แบบฝึกทักษะเรื่อง-การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง-เล่ม-2 (1)

แบบฝึกทกั ษะ

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง
ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 2

เลม่ ท่ี 2

การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบตั ิการสลับที่

และสมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่

จดั ทาโดย ครูชูเกยี รติ สยุ ะลังกา

ตาแหนง่ ครูวทิ ยฐานะชานาญการ
โรงเรยี นวัชรวิทยา
สานกั งานเขตพ้ืนที่การศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 41

แบบฝึกทกั ษะ
การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง

ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 2

เลม่ ท่ี 2
การแยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใช้
สมบตั กิ ารสลบั ท่ีและสมบัตกิ ารเปล่ียนหมู่

จดั ทาโดย...ครชู ูเกียรติ สุยะลงั กา

ตาแหนง่ ครูวทิ ยฐานะชานาญการ
โรงเรยี นวชั รวิทยา

สานักงานเขตพื้นท่กี ารศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 41

ก

คานา

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
เล่มนี ้จดั ทาขนึ ้ เพื่อใช้เป็นสื่อประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนที่ใช้ควบคกู่ บั
แผนการจดั การเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเติม รายวิชา ค22202 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
ซงึ่ ได้จดั ทาทงั้ หมด จานวน 8 เลม่ ได้แก่

เลม่ ที่ 1 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง
เล่มที่ 2 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั ิการสลบั ท่ีและสมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่
เลม่ ท่ี 3 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a, b เป็นจานวนเต็ม และ c = 0
เลม่ ท่ี 4 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ c ≠ 0
เลม่ ที่ 5 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เมื่อ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม และ a ≠ 0, a ≠ 1,
c≠0
เลม่ ที่ 6 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
เล่มท่ี 7 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็นผลตา่ งของกาลงั สอง
เล่มที่ 8 การประยกุ ต์เก่ียวกบั พหนุ ามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกาลงั สอง

ผ้จู ดั ทาหวงั เป็นอย่างยงิ่ ว่า แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ดีกรีสองชดุ นี ้จะเป็นประโยชน์ตอ่ การจดั กิจกรรมการเรียนการสอนของครูได้เป็นอย่างดี
และช่วยยกระดบั ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนของนกั เรียนในวชิ าคณิตศาสตร์ให้สงู ขนึ ้

ชูเกียรติ สุยะลังกา

สารบญั ข

เร่ือง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาแนะนาสาหรับครู 1
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน 2
มาตรฐานการเรียนรู้ 3
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 4
แบบทดสอบก่อนเรียน 5
เนือ้ หาบทเรียน 7
แบบฝึกทกั ษะที่ 1 11
แบบฝึกทกั ษะที่ 2 14
แบบทดสอบหลงั เรียน 17
เกณฑ์การให้คะแนน 19
การผา่ นเกณฑ์การประเมิน 20
แบบบนั ทกึ คะแนน 21
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1 24
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 2 27
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน 29
คารับรองของผ้บู งั คบั บญั ชา 30

1

คาแนะนาสาหรบั ครู

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
เล่มท่ี 2 เร่ือง การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารสลับท่แี ละสมบัตกิ ารเปล่ียนหมู่
ให้ครูอ่านคาแนะนาและปฏบิ ตั ิตามขนั้ ตอน ดงั นี ้

1. ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ประกอบแผน
การจดั การเรียนรู้ที่ 4 จานวน 1 ชว่ั โมง

2. ศกึ ษาเนือ้ หา สมบตั ิการแจงแจง สมบตั กิ ารสลบั ท่ี สมบตั กิ ารเปล่ียนหมู่
และแบบฝึกทกั ษะเลม่ นีใ้ ห้เข้าใจก่อน

3. แจ้งจดุ ประสงค์การเรียนรู้ให้นกั เรียนทราบ ให้นกั เรียนอา่ นคาแนะนาการใช้
แบบฝึกทกั ษะและปฏบิ ตั ติ ามคาแนะนาทกุ ขนั้ ตอน

4. จดั กิจกรรมการเรียนการสอนตามขนั้ ตอนท่ีกาหนดไว้ในแผนการจดั การเรียนรู้
5. สงั เกต ดแู ล และให้คาแนะนานกั เรียน เม่ือพบปัญหา เช่น ไม่เข้าใจ ทาไม่ได้
โดยการอธิบายหรือยกตวั อย่างเพมิ่ เตมิ ให้กบั นกั เรียน
6. ควรใช้เวลา 15 – 20 นาที ในการทาแบบฝึกทกั ษะ
7. เม่ือนกั เรียนทากิจกรรมเสร็จสนิ ้ ทกุ ขนั้ ตอนแล้ว ให้นกั เรียนบนั ทกึ คะแนน
จากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน
ในเล่มของตนเอง เพอ่ื ประเมินความก้าวหน้าของตนเอง
8. ครูควรจดั ซอ่ มเสริมนกั เรียนที่มีผลการทดสอบไม่ผา่ นเกณฑ์ท่ีกาหนด
9. ครูควรให้กาลงั ใจ คาแนะนา หรือเทคนคิ วิธีที่เหมาะกบั ความแตกตา่ ง
ของนกั เรียนแตล่ ะคน

2

คาแนะนาสาหรับนักเรยี น

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
เล่มท่ี 2 เร่ือง การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารสลับท่แี ละสมบตั กิ ารเปล่ียนหมู่
ใช้เพ่ือฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม หลงั จากเรียนเนือ้ หาในบทเรียน
เสร็จสนิ ้ แล้ว ซงึ่ นกั เรียนควรปฏิบตั ติ ามคาแนะนาตอ่ ไปนี ้

1. ศกึ ษาและทาความเข้าใจจดุ ประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝึกทกั ษะ
2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน จานวน 10 ข้อ เพือ่ วดั ความรู้พนื ้ ฐาน
3. ศกึ ษาเนือ้ หาในบทเรียนและตวั อย่างให้เข้าใจ หรือถามครูให้ช่วยอธิบาย
เพม่ิ เติมก่อนทาแบบฝึกทกั ษะแต่ละชดุ
4. ให้นกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 จานวน 10 ข้อ และแบบฝึกทกั ษะท่ี 2
จานวน 10 ข้อ โดยมีเวลาในการทา 15 – 20 นาที
5. เมื่อทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จสนิ ้ ตามเวลาท่ีกาหนด ให้นกั เรียนตรวจคาตอบ
ด้วยตนเองจากเฉลยในสว่ นภาคผนวก
6. ให้ทาแบบทดสอบหลงั เรียน จานวน 10 ข้อ และตรวจคาตอบด้วยตนเอง
จากเฉลยในสว่ นภาคผนวก
7. บนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และแบบทดสอบหลงั เรียน ลงในแบบบนั ทกึ คะแนนของแตล่ ะคน เพื่อประเมิน
การพฒั นาและความก้าวหน้าของตนเอง
8. ในการปฏิบตั กิ ิจกรรมทกุ ครัง้ นกั เรียนควรซอ่ื สตั ย์ต่อตนเอง โดยไม่เปิดเฉลย
แล้วตอบ หรือลอกคาตอบจากเพอื่ น

3

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 4 : พชี คณิต
มาตรฐาน ค 4.1: เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์ และ

ฟังก์ชนั

สาระท่ี 6: ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1: มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตผุ ล การสื่อสาร

การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ
การเชื่อมโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อืน่ ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

ผลการเรียนรู้

แยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจงได้

4

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ด้านความรู้

นกั เรียนสามารถแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั ิการแจกแจง สมบตั ิการสลบั ท่ี
และสมบตั กิ ารเปล่ียนหม่ไู ด้

ด้านทกั ษะกระบวนการ

1. การให้เหตผุ ล
2. การสื่อสาร การส่ือความหมาย และการนาเสนอ
3. การเช่ือมโยง

ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์

1. มีวินยั
2. ใฝ่เรียนรู้
3. มีความมงุ่ มนั่ ในการทางาน

5

แบบทดสอบก่อนเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอ่านคาถามตอ่ ไปนี ้แล้วเขียนเครื่องหมาย X บนตวั เลือก
ที่ถกู ต้องที่สดุ เพียงข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. ab – 2ac + bc – 2c2 มีคา่ เท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. (b – 2c)(a + c) ข. (b – 2c)(a – c)

ค. (b – 2c) + (a + c) ง. (b – 2c) + (a – c)

2. n2m + n2p – 8m – 8p มีคา่ เทา่ กบั พหนุ ามในข้อใด

ก. (n2 + 8)(m – p) ข. (n2 – 8)(m – p)

ค. (n2 + 8)(m + p) ง. (n2 – 8)(m + p)

3. 5(5 – x) – 5y(x – 5) มีค่าเทา่ กบั พหนุ ามในข้อใด

ก. 5(5 – x)(1 + y) ข. 5(5 – x)(1 – y)

ค. (5 – x)(1 + y) ง. (5 + x)(1 – y)

4. x(x – 1) + 4x – 4 มีคา่ เทา่ กบั พหนุ ามในข้อใด

ก. (x – 4)(x + 1) ข. (x – 4)(x – 1)

ค. (x + 4)(x – 1) ง. (x + 4)(x + 1)

5. x2 + xy + 3yz + 3xz มีคา่ เทา่ กบั พหนุ ามในข้อใด

ก. (x + y)(x + z) ข. (x + y)(x – 3z)

ค. (x – y)(x – z) ง. (x + y)(x + 3z)

6

6. พหนุ าม x2z – 4y – x2y + 4z แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (x2 + 4)(z – y) ข. (x2 + 4)(z + y)

ค. (x2 – 4)(z – y) ง. (x2 + 4)(z + y)

7. พหนุ าม a(b – c) + bc – a2 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (a + c)(b + a) ข. (a + c)(b – a)

ค. (a – c)(b + a) ง. (a – c)(b – a)

8. พหนุ าม a(b – c) + b(c – b) แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. (a – b)(a – c) ข. (a – b)(a + c)

ค. (a – b)(b – c) ง. (a – b)(a + c)

9. ข้อใดเป็นตวั ประกอบของ 20rc – 4rd – 15qc + 3qd

ก. 5c + d ข. 5c – d

ค.4r + 3q ง. 3r + 4q

10. ข้อใดแยกตวั ประกอบของ y3 + y2 – y – 1 ได้ถกู ต้อง

ก. (y – 1)3 ข. (y – 1)2(y + 1)

ค. (y2 – 1)(y + 1) ง. (y + 1)3

ทาข้อสอบก่อนเรียน
กันแล้ว เราไปลุย
เนือ้ หากนั เลยครับ

7

เนื้อหาบทเรียน

สมบตั กิ ารแจกแจง มาทบทวนความรู้
ถ้า a, b และ c แทนจานวนเต็มใดๆ เก่ยี วกับการแยกตวั ประกอบ
โดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง

กนั ก่อนนะครับ

แล้ว a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca

เขียนสมบตั ิการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดงั นี ้

ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

ถ้า a, b และ c เป็นพหนุ าม สามารถใช้สมบตั กิ ารแจกแจงข้างต้นได้ด้วย

และเรียก a ว่าตวั ประกอบร่วมของ ab และ ac หรือตวั ประกอบร่วมของ ba และca

“มาดตู ัวอยา่ งทบทวนความจากันนะครับ”
”

ตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ 5xy + 6x2
วิธีทา 5xy + 6x2 = (x)(5y) + (x)(6x)

= x(5y + 6x)
ข้อสังเกต x เป็นตวั ประกอบร่วมของ 5xy และ 6x2

ดงึ x ที่เป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ 12y2z + 20yz
วิธีทา 12y2z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)(5)

= 4yz(3y + 5)
ข้อสังเกต 4yz เป็นตวั ประกอบร่วมของ 12y2z และ 20yz

ดงึ 4yz ท่ีเป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

8

ตัวอย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ 16x3y3 – 24x4y
วธิ ีทา 16x3y3 – 24x4y = (8x3y)(2y2) – (8x3y)(3x)

= 8x3y(2y2 – 3x)
ข้อสังเกต 8x3y เป็นตวั ประกอบร่วมของ 16x3y3 และ 24x4y

ดงึ 8x3y ที่เป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ 2(3 – x) + x(3 – x)
วธิ ีทา 2(3 – x) + x(3 – x) = (3 – x)(2 + x)
ข้อสังเกต (3 - x) เป็นตวั ประกอบร่วมของ 2(3 – x) และ x(3 – x)

ดงึ (3-x) 8x3y ท่ีเป็นตวั ประกอบร่วมออกมา

ขอ้ ควรระวัง
1. ตวั ประกอบร่วมที่นาออกมานอกวงเล็บต้องเป็นตวั ประกอบร่วมที่มากท่ีสดุ
2. ถ้ายงั มีตวั ประกอบเหลืออย่ตู ้องนาออกมาให้หมด
3. ในการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบตั กิ ารสลบั ท่ี
และสมบตั กิ ารเปล่ียนหมปู่ ระกอบกนั ด้วย ซงึ่ จะพบได้ในแบบฝึกทกั ษะ
เลม่ ท่ี 2 นีน้ ี่เอง

เม่ือทบทวนความรู้กันแล้ว
เรามาสนุกกับเนือ้ หากันเลยดีกว่า

พร้อมกนั แล้วนะเดก็ ๆ

9

ตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ ax + by + bx + ay ____ 
วธิ ีทา ax + by + bx + ay = ax + bx + by + ay ____
____
= (ax + bx) + (by + ay) ____
= x(a + b) + y(b + a)
= (a + b)(x + y)

ทาอย่างไรกันนะ

 สลบั ที่เอกนามหรือจดั เรียงพจน์ท่ีต้องการดงึ ตวั ร่วมไว้ใกล้กนั เพื่อให้งา่ ยตอ่ ความเข้าใจ
 จบั คเู่ อกนามท่ีมีตวั แปรเหมือนกนั หรือตวั เลขที่มีตวั ประกอบร่วมกนั อยา่ งน้อยหนงึ่ ตวั
 ดงึ ตวั ร่วมโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจงของแตล่ ะวงเลบ็ ในข้อ 

 ดงึ วงเลบ็ ที่เป็นตวั ร่วมของพหนุ าม นน่ั คือ (a + b) แล้วเขียนให้อยใู่ นรูปการคณู

ระหวา่ งวงเล็บตวั ร่วมกบั วงเล็บที่มีการดาเนินการของเอกนามท่ีเหลืออยู่

นนั่ คอื (a + b)(x + y)

“มาดูตัวอย่างต่อไปกนั เถอะ”
ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ mn2 + n2p – 8m – 8p

วิธีทา mn2 + n2p – 8m – 8p = (mn2+ n2p) – (8m + 8p) ____

= n2(m+ p) – 8(m + p) ____

= (m+ p)(n2 – 8) ____

ข้อสังเกต: เลือกจบั ค่เู อกนามท่ีมีตวั แปรหรือตวั เลขที่เป็นตวั ร่วมไว้ด้วยกนั เสมอ

10

คาแนะนา: 1. ควรวางแผนวา่ ต้องการดงึ ตวั แปร หรือตวั เลข หรือทงั้ สองอยา่ ง
พร้ อมๆกนั

2. ระวงั เคร่ืองหมายลบหน้าเอกนามและหน้าวงเลบ็ เมื่อดงึ จานวนเตม็
ลบออกมาแล้วต้องตรวจสอบให้ดีวา่ เอกนามที่อยใู่ นวงเลบ็
ใส่เคร่ืองหมายถกู ต้องหรือไม่

ตัวอย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2

วิธีทา 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = 5x2z – 3x2 + 5yz – 3y

= (5x2z – 3x2) + (5yz – 3y)

= x2(5z – 3) + y(5z – 3)

= (5z – 3)(x2 + y) 5z – 3 เป็ นตวั
ดงั นัน้ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = (5z – 3)(x2 + y) ประกอบร่ วม

“มาทาความเขา้ ใจกนั อกี สักตัวอย่าง…
กอ่ นจะเร่มิ ทาแบบฝึกนะครบั ”

ตวั อย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2

วธิ ีทา mr2 – 3mp + 15np – 5nr2 = mr2 – 3mp – 5nr2 + 15np

= (mr2 – 3mp) – (5nr2 – 15np)

= m(r2 – 3p) – 5n(r2 – 3p)

= (m – 5n)(r2 – 3p) r2 – 3p เป็ นตัว
ดังนัน้ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2 = (m – 5n)(r2 – 3p)
ประกอบร่ วม

11

แบบฝึกทักษะท่ี 1

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี ้
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

1) mn + 5n + 3m + 15 = (mn + 5n) + (……………)
= (mn + 5n) + (……………)
= n(……………) + ….(…………..)
= (………..…)(..…………)

2) xz + yz – x – y = (…………) – (x + y)
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

3) 4ca + 4bc + 5a + 5b = (4ca + 4bc) + (……………..)
= 4c(…………) + ….. (…………...)
= ………………………………………………………
= ………………………………………………………

4) 24y2 + 18 + 3y + 4y3 = (18 + 3y) + 6….(.................)
= …………………………………………………………
= ………………………………………………………
= ………………………………………………………

12

5) 3a + na + 3b + nb = …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

6) 14x2 – x + 2x3 – 7 = …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

7) a 2 + 2b – 5a3 – 10ab= ……………………………………………………….
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

8) xy – 3t – xt + 3y = …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

มขี ้อไหนหรือส่วนไหนของแบบฝึ ก
ท่ไี ม่เข้าใจ ก็ถามคุณครูหรือเพ่ือน ๆ
ได้นะครับ สู้ ๆ ครับ เด๋ียวกท็ าได้แล้วล่ะ

^^

13

9) 5yz – 3x2 – 3y + 5x2z
= ……………………….………..………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

10)mx2 – 4nx2 – 3my + 12ny
= ……………………………………………………….
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

เย้ ๆ ทาแบบฝึ กเสร็จแล้ว
ต่อไปก็ตรวจความถกู ต้องกนั เถอะ
จะได้รู้ว่าเราทาได้มากน้อยแค่ไหน

ฮึบ ๆๆ Fighto ครับ

14

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี ้
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

1) x2 + x + 2x + 2 = …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

2) x2 + 4x + 7x + 28 = …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

3) x2 + x + 5 x + 5 = ………..………………………………………………
= ………..………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

4) x2 – x – 2 x + 2 = .. ………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

15

5) 7ab + 7ac + b + c = …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

6) ax2 + a2x – 3xy – 3ay= ………………………………………………………
= ………………………………………………………
= ………………………………………………………
= ………………………………………………………

7) 4ax + 6by + 4bx + 6ay
= …………………………………..……………………
= ………………………………………..………………
= ……………………………………………..…………
= …………………………………………………..……

8) a – c + ab – bc = …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

เก่งขนึ้ หรือยงั ครับเดก็ ๆ
หลงั จากทาแบบฝึ กไปเยอะแล้ว
สามารถบอกได้ไหมว่าแต่ละข้อ

ยาก-ง่าย ต่างกนั อย่างไร

16

9) 6xy – 3x – 2y + 1 = …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

10)a2b + a2c + 4c + 4b
= ……………………………………………………….
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………
= …………………………………………………………

เย้ๆ ทาแบบฝึ กเสร็จแล้ว
ต่อไปกท็ าแบบทดสอบหลงั เรียน
กนั เลยครับ เสร็จแล้วจะได้ไปเล่น

ด้วยกนั นะครับ ^^

17

แบบทดสอบหลังเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอา่ นคาถามตอ่ ไปนี ้แล้วเขียนเครื่องหมาย X บนตวั เลือก
ที่ถกู ต้องที่สดุ เพยี งข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. 5(5 – x) – 5y(x – 5) มีคา่ เท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. 5(5 – x)(1 + y) ข. 5(5 – x)(1 – y)

ค. (5 – x)(1 + y) ง. (5 + x)(1 – y)

2. x(x – 1) + 4x – 4 มีค่าเทา่ กบั พหนุ ามในข้อใด

ก. (x – 4)(x + 1) ข. (x – 4)(x – 1)

ค. (x + 4)(x – 1) ง. (x + 4)(x + 1)

3. พหนุ าม x2z – 4y –x2y + 4z แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (x2 + 4)(z – y) ข. (x2 + 4)(z + y)

ค. (x2 – 4)(z – y) ง. (x2 + 4)(z + y)

4. n2m + n2p – 8m – 8p มีคา่ เท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. (n2 + 8)(m – p) ข. (n2 – 8)(m – p)

ค. (n2 + 8)(m + p) ง. (n2 – 8)(m + p)

5. ab – 2ac + bc – 2c2 มีคา่ เทา่ กบั พหนุ ามในข้อใด

ก. (b – 2c)(a + c) ข. (b – 2c)(a – c)

ค. (b – 2c) + (a + c) ง. (b – 2c) + (a – c)

18

6. ข้อใดแยกตวั ประกอบของ y3 + y2 – y – 1 ได้ถกู ต้อง

ก. (y – 1)3 ข. (y – 1)2(y + 1)

ค. (y2 – 1)(y + 1) ง. (y + 1)3

7. พหนุ าม a(b - c) + b(c - b) แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (a – b)(a – c) ข. (a – b)(a + c)

ค. (a – b)(b – c) ง. (a – b)(a + c)

8. ข้อใดเป็นตวั ประกอบของ 20rc – 4rd – 15qc + 3qd

ก. 5c + d ข. 5c – d

ค.4r + 3q ง. 3r + 4q

9. x2 + xy + 3yz + 3xz มีค่าเท่ากบั พหนุ ามในข้อใด

ก. (x + y)(x + z) ข. (x + y)(x – 3z)

ค. (x – y)(x – z) ง. (x + y)(x + 3z)

10. พหนุ าม a(b – c) + bc – a2 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (a + c)(b + a) ข. (a + c)(b – a)

ค. (a – c)(b + a) ง. (a – c)(b – a)

19

เกณฑ์การใหค้ ะแนน

ด้านความรู้

- แบบฝึกทกั ษะที่ 1 – 2: เขียนแสดงวธิ ีทาและคาตอบได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน
- แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน: ตอบได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน

ด้านทกั ษะกระบวนการ

การให้เหตผุ ล การสื่อสารและการเชื่อมโยง แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้
3 หมายถงึ ระดบั ดี
2 หมายถงึ ระดบั พอใช้
1 หมายถึง ระดบั ปรับปรุง

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

มีวนิ ยั ใฝ่เรียนรู้ และม่งุ มนั่ ในการทางาน แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้
3 หมายถงึ ระดบั ดี
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถงึ ระดบั ปรับปรุง

20

การผ่านเกณฑก์ ารประเมนิ

ด้านความรู้

แบบฝึกทกั ษะที่ 1 – 2 นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป
แบบทดสอบหลงั เรียน นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านทกั ษะกระบวนการ

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

21

แบบบนั ทึกคะแนน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนบนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และหลงั เรียน

2. ให้ทาเคร่ืองหมาย ท่ีชอ่ งสรุปผลตามผลการประเมนิ จากแบบฝึกทกั ษะ
แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

ท่ี รายการ คะแนน คะแนนท่ไี ด้ สรุปผล
เตม็ (ร้อยละ) ผ่าน ไม่ผ่าน

1 แบบทดสอบก่อนเรียน 10

2 แบบฝึกทกั ษะ 1 10

3 แบบฝึกทกั ษะ 2 10

4 แบบทดสอบหลงั เรียน 10

วธิ ีคิดคะแนนนะครับ
ให้นกั เรียนนาคะแนนของตนเองในแตล่ ะรายการคณู กบั 100 แล้วหารด้วย

คะแนนเตม็ ของแตล่ ะรายการ เท่านี ้นกั เรียนก็จะรู้ว่าตนเองผา่ นหรือไมผ่ า่ นการทดสอบ
แล้วละ่ ครับ

ตวั อย่าง พราวได้คะแนนจากแบบฝึกทกั ษะที่ 1 13 คะแนน จากคะแนนเตม็ 15 คะแนน

คดิ เป็นร้อยละได้ดงั นี ้ 13100  86.67
15
ดงั นนั้ พราวมีคะแนน 86.67% และผ่านการทดสอบจากแบบฝึกทกั ษะ 1

คิดเป็นแลว้ ใชไ่ หมครบั .. ถ้าอย่างนน้ั เราควรนาผลการประเมินมาพฒั นาตนเองดว้ ยนะ ^^

. 22

บรรณานุกรม

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และคณะ. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ :
ภมู บิ ณั ฑิต, 2550.

ชลธิศ พทิ ยงั กรู และคณะ. ส่ือเสริมสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.2
เล่ม 2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2550.

โชคชยั สิริหาญอดุ ม. แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ม.2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2553.
เทพฤทธิ์ ยอดใส และอดุ มศกั ดิ์ ลกู เสือ. ตะลุยโจทย์คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ม.2.

กรุงเทพฯ : เพมิ่ ทรัพย์การพมิ พ์, 2553.
พรรณี ศลิ ปะวฒั นานนั ท์. ส่ือเสริมรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ 2

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : ฟิสิกส์เซน็ เตอร์, 2554.
ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . คู่มือสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ

คณิตศาสตร์ เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษา
ปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2551.
________ . หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ :
โรงพมิ พ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2547.

ภาคผนวก

24

เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1

1. mn + 5n + 3m + 15 = (mn + 5n) + (3m + 15) m + 5 เป็ นตวั
= n(m + 5) + 3(m + 5) ประกอบร่ วม
= (n + 3)(m + 5)

2. xz + yz – x – y = (xz + yz) + (–x – y)
= z(x + y) – (x + y)
= (z – 1)(x + y) x + y เป็ นตวั
ประกอบร่ วม

3. 4ca + 4bc + 5a + 5b = (4ca + 4bc) + (5a + 5b) a + b เป็ นตัว
= 4c(a + b) + 5(a + b) ประกอบร่ วม
= (4c + 5)(a + b)

4. 24y2 + 18 + 3y + 4y3 = 24y2 + 4y3+ 18 + 3y 6 + y เป็ นตัว
= (24y2 + 4y3) + (18 + 3y) ประกอบร่ วม
= 4 y2(6 + y) + 3(6 + y)
= (4 y2 + 3)(6 + y)

25

5. 3a + na + 3b + nb = 3a + 3b + na + nb a + b เป็ นตวั
= (3a + 3b) + (na + nb) ประกอบร่ วม
= 3(a + b) + n(a + b)
= (3 + n)(a + b)

6. 14x2 – x + 2x3 – 7 = 14x2+ 2x3 – x – 7 x + 7 เป็ นตวั
= (14x2+ 2x3) + (–x – 7) ประกอบร่ วม
= 2x2(7 + x) – (x + 7)
= (2x2 – 1)( x + 7) 7+x=x+7
นะครับ

7. a2 + 2b – 5a3 – 10ab= a2– 5a3 + 2b – 10ab 1 - 5a เป็ นตวั
= (a2– 5a3) + (2b – 10ab) ประกอบร่ วม
= a2(1– 5a) + 2b(1 – 5a)
= (1 – 5a)(a2+ 2b)

8. xy – 3t – xt + 3y = xy – xt – 3t + 3y
= (xy – xt) + (–3t + 3y)
= x(y – t) + 3(–t + y) y - t เป็ นตวั
= (x + 3)(y – t) ประกอบร่ วม

y-t = -t+y ถูกต้องครับ
y-t ≠ t-y นะครับ

26

9. 5yz – 3x2 – 3y + 5x2z= 5yz – 3y – 3x2+ 5x2z 5z - 3 เป็ นตวั
= (5yz – 3y) + (–3x2+ 5x2z) ประกอบร่ วม
= y(5z – 3) + x2(–3 + 5z)
= (y + x2)(5z – 3)

10. mx2 – 4nx2 – 3my + 12ny

ระวงั เคร่ืองหมายนะครับ = (mx2 – 4nx2) + (–3my + 12ny)

(- -) = -(+ +) = x2(m – 4n) – 3y(m – 4n)
(- +) = -(+ -)
(+ -) = -(- +) = (x2 – 3y)(m – 4n) m – 4n เป็ นตัว
(+ +) = -(- -)
ประกอบร่ วม
สังเกตตามตาแหน่ง
นะครับ.. สู้ๆๆๆ

เดก็ ๆ เก่งจงั เลยนะครับ
ส้แู ละอดทนจนมาถงึ ตอนสุดท้าย

ของแบบฝึ กแล้ว คุณครูและ
ครอบครัวภมู ิใจในความตงั้ ใจ
ของเดก็ ๆ ทกุ คนเลยครับ

27

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 2

1. x2 + x + 2x + 2 = (x2 + x) + (2x + 2)
= x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x + 2) X + 1 เป็ นตัว
ประกอบร่ วม
2. x2 + 4x + 7x + 28 = (x2 + 4x) + (7x + 28)
= x(x + 4) + 7(x + 4) X + 4 เป็ นตวั
= (x + 4)(x + 7) ประกอบร่ วม

3. x2 + x + 5 x + 5 = (x2 + x) + ( 5 x + 5 ) X + 1 เป็ นตวั
= x(x + 1) + 5 (x + 1) ประกอบร่ วม
= (x + 1)(x + 5 )
x – 1 เป็ นตัว
4. x2 – x – 2 x + 2 = (x2 – x) + (– 2 x + 2 ) ประกอบร่ วม
= x(x – 1) – 2 (x – 1)
= (x – 1)(x – 2 )

5. 7ab + 7ac + b + c = (7ab + 7ac) + (b + c) b + c เป็ นตวั
= 7a(b + c) + (1)(b + c) ประกอบร่ วม
= (b + c)(7a + 1)

28

6. ax2 + a2x – 3xy – 3ay = (ax2 + a2x) + (– 3xy – 3ay) x + a เป็ นตัว
= ax(x + a) – 3y(x + a) ประกอบร่ วม
= (x + a)( ax – 3y)

7. 4ax + 6by + 4bx + 6ay a+b=b+a
= (4ax + 4bx) + (6by + 6ay)
= 4x(a + b) + 6y(b + a)
= (a + b)(4x + 6y)

8. a – c + ab – bc = (a – c) + (ab – bc) a – c เป็ นตัว
= (1)(a – c) + b(a – c) ประกอบร่ วม
= (1 + b)(a – c)

9. 6xy – 3x – 2y + 1 = (6xy – 3x) + ( – 2y + 1) 2y – 1 เป็ นตัว
= 3x(2y – 1) – (1)(2y – 1) ประกอบร่ วม
= (2y – 1)(3x – 1)

10.a2b + a2c + 4c + 4b = (a2b + a2c) + (4c + 4b) b+c=c+b
= a2(b + c) + 4(c + b) เป็ นตวั ประกอบร่วม
= (b + c)(a2 + 4)

29

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น

1. ก. 6. ก.
2. ง. 7. ข.
3. ก. 8. ค.
4. ค. 9. ข.
5. ง. 10. ค.

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

1. ก. 6. ค.
2. ค. 7. ค.
3. ก. 8. ข.
4. ง. 9. ง.
5. ก. 10. ข.

30

คารบั รองของผู้บงั คับบญั ชา

ขอรับรองวา่ แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ ที่ 2 เร่ือง การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารสลบั ท่ี
และสมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่ เป็นผลงานของ นายชเู กียรติ สยุ ะลงั กา ตาแหนง่ ครูชานาญการ
โรงเรียนวชั รวิทยา ซงึ่ ได้พฒั นาขนึ ้ เพ่อื ใช้ประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอน
ของครูและสร้างองค์ความรู้ให้แก่นกั เรียน จงึ อนญุ าตให้ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบ
ของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 ในสถานศกึ ษาได้

(นายจานง อินทพงษ์)
ผ้อู านวยการโรงเรียนวชั รวทิ ยา