊ะ เดก็ ๆ

27

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 2

…ซ…. 1) 3x2 – 20x – 7 ก. (7x – 1)(x + 1)
…ฉ…. 2) 6x2 – 7x – 5 ข. (4x + 7)(x – 1)
…ฒ…. 3) 8x2 + 14x + 3 ค. (4x + 3)(-5x + 2)
…ฏ…. 4) 7x2 – 37x + 10 ง. (4x – 1)(4x – 1)
…ฌ…. 5) 2x2 + 5x + 2 จ. (4x + 1)(3x – 5)
…ก…. 6) 7x2 + 6x – 1 ฉ. (3x – 5)(2x + 1)
…ข…. 7) 4x2 + 3x – 7 ช. (2x + 12)(2x – 8)
…ฐ…. 8) 24x2 + 19x + 2 ซ. (3x + 1)(x – 7)
…ง…. 9) 16x2 – 8x + 1 ฌ. (2x + 1)(x + 2)
…ฑ…. 10) 6x2 + 33x – 63 ญ. (-6x + 1)(4x + 1)
…ช…. 11) 4x2 + 8x – 96 ฎ. (5x – 7)(3x – 2)
…ญ…. 12) -24x2 – 2x + 1 ฏ. (7x – 2)(x – 5)

…ฏ…. 13) 15x2 – 31x + 14 ฐ. (8x + 1)(3x + 2)
…ค…. 14) -20x2 – 7x + 6 ฑ. (3x + 21)(2x – 3)
…จ…. 15) 12x2 – 10x – 5 ฒ. (4x + 1)(2x + 3)

28

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 3

1) 3 – 5p – 12p2 = (3 + 4p)(1 – 3p)
2) 15 + 16p – 15p2 = (3 + 5p)(5 – 3p)
3) 2a2 + 5a + 2 = (2a + 1)(a + 2)
4) 2a2 + 9a + 4 = (2a + 1)(a + 4)
5) 2b2 + 9b + 10 = (2b + 5)(b + 2)
6) 3b2 – 11b + 6 = (3b – 2)(b – 3)
7) 6c2 – c – 2 = (3c – 2)(2c + 1)
8) 2c2 + c – 28 = (2c – 7)(c + 4)
9) 6x2 + 5x – 6 = (3x – 2)(2x + 3)
10)4x2 + x – 14 = (4x – 7)(x + 2)
11)12y2 + y – 6 = (4y + 3)(3y – 2)
12)24y2 + 22y – 21 = (12y – 7)(2y + 3)

13)6 + 17h + 5h2 = (3 + h)(2 + 5h) 29
14)8 + h – 7h2 = (8 – 7h)(1 + h)
15)2x2 – 5x + 3 = (2x + 1)(x – 3)

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 4

1) 6x2 – 5xy – 6y2 = (3x + 2y)(2x – 3y)

ตรวจสอบ (2y)(2x) + (3x)(-3y) = 4xy – 9xy = -xy = พจน์กลาง

2) 5a2 + 13ab + 6b2 = (5a + 3b)(a + 2b)

ตรวจสอบ (3b)(a) + (5a)(2b) = 3ab + 10ab = 13ab = พจน์กลาง

3) 4x2 – 8xy + 3y2 = (2x – y)(2x – 3y)

ตรวจสอบ (-y)(2x) + (2x)(-3y) = -2xy – 6xy = -8xy = พจน์กลาง

4) 6a2b2 – 19ab – 20 = (6ab + 5)(ab – 4)

ตรวจสอบ (5)(ab) + (6ab)(-4) = 5ab – 24ab = -19ab = พจน์กลาง

5) 12x2 + 14xy – 40y2 = 2(6x2 + 7xy – 20y2) = 2(3x – 4y)(2x + 5y)

ตรวจสอบ (-4y)(2x) + (3x)(5y) = -8xy + 15xy = 7xy = พจน์กลาง

30

6) 8x2y2 – 44xy + 48 = 4(2x2y2 – 11xy + 12) = 4(2xy – 3)(xy – 4)

ตรวจสอบ (-3)(xy) + (2xy)(-4) = -3xy - 8xy = -11xy = พจน์กลาง

7) 10a2 + 5ab – 15b2 = 5(2a2 + ab – 3b2) = 5(2a + 3b)(a – b)

ตรวจสอบ (3b)(a) + (2a)(-b) = 3ab – 2ab = ab = พจน์กลาง

8) 4a2 + 16ab + 16b2 = 4(a2 + 4ab + 4b2) = 4(a + 2b)(a + 2b)

ตรวจสอบ (2b)(a) + (a)(2b) = 2ab + 2ab = 4ab = พจน์กลาง

9) 2x2 – 24xy + 72 y2 = 2(x2 – 12xy + 36 y2) = 2(x – 6y)(x – 6y)

ตรวจสอบ (-6y)(x) + (x)(-6y) = -6xy – 6xy = -12xy = พจน์กลาง

10) 8m2n2 + 40mn + 50 = 2(4m2n2 + 20mn + 25) = 2(2mn + 5)(2mn + 5)

ตรวจสอบ (5)(2mn) + (2mn)(5) = 10mn + 10mn = 20mn = พจน์กลาง

31

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

1. ง. 6. ก.
2. ข. 7. ค.
3. ก. 8. ค.
4. ค. 9. ข.
5. ค. 10. ก.

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

1. ก. 6. ข.
2. ค. 7. ง.
3. ข. 8. ค.
4. ค. 9. ก.

5. ก. 10. ข.

32

คารับรองของผูบ้ งั คบั บญั ชา

ขอรับรองว่าแบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ ท่ี 5 เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0
เป็นผลงานของ นายชเู กียรติ สยุ ะลงั กา ตาแหน่งครูชานาญการ โรงเรียนวชั รวิทยา
ซงึ่ ได้พฒั นาขนึ ้ เพอ่ื ใช้ประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนของครูและสร้าง
องค์ความรู้ให้แก่นกั เรียน จงึ อนญุ าตให้ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบ
ของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 ในสถานศกึ ษาได้

(นายจานง อินทพงษ์)
ผ้อู านวยการโรงเรียนวชั รวทิ ยา