แบบฝึกทักษะ เรื่อง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม เล่ม 2

แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์
เร่ือง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม ค 32201
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 5

เล่มท่ี 2 รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

นางศิลาพร รามันพงษ์
ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะครูชานาญการ

โรงเรียนวัชรวิทยา อาเภอเมอื ง จังหวัดกาแพงเพชร
สานักงานเขตพนื้ ท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 41
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ ก

คำนำ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทมึ
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค 32201 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 5 ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนในรายวิชา
คณิตศาสตร์ เพอ่ื ใหผ้ เู้ รียนเกิดการเรียนรูเ้ ขา้ ใจบทเรียนไดด้ ียงิ่ ข้นึ สามารถจดจาเน้ือหาในบทเรียน
ตา่ ง ๆ ไดค้ งทน ทราบความกา้ วหนา้ ของตนเอง สามารถนาแบบฝึกมาทบทวนเน้ือหาเดิมดว้ ยตนเอง
ได้ นอกจากน้ียงั เป็นเครื่องบง่ ช้ีใหค้ รูมองเห็นจุดเด่นหรือจุดบกพร่องของนกั เรียนไดอ้ ยา่ งชดั เจน
ช่วยในการฝึกทกั ษะแกป้ ัญหาการเรียนรูข้ องผเู้ รียนเป็นรายบคุ คลและเป็ นกลุ่มได้ รวมท้งั ใชเ้ พอื่
ประเมินผลความกา้ วหนา้ ทางการเรียนรู้ และพฒั นาทกั ษะผเู้ รียน ซ่ึงแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
เรื่อง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทึม มีจานวน 9 เล่ม ไดแ้ ก่

เล่มท่ี 1 เลขยกกาลงั ทมี่ ีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนเตม็
เล่มท่ี 2 รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์
เล่มที่ 3 เลขยกกาลงั ทีม่ ีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนตรรกยะ
เล่มที่ 4 ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล
เล่มท่ี 5 ฟังกช์ นั ลอการิทึม
เล่มที่ 6 การหาคา่ ลอการิทึม
เล่มท่ี 7 การเปล่ียนฐานของลอการิทึม
เล่มที่ 8 สมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทมึ
เล่มท่ี 9 การประยกุ ตข์ องฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียลและฟังกช์ นั ลอการิทึม
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทมึ
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค 32201 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5 เล่มน้ี เป็ นเล่มท่ี 1 เลขยกกาลงั ที่มีเลขช้ี
กาลงั เป็นจานวนเตม็ ประกอบดว้ ย คาแนะนาสาหรบั ครู คาแนะนาสาหรับนกั เรียน จดุ ประสงค์
การเรียนรู้ สาระสาคญั ผลการเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน และหลงั เรียน ใบความรู้ แบบฝึกทกั ษะ
เฉลยแบบฝึกทกั ษะ เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน และหลงั เรียน และบรรณานุกรม

ผจู้ ดั ทาขอขอบพระคุณ นายจานง อินทพงษ์ ผอู้ านวยการโรงเรียนวชั รวทิ ยา และคณะครูอาจารยท์ กุ
ท่านทีใ่ หค้ าแนะนาและคาปรึกษาทด่ี ี ตลอดจนการใหก้ าลงั ใจในการจดั ทา จนประสบผลสาเร็จ
ดว้ ยดี

ศลิ าพร รามนั พงษ์

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ ข

สำรบญั หน้ำ
ก
เรื่อง ข
คานา 1
สารบญั 2
คาแนะนาสาหรบั ครู 3
คาแนะนาสาหรบั นกั เรียน 4
ข้นั ตอนการเรียนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ 4
มาตรฐานการเรียนรู้ 5
ผลการเรียนรู้ 6
จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 9
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 13
ใบความรู้ เร่ือง รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 14
20
แบบฝึกทกั ษะที่ 1 22
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 23
แบบฝึกทกั ษะที่ 3 25
แบบฝึกทกั ษะท่ี 4 28
แบบฝึกทกั ษะที่ 5 29
แบบทดสอบหลงั เรียน 30
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน 31
บรรณานุกรม 32
ภาคผนวก 33
- เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 34
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1 35
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 2 36
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 3 38
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 4
- เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 5
- เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ ค

สำรบัญ (ต่อ) หน้ำ
39
เรื่อง 40
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน 41
การผา่ นเกณฑก์ ารประเมิน
ตารางบนั ทกึ คะแนน เล่มที่ 2 รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 1

คาแนะนาสาหรับครู

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทมึ
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค 32201 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5 เล่มท่ี 2 รากที่ n ในระบบจานวนจริงและ
จานวนจริงในรูปกรณฑ์ ใหค้ รูอ่านคาแนะนาและปฏิบตั ติ ามข้นั ตอน ดงั น้ี

1. ใชแ้ บบฝึกทกั ษะเล่มที่ 2 เลขยกกาลงั ทีม่ ีเลขช้ีกาลงั เป็นจานวนเตม็ ประกอบดว้ ยแผนการ
เรียนรูท้ ่ี 3 – 4 จานวน 2 ชวั่ โมง

2. ครูตอ้ งศกึ ษาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ และอ่านเน้ือหาสาระอยา่ งละเอียดรอบคอบ
พรอ้ มท้งั ทาความเขา้ ใจกบั เน้ือหาทุกเล่มกอ่ นการใชง้ าน

3. ครูเตรียมแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ใหค้ รบถว้ นและเพยี งพอกบั จานวนนกั เรียน
4. ครูเตรียมเครื่องมือวดั ผลและประเมินผล เพอื่ ใหท้ ราบความกา้ วหนา้ ของนกั เรียน
5. ครูช้ีแจงใหน้ กั เรียนทราบลาดบั ข้นั ตอนและวธิ ีการสอนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
อยา่ งชดั เจน และประโยชนท์ ไี่ ดร้ ับจากการสอนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
6. ครูช้ีแจงใหน้ กั เรียนทราบเก่ียวกบั บทบาทของนกั เรียนในการเรียนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะ
คณิตศาสตร์ใหเ้ ขา้ ใจ และเนน้ ย้าเร่ืองความซ่ือสตั ยโ์ ดยไม่ลอกเพอื่ น ไม่ใหเ้ พอ่ื นทาใหห้ รือไม่ดู
เฉลยก่อนลงมือดว้ ยตนเอง
7. แจง้ จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ใหน้ กั เรียนทราบ
8. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพอ่ื ประเมินความรู้เดิมของนกั เรียน
9. ดาเนินการสอนตามกิจกรรมการเรียนรู้ทก่ี าหนดไวใ้ นแผนการจดั การเรียนรู้
10. ใหน้ กั เรียนศกึ ษาใบความรู้ และทาแบบฝึกทกั ษะ เล่มท่ี 2 แลว้ เปล่ียนกนั ตรวจตามเฉลย
11. ครูสงั เกตความต้งั ใจของนกั เรียน ความสนใจในการเรียน ถา้ มีปัญหาครูจะได้
ทาการช่วยเหลือไดท้ นั ที
12. เวลาในการจดั กิจกรรมการเรียน โดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ของนกั เรียนแตล่ ะคน
อาจไม่เทา่ กนั ครูควรยดื หยนุ่ ตามความเหมาะสมและสถานการณ์
13. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน เพอื่ ประเมินความกา้ วหนา้ ของนกั เรียน
14. ครูควรพดู สรุปบทเรียนในแตล่ ะเร่ืองก่อนทจี่ ะเริ่มเรียนเร่ืองต่อไป
15. ในกรณีทีน่ กั เรียนคนใดขาดเรียน ใหน้ กั เรียนศกึ ษาเป็นรายบุคคลดว้ ยตนเองนอกเวลา
เรียนจากแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
16. การจดั ช้นั เรียนอาจจดั ใหน้ กั เรียนศกึ ษาเป็ นรายบุคคลหรือรายกลุ่มกไ็ ด้

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 2

คาแนะนาสาหรับนักเรียน

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทมึ
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม ค 32201 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5 เล่มท่ี 2 รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและ
จานวนจริงในรูปกรณฑ์ ใชเ้ พอื่ ฝึกทกั ษะหลงั จากเรียนเน้ือหาในบทเรียนเสร็จส้ินแลว้ ซ่ึงนกั เรียน
ควรปฏบิ ตั ติ ามคาแนะนาตอ่ ไปน้ี

1. อ่านคาช้ีแจงเก่ียวกบั แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ และคาแนะนาการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ
คณิตศาสตร์ สาหรบั นกั เรียนใหเ้ ขา้ ใจก่อนลงมือทางานหรือทาการศึกษาทุกคร้ัง

2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนเพอ่ื ประเมินความรูเ้ ดิมของนกั เรียน
3. ศึกษาใบความรู้ และทาแบบฝึกทกั ษะ เล่มที่ 2 ถา้ ทาแบบฝึกทกั ษะไม่ได้ ใหศ้ กึ ษา
ใบความรู้ใหม่อีกคร้งั พรอ้ มท้งั ศกึ ษาตวั อยา่ งหรือปรึกษาครูผสู้ อน
4. เปลี่ยนกนั ตรวจแบบฝึกทกั ษะตามเฉลยและบนั ทกึ คะแนนทไี่ ดไ้ ว้ จากน้นั ร่วมกนั สรุป
องคค์ วามรูโ้ ดยครูคอยช้ีแนะแนวทางและอธิบายเพมิ่ เติม
5. ทาแบบทดสอบหลงั เรียนเพอื่ ประเมินความกรา้ วหนา้ ของตนเองหลงั จากศึกษาแบบฝึก
ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล และฟังกช์ นั ลอการิทึม รายวชิ าคณิตศาสตร์
เพม่ิ เตมิ ค 32201 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 5 เล่มที่ 2 รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูป
กรณฑ์ จบแลว้
6. ในการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน ใหน้ กั เรียนพยายามทา
ดว้ ยความต้งั ใจ และมีความซ่ือสตั ยต์ อ่ ตนเองใหม้ ากท่สี ุด โดยไม่เปิ ดดูเฉลยก่อน

ต้งั ใจเรียนกนั นะคะเด็กๆ

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 3

ข้นั ตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์
เร่ือง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทมึ
รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค 32201 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 5
เล่มท่ี 2 รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

1. อ่านคาแนะนาสาหรับนักเรียน

2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน

3. ศึกษาใบความรู้และตวั อย่าง ไม่ผ่านเกณฑ์
- ศึกษาเนื้อหา ประเมินผล
- ทาแบบฝึ กทกั ษะ
- ตรวจแบบฝึ กทกั ษะ

4. ทาแบบทดสอบหลังเรียน

5. ศึกษาแบบฝึ กทักษะเล่มต่อไป ผ่านเกณฑ์

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 4

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 4 พีชคณติ
มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์ และฟังกช์ นั่
มาตรฐาน ค 4.2 ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical
model) อื่นๆ แทนสถานการณ์ตา่ งๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใช้
แกป้ ัญหา

สาระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การสื่อสารการส่ือ
ความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ การเช่ือมโยงความรูต้ า่ ง ๆ
ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อ่ืน ๆ และมีความคิด
ริเร่ิมสรา้ งสรรค์

ผลการเรียนรู้

เขา้ ใจความหมายและหาผลลพั ธท์ ่ีเกิดจากการบวก การลบ การคูณ การหารจานวนจริงท่อี ยู่
ในรูปราก หรือกรณฑไ์ ด้

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 5

จุดประสงค์การเรียนรู้

ด้านความรู้
1. นกั เรียนสามารถหารากที่ n ของจานวนจริงได
2. นกั เรียนสามารถหาผลลพั ธท์ ีเ่ กิดจากการบวก การลบ การคูณและการหาร จานวนจริง

ทอี่ ยใู่ นรูปกรณฑไ์ ด้

ด้านทกั ษะกระบวนการ
1. ทกั ษะการแกป้ ัญหา
2. ทกั ษะการคดิ

ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์
1. ใฝ่เรียนรู้
2. มีความมุ่งมนั่ ในการทางาน
3. ซื่อสตั ย์ สุจริต

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 6

แบบทดสอบก่อนเรียน ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5
เวลา 10 นาที
รายวชิ า ค 32201 คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม
เล่มที่ 2 รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบน้ีเป็นแบบปรนัย 4 ตวั เลือก จานวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ใชเ้ วลา

ในการทาขอ้ สอบ 10 นาที
2. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบเป็นรายบุคคลเพอ่ื ประเมินความรูข้ องตนเอง
3. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คอื ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

คาส่ัง
ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบทถ่ี ูกตอ้ งเพยี งคาตอบเดียว แลว้ ทาเคร่ืองหมาย  ลงในช่อง

ทต่ี รงกบั ตวั อกั ษร ก, ข, ค หรือ ง

1. รากที่สองของ 42 คอื ขอ้ ใด
ก. 4
ข. 8
ค. 16
ง. 24

2. –3 เป็นรากที่สามของจานวนใด
ก. –9
ข. –15
ค. –21
ง. –27

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 7

3. จานวน 3 และ –3 เป็นรากท่ี 6 ของจานวนใด
ก. 215
ข. 543
ค. 729
ง. 836

4. คา่ หลกั ของรากทส่ี ี่ของ 81 คอื ขอ้ ใด
ก. 1
ข. 3
ค. 9
ง. 11

5. ค่าหลกั ของรากที่ 3 125 คือขอ้ ใด
ก. 3
ข. –3
ค. 5
ง. –5

6. ขอ้ ใดเป็ นค่าของ 5 2  4 2
ก. 20 2
ข. 20 4
ค. 9 2
ง. 9 4

7. จงหาผลคูณของ 3 6  2 3
ก. 6 3
ข. 9 9
ค. 12 6
ง. 18 2

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 8

8. จงหาคา่ ของ 2 3  112 3  11

ก. 0
ข. 1
ค. 2
ง. 3

9. จงหาคาตอบของ 80
5
ก. 4
ข. 6
ค. 8
ง. 16

10. จงหาค่าของ 4 3  5 2 2

ก. 98 – 40 6
ข. –98 – 40 6
ค. 98 + 40 6
ง. –98 + 40 6

ตตรรววจจคคาาตตออบบออกกีี รรออบบนนะะคค่่ะะนนัักกเเรรีียยนน

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 9

กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน
เร่ือง รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

ชื่อ – สกลุ ..................................................... เลขท่.ี ......... ช้นั ..........

ข้อ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 10

ใบความรู้
เร่ือง รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

บทนิยาม ถา้ x, y เป็นจานวนจริง แลว้ y เป็นรากทส่ี องของ x กต็ ่อเม่ือ y2 = x

จากบทนิยามพบว่า

1. ถา้ a เป็นจานวนจริงบวก และ n เป็นจานวนเตม็ คูบ่ วก จะมีรากที่ n ของ a ที่เป็ นจานวนจริง 2 ค่า
เช่น รากทีส่ องของ 16 คอื 4 และ –4 เพราะ 42 = 16 และ (–4)2 = 16

2. ถา้ a เป็นจานวนจริงบวก และ n เป็นจานวนเต็มคบี่ วก จะมีรากท่ี n ของ a ท่ีเป็ นจานวนจริง 1 ค่า
เช่น รากที่สามของ 8 คือ 2 เพราะ 23 = 8
รากทีส่ ามของ –27 คือ –3 เพราะ (–3)3 = –27

3. ถา้ a เป็นจานวนจริงลบ และ n เป็ นจานวนเตม็ คูบ่ วก จะไม่มีรากท่ี n ของ a ท่เี ป็นจานวนจริง
เช่น –9 ไม่มีรากทีส่ องท่เี ป็นจานวนจริง เพราะไม่มีจานวนใด ที่ยกกาลงั สองแลว้ ได้ –9

4. ถา้ a เป็นจานวนจริงลบ และ n เป็นจานวนเตม็ ค่บี วก จะมีรากที่ n ของ a ท่ีเป็ นจานวนจริง 1 ค่า
เช่น รากที่สามของ –27 คอื –3 เพราะ (–3)3 = –27

กรณฑ์ที่ n ของ a หรือ ค่าหลักของรากที่ n ของ a

รากที่ n ของ a จะกล่าวถึงจานวนจริงท่เี ป็ นค่าหลกั ของรากท่ี n ของ a และใช้
สญั ลกั ษณ์ n a

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 11

n a เป็ นสญั ลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทนจานวนจริงที่เป็ นค่าหลกั ของรากท่ี n ของ a โดยกาหนด
เงอื่ นไข ดงั น้ี

1. ถา้ a > 0 ; n a เป็นรากที่ n ทเ่ี ป็นจานวนบวกของ a
เช่น 9 > 0 ดงั น้นั 9 ทเ่ี ป็ นคา่ บวก จะเป็ นคา่ หลกั ของรากท่สี องของ 9
นนั่ คอื 9 = 3 เป็ นคา่ หลกั ของรากทีส่ องของ 9
8 > 0 ดงั น้นั 3 8 ท่เี ป็ นคา่ บวก จะเป็ นคา่ หลกั ของรากทส่ี ามของ 8
นนั่ คอื 3 8 = 2 เป็ นคา่ หลกั ของรากที่สามของ 8

2. ค่า a < 0 และ n เป็นจานวนเตม็ คี่ ; n a เป็นรากท่ี n ท่ีเป็นจานวนลบของ a
เช่น –32 < 0 ดงั น้นั 5  32 เป็ นค่าลบ จะเป็ นคา่ หลกั ของรากที่หา้ ของ –32
นนั่ คือ 5  32 = –2 เป็ นค่าหลกั ของรากที่หา้ ของ –32

3. ถา้ a = 0 แลว้ n a = 0 นนั่ คือ ค่าหลกั ของรากท่ี n ของ 0 คือ 0

ตัวอย่างท่ี 1

คา่ หลกั ของรากท่ีส่ีของ 81 คอื 3 หรือ 4 81 = 3 ซ่ึงเป็นจานวนบวก
คา่ หลกั ของรากที่สามของ –125 คือ –5 หรือ 3 125 = –5 ซ่ึงเป็นจานวนลบ

ข้อตกลง

(1) เรียกเคร่ืองหมาย n a วา่ เครื่องหมายกรณฑท์ ี่ n ของ a หรือ ค่าหลกั ของรากที่ n
ของ a และ เรียก n วา่ อนั ดบั ทหี่ รือดชั นีของกรณฑ์ เช่น 3 เป็นเครื่องหมายกรณฑท์ ีม่ ีดชั นี
เทา่ กบั 3

(2) ในกรณีที่ n = 2 จะเขยี น แทน 2
(3) n 1 = 1

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 12

ให้ a เป็ นจานวนจริง และ n เป็ นจาวนเต็มบวกทม่ี ากกว่าหรือเท่ากับสอง

n an = |a| เมื่อ n เป็ นจาวนเตม็ บวกคู่
n an = a เม่ือ n เป็ นจาวนเตม็ บวกคี่

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาค่าในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

1. 4 16 = 4 24 = |2| = 2 (เพราะ n = 4 ซ่ึงเป็ นจานวนคู่)
=2 (เพราะ n = 2 ซ่ึงเป็ นจานวนคู)่
2. (3)2 = |2| = –2 (เพราะ n = 5 ซ่ึงเป็นจานวนค่ี)
1. 5  32 = 5 (2)5

สมบัตขิ องรากท่ี n

ถา้ n, m เป็ นจานวนเตม็ บวกท่มี ีค่ามากกวา่ 1 และ a, b เป็นจานวนจริง โดย n a และ n b
เป็นจานวนจริง จะไดว้ า่

1. (n a )n = a
2. n a  n b =
= n ab

3. n a = n a เม่ือ b ≠ 0 และเม่ือ n เป็ นจานวนคู่ a  0 และ b > 0
n b = b

4. m n a mn a

5. mn am n a เม่ือ n เป็ นจานวนคู่ a  0

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 13

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 1

คาชี้แจง หาคา่ รากท่ี n ของจานวนจริงทีก่ าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี (10 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. รากที่สองของ 9 คอื
2. รากทส่ี องของ 100 คือ
3. รากที่สามของ 64 คือ
4. รากทสี่ ามของ –216 คือ
5. รากที่ส่ีของ –216 คอื
6. รากที่หา้ ของ 243 คอื
7. รากทห่ี กของ 64 คือ
8. รากท่ีสี่ของ 256 คือ
9. รากทสี่ ี่ของ 2401 คอื
10. รากท่ีสามของ 512 คือ

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 8 – 10 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 5 – 7 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 0 – 4 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรับปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรับปรุง

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 14

แบบฝึ กทกั ษะที่ 2

คาชี้แจง หาค่ารากท่ี n ของจานวนจริงท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี (10 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. 225 คือ
คือ
2. 169 คือ
คือ
3. 4 81 คือ
คือ
4. 7 128
คอื
5. 3 125
คอื
6. 3 64 คือ
125 คือ

7. 5 32
125

8. 3 0.008

9. 3 0.125

10. 3 0.000001

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 8 – 10 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 5 – 7 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 0 – 4 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรบั ปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรับปรุง

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 15

การหาผลบวกและผลต่างของกรณฑ์

กรณฑท์ ่ีมีอนั ดบั เดียวกนั และมีจานวนภายใตเ้ คร่ืองหมายกรณฑเ์ ป็ นจานวนเดียวกนั จะบวก
ลบกนั ไดโ้ ดย ใชส้ มบตั กิ ารแจกแจงของระบบจานวนจริง

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาค่าของ = (5 + 4) 2 =9 2
= (8 – 6) 3 =2 3
(1) 5 2  4 2 = (3 + 4 – 2) 5 =5 5
(2) 8 3  6 3 = (9 – 3 – 1) 7 =5 7
(3) 3 5  4 5  2 5
(4) 9 7  3 7  7

ตัวอย่างท่ี 4 3 8  2  32 = 3 (4  2)  2  16  2
= 3(2 2)  2  4 2
= 6 2 2 4 2
= (6 – 1 + 4) 2
=9 2

ตวั อย่างที่ 5 3 81  3 192  3 24 = 3 27  3  3 643  3 8  3
= 33 3  43 3  23 3
= (3 + 4 – 2) 3 3
= 53 3

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 16

ตัวอย่างที่ 6 33 24  83 81  23 3 = 33 8  3  83 3 3
27 27
273  2 3

= 3(23 3) 8(33 3 )  2 3 3
3
2
= 63 3  243 3  3 3 3

= (6 – 24 – 2 ) 3 3
3
56
= – 3 3 3

ผลคูณและผลหารของกรณฑ์

ถา้ อนั ดบั ของกรณฑไ์ ม่เท่ากนั ตอ้ งทาใหอ้ นั ดบั ของกรณฑเ์ ทา่ กนั เสียก่อนจึงจะคูณหรือหาร
กนั ไดแ้ ละใชส้ มบตั ิของรากท่ี n

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาผลคูณ 3 6  2 3

วิธีทา 3 6  2 3 = (3 • 2) ( 6  3 )
= 6 18
= 6 92
= 18 2

ดูตวั อยา่ งที่ 8 ในหนา้ ต่อไปเลยคะ่ เพอื่ น ๆ

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 17

ตวั อย่างที่ 8 จงหาผลคูณ 3 3 (4 8  5 27)

วธิ ีทา 3 3 (4 8  5 27 ) = 3 3 (4 42  5 93)
= (3 • 4 • 2) ( 3  2 )  (3 • 5 • 3) ( 3  3)
= 24 6  45 • 3
= 24 6  135

ตวั อย่างที่ 9 จงหาค่าของ 2 3  43 5

วธิ ีทา เน่ืองจาก 2 3 = 26 33
และ 43 5 = 46 52
จะได้ 2 3  43 5 = 26 33 46 52
= 86 33 52
= 86 675

ใครไม่เขา้ ใจยกมือถาม
คุณครูไดน้ ะคะ

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 18

การหารากทส่ี องของจานวนในรูป x  2 y

การหารากท่ีสองของ x  2 y ขอใหพ้ จิ ารณาจากการกระจาย ( a  b)2 เม่ือ a  0

และ b  0 จะพบวา่ ( a  b)2 = a  2 a b  b

= (a  b)  2 ab

ดงั น้นั ถา้ ให้ x = a + b และ y = ab จะไดว้ า่ x  2 y = (a  b)  2 ab

แสดงวา่ x  2 y = ( a  b)2

ดงั น้นั (1) รากท่ี 2 ของ x  2 y = รากที่ 2 ของ ( a  b)2

= a  b และ –( a  b)

(2) รากที่ 2 ของ x  2 y = รากที่ 2 ของ ( a  b)2

= a  b และ –( a  b)

สรุปข้นั ตอนการหารากที่ 2 ของ x  2 y
1. หาจานวนจริง a  0, b  0 ซ่ึงทาให้ x = a + b และy = ab
จะได้ รากที่ 2 ของ x  2 y = a  b และ – ( a  b)
รากที่ 2 ของ x  2 y = a  b และ – ( a  b)

ตวั อย่างที่ 10 จงหารากท่ี 2 ของ 16 +2 55

วิธีทา จาก x = 16 = 11 + 5 และ y = 55 = 11× 5
ดงั น้นั รากท่ี 2 ของ 16 +2 55 = 11 + 5 และ –( 11  5)

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 19

ตัวอย่างท่ี 11 จงหารากท่ี 2 ของ 4 – 15

วิธีทา จดั นิพจน์ 4 – 15 ใหอ้ ยใู่ นรูป x – 2 y ดงั น้นั
2
4 – 15 = 4– 2 • 15

= 4–2 15
22

= 4–2 15
4
5 3 15 5 3
จาก x = 4 = 2 + 2 และ y = 4 = 2 × 2

ดงั น้นั รากที่ 2 ของ 4 – 15 = รากที่ 2 ของ 4–2 15
4

= 5 3 และ – ( 5 3
2 2 2 2)

เขา้ ใจกนั หรือเปล่าคะนกั เรียน
ใครไม่เขา้ ใจยกมือถามครู
นะคะ

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 20

แบบฝึ กทักษะที่ 3

คาชี้แจง จงทาจานวนต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ย (10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)

ตัวอย่าง 53 4 23 16 = 103 4 16
= 10(4)
= 40

1. 12x 2y2 =
=

2. 5 =
3 125 =

3. 3 81  3 72 =
=

4. 2 125 =
5 20 =

5. 3 243 =
27 =

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 21

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 8 – 10 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 5 – 7 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 0 – 4 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรับปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรับปรุง

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 22

แบบฝึ กทกั ษะที่ 4

คาชี้แจง จงทาใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ย (10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)

ตัวอย่าง ( 5  3)( 5  3) = 5  15  15  3
= 2

1. 2 3( 5  3) =
=

2. (2 3 1)( 3  2) =
=

3. (3 2 )( 2  3) =
=

4. ( 3 1)2 =
=
=

5. 6 112 =
7 =

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 8 – 10 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 5 – 7 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 0 – 4 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรบั ปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรบั ปรุง

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 23

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 5

คาชี้แจง จงหาคา่ หลกั ของรากท่ี 2 ของจานวนจริงท่กี าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี (10 คะแนน
ขอ้ ละ 2 คะแนน)

ตัวอย่าง 5 + 24 = 5+ 46
=
= 5+2 6 24
=
(3 + 2) + 2 3  2 
=  32 +  22 + 2 3  2
=  32 + 2 3  2 +  22
ดงั น้นั 3 + 2  3  2 2

เป็ นคา่ หลกั ของรากที่สองของ 5 +

1. 9 + 56 =
=
=
=
=
=

ดงั น้นั

2. 12 + 2 35 =
=
=
=
=
=

ดงั น้นั

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 24

3. 11 + 72 =
=
=
=
=
=
=

ดงั น้นั

4. 12  140 =
=
=
=
=
=
=

5. 6  32 =
=
=
=
=
=
=
=

เกณฑ์การประเมนิ

ไดค้ ะแนน 8 – 10 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ดี

ไดค้ ะแนน 5 – 7 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั พอใช้

ไดค้ ะแนน 0 – 4 คะแนน แสดงวา่ อยใู่ นระดบั ปรบั ปรุง

สรุปผลการทาแบบฝึกทกั ษะ  ดี  พอใช้  ปรับปรุง

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 25

แบบทดสอบหลงั เรียน ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5
เวลา 10 นาที
รายวชิ า ค 32201 คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม
เล่มท่ี 2 รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบน้ีเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ขอ้ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ใชเ้ วลา

ในการทาขอ้ สอบ 10 นาที
2. ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบเป็นรายบคุ คลเพอื่ ประเมินความรูข้ องตนเอง
3. เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คือ ตอบถูกได้ 1 คะแนน ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

คาสั่ง
ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบทถี่ ูกตอ้ งเพยี งคาตอบเดียว แลว้ ทาเคร่ืองหมาย  ลงในช่อง

ที่ตรงกบั ตวั อกั ษร ก, ข, ค หรือ ง

1. จานวน 3 และ –3 เป็นรากที่ 6 ของจานวนใด
ก. 836
ข. 729
ค. 543
ง. 215

2. จงหาผลคูณของ 3 6  2 3
ก. 18 2
ข. 12 6
ค. 9 9
ง. 6 3

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 26

3. คา่ หลกั ของรากทีส่ ่ีของ 81 คือขอ้ ใด
ก. 11
ข. 9
ค. 1
ง. 3

4. จงหาคาตอบของ 80
5
ก. 16
ข. 8
ค. 6
ง. 4

5. –3 เป็นรากที่สามของจานวนใด
ก. –27
ข. –21
ค. –15
ง. –9

6. จงหาค่าของ 4 3  5 2 2

ก. –98 + 40 6
ข. 98 – 40 6
ค. –98 – 40 6
ง. 98 + 40 6

7. รากทส่ี องของ 42 คือขอ้ ใด
ก. 4
ข. 8
ค. 16
ง. 24

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 27

8. ขอ้ ใดเป็ นคา่ ของ 5 2  4 2
ก. 9 4
ข. 9 2
ค. 20 2
ง. 20 4

9. จงหาค่าของ 2 3  112 3  11

ก. 0
ข. 1
ค. 2
ง. 3

10. ค่าหลกั ของรากท่ี 3 125 คือขอ้ ใด
ก. 3
ข. –3
ค. 5
ง. –5

ตรวจคาตอบอกี รอบนะคะนักเรียน
ตรวจคาตอบอกี รอบนะค่ะนักเรียน

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 28

กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน
เร่ือง รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

ชื่อ – สกุล..................................................... เลขท่.ี ......... ช้นั ..........

ข้อ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 29

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกลุ และคณะ, แบบฝึ กหัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์ พืน้ ฐาน
ช่วงช้ันที่ 4 ม.5 เล่ม 3. กรุงเทพฯ : สานกั พมิ พเ์ ดอะบุคส์ จากดั , 2554.

จกั รินทร์ วรรณโพธ์ิกลาง, คู่มือประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์ เพมิ่ เติม ม. 4-6 เล่ม 3.
กรุงเทพฯ : สานกั พมิ พ์ พ.ศ. พฒั นา จากดั , 2554.

สมทบ เล้ียงนิรัตน์ และคณะ. แบบฝึ กหัด คณติ ศาสตร์ ม.4-6 เพ่ิมเตมิ เล่ม 3. กรุงเทพฯ : วบี คุ๊
จากดั , 2558.

สมยั เหล่าวานิชย,์ คณติ ศาสตร์ ม. 4 – 6 เล่ม 3. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ ไฮเอ็ดพบั ลิชช่ิง,
2555.

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบนั . คู่มือสาระการเรียนรู้เพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์
เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 5. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรุสภา
ลาดพร้าว, 2551.

________ . หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 5. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรุสภา ลาดพร้าว, 2547.

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 30

ภาคผนวก

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 31

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน
เร่ือง รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

ข้อ คาตอบ
1ก
2ง
3ค
4ข
5ง
6ก
7ง
8ก
9ข
10 ก

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 32

เฉลยแบบฝึ กทักษะท่ี 1

คาชี้แจง หาค่ารากท่ี n ของจานวนจริงทีก่ าหนดใหต้ อ่ ไปน้ี (10 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. รากทส่ี องของ 9 คือ 3 และ –3
2. รากทส่ี องของ 100 คอื 10 และ –10
3. รากที่สามของ 64 คอื 4
4. รากที่สามของ –216 คอื –6
5. รากที่สี่ของ –216 คือ ไม่มีคาตอบเป็ นจานวนจริง
6. รากทห่ี า้ ของ 243 คือ 3
7. รากทห่ี กของ 64 คือ 2 และ –2
8. รากทสี่ ี่ของ 256 คือ 4 และ –4
9. รากทีส่ ี่ของ 2401 คือ 7 และ –7
10. รากทส่ี ามของ 512 คอื 8

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 33

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 2

คาชี้แจง หาคา่ รากที่ n ของจานวนจริงที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี (10 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. 225 คือ 15

2. 169 คือ 13

3. 4 81 คอื 3

4. 7 128 คอื –2

5. 3 125 คือ 5

6. 3 64 คือ 4
125 5

7. 5 32 คอื 2
125  5 125

8. 3 0.008 คอื 0.2

9. 3 0.125 คือ 0.5

10. 3 0.000001 คือ 0.01

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 34

เฉลยแบบฝึ กทักษะท่ี 3

คาชี้แจง จงทาจานวนตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ย (10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. 12x 2y2 = 2 x y 3y
=
2. 5 5
3 125 = 5
= –1
3. 3 81  3 72
= 3 81 72
4. 2 125 = 3 9 9 9 2  2  2 = 18
5 20
= 25 5
5. 3 243 = 52 5
27 1
=
= 39 3
33
9

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 35

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 4

คาชี้แจง จงทาใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ย (10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. 2 3( 5  3) = 2 15  2(3)
2. (2 3 1)( 3  2) = 2 15  6
3. (3 2 )( 2  3)
4. ( 3 1)2 = 2(3)  4 3  3  2
= 43 3

= 3 2 923 2
= –7

= ( 3 1) ( 3 1)
= 32 3 1
= 42 3

5. 6 112 = 6 112
7 7

= 6 × 4 = 24

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 36

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 5

คาชี้แจง จงหาคา่ หลกั ของรากที่ 2 ของจานวนจริงที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี (10 คะแนน
ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. 9 + 56 = 9 + 4 14
= 9 + 2 14

= (7 + 2) + 2 7  2 
=  72 +  2 2 + 2 7  2 
=  72 + 2 7  2  +  2 2
=  7  2 2

ดงั น้นั 7 + 2 เป็ นคา่ หลกั ของรากท่ีสองของ 9 + 56

2. 12 + 2 35 = 12 + 2 75

= (7 + 5) + 2 7  5
=  72 +  52 + 2 7  5
=  72 + 2 7  5 +  52
=  7  52

ดงั น้นั 7 + 5 เป็ นคา่ หลกั ของรากที่สองของ 12 + 2 35

3. 11 + 72 = 11 + 4 18
= 11 + 2 18

= (9 + 2) + 2 9  2 
=  92 +  2 2 + 2 9  2 
=  92 + 2 9  2  +  2 2
=  9  2 2
= 3  92
ดงั น้นั 3  9 2 เป็นค่าหลกั ของรากท่ีสองของ 11 + 72

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 37

4. 12  140 = 12  4 35
= 12  2 35

= (7 5)  2 7 5
=  72   52  2 7 5
=  72  2 7 5  52
=  7  52

= 7+ 5

5. 6  32 = 6  4 8
= 62 8

= (4  2)  2 4  2 
=  4 2   22  2 4  2
=  4 2  2 4  2  22
=  4  2 2

= 4+ 2
= 2+ 2

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 38

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน
เร่ือง รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

ข้อ คาตอบ
1ข
2ก
3ง
4ค
5ก
6ข
7ก
8ค
9ก
10 ง

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 39

เกณฑ์การให้คะแนน

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 1–2 : เติมคาตอบลงในช่องวา่ งไดถ้ ูกตอ้ ง ใหข้ อ้ ละ 1 คะแนน
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 3–5 :
- แสดงวธิ ีคิดไดถ้ ูกตอ้ ง ครบถว้ น ให้ 2 คะแนน
- แสดงวธิ ีคดิ ถูกตอ้ งบางส่วน และเขียนไม่ครบถว้ นให้ 1 คะแนน
- แสดงวธิ ีคดิ ไม่ถูกตอ้ ง และเขยี นไม่ครบถว้ นให้ 0 คะแนน
- ไม่เขยี นแสดงวธิ ีคดิ หรือไม่เขียนใดๆ เลย ให้ 0 คะแนน
- แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน : ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง ใหข้ อ้ ละ 1 คะแนน

ด้านทักษะกระบวนการ
- ทกั ษะการสื่อสาร
- ทกั ษะการคดิ และทกั ษะการแกป้ ัญหา
แบง่ การใหค้ ะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั น้ี
3 หมายถึง ระดบั ดี
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรบั ปรุง

ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์
มีวนิ ยั ใฝ่ เรียนรู้ และมุ่งมนั่ ในการทางาน
แบ่งการใหค้ ะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั น้ี
3 หมายถึง ระดบั ดี
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรับปรุง

รากที่ n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 40

การผ่านเกณฑ์การประเมนิ

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 – 5 นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 80 ข้นึ ไป
- แบบทดสอบหลงั เรียน นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนร้อยละ 80 ข้นึ ไป

ด้านทกั ษะกระบวนการ
นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 80 ข้นึ ไป

ด้านคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์
นกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนร้อยละ 80 ข้นึ ไป

รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์ 41

ตารางบนั ทกึ คะแนน
เรื่อง รากท่ี n ในระบบจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

ช่ือ ........................................................................... เลขที่ .............. ช้นั .....................

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนท่ีทาได้ คดิ เป็ นร้อยละ สรุปผล
ผ่าน ไม่ผ่าน
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
แบบฝึกทกั ษะที่ 1 10
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 10
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 10
แบบฝึกทกั ษะท่ี 4 10
แบบฝึกทกั ษะท่ี 5 10
10
แบบทดสอบหลงั เรียน 70
รวม

วิธีคดิ คะแนน

ใหน้ กั เรียนนาคะแนนของตนเองในแตล่ ะรายการคูณกบั 100 แลว้ หารดว้ ยคะแนนเตม็
ของแตล่ ะรายการ

ตวั อย่าง นายวนิ ยั ไดค้ ะแนนจากแบบฝึกทกั ษะที่ 1 ได้ 7 คะแนน จากคะแนนเตม็

10 คะแนน 7  100
10
คดิ เป็นรอ้ ยละไดด้ งั น้ี  70.00

ดงั น้นั นายวนิ ยั มีคะแนน 70% และไม่ผา่ นการทดสอบจากแบบฝึกทกั ษะท่ี 1