แบบฝึกทักษะเรื่อง-การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง-เล่ม-4

แบบฝึกทกั ษะ

การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี อง
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

เล่มท่ี 4

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องตัวแปรเดยี ว
ในรูป ax2+bx+c เม่อื a = 1, b และ c เปน็ จานวนเตม็

และ c ≠ 0

จัดทาโดย ครูชเู กยี รติ สยุ ะลังกา

ตาแหนง่ ครวู ทิ ยฐานะชานาญการ
โรงเรยี นวชั รวิทยา
สานกั งานเขตพื้นทกี่ ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 41

แบบฝึกทกั ษะ

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง
ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2

เลม่ ที่ 4

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดยี ว
ในรูป ax2+bx+c เมื่อ a = 1, b และ c เปน็ จานวนเต็ม

และ c ≠ 0

จัดทาโดย... ครูชเู กียรติ สุยะลงั กา

ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะครชู านาญการ

โรงเรียนวัชรวิทยา ก

สานกั งานเขตพืน้ ทกี่ ารศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 41

คานา

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2
เล่มนี ้จดั ทาขนึ ้ เพือ่ ใช้เป็นส่ือประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนท่ีใช้ควบค่กู บั
แผนการจดั การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ รายวชิ า ค22202 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
ซงึ่ ได้จดั ทาทงั้ หมด จานวน 8 เล่ม ได้แก่

เลม่ ท่ี 1 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั ิการแจกแจง
เลม่ ที่ 2 การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบตั กิ ารสลบั ที่และสมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่
เล่มท่ี 3 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เมื่อ a, b เป็นจานวนเต็ม และ c = 0
เล่มที่ 4 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ c ≠ 0
เลม่ ท่ี 5 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ a ≠ 0, a ≠ 1,
c≠0
เลม่ ที่ 6 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
เล่มที่ 7 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกาลงั สอง
เล่มที่ 8 การประยกุ ต์เกี่ยวกบั พหนุ ามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกาลงั สอง

ผ้จู ดั ทาหวงั เป็นอย่างยงิ่ ว่า แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ดีกรีสองชดุ นี ้จะเป็นประโยชน์ต่อการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนของครูได้เป็นอย่างดี
และชว่ ยยกระดบั ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนของนกั เรียนในวชิ าคณิตศาสตร์ให้สงู ขนึ ้

สารบญั ชูเกยี รติ สุยะลังกา

เร่ือง ข

คานา หน้า
สารบญั
คาแนะนาสาหรับครู ก
คาแนะนาสาหรับนกั เรียน ข
มาตรฐานการเรียนรู้ 1
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 2
แบบทดสอบก่อนเรียน 3
เนือ้ หาบทเรียน 4
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 5
แบบฝึกทกั ษะที่ 2 7
แบบฝึกทกั ษะที่ 3 10
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 11
แบบทดสอบหลงั เรียน 12
เกณฑ์การให้คะแนน 13
การผ่านเกณฑ์การประเมิน 14
แบบบนั ทกึ คะแนน 16
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 17
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 2 18
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 3 21
เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 4 22
23
24

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน 25
คารับรองของผ้บู งั คบั บญั ชา 26

1

คาแนะนาสาหรบั ครู

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2
เล่มท่ี 4 เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b และ c เป็ นจานวนเตม็ และ c ≠ 0 ให้ครูอ่าน
คาแนะนาและปฏบิ ตั ติ ามขนั้ ตอน ดงั นี ้

1. ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ประกอบแผน
การจดั การเรียนรู้ที่ 6 – 7 จานวน 2 ชวั่ โมง

2. ทบทวนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว
ในรูป ax2+bx+c เม่ือ a, b เป็นจานวนเต็ม และ c = 0 และศกึ ษาเนือ้ หาในแบบฝึก
ทกั ษะเล่มนีใ้ ห้เข้าใจก่อน

3. แจ้งจดุ ประสงค์การเรียนรู้ให้นกั เรียนทราบ ให้นกั เรียนอ่านคาแนะนาการใช้
แบบฝึกทกั ษะและปฏบิ ตั ติ ามคาแนะนาทกุ ขนั้ ตอน

4. จดั กิจกรรมการเรียนการสอนตามขนั้ ตอนท่ีกาหนดไว้ในแผนการจดั การเรียนรู้
5. สงั เกต ดแู ล และให้คาแนะนานกั เรียน เมื่อพบปัญหา เช่น ไม่เข้าใจ ทาไม่ได้
โดยการอธิบายหรือยกตวั อย่างเพม่ิ เตมิ ให้กบั นกั เรียน
6. ควรใช้เวลา 15 – 20 นาที ในการทาแบบฝึกทกั ษะ
7. เม่ือนกั เรียนทากิจกรรมเสร็จสนิ ้ ทกุ ขนั้ ตอนแล้ว ให้นกั เรียนบนั ทกึ คะแนน
จากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน
ในเล่มของตนเอง เพื่อประเมนิ ความก้าวหน้าของตนเอง

8. ครูควรจดั ซอ่ มเสริมนกั เรียนท่ีมีผลการทดสอบไมผ่ า่ นเกณฑ์ที่กาหนด 2
9. ครูควรให้กาลงั ใจ คาแนะนา หรือเทคนิควิธีท่ีเหมาะกบั ความแตกต่าง
ของนกั เรียนแต่ละคน

คาแนะนาสาหรับนกั เรยี น

แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2
เล่มท่ี 4 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว
ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b และ c เป็ นจานวนเตม็ และ c ≠ 0 ใช้เพ่อื ฝึก
ทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม หลงั จากเรียนเนือ้ หาในบทเรียนเสร็จสนิ ้ แล้ว
ซงึ่ นกั เรียนควรปฏิบตั ิตามคาแนะนาต่อไปนี ้

1. ศกึ ษาและทาความเข้าใจจดุ ประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝึกทกั ษะ
2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน จานวน 10 ข้อ เพ่ือวดั ความรู้พนื ้ ฐาน
3. ศกึ ษาเนือ้ หาในบทเรียนและตวั อยา่ งให้เข้าใจ หรือถามครูให้ชว่ ยอธิบาย
เพม่ิ เตมิ ก่อนทาแบบฝึกทกั ษะแต่ละชดุ
4. ให้นกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะท่ี 1 จานวน 10 ข้อ และแบบฝึกทกั ษะท่ี 2
จานวน 15 ข้อ ใช้เวลา 15 – 20 นาที และทาแบบฝึกทกั ษะที่ 3 จานวน 15 ข้อ
และแบบฝึกทกั ษะที่ 4 จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 15 – 20 นาที
5. เมื่อทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จสนิ ้ ตามเวลาท่ีกาหนด ให้นกั เรียนตรวจคาตอบ
ด้วยตนเองจากเฉลยในสว่ นภาคผนวก
6. ให้ทาแบบทดสอบหลงั เรียน จานวน 10 ข้อ และตรวจคาตอบด้วยตนเอง
จากเฉลยในส่วนภาคผนวก
7. บนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และแบบทดสอบหลงั เรียน ลงในแบบบนั ทกึ คะแนนของแตล่ ะคน เพือ่ ประเมิน

การพฒั นาและความก้าวหน้าของตนเอง 3
8. ในการปฏิบตั กิ ิจกรรมทกุ ครัง้ นกั เรียนควรซ่อื สตั ย์ต่อตนเอง โดยไมเ่ ปิดเฉลย

แล้วตอบ หรือลอกคาตอบจากเพ่ือน

มาตรฐานการเรยี นรู้

สาระท่ี 4 : พีชคณิต
มาตรฐาน ค 4.1: เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์ และ

ฟังก์ชนั

สาระท่ี 6: ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1: มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตผุ ล การส่ือสาร

การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์และการนาเสนอ
การเช่ือมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อ่นื ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

ผลการเรยี นรู้

แยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองที่อยใู่ นรูป ax2 + bx + c
เมอื่ a,b,c เป็นค่าคงตวั และ a  0 ได้

4

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

ด้านความรู้

นกั เรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจานวนเตม็ และ c ≠ 0ได้

ด้านทกั ษะกระบวนการ

1. การให้เหตผุ ล
2. การสื่อสาร การส่ือความหมาย และการนาเสนอ
3. การเช่ือมโยง

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

1. มีวนิ ยั
2. ใฝ่เรียนรู้
3. มีความมงุ่ มนั่ ในการทางาน

5

แบบทดสอบก่อนเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอา่ นคาถามต่อไปนี ้แล้วเขียนเครื่องหมาย X บนตวั เลือก
ท่ีถกู ต้องที่สดุ เพียงข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 – 12x + 27

ก. (x – 3)(x + 9) ข. (x – 3)(x – 9)

ค. (x + 3)(x – 9) ง. (x + 3)(x + 9)

2. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 – 2x – 35

ก. (x – 7)(x + 5) ข. (x – 1)(x + 35)

ค. (x – 7)(x – 5) ง. (x + 1)(x – 35)

3. พหนุ าม x2 – 2x – 63แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. (x + 9)(x – 7) ข. (x – 9)(x – 7)

ค. (x + 9)(x + 7) ง. (x – 9)(x + 7)

4. จากพหนุ าม 4x2 – 81 เขียนพหนุ ามให้อยใู่ นรูป ax2 + bx + c แล้วข้อใดตอ่ ไปนี ้

ถกู ต้อง

ก. a = 4, b = 2, c = -81 ข. a = 1, b = 4, c = -81

ค. a = -81, b = 0, c = 4 ง. a = 4, b = 0, c = -81

5. พหนุ าม x2 + 17x + 70 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (x + 7)(x + 10) ข. (x + 2)(x + 35)

ค.(x – 7)(x – 10) ง. (x – 2)(x – 35) 6

6. ข้อใดเป็นตวั ประกอบของพหนุ าม x2 – 11x + 28

ก. (x + 28) ข. (x – 7)

ค. (x + 7) ง. (x + 4)

7. (x + 11)(x – 7) เป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อใด

ก. x2 + 17x + 77 ข. x2 – 4x – 77

ค. x2 + 4x – 77 ง. x2 – 4x + 77

8. จากพหนุ าม x2 + 20x + 75 ข้อใดกล่าวถกู ต้องท่ีสดุ

a. (x + 15)(x + 5) b. (x – 15)(x – 5)

c. (x + 15)(x – 5) d. (x – 15)(x + 5)

ก. ข้อ a. แยกตวั ประกอบของพหนุ ามถกู ต้องเพียงข้อเดียว

ข. ข้อ b. แยกตวั ประกอบของพหนุ ามถกู ต้องเพียงข้อเดียว

ค. ข้อ a. และ d. แยกตวั ประกอบของพหนุ ามได้ถกู ต้อง

ง. ข้อ b. และ c. แยกตวั ประกอบของพหนุ ามได้ถกู ต้อง

9. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 + 3x – 154

ก. (x – 14)(x – 11) ข. (x +14)(x – 11)

ค. (x +14)(x + 11) ง. (x – 14)(x + 11)

10. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 - 21x + 68

ก. (x – 4)(x + 17) ข. (x + 4)(x – 17)

ค. (x – 4)(x – 17) ง. (x + 4)(x + 17)

7

เนอื้ หาบทเรียน

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองในรูป ax2+bx+c
เม่ือ a = 1, b และ c เป็ นจานวนเตม็ และ c ≠ 0

ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียวจะอย่ใู นรูป ax2 + bx + c

(มีคา่ a, b และ c ครบทกุ ค่า) เราสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรูปนีไ้ ด้

โดยอาศยั แนวคิดจากการหาผลคณู ของพหนุ าม ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี ้ หาจานวนทีค่ ณู กนั แล้ว
ตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 10x + 21 ได้คา่ c = 21 และหา
จานวนทบี่ วกกนั แล้วได้
คา่ b = -10

วธิ ีทา เนื่องจาก (-3)(-7) = 21

และ (-3)+(-7) = -10

ดงั นนั ้ x2 – 10x + 21 = (x – 3)(x – 7)

ตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 2x + 1 คา่ c = 1 และ
วธิ ีทา เนื่องจาก (1)(1) = 1 คา่ b = 1

และ (1)+(1) = 2
ดงั นนั ้ x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1)

ข้อสังเกต

ถ้าค่า c มีค่าเป็ นบวก (+) และมคี ่า b เป็ นบวกหรือลบกไ็ ด้

ตัวประกอบท่ไี ด้จะมีค่าเป็ นลบหรือบวก
เหมือนกนั ทงั้ สองวงเลบ็ ตามเคร่ืองหมายของค่า b นะครับ...

8

ตวั อย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 5x – 6

วิธีทา เนื่องจาก (-1)(6) = -6 คา่ c = -6 และ
และ (-1)+(6) = 5 คา่ b = 5

ดงั นนั ้ x2 + 5x – 6 = (x – 1)(x + 6)

ตัวอย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 2x – 24 คา่ c = -24 และ
วิธีทา เน่ืองจาก (4)(-6) = -24 คา่ b = -2

และ (4)+(-6) = -2
ดงั นนั ้ x2 + 5x – 6 = (x + 4)(x – 6)

ข้อสังเกต ถ้าค่า c มีค่าเป็นลบ (-) และมีคา่ b เป็นบวกหรือลบก็ได้
ตวั ประกอบท่ีได้จะมีคา่ เป็น ลบ 1 วงเล็บ และบวก 1 วงเลบ็

ตวั อย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 9 คา่ c = -9 และ
วิธีทา เนื่องจาก (-3)(3) = -9 คา่ b = 0

และ (-3)+(3) = 0
ดงั นนั ้ x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)

ข้อสังเกต ถ้าคา่ c มีคา่ เป็นบวก (–) และค่า b = 0
ตวั ประกอบท่ีได้จะมีค่าเป็น ลบ 1 วงเลบ็ และบวก 1 วงเล็บ

เพื่อให้เข้าใจงา่ ยๆ เราลองไป
อา่ นหลกั การและคาแนะนา

ในหน้าถัดไปกนั ครบั >>

9

จากตวั อย่างการแยกตัวประอบของพหนุ ามข้างต้น มีหลักการง่ายๆ ดังนี้

นกั เรียนต้องหาจานวนท่ีคณู กนั แล้วมีคา่ เท่ากบั พจน์หลงั (ค่า c) แตเ่ ม่ือนา
จานวนทงั้ สองมาบวกกนั ต้องได้คา่ เทา่ กบั พจน์กลาง (คา่ b) จากรูป ax2 + bx + c
หรือกล่าวง่าย ๆ วา่

“ถ้าให้ m และ n เป็ นจานวนเตม็ ซ่งึ mn = c และ m + n = b
จะได้ว่า ax2 + bx + c = (x + m)(x + n)”

คาแนะนา 1. ในกรณีมีพหนุ ามดีกรีสอง เช่น x2 + 3x + 1 ซงึ่ มีค่า c = 1 และ b = 3
แต่เราไมส่ ามารถหาจานวนเต็มที่คณู กนั แล้วได้ค่า c = 1 และบวกกนั
ได้คา่ b = 3 เราจะสรุปว่า x2 + 3x + 1 ไม่สามารถแยกตวั ประกอบได้
เนื่องจากไม่สามารถแยกเป็นพหนุ ามดีกรีหนง่ึ ซงึ่ มีสมั ประสิทธิ์
เป็นจานวนเตม็

2. ในกรณีมีพหนุ ามดีกรีสอง เชน่ x2 + 9 ซง่ึ มีค่า c = 9 และ b = 0
แตเ่ ราไมส่ ามารถหาจานวนเต็มท่ีคณู กนั แล้วได้คา่ c = 9 และบวกกนั
ได้ค่า b = 0 เราจะสรุปวา่ x2 + 9 ไม่สามารถแยกตวั ประกอบได้
เน่ืองจากไม่สามารถแยกเป็นพหนุ ามดีกรีหนง่ึ ซง่ึ มีสมั ประสิทธ์ิ

เป็นจานวนเต็ม
3. ควรตรวจสอบความถกู ต้องของคาตอบทกุ ครัง้ ด้วยวธิ ีตอ่ ไปนี ้

3.1 การคณู พหนุ ามด้วยพหนุ ามท่ีได้จากการแยกตวั ประกอบ
3.2 ใกล้คณู ใกล้ ไกลคณู ไกล บวกกนั ได้พจน์กลาง

10

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1
1

คาชีแ้ จง 1) จงหาจานวนเตม็ สองจานวนท่ีมีผลคณู และผลบวกของสองจานวน
ที่กาหนดให้ตามลาดบั ในแตล่ ะข้อต่อไปนี ้

2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

ตัวอย่าง 8, -6 ตอบ -2 และ -4 เพราะ (-2)(-4) = 8 และ (-2) + (-4) = -6

1) 40, -13 ตอบ ..................... เพราะ .................................................
2) -33, -8 ตอบ ..................... เพราะ .................................................
3) -50, 5 ตอบ ..................... เพราะ .................................................
4) -48, 2 ตอบ ..................... เพราะ .................................................
5) -18, 7 ตอบ ..................... เพราะ .................................................
6) 21, -10 ตอบ ..................... เพราะ .................................................
7) 192, 28 ตอบ ..................... เพราะ .................................................

8) -30, -13 ตอบ ..................... เพราะ .................................................
9) -36, 0 ตอบ ..................... เพราะ .................................................
10)-361, 0 ตอบ ..................... เพราะ .................................................

11

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2

คาชีแ้ จง 1) จบั ค่พู หนุ ามที่กาหนดให้ โดยเขียนอกั ษรหน้าข้อท่ีเป็นพหนุ ามเดียวกนั
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 15 คะแนน)

………. 1) x2 + 10x + 25 ก. (x + 9)(x + 6)
………. 2) x2 + 12x + 35 ข. (x – 4)(x – 1)
………. 3) x2 + 23x + 22 ค. (x + 13)(x + 2)
………. 4) x2 + 23x + 132 ง. (x + 7)(x + 5)
………. 5) x2 + 32x + 207 จ. (x – 4)(x – 3)
………. 6) x2 + 4x + 3 ฉ. (x – 2)(x – 2)
………. 7) x2 + 8x + 16 ช. (x – 4)(x – 5)
………. 8) x2 + 15x + 54 ซ. (x – 2)(x – 5)
………. 9) x2 + 15x + 26 ฌ. (x + 11)(x + 12)
………. 10) x2 – 4x + 4 ญ. (x – 4)(x – 2)
………. 11) x2 – 7x + 12 ฎ. (x + 4)(x + 4)

………. 12) x2 – 6x + 8 ฏ. (x + 5)(x + 5)
………. 13) x2 – 5x + 4 ฐ. (x + 3)(x + 1)
………. 14) x2 – 7x + 10 ฑ. (x + 9)(x + 23)
………. 15) x2 – 9x + 20 ฒ. (x + 22)(x + 1)

12

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3

คาชีแ้ จง: 1. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี ้

2. ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเตม็ 15 คะแนน)

1) x2 – 23x + 132 = (x…..…..)(x………) = (x – ……)(x – ……)

2) x2 – 2x – 63 = (x – 9)(x……)

3) x2 – 4x – 5 = (……..– 5)(……..…)

4) x2 + 7x – 8 = (………....)(….. + 8)

5) x2 + 9x – 22 = ………………………………………

6) x2 + 3x – 10 = ………………………………………

7) x2 – 13x + 22 = ………………………………………

8) x2 + 4x – 221 = ………………………………………

9) x2 + 7x – 78 = ………………………………………

10) x2 + 3x – 88 = ………………………………………

11) x2 + 10x – 39 = ………………………………………

12) x2 – 3x + 88 = ………………………………………
13) x2 – 81 = (x + 9)(……….)
14) x2 – 729 = ………………………………………
15) 961 – x2 = ………………………………………

13

แบบฝกึ ทักษะท่ี 4

คาชีแ้ จง 1) จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามต่อไปนี ้
2) ข้อละ 1 คะแนน (คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

1) x2 – 2x – 440 = ………………………………………

2) x2 – 25x – 1,250 = ………………………………………

3) 60 – 19x + x2 = ………………………………………

4) -96 – 4x + x2 = ………………………………………

5) x2 – (a + b)x + ab = (x – a)(……….)

6) y2 – (m + n)y + mn = (……….)(y – n)

7) x2 + (a + b)x + ab = ………………………………………

8) p2 + (m + n)p + mn = ………………………………………

9) x2 – (2 + n)x + 2n = ………………………………………

10) a2 + (5 + x)a + 5x = ………………………………………

ความรู้กว่าจะได้มาแสนยากเยน็ แต่กค็ งทนและย่ังยนื นะจ๊ะเดก็ ๆ

14

แบบทดสอบหลังเรียน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนอา่ นคาถามต่อไปนี ้แล้วเขียนเคร่ืองหมาย X บนตวั เลือก
ท่ีถกู ต้องท่ีสดุ เพียงข้อเดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั 4 ตวั เลือก จานวน 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

1. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 – 21x + 68

ก. (x – 4)(x + 17) ข. (x + 4)(x – 17)

ค. (x – 4)(x – 17) ง. (x + 4)(x + 17)

2. จากพหนุ าม 4x2 - 81 เขียนพหนุ ามให้อย่ใู นรูป ax2 + bx + c แล้วข้อใดตอ่ ไปนี ้

ถกู ต้อง

ก. a = 4, b = 2, c = -81 ข. a = 1, b = 4, c = -81

ค. a = -81, b = 0, c = 4 ง. a = 4, b = 0, c = -81

3. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 – 2x – 35

ก. (x – 7)(x + 5) ข. (x – 1)(x + 35)

ค. (x – 7)(x – 5) ง. (x + 1)(x – 35)

4. (x + 11)(x – 7) เป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในข้อใด

ก. x2 + 17x + 77 ข. x2 – 4x – 77

ค. x2 + 4x – 77 ง. x2 – 4x + 77

5. ข้อใดเป็นตวั ประกอบของพหนุ าม x2 – 11x + 28

ก. (x + 28) ข. (x – 7)

ค. (x + 7) ง. (x + 4) 15

6. จากพหนุ าม x2 + 20x + 75 ข้อใดกล่าวถกู ต้องท่ีสดุ

a. (x + 15)(x + 5) b. (x – 15)(x – 5)

c. (x + 15)(x – 5) d. (x – 15)(x + 5)

ก. ข้อ a. แยกตวั ประกอบของพหนุ ามถกู ต้องเพียงข้อเดียว

ข. ข้อ b. แยกตวั ประกอบของพหนุ ามถกู ต้องเพยี งข้อเดียว

ค. ข้อ a. และ d. แยกตวั ประกอบของพหนุ ามได้ถกู ต้อง

ง. ข้อ b. และ c. แยกตวั ประกอบของพหนุ ามได้ถกู ต้อง

7. พหนุ าม x2 + 17x + 70 แยกตวั ประกอบได้เท่ากบั ข้อใด

ก. (x + 7)(x + 10) ข. (x + 2)(x + 35)

ค.(x – 7)(x – 10) ง. (x – 2)(x – 35)

8. พหนุ าม x2 – 2x – 63แยกตวั ประกอบได้เทา่ กบั ข้อใด

ก. (x + 9)(x – 7) ข. (x – 9)(x – 7)

ค. (x + 9)(x + 7) ง. (x - 9)(x + 7)

9. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 – 12x + 27

ก. (x – 3)(x + 9) ข. (x – 3)(x – 9)

ค. (x + 3)(x – 9) ง. (x + 3)(x + 9)

10. ข้อใดเป็นการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 + 3x - 154

ก. (x – 14)(x – 11) ข. (x +14)(x – 11)
ค. (x +14)(x + 11) ง. (x – 14)(x + 11)

16

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ด้านความรู้

- แบบฝึกทกั ษะที่ 1,3 และ 4: เตมิ คาตอบในชอ่ งวา่ งได้ถกู ต้อง
ให้ข้อละ 1 คะแนน

- แบบฝึกทกั ษะที่ 2: จบั คพู่ หนุ ามท่ีกาหนดให้ โดยเขียนอกั ษรหน้าข้อ
ที่เป็นพหนุ ามเดียวกนั ได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน

- แบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน: ตอบได้ถกู ต้อง ให้ข้อละ 1 คะแนน

ด้านทกั ษะกระบวนการ

การให้เหตผุ ล การส่ือสารและการเช่ือมโยง แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้
3 หมายถงึ ระดบั ดี
2 หมายถงึ ระดบั พอใช้
1 หมายถงึ ระดบั ปรับปรุง

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

มีวนิ ยั ใฝ่เรียนรู้ และมงุ่ มน่ั ในการทางาน แบ่งการให้คะแนนเป็น 3 ระดบั ดงั นี ้

3 หมายถงึ ระดบั ดี 17
2 หมายถึง ระดบั พอใช้
1 หมายถงึ ระดบั ปรับปรุง

การผา่ นเกณฑก์ ารประเมนิ

ด้านความรู้
- แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 – 4 นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป
- แบบทดสอบหลงั เรียน นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านทกั ษะกระบวนการ

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

นกั เรียนต้องได้คะแนนร้อยละ 80 ขนึ ้ ไป

18

แบบบันทกึ คะแนน

คาชีแ้ จง 1. ให้นกั เรียนบนั ทกึ คะแนนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ แบบทดสอบก่อนเรียน
และหลงั เรียน

2. ให้ทาเครื่องหมาย ท่ีชอ่ งสรุปผลตามผลการประเมินจากแบบฝึกทกั ษะ
แบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

ท่ี รายการ คะแนน คะแนน สรุปผล
เตม็ ท่ไี ด้ ผ่าน ไม่ผ่าน
1 แบบทดสอบก่อนเรียน 10
2 แบบฝึกทกั ษะ 1 10
3 แบบฝึกทกั ษะ 2 15
4 แบบฝึกทกั ษะ 3 15
5 แบบฝึกทกั ษะ 4 10
6 แบบทดสอบหลงั เรียน 10

วธิ ีคิดคะแนนนะครับ
ให้นกั เรียนนาคะแนนของตนเองในแต่ละรายการคณู กบั 100 แล้วหารด้วย

คะแนนเตม็ ของแต่ละรายการ เทา่ นี ้นกั เรียนก็จะรู้ว่าตนเองผ่านหรือไมผ่ า่ นการทดสอบ
แล้วละ่ ครับ

ตัวอย่าง พราวได้คะแนนจากแบบฝึกทกั ษะที่ 1 13 คะแนน จากคะแนนเต็ม 15 คะแนน

คดิ เป็นร้อยละได้ดงั นี ้ 13100  86.67
15
ดงั นนั้ พราวมีคะแนน 86.67% และผ่านการทดสอบจากแบบฝึกทกั ษะ 1

คดิ เปน็ แล้วใชไ่ หมครบั .. ถ้าอยา่ งนั้นเราควรนาผลการประเมินมาพัฒนาตนเองด้วยนะ ^^ 19

บรรณานุกรม

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และคณะ. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ :
ภมู ิบณั ฑิต, 2550.

ชลธิศ พทิ ยงั กรู และคณะ. ส่ือเสริมสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.2
เล่ม 2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2550.

โชคชยั สิริหาญอดุ ม. แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ม.2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์, 2553.
เทพฤทธิ์ ยอดใส และอดุ มศกั ดิ์ ลกู เสือ. ตะลุยโจทย์คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ม.2.

กรุงเทพฯ : เพม่ิ ทรัพย์การพมิ พ์, 2553.
พรรณี ศลิ ปะวฒั นานนั ท์. ส่ือเสริมรายวิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ 2

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : ฟิสิกส์เซน็ เตอร์, 2554.
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . คู่มือสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ

คณิตศาสตร์ เล่ม 2 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษา
ปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2551.
________ . หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 2
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ :
โรงพมิ พ์ครุ ุสภา ลาดพร้าว, 2547.

ภาคผนวก

21

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1

1) 40, -13 ตอบ -8, -5 เพราะ (-8)(-5) = 40 และ (-8)+(-5) = -13
2) -33, -8 ตอบ -11, 3 เพราะ (-11)(3) = -33 และ (-11)+(3) = -8
3) -50, 5 ตอบ 10, -5 เพราะ (10)(-5) = -50 และ (10)+(-5) = 5
4) -48, 2 ตอบ 8, -6 เพราะ (8)(-6) = -48 และ (8)+(-6) = 2
5) -18, 7 ตอบ 9, -2 เพราะ (9)(-2) = -18 และ (9)+(-2) = 7
6) 21, -10 ตอบ -7, -3 เพราะ (-7)(-3) = 21 และ (-7)+(-3) = -10
7) 192, 28 ตอบ 16, 12 เพราะ (16)(12) = 192 และ (16)+(12) = 28
8) -30, -13 ตอบ -15, 2 เพราะ (-15)(2) = -30 และ (-15)+(2) = -13
9) -36, 0 ตอบ 6, -6 เพราะ (6)(-6) = -36 และ (6)+(-6) = 0

10)-361, 0 ตอบ 19, -19 เพราะ (19)(-19) = -361และ (19)+(-19) = 0

ข้อ 9 และข้อ 10 สังเกตได้ว่า 22
เม่อื นาจานวนเตม็ ตรงข้ามกันมาคูณกนั
จะมคี ่าเป็ นลบ และเม่อื นามาบวกกัน

จะมคี ่าเท่ากับ 0

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 2

…ฏ…. 1) x2 + 10x + 25 ก. (x + 9)(x + 6)
….ง…. 2) x2 + 12x + 35 ข. (x – 4)(x – 1)
…ฒ... 3) x2 + 23x + 22 ค. (x + 13)(x + 2)
…ฌ…. 4) x2 + 23x + 132 ง. (x + 7)(x + 5)
…ฑ…. 5) x2 + 32x + 207 จ. (x – 4)(x – 3)
…ฐ…. 6) x2 + 4x + 3 ฉ. (x – 2)(x – 2)
…ฎ…. 7) x2 + 8x + 16 ช. (x – 4)(x – 5)
…ก…. 8) x2 + 15x + 54 ซ. (x – 2)(x – 5)
…ค…. 9) x2 + 15x + 26 ฌ. (x + 11)(x + 12)
…ฉ…. 10) x2 – 4x + 4 ญ. (x – 4)(x – 2)
…จ…. 11) x2 – 7x + 12 ฎ. (x + 4)(x + 4)

…ญ…. 12) x2 – 6x + 8 ฏ. (x + 5)(x + 5) 23
…ข…. 13) x2 – 5x + 4 ฐ. (x + 3)(x + 1)
…ซ…. 14) x2 – 7x + 10 ฑ. (x + 9)(x + 23)
…ช…. 15) x2 – 9x + 20 ฒ. (x + 22)(x + 1)

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 3

1) x2 – 23x +132 = (x – 12)(x – 11)
2) x2 – 2x – 63 = (x – 9)(x + 7)
3) x2 – 4x – 5 = (x – 5)(x + 1)
4) x2 + 7x – 8 = (x + 8)(x – 1)
5) x2 + 9x – 22 = (x + 11)(x – 2)
6) x2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)
7) x2 – 13x + 22 = (x – 11)(x – 2)
8) x2 + 4x – 221 = (x + 17)(x – 13)
9) x2 + 7x – 78 = (x + 13)(x – 6)
10) x2 + 3x – 88 = (x + 11)(x – 8)
11) x2 + 10x – 39 = (x + 13)(x – 3)

12) x2 – 3x + 88 = (x – 11)(x + 8)
13) x2 – 81 = (x – 9)(x + 9)
14) x2 – 729 = (x – 27)(x + 27)
15) 961 – x2 = (x – 31)(x + 31)

24

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 4

1) x2 – 2x – 440 = (x – 22)(x + 20)
2) x2 – 25x – 1,250 = (x – 50)(x + 25)
3) 60 – 19x + x2 = (x – 15)(x – 4)
4) -96 – 4x + x2 = (-12 + x)(8 + x) หรือ (x – 12)(x + 8)
5) x2 – (a + b)x + ab = (x – a)(x – b)
6) y2 – (m + n)y + mn = (y - m)(y + n)
7) x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
8) p2 + (m + n)p + mn = (p + m)(p + n)

9) x2 – (2 + n)x + 2n = (x – 2)(x + n)
10) a2 + (5 + x)a + 5x = (a + 5)(a + x)

25

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น

1. ข. 6. ข.
2. ก. 7. ค.
3. ง. 8. ก.
4. ง. 9. ข.
5. ก. 10. ค.

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

1. ค. 6. ก.
2. ง. 7. ก.
3. ก. 8. ง.

4. ค. 9. ข.
5. ข. 10. ข.

26

คารับรองของผูบ้ งั คบั บญั ชา

ขอรับรองวา่ แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ ท่ี 4 เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจานวนเต็ม และ c ≠ 0 เป็นผลงาน
ของนายชเู กียรติ สยุ ะลงั กา ตาแหนง่ ครูชานาญการ โรงเรียนวชั รวิทยา ซง่ึ ได้พฒั นาขนึ ้
เพือ่ ใช้ประกอบการจดั กิจกรรมการเรียนการสอนของครูและสร้างองค์ความรู้ให้แก่
นกั เรียน จงึ อนญุ าตให้ใช้แบบฝึกทกั ษะการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 ในสถานศกึ ษาได้

(นายจานง อนิ ทพงษ์)
ผ้อู านวยการโรงเรียนวชั รวิทยา