The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

แบบฝึกทักษะเรื่อง-การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง-เล่ม-1

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search

แบบฝึกทักษะเรื่อง-การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง-เล่ม-1

แบบฝึกทักษะเรื่อง-การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง-เล่ม-1

แบบฝกึ ทกั ษะ

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี อง
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2

เลม่ ท่ี 1
การแยกตัวประกอบโดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง

จดั ทาโดย ครูชเู กยี รติ สยุ ะลงั กา

ตาแหนง่ ครูวิทยฐานะชานาญการ
โรงเรียนวัชรวิทยา
สานกั งานเขตพื้นทกี่ ารศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 41

แบบฝกึ ทกั ษะ

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 2

เล่มที่ 1
การแยกตัวประกอบของพหนุ าม

โดยใช้สมบัตกิ ารแจงแจง

จดั ทาโดย... ครูชูเกียรติ สยุ ะลังกา

ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะครชู านาญการ
โรงเรียนวัชรวทิ ยา

สานกั งานเขตพน้ื ท่ีการศึกษามธั ยมศึกษา เขต 41



คานา

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
เล่มนี ้จดั ทาขนึ ้ เพื่อใช้เป็นส่ือประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนที่ใช้ควบคกู่ บั
แผนการจดั การเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม รายวิชา ค22202 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
ซงึ่ ได้จดั ทาทงั้ หมด จานวน 8 เลม่ ได้แก่

เลม่ ที่ 1 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง
เล่มที่ 2 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั ิการสลบั ท่ีและสมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่
เลม่ ท่ี 3 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a, b เป็นจานวนเต็ม และ c = 0
เลม่ ท่ี 4 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ c ≠ 0
เลม่ ที่ 5 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เมื่อ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม และ a ≠ 0, a ≠ 1,
c≠0
เลม่ ที่ 6 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
เล่มท่ี 7 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็นผลตา่ งของกาลงั สอง
เล่มที่ 8 การประยกุ ต์เก่ียวกบั พหนุ ามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกาลงั สอง

ผ้จู ดั ทาหวงั เป็นอย่างยงิ่ ว่า แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ดีกรีสองชดุ นี ้จะเป็นประโยชน์ตอ่ การจดั กิจกรรมการเรียนการสอนของครูได้เป็นอย่างดี
และช่วยยกระดบั ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนของนกั เรียนในวชิ าคณิตศาสตร์ให้สงู ขนึ ้

ชูเกียรติ สุยะลังกา

สารบญั ข

เร่ือง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาแนะนาสาหรับครู 1
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 2
มาตรฐานการเรียนรู้ 3
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 4
แบบทดสอบก่อนเรียน 5
เนือ้ หาบทเรียน 7
แบบฝึกทกั ษะที่ 1 13
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 14
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 15
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 16
แบบทดสอบหลงั เรียน 17
เกณฑ์การให้คะแนน 19
การผา่ นเกณฑ์การประเมิน 20
แบบบนั ทกึ คะแนน 21
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 24
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 2 25
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 3 26
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 4 27
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน 28
คารับรองของผ้บู งั คบั บญั ชา 29

1

คาแนะนาสาหรับครู

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
เล่มท่ี 1 เร่ือง การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง ให้ครูอา่ นคาแนะนา
และปฏบิ ตั ติ ามขนั้ ตอน ดงั นี ้

1. ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ประกอบแผน
การจดั การเรียนรู้ท่ี 2 – 3 จานวน 2 ชว่ั โมง

2. ศกึ ษาเนือ้ หา สมบตั กิ ารแจกแจง สมบตั กิ ารสลบั ที่ สมบตั กิ ารเปล่ียนหมู่
และแบบฝึกทกั ษะเล่มนีใ้ ห้เข้าใจก่อน

3. แจ้งจดุ ประสงค์การเรียนรู้ให้นกั เรียนทราบ ให้นกั เรียนอ่านคาแนะนาการใช้
แบบฝึกทกั ษะและปฏบิ ตั ติ ามคาแนะนาทกุ ขนั้ ตอน

4. จดั กิจกรรมการเรียนการสอนตามขนั้ ตอนท่ีกาหนดไว้ในแผนการจดั การเรียนรู้
5. สงั เกต ดแู ล และให้คาแนะนานกั เรียน เม่ือพบปัญหา เช่น ไม่เข้าใจ ทาไม่ได้
โดยการอธิบายหรือยกตวั อยา่ งเพมิ่ เติมให้กบั นกั เรียน
6. ควรใช้เวลา 15 – 20 นาที ในการทาแบบฝึกทกั ษะ
7. เมื่อนกั เรียนทากิจกรรมเสร็จสนิ ้ ทกุ ขนั้ ตอนแล้ว ให้นกั เรียนบนั ทกึ คะแนน
จากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน
ในเล่มของตนเอง เพือ่ ประเมนิ ความก้าวหน้าของตนเอง
8. ครูควรจดั ซอ่ มเสริมนกั เรียนท่ีมีผลการทดสอบไม่ผ่านเกณฑ์ที่กาหนด
9. ครูควรให้กาลงั ใจ คาแนะนา หรือเทคนิควิธีที่เหมาะกบั ความแตกตา่ ง
ของนกั เรียนแต่ละคน

2

คาแนะนาสาหรบั นกั เรียน

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
เล่มท่ี 1 เร่ือง การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง ใช้เพื่อฝึกทกั ษะ
การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม หลงั จากเรียนเนือ้ หาในบทเรียนเสร็จสนิ ้ แล้ว
ซงึ่ นกั เรียนควรปฏบิ ตั ติ ามคาแนะนาต่อไปนี ้

1. ศกึ ษาและทาความเข้าใจจดุ ประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝึกทกั ษะ
2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน จานวน 10 ข้อ เพ่อื วดั ความรู้พนื ้ ฐาน
3. ศกึ ษาเนือ้ หาในบทเรียนและตวั อยา่ งให้เข้าใจ หรือถามครูให้ชว่ ยอธิบาย
เพม่ิ เติมก่อนทาแบบฝึกทกั ษะแต่ละชดุ
4. ให้นกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 จานวน 15 ข้อ และแบบฝึกทกั ษะท่ี 2
จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 15 – 20 นาที และทาแบบฝึกทกั ษะท่ี 3 จานวน 10 ข้อ
และแบบฝึกทกั ษะที่ 4 จานวน 5 ข้อ ใช้เวลา 15 – 20 นาที
5. เม่ือทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จสิน้ ตามเวลาที่กาหนด ให้นกั เรียนตรวจคาตอบ
ด้วยตนเองจากเฉลยในสว่ นภาคผนวก
6. ให้ทาแบบทดสอบหลงั เรียน จานวน 10 ข้อ และตรวจคาตอบด้วยตนเอง
จากเฉลยในสว่ นภาคผนวก
7. บนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และแบบทดสอบหลงั เรียน ลงในแบบบนั ทกึ คะแนนของแต่ละคน เพ่อื ประเมนิ
การพฒั นาและความก้าวหน้าของตนเอง
8. ในการปฏิบตั กิ ิจกรรมทกุ ครัง้ นกั เรียนควรซ่อื สตั ย์ตอ่ ตนเอง โดยไมเ่ ปิดเฉลย
แล้วตอบ หรือลอกคาตอบจากเพ่อื น

3

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 4 : พชี คณิต
มาตรฐาน ค 4.1: เข้าใจและวเิ คราะห์แบบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์

และฟังก์ชนั

สาระท่ี 6: ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1: มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตผุ ล การส่ือสาร

การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ
การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อน่ื ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

ผลการเรยี นรู้

แยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจงได้

4

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

ด้านความรู้

นกั เรียนสามารถแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจงได้

ด้านทกั ษะกระบวนการ

1. การให้เหตผุ ล
2. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนาเสนอ
3. การเชื่อมโยง

ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์

1. มีวนิ ยั
2. ใฝ่เรียนรู้
3. มีความมงุ่ มนั่ ในการทางาน

5

แบบทดสอบก่อนเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอ่านคาถามต่อไปนี ้แล้วเขียนเครื่องหมาย X บนตวั เลือก
ที่ถกู ต้องที่สดุ เพียงข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. 24x + 16 มีคา่ เท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. 8(3x + 2) ข. 16(2x + 1)

ค. 4(3x + 2) ง. 2(6x + 8)

2. abc – a2bc3 มีคา่ เทา่ กบั พหนุ ามในข้อใด

ก. abc(1 – c2) ข. abc(1 – c)

ค. abc(1 – ac2) ง. abc(1 – ac)

3. 2a2b3c – 8ab2c3 มีคา่ เทา่ กบั พหนุ ามในข้อใด

ก. 2abc(1 – 4abc2) ข. 2abc(ab – 4c2)

ค. 2abc(b – 4bc2) ง. 2ab2c(ab – 4c2)

4. 24x4y – 56x3y3 มีคา่ เท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. 8x3y(3x – 7y2) ข. 8x2y(3x – 7y2)

ค. 8x3y(3x – 7y) ง. 8x2y(3x2 – 7y2)

5. –18x2y5 + 6x3y3 – 36x4y มีคา่ เท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. –6x2y(-3y4 + xy2 – 6x2) ข. 6x2y(3y4 – xy2 + 6x2)

ค. –6x2y(3y4 – xy2 + 6x2) ง. 6x2y(-3y4 + x2y2 – 6x2)

6

6. พหนุ าม 12p2 – 15pq – 18q2 แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. 3(4p2 – 5p2q – 6q2) ข. 3(4p2 – 5pq – 6q2)

ค. 3(4p2 + 5pq – 6q) ง. 3(-4p2 + 5pq + 6q2)

7. พหนุ าม 5x2 – 125 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. 5(x – 25) ข. 5(x – 5) (x + 5)

ค. 5(x2 – 5) ง. 5(x – 5)2

8. พหนุ าม 64 – 4x2 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. 4(x2 – 16) ข. 16(4 – x2)

ค. 4(16 – x)2 ง. 4(16 – x2)

9. พหนุ าม xy – 4xy3 แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. xy(1 – 4y2) ข. xy(1 – 4y)

ค. xy(1 – 2y2) ง. xy(1 – 2y)

10. พหนุ าม 3z3 + 4z2 – 4z แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. z(3z2 + 4z + 4) ข. z(3z2 + 4z – 4)

ค. z(3z2 – 4z + 4) ง. z(3z2 – 4z – 4)

ทาข้อสอบก่อนเรียน
กันแล้ว..เราไปลุย
เนือ้ หากนั เลยครับ

7

เนือ้ หาบทเรยี น

มาทบทวนความรู้เก่ยี วกับพหนุ ามกนั ก่อนนะครับ
ตอบคาถามเหล่านีไ้ ด้ไหมเอ่ย....

พหุนามคอื อะไร ……………………?
การบวก ลบ คูณ หารพหุนามทาอย่างไร ……………?
สมบัติการแจกแจงคอื อะไร .........................?

1. พหนุ าม คือ นิพจน์ท่ีอยใู่ นรูปเอกนามหรือผลบวกของเอกนามตงั้ แต่ 2 เอกนามขนึ ้ ไป
3y
เชน่ x + y, x – y, 5x2 – 3, 2 ฯลฯ

2. การหาผลบวกของพหนุ ามทาได้โดยนาพหนุ ามมาเขียนในรูปการบวกและถ้ามีพจน์

ที่คล้ายกนั ให้บวกพจน์ที่คล้ายกนั เข้าด้วยกนั ดงั ตวั อย่างต่อไปนี ้

(1) -4x + 7 และ x – 5

(-4x+7) + (x – 5) = -4x+7+x – 5

= (-4x+x)+(7 – 5)

= -3x + 2

(2) 3x – 8 และ y – 6z

(3x – 8) + (y – 6z) = 3x – 8+y – 6z

= 3x+y – 6z – 8

3. การลบพหนุ ามทาได้ในทานองเดียวกนั กบั การลบเอกนามโดยเขียนพหนุ ามในรูป

การลบให้อย่ใู นรูปการบวกพหนุ าม ซง่ึ ต้องใช้พหนุ ามตรงข้าม

พจิ ารณาพหนุ าม x – 4

เราจะหาพหนุ ามท่ีนามาบวกกบั พหนุ าม x – 4 แล้วได้พหนุ าม 0

เนื่องจาก (x – 4) + (-x + 4) = x – 4 – x + 4

=0

8

4. การคณู พหนุ ามมีได้ดงั นี ้
4.1 การคณู เอกนามกบั พหนุ าม
การหาผลคณู ระหว่างเอกนามกบั พหนุ ามทาได้โดยนาเอกนามไปคณู แตล่ ะพจน์

ของพหนุ าม แล้วนาผลคณู เหล่านนั้ มาบวกกนั หลกั การนีไ้ ด้มาจากการใช้สมบตั ิ
การแจกแจง ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี ้

(1) 2x กบั -3x + 4
วธิ ีทา 2x(-3x + 4) = (2x)(-3x) + (2x)(4)
= -6x2 + 8x

(2) -7x2 กบั 8x2 + 4x – 5
วธิ ีทา -7x2(8x2 + 4x – 5) = (-7x2 )(8x2) + (-7x2 )(4x) + (-7x2)(-5)
= -56x4 – 28x3 + 35x2

4.2) การคณู พหนุ ามกบั พหนุ าม
พจิ ารณาการคณู พหนุ ามกบั พหนุ าม ซงึ่ ทาได้โดยใช้สมบตั ิแจกแจง ดงั ตวั อย่าง

ตอ่ ไปนี ้
(x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x+2)(3)
= x(x) + 2(x) + 3(x) + 2(3)
= x2 + 2x + 3x + 6
= x2 + 5x + 6

5. การหารพหนุ าม
5.1 การหารเอกนามด้วยเอกนาม ให้นาส่วนที่เป็นสมั ประสิทธ์ิมาหารกนั

ตามหลกั เกณฑ์ของการหารเลขทว่ั ๆ ไป และส่วนที่เป็นตวั แปรให้หารกนั ตามหลกั เกณฑ์

การหารเลขยกกาลงั โดยฐานเหมือนกนั หารกนั ให้นาเลขชีก้ าลงั มาลบกนั และตวั แปร

ท่ีเป็นตวั หารทกุ ตวั ต้องไม่เป็น 0 แต่ถ้าฐานไมเ่ หมือนกนั ให้เขียนอยใู่ นรูปเศษสว่ น
ของตวั แปร หรือนิยมใช้ a-n  a1n โดยที่ a  0 ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปนี ้

9

1) 36xx32  6x3-2  2x
3

2)  4x22xy23yzz5  2x2-2y3-2z5-1 2x0y1z4  2yz4

5.2 การหารพหนุ ามด้วยเอกนาม ให้นาตวั หารไปหารทกุ พจน์ของตวั ตงั้ แล้วนา

ผลหารที่ได้มาบวกกนั และตวั แปรท่ีเป็นตวั หารทกุ ตวั ต้องไม่เป็น 0 ถ้าผลลพั ธ์ทกุ พจน์

ที่ได้เป็นเอกนาม ถือวา่ การหารลงตวั แต่ถ้าผลลพั ธ์บางพจน์ไมเ่ ป็นเอกนาม พจน์ที่ไม่

เป็นเอกนามนนั้ ก็คือ เศษ เช่น มีผลหารเป็นเศษสว่ น ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี ้
3x3 2x2 3x3 2x2
  x  x  3x3-1 2x2-1  3x2  2x
x

5.3 การหารพหนุ ามด้วยพหนุ าม ด้วยวธิ ีการหารยาวหรือการตงั้ หาร ดงั ตวั อย่าง

ตอ่ ไปนี ้

จงหาผลหารของ 3x + x2 – 10 ด้วย x – 2
x5

วธิ ีทา x 2 x2 3x 10_  เรียงพจน์จากดีกรีมากไปหาน้อย

x2 – 2x

5x – 10_
5x – 10

0

ตอบ ผลหารคือ x + 5

6. สมบตั ิการแจกแจง

ถ้า a, b และ c แทนจานวนเต็มใด ๆ

แล้ว a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca

เขียนสมบตั ิการแจกแจงข้างต้นใหมเ่ ป็นดงั นี ้

ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

ถ้า a, b และ c เป็นพหนุ าม สามารถใช้สมบตั ิการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย

และเรียก a ว่าตวั ประกอบร่วมของ ab และ ac หรือตวั ประกอบร่วมของ ba และ ca

10

เอาละ่ ! เมื่อทบทวนความรกู้ ันแลว้ เรามาเริ่มเนือ้ หากนั เลยดีกวา่ ครบั

การแยกตวั ประกอบของ 15x2y – 18xy2 โดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง ทาได้ดังนี้
15x2y – 18xy2 = 3(5x2y – 6xy2) [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15และ 18]

= 3x(5xy – 6y2) [x เป็นตวั ประกอบร่วมของ x2y และ 6xy2]
= 3xy(5x – 6y) [y เป็นตวั ประกอบร่วมของ 5xy และ 6y2]
ดงั นนั ้ 5x2y – 18xy2 = 3xy(5x – 6y)

“เพื่อเพมิ่ ความเขา้ ใจ เรามาดูตวั อยา่ งตอ่ ไปนกี้ ันนะครับ”

ตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ 5xy + 6x2
วธิ ีทา 5xy + 6x2 = (x)(5y) + (x)(6x)
ดงั นนั้ = x(5y + 6x)
ข้อสังเกต x เป็นตวั ประกอบร่วมของ 5xy และ 6x2

ดงึ x ที่เป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ 12y2z + 20yz
วิธีทา 12y2z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)(5)
ดงั นนั้ = 4yz(3y + 5)
ข้อสังเกต 4yz เป็นตวั ประกอบร่วมของ 12y2z และ 20yz

ดงึ 4yz ท่ีเป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ 16x3y3 – 24x4y
วธิ ีทา 16x3y3 – 24x4y = (8x3y)(2y2) – (8x3y)(3x)
ดงั นนั ้ = 8x3y(2y2 – 3x)
ข้อสังเกต 8x3y เป็นตวั ประกอบร่วมของ 16x3y3 และ 24x4y

ดงึ 8x3y ที่เป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

11

ตวั อย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ 2(3 - x) + x(3 – x)
วธิ ีทา 2(3 – x) + x(3 – x) = (3 – x)(2 + x)

ข้อสังเกต (3 – x) เป็นตวั ประกอบร่วมของ 2(3 – x) และ x(3 – x)
ดงึ (3 – x) 8x3y ท่ีเป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ 3x(a – b) + 7(b – a)
วิธีทา 3x(a – b) + 7(b – a) = 3x(a – b) – 7(a – b)

= (3x – 7)(a – b)

ข้อสังเกต 1. พจิ ารณาเครื่องหมายลบ (–) ที่ทาให้ 7(b – a) = -7(a – b)
2. (a - b) เป็นตวั ประกอบร่วมของ 3x(a – b) และ7(a – b)
ดงึ (a – b) ที่เป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

ตวั อย่างท่ี 6 จงแยกตวั ประกอบของ (5a + 3)(3 – b) + 2a(3 – b)
วิธีทา (5a + 3)(3 – b) + 2a(3 – b) = (3 – b)((5a + 3) + 2a)

= (3 – b)(5a + 3 + 2a)
= (3 – b)(7a + 3)
ข้อสังเกต (3 – b) เป็นตวั ประกอบร่วมของ (5a + 3)(3 – b) และ 2a(3 – b)
ดงึ (3 – b) ที่เป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างท่ี 7 จงแยกตวั ประกอบของ (x + 1)2 – (x + 1)(x – 1)
วิธีทา (x + 1)2 – (x + 1)(x – 1) = (x + 1)(x + 1) – (x + 1)(x – 1)

= (x + 1)((x + 1) – (x – 1))
= (x + 1)(x + 1 – x + 1)
= (x + 1)(2) หรือ 2(x + 1)
ข้อสังเกต (x + 1) เป็นตวั ประกอบร่วมของ (x + 1)2 และ (x + 1)(x – 1)
ดงึ (x + 1) ที่เป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

12

ข้อควรระวัง
1. ตวั ประกอบร่วมท่ีนาออกมานอกวงเล็บต้องเป็นตวั ประกอบร่วมท่ีมากท่ีสดุ
2. ถ้ายงั มีตวั ประกอบเหลืออย่ตู ้องนาออกมาให้หมด
3. ถ้ามีเครื่องหมายลบ (–) หน้าวงเล็บ อยา่ ลืมนาลบ (–) เข้าไปคณู แจกแจง

ทกุ พจน์ในวงเล็บก่อนการดาเนินการบวกหรือลบ
3. ในการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่ีมีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบตั ิการสลบั ท่ี

และสมบตั กิ ารเปล่ียนหม่ปู ระกอบกนั ด้วย ซงึ่ จะพบได้ในแบบฝึกทกั ษะ
เล่มที่ 2

เดก็ ๆ อาจทาความเข้าใจเนอื้ หาดว้ ยภาษาหรอื ถอ้ ยคา
ที่เราเขา้ ใจไดง้ า่ ย เช่น การใช้คาย่อ การใชร้ หัส การใช้

พยญั ชนะภาษาอังกฤษ การท่องจาคาคลอ้ งจอง
บทกลอน หรือร้องเป็นเพลงท่ีชอบกไ็ ดน้ ะคะ
การเรียนจะได้สนกุ ขน้ึ ค่ะ

13

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1

คาชีแ้ จง 1) จบั ค่พู หนุ ามที่กาหนดให้ โดยเขียนอกั ษรหน้าข้อที่เป็นพหนุ ามเดียวกนั
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 15 คะแนน)

………. 1) x2 + 2x ก. x(4x + y)
………. 2) 5x3 – 3x2 ข. 7ab(-3a2 + ab2 – 2)
………. 3) 8x4 – x2 ค. (x – 4)(x + 2)
………. 4) 5y2 + 2y ง. x(x + 2)
………. 5) 4x2 + xy จ. (5x2 – 1)(y + z)
………. 6) 4x3 – 8x2 + 12x ฉ. X2(5x – 3)
………. 7) x3 – 3x2 – 9x ช. (x + 4)(x + 2)
………. 8) 16 – 4a – 8b ซ. (a + b)(c + d)
………. 9) -21a3b2 + 7a2b3 – 14ab ฌ. x2(8x2 – 1)
………. 10) 6a5 – 3a2 + 9a4 – 12a3 ญ. 4(4 – a – 2b)
………. 11) x(x – 4) + 2(x – 4) ฎ. (x + 1)(x2 – 5)
………. 12) x2(x + 1) – 5(x + 1) ฏ. x(x2 – 3x – 9)
………. 13) (a + b)c + (a + b)d ฐ. y(5y + 2)
………. 14) (5x2 – 1)y + (5x2 – 1)z ฑ. 4x(x2 – 2x + 3)
………. 15) (x + 4)x + 2(x + 4) ฒ. 3a2(2a3 – 1 + 3a2 – 4a)

14

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบตอ่ ไปนี ้โดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1) 5x2 – xy = x( …….…) = x(5x………)

2) 4p2q + 6pq2 = 2( …….…) = 2pq(…..………)

3) -x2 – x2y2 = x2( …….…) = -x2(……….…)

4) 9xy3 – 15x2y2 = 3x( …….…) = 3x y2( …………)

5) 30pq2r3 – 45p3q2 = 15( …..….…) = 15pq2( …..….…)

6) 2ax2 + 4a2x – 20a2x2 = 2( ………...….…) = 2ax( ………...….…)

7) 8m2n3 + 10m3n3 – 12m3n2 = ………………………………………

8) x(2x – y) + 5(2x – y) = (2x – y)(……………) = (2x – y)(………)

9) a(b + c) – d(b + c) = ………………………………………

10) (2a + b)(2a + b) – (2a + b)c = ………………………………………

15

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบตอ่ ไปนี ้โดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1) x(x – 1) + 3(x – 1) = (x – 1)(………)

2) (x + 2) + y2(x + 2) = (x + 2)(………)

3) x(x – 3) – (x – 3) = (x – 3)(………)

4) x2(x – 4) – 9(x – 4) = ………………………………………

5) x(x2 – 3) + (x2 – 3) = ………………………………………

6) 6(y + 1) + 5x(y +1) = ………………………………………

7) m2(m – 2) + (m – 2) = ………………………………………

8) x(2x + y) + 5(y + 2x) = ………………………………………

9) a(b + c) – (b + c) = ………………………………………

10) (2a + b)(2a + b) – (2a + b) = ………………………………………

16

แบบฝึกทกั ษะท่ี 4

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบตอ่ ไปนี ้โดยใช้สมบตั ิการแจกแจง
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 5 คะแนน)

1) (a + b)2(2a + b) – (2a + b) = (2a + b)(……………………….)

= ………………………………………

2) (x + 3y)(2x – y) – (x + 3y)2 = (x + 3y)(……………………….)

= ………………………………………

3) (3x + 2y)2 – 6x – 4y = (3x + 2y)2 – 2(…………….)

= (3x + 2y)(…………) = (………)(………)

4) (a – 3b)2 + (a – 3b)(a + 2b) = ………………………………………

= ………………………………………

5) (2a – c)(x – y) – c(x – y)2 = ………………………………………

= ………………………………………

17

แบบทดสอบหลังเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอา่ นคาถามต่อไปนี ้แล้วเขียนเคร่ืองหมาย X บนตวั เลือก
ท่ีถกู ต้องที่สดุ เพยี งข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. พหนุ าม 12p2 – 15pq – 18q2 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. 3(4p2 – 5p2q – 6q2) ข. 3(4p2 – 5pq – 6q2)

ค. 3(4p2 + 5pq – 6q) ง. 3(–4p2 + 5pq + 6q2)

2. 24x4y – 56x3y3 มีค่าเทา่ กบั พหนุ ามในข้อใด

ก. 8x3y(3x – 7y2) ข. 8x2y(3x – 7y2)

ค. 8x3y(3x – 7y) ง. 8x2y(3x2 – 7y2)

3. พหนุ าม xy – 4xy3 แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. xy(1 – 4y2) ข. xy(1 – 4y)

ค. xy(1 – 2y2) ง. xy(1 – 2y)

4. abc – a2bc3 มีค่าเท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. abc(1 – c2) ข. abc(1 – c)

ค. abc(1 – ac2) ง. abc(1 – ac)

5. 24x + 16 มีคา่ เท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. 8(3x + 2) ข. 16(2x + 1)

ค. 4(3x + 2) ง. 2(6x + 8)

18

6. –18x2y5 + 6x3y3 – 36x4y มีค่าเท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. –6x2y(-3y4 + xy2 – 6x2) ข. 6x2y(3y4 – xy2 + 6x2)

ค. –6x2y(3y4 – xy2 + 6x2) ง. 6x2y(-3y4 + x2y2 – 6x2)

7. 2a2b3c – 8ab2c3 มีคา่ เท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. 2abc(1 – 4abc2) ข. 2abc(ab – 4c2)

ค. 2abc(b – 4bc2) ง. 2ab2c(ab – 4c2)

8. พหนุ าม 5x2 – 125 แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. 5(x – 25) ข. 5(x – 5)(x + 5)

ค. 5(x2 – 5) ง. 5(x – 5)2

9. พหนุ าม 3z3 + 4z2 – 4z แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. z(3z2 + 4z + 4) ข. z(3z2 + 4z – 4)

ค. z(3z2 – 4z + 4) ง. z(3z2 – 4z – 4)

10. พหนุ าม 64 – 4x2 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. 4(x2 – 16) ข. 16(4 – x2)

ค. 4(16 – x)2 ง. 4(16 – x2)

19

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ด้านความรู้

- แบบฝึกทกั ษะที่ 1: จบั ค่พู หนุ ามท่ีกาหนดให้ โดยเขียนอกั ษรหน้าข้อท่ีเป็น
พหนุ ามเดียวกนั ได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน

- แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 – 4: เติมคาตอบในชอ่ งว่างได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
- แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน: ตอบได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน

ด้านทกั ษะกระบวนการ

การให้เหตผุ ล การสื่อสารและการเชื่อมโยง แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้
3 หมายถึง ระดบั ดี
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถงึ ระดบั ปรับปรุง

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

มีวินยั ใฝ่เรียนรู้ และม่งุ มนั่ ในการทางาน แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้
3 หมายถงึ ระดบั ดี
2 หมายถงึ ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรับปรุง

20

การผ่านเกณฑก์ ารประเมนิ

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะที่ 1 – 4 นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป
- แบบทดสอบหลงั เรียน นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านทกั ษะกระบวนการ

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

21

แบบบันทกึ คะแนน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนบนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และหลงั เรียน

2. ให้ทาเครื่องหมาย ที่ช่องสรุปผลตามผลการประเมินจากแบบฝึกทกั ษะ
แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

ท่ี รายการ คะแนน คะแนน สรุปผล
เตม็ ท่ไี ด้ ผ่าน ไม่ผ่าน
1 แบบทดสอบก่อนเรียน 10
2 แบบฝึกทกั ษะที่ 1 15
3 แบบฝึกทกั ษะที่ 2 10
4 แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 10
5 แบบฝึกทกั ษะที่ 4 5
6 แบบทดสอบหลงั เรียน 10

วธิ ีคิดคะแนน
ให้นกั เรียนนาคะแนนของตนเองในแตล่ ะรายการคณู กบั 100 แล้วหารด้วย

คะแนนเตม็ ของแตล่ ะรายการ เทา่ นี ้นกั เรียนก็จะรู้ว่าตนเองผ่านหรือไมผ่ า่ นการทดสอบ
แล้วล่ะครับ

ตัวอย่าง พราวได้คะแนนจากแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 13 คะแนน จากคะแนนเต็ม 15 คะแนน

คิดเป็นร้อยละได้ดงั นี ้ 13100  86.67
15
ดงั นนั้ พราวมีคะแนน 86.67% และผา่ นการทดสอบจากแบบฝึกทกั ษะ 1

คิดเป็นแลว้ ใช่ไหมครบั .. ถา้ อย่างนน้ั เราควรนาผลการประเมนิ มาพัฒนาตนเองด้วยนะ ^^

22

บรรณานุกรม

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และคณะ. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ :
ภมู ิบณั ฑิต, 2550.

ชลธิศ พทิ ยงั กรู และคณะ. ส่ือเสริมสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.2
เล่ม 2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2550.

โชคชยั สิริหาญอดุ ม. แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ม.2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2553.
เทพฤทธ์ิ ยอดใส และอดุ มศกั ดิ์ ลกู เสือ. ตะลุยโจทย์คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ม.2.

กรุงเทพฯ : เพมิ่ ทรัพย์การพมิ พ์, 2553.
พรรณี ศลิ ปะวฒั นานนั ท์. ส่ือเสริมรายวิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปี ท่ี 2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : ฟิสิกส์เซน็ เตอร์, 2554.
สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . คู่มือสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ

คณิตศาสตร์ เล่ม 2 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษา
ปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2551.
________ . หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ :
โรงพมิ พ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2547.

ภาคผนวก

24

เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1

……ง…. 1) x2 + 2x ก. x(4x + y)
…...ฉ…. 2) 5x3 – 3x2 ข. 7ab(-3a2 + ab2 – 2)
..…ฌ…. 3) 8x4 – x2 ค. (x – 4)(x + 2)
…...ฐ…. 4) 5y2 + 2y ง. x(x + 2)
…...ก…. 5) 4x2 + xy จ. (5x2 – 1)(y + z)
…..ฑ…. 6) 4x3 – 8x2 + 12x ฉ. X2(5x – 3)
…..ฏ…. 7) x3 – 3x2 – 9x ช. (x + 4)(x + 2)
…..ญ…. 8) 16 – 4a – 8b ซ. (a + b)(c + d)
…...ข…. 9) -21a3b2 + 7a2b3 – 14ab ฌ. x2(8x2 – 1)
…..ฒ…. 10) 6a5 – 3a2 + 9a4 – 12a3 ญ. 4(4 – a – 2b)
…..ค…. 11) x(x – 4) + 2(x – 4) ฎ. (x + 1)(x2 – 5)
…..ฎ…. 12) x2(x + 1) – 5(x + 1) ฏ. x(x2 – 3x – 9)
…..ซ…. 13) (a + b)c + (a + b)d ฐ. y(5y + 2)
…..จ…. 14) (5x2 – 1)y + (5x2 – 1)z ฑ. 4x(x2 – 2x + 3)
…..ช…. 15) (x + 4)x + 2(x + 4) ฒ. 3a2(2a3 – 1 + 3a2 – 4a)

25

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 2

1) 5x2 – xy = x(5x – y)

2) 4p2q + 6pq2 = 2pq(2p + 3q)

3) -x2 – x2y2 = -x2(1 + y2) หรือ x2(1 – y2)

4) 9xy3 – 15x2y2 = 3xy2(3y – 5x)

5) 30pq2r3 – 45p3q2 = 15pq2(2r3 – 3p2)

6) 2ax2 + 4a2x – 20a2x2 = 2ax(x + 2a – 10ax)

7) 8m2n3 + 10m3n3 - 12m3n2 = 2m2n2(n + 5mn – 6m)

8) x(2x – y) + 5(2x – y) = (2x – y)(x + 5)

9) a(b + c) – d(b + c) = (b + c)(a – d)

10) (2a + b)(2a + b) – (2a + b)c = (2a + b)(2a + b – c)

26

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3

1) x(x – 1) + 3(x – 1) = (x – 1)(x + 3)

2) (x + 2) + y2(x + 2) = (x + 2)(1 + y2)

3) x(x – 3) – (x – 3) = (x – 3)(x – 1)

4) x2(x – 4) – 9(x – 4) = (x2 – 9)(x – 4)

5) x(x2 – 3) + (x2 – 3) = (x2 – 3)(x + 1)

6) 6(y + 1) + 5x(y + 1) = (y + 1)(6 + 5x)

7) m2(m – 2) + (m – 2) = (m – 2)(m2 + 1)

8) x(2x + y) + 5(y + 2x) = (2x + y)(x + 5) หรือ (y + 2x)(x + 5)

9) a(b + c) – (b + c) = (b + c)(a – 1)

10) (2a + b)(2a + b) – (2a + b) = (2a + b)(2a + b – 1)

27

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 4

1) (a + b)2(2a + b) – (2a + b) = (a + b)(a + b)(2a + b) – (1)(2a + b)

= (2a + b)( (a + b)2– 1)

2) (x + 3y)(2x – y) – (x + 3y)2 = (x + 3y)(2x – y) – (x + 3y)(x + 3y)

= (x + 3y)(2x – y – (x + 3y))

= (x + 3y)(2x – y – x –3y)

= (x + 3y)(x – 4y)

3) (3x + 2y)2 – 6x – 4y = (3x + 2y)2 – 2(3x + 2y)

= (3x + 2y)( 3x + 2y – 2)

4) (a – 3b)2 + (a – 3b)(a + 2b) = (a – 3b)(a – 3b) + (a – 3b)(a + 2b)

= (a – 3b)(a – 3b + a + 2b)

= (a – 3b)(2a – b)

5) (2a – c)(x – y) – c(x – y)2 = (2a – c)(x – y) – c(x – y)(x – y)

= (x – y)(2a – c – c(x – y))

= (x – y)(2a – c – cx + cy)

28

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน
1. ก. 6. ข.
2. ง. 7. ก.
3. ง. 8. ง.
4. ก. 9. ก.
5. ค. 10. ข.

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

1. ข. 6. ค.
2. ก. 7. ง.
3. ก. 8. ก.
4. ง. 9. ข.
5. ก. 10. ง.

29

คารับรองของผบู้ งั คับบญั ชา

ขอรับรองว่าแบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ ที่ 1 เร่ือง การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง
เป็นผลงานของ นายชเู กียรติ สยุ ะลงั กา ตาแหนง่ ครูชานาญการ โรงเรียนวชั รวิทยา
ซง่ึ ได้พฒั นาขนึ ้ เพื่อใช้ประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนของครูและสร้าง
องค์ความรู้ให้แก่นกั เรียน จงึ อนญุ าตให้ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ดีกรีสองชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 ในสถานศกึ ษาได้

(นายจานง อนิ ทพงษ์)
ผ้อู านวยการโรงเรียนวชั รวิทยา


Click to View FlipBook Version