ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์5

47

7. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม   1 n2

n1  3 

วธิ ีทา   1 n2  31 1  1  ...
3 32
n1  3 

เป็ นอนุกรมเรขาคณิต มี r  1

3

จาก Sn  a1 1 rn 
1 r

จะไดว้ า่  1   1 10 
3 3 
S10   
1 1 
3

 9 1  1   4.5
2  310 

นนั่ คือผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรมมีค่าประมาณ 4.5

8. ผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรม 

 2n3
n 1

วธิ ีทา   1  1 1 2 22  ...
2n3 22 2

n 1

เป็ นอนุกรมเรขาคณิต มี r  2

จาก Sn  a1 1 rn 
จะไดว้ า่ 1 r

S15  1  1  215 
22 1 2

 8,191.75

นนั่ คือผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรมมีค่าเทา่ กบั 8,191.75

48

9. ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม  2 2 n1

n1  3 

วธิ ีทา  2 2 n1  2  2 2   2 2 2  2 2 3  ...
n1  3  3 3 3

เป็ นอนุกรมเรขาคณิต มี r  2

3

จาก Sn  a1 1 rn 
1 r

จะไดว้ า่ Sn   1   2 n   61   2 n 
2 3   3  
 
1   2  
3

นนั่ คือผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมมีค่าเทา่ กบั 61   2 n 
 3  

10. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม   1 n2

n 1 3 2

วธิ ีทา  1 2n2  1  1  1  2  22  23  ...
n 1 3 3 2 

เป็ นอนุกรมเรขาคณิต มี r  2

จาก Sn  a1 1 rn 
1 r

จะไดว้ า่ 1  1  1 2n   1 2n 1
3  2 1 2 6
 Sn 

นนั่ คือผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมมีคา่ เทา่ กบั 1 2n 1
6

เกณฑ์กำรให้คะแนนกจิ กรรม 5.3

1. หาผลบวกผดิ หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน
2. หาผลบวกไดถ้ ูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

49

เฉลยกจิ กรรม 5.4

คาช้ีแจง จงพิจารณาวา่ อนุกรมในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีเป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก
ถา้ เป็นอนุกรมลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม
ใชเ้ วลา 20 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1.  3n2  1

n 1 n 2

วธิ ีทา ให้ an  3n 2  1
n2

จะไดว้ า่ lim a  lim 3n 2  1
n
n n n 2

 3 ซ่ึงไม่เทา่ กบั 0

ดงั น้นั อนุกรม  3n 2  1 เป็ นอนุกรมลู่ออก

n 1 n 2

2.   n

 2

n 1

วธิ ีทา  ให้ n
an 
2

 จะไดว้ า่  n
lim a n lim
2
n n

หาคา่ ไมไ่ ด้ ซ่ึงไม่เทา่ กบั 0

ดงั น้นั อนุกรม   n เป็ นอนุกรมลู่ออก

 2

n 1

3.  πn ให้ an  πn
n 1 4 4
วธิ ีทา

จะไดว้ า่ lim a n  lim πn
4
n n

หาค่าไม่ได้ ซ่ึงไม่เท่ากบั 0

ดงั น้นั อนุกรม  πn เป็ นอนุกรมลู่ออก
n 1 4

50

4.  5  5  5 1  1  1  1  ...
2n 2 22 23 24 
n 1 2n
n 1
วธิ ีทา

เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี r  1 ซ่ึงนอ้ ยกวา่ 1

2

5

จะไดว้ า่  5  2 1 5

2n 1

n 1

2

ดงั น้นั อนุกรม  5 เป็นอนุกรมลู่เขา้ มีผลบวกเท่ากบั 5

n 1 2n

5.  n3
n1 n3  5

วธิ ีทา ให้ an  n3
n3  5

จะไดว้ า่ lim a n  lim n3
n3  5
n n

1 ซ่ึงไม่เทา่ กบั 0

ดงั น้นั อนุกรม  n3 เป็ นอนุกรมลู่ออก
n3  5

n 1

6. 

 cosnπ
n 1

วธิ ีทา ให้ an  cosnπ

จะไดว้ า่ lim a n  lim cosnπ

n n

หาค่าไม่ได้ ซ่ึงไมเ่ ท่ากบั 0

ดงั น้นั อนุกรม  เป็ นอนุกรมลู่ออก

 cosnπ
n 1

51

7. 

 - 1n  2
n 1

วธิ ีทา ให้ an  1n2

จะไดว้ า่  lima  1 n2

n
n lim

n

หาคา่ ไม่ได้ ซ่ึงไม่เท่ากบั 0

ดงั น้นั อนุกรม  เป็ นอนุกรมลู่ออก

 - 1n  2
n 1

8.  2  2  21  1  1  1  ...
5n -1 5n -1  5 52 53 
n 1 n 1
วธิ ีทา

เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี r  1 ซ่ึงนอ้ ยกวา่ 1

5

จะไดว้ า่  2  2  5
5n -1 1 1 2

n 1

5

ดงั น้นั อนุกรม  2 เป็นอนุกรมลู่เขา้ มีผลบวกเทา่ กบั 5
5n -1
2
n 1

9.  sin π  n n 1 
n1  2 2 

วธิ ีทา ให้ an  sin π  n n 1 
 2 2 

จะไดว้ า่ lim a n  lim s in  π  n n 1 
 2 2
n n

 sin lim π  lim n n 1 
 2 2 
n n

 sin π
2

= 1 ซ่ึงไม่เท่ากบั 0

ดงั น้นั อนุกรม  sin π  n  เป็ นอนุกรมลู่ออก
 2 n2  1
n 1

52

10.   n 5 2  n 5 3 
n 1    

วธิ ีทา ให้ Sn  n  k 5 2  k 5 
k 1    3

 5 1  1  1  1  ...  n 1 2  n 1 3 
 3 4 4 5   

 5 1  n 1 3 
 3  

  n 5 2  n 5 3   lim Sn
   
n 1 n

 lim 5 1  1 
n  3 n  3 

5
3

ดงั น้นั อนุกรม   5  5  เป็ นอนุกรมลู่เขา้

n1  n  2 n  3 

มีผลบวกเทา่ กบั 5
3

เกณฑ์กำรให้คะแนนกจิ กรรม 5.4

1. หาผลบวกผดิ ตอบผดิ หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

2. ตอบไดถ้ ูกตอ้ งวา่ เป็ นอนุกรมลู่เขา้ หรือลู่ออก

และหาผลบวกไดถ้ ูกตอ้ งเม่ือเป็นอนุกรมลู่เขา้ ได้ 1 คะแนน

53

เฉลยกจิ กรรมพชิ ิตปัญหำ

ให้ a+3, a, a-2 เป็น 3 พจน์ เรียงกนั ของลาดบั เรขาคณิต

ท่ีมีอตั ราส่วนร่วมเป็น r แลว้  มีค่าเท่าใด

 ar n 1
n 1

วธิ ีคิด จากลาดบั ที่กาหนด

จะไดว้ า่ a  a2
a3 a

a2  a  2a  3

a6

แทนค่า a ไดล้ าดบั เป็น 9, 6, 4 มี r  2

3

จะไดว้ า่   arn1   6 2 n1

n1 n1  3 

เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี r  2 ซ่ึงนอ้ ยกวา่ 1

3

จะไดว้ า่  6 2 n1  6  18
1 2
n1  3 

3

ดงั น้นั อนุกรม  มีคา่ เท่ากบั 18

 ar n 1
n 1

54

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

ข้อ คำตอบ
1ข
2ค
3ง
4ข
5ก
6ค
7ก
8ง
9ข
10 ก

WOW…Excellent