ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์ เบื้องต้น เรียบเรียงโดย ศุภโชค ผมไผ ม.4

ตรรกศาสตร์ เบื้องต้น

คำ นำ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์เล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชานวัตกรรมและเทคโนโลยี สารสนเทศเพื่อการสื่อสารการศึกษาเเละการเรียนรู้ จัดทำ ขึ้นเพื่อให้ศึกษาหาความรู้ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ซึ่งมีเนื้อหาตรงตามหลักสูตรเเกนกลางขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ฉบับปรับปรุง 2561 ตามมาตรฐานการเรียนรู้เเละตัวชี้วัด ค 1.1 ม.4/1 เข้าใจเเละใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์เบื้องต้นในการสื่อสาร เเละการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า หนังสืืออิเล็กทรอนิกส์ ฉบับนี้จะเป็นประโยชน์ ต่อผู้สนใจหรือกำ ลังศึกษาในเรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เเละสามารถบรรลุตาม วัตถุประสงค์การเรียนรู้ตามมาตรฐานการเรียนรู้ ศุภโชค ผมไผ ผู้จัดทำ ก

ตรรกศาสตร์ เบื้องต้น

สารบัญ ข หน้า จุดประสงค์การเรียนรู้ ความหมายของประพจน์ เเบบฝึกหัดที่ 1 เฉลยเเบบฝึกหัดที่ 1 การเชื่อมประพจน์ เเบบฝึกหัดที่ 2 เฉลยเเบบฝึกหัดที่ 2 ค่าความจริงของประพจน์ ประพจน์ที่สมมูลกัน เเบบฝึกหัดที่ 3 เฉลยเเบบฝึกหัดที่ 3 สัจนิรันดร์ ตัวบ่งปริมาณ และการอ้างเหตุผล อ้างอิง ประวัติส่วนตัว 1 2 3 4 5 7 8 9 11 12 13 14 ค ง 10

ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์ร์ร์เ ร์ เ ร์ เ ร์ บื้บื้บื้ บื้บื้ อ บื้ บื้ อ บื้ อ บื้ งต้ต้ต้ ต้ นต้ นต้ นตัวชี้วัด ตัวชี้วัด ค 1.1 ม.4/1 เข้าใจเเละใช้ ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์เบื้องต้น ในการสื่อสารเเละการสื่อความหมาย ทางคณิตศาสตร์ จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนเข้าใจความหมาย รู้หลักการตรรกศาสตร์เบื้อง ต้น เเละสามารถสื่อความ ทางคณิตศาสตร์ได้ สาระการเรียนรู้ ความหมายของประพจน์ Proposition การเชื่อมประพจน์ Conective นิเสธของประพจน์ การหาค่าความจริง รูปเเบบของประพจน์ที่สมมูลกัน สัจนิรันดร์ ชั้ชั้ชั้นชั้ชั้ชั้นชั้ชั้มัมัมัธมัมัมัยมศึศึศึศึศึกศึษาปีปีปีที่ปีที่ปีที่ปีที่ที่ที่41

ตรรกศาสตร์

บทนิยาม 1. ความหมายของประพจน์ Proposition ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกค่าความ จริงว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ความเป็น จริง หรือ เท็จ ของประพจน์ เราเรียกว่า ค่าความจริงของประพจน์ T ใช้เเทนค่าที่เป็นจริง F ใช้เเทนค่าที่เป็นเท็จ ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ คือ ประโยคที่ไม่มีค่าความ จริง เช่น ประโยคพวกคำ ถาม คำ สั่ง ห้าม ขอร้อง ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์ เเละไม่เป็นประพจน์ ประโยคที่เป็นประพจน์ ดาวศุกร์เป็นดาวเคราะห์ (จริง) จังหวัดอุดรธานีอยู่ภาคอิสาน (จริง) 99+ 4 ≠ 103 (เท็จ) π เป็นจำ นวนตรรกยะ (เท็จ) ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ คำ ถาม เช่น 6 หารด้วย 5 มีค่าเท่าไร คำ สั่ง เช่น จงทำ เเบบฝึกหัด คำ ขอร้อง เช่น ช่วยกันเก็บขยะด้วยนะครับ ประโยคเปิด เช่น เขาเรียนครูคณิตศาตร์ 2

2.การเชื่อมประพจน์ Conective ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำ ประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราเรัยกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ 1) ตัวเชื่อม และ ใช้สัญลักษณ์ คือ" ∧ " 2) ตัวเชื่อม หรือ ใช้สัญลักษณ์ คือ" ∨ " 3) ตัวเชื่อม ถ้า... แล้ว... ใช้สัญลักษณ์ คือ" → " 4) ตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อ ใช้สัญลักษณ์ คือ" ↔ " 5) ตัวเชื่อม นิเสธ ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย" ~ " ตารางค่าความจริงของตัวเชื่อม ค่าความจริงของประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ต่างๆ กำ หนดให้ p และ q แทนประพจน์ใด ๆ ให้ T แทนค่าความจริงของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง F แทนค่าความจริงของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ นิเสธ 3

3. ค่าความจริงของประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์ โดยที่โจทย์ไม่ได้กำ หนดค่าความจริง ของประพจน์ย่อยๆมาให้ ต้องพิจารณาค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมด จากประพจน์ย่อยๆ วิธีที่นิยมคือการสร้างตารางค่าความจริง ถ้ามีประพจน์ย่อยทั้งหมด n ประพจน์ จะได้ ค่าความจริงที่อาจจะเกิดขึ้นได้ 2n กรณี ตัวอย่าง จงสร้างตารางค่าความจริงทุกกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ (p∨q)↔p ประพจน์ (p∨q)↔p มีประพจน์ย่อย 2 ประพจน์ คือ p และ q ค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 22 = 4 กรณี สามารถสร้างตารางได้ดังนี้ วิธีทำ อ้างอิง : https://panyasociety.com/pages/summary-math-401-mathematicallogic 4

ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรรู้ 4. ประพจน์ที่สมมูลกัน (Equivalent) รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ≡ คุณสมบัติของการสมมูลของรูปแบบประพจน์ การสะท้อน: A ≡ A การสมมาตร: ถ้า A ≡ B แล้ว B ≡ A การถ่ายทอด: ถ้า A ≡ B แล้ว B ≡ C แล้ว A ≡ C กำ หนดให้ A, B และ C เป็นรูปแบบของประพจน์ 1. 2. 3. p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r) p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p → q สมมูลกับ ~p ∨ q p → q สมมูลกับ ~q → ~p p ⇔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p) 5

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ~ แทนนิเสธ จากนิยาม รูปแบบประพจน์ A เป็นนิเสธของ รูปแบบประพจน์ B ก็ต่อเมื่อ ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันทุกกรณี ค่าความจริงของ A และ ~B เหมือนกันทุกกรณี A ≡ ~B ดังนั้น A เป็นนิเสธของ B ก็ต่อเมื่อ A สมมูลกับ ~B ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p) ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧~p) ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรรู้ 6

6. สัจนิรันดร์ (Tautology) คือรูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ประโยคเปิด (Open Sentence) 1. เขาเป็นนักว่ายน้ำ ทีมชาติไทย 2. x - 6 = 10 3. y < - 6 ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น 1. 10 เป็นคำ ตอบของสมการ x – 1 = 7 2. โลกหมุนรอบตัวเอง 3. จงหาค่า x จากสมการ 2x + 1 = 8 4. กรุณานั่งเงียบ ๆ 5. ห้ามสูบบุหรี่ ตัวอย่างประโยคเปิด ข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและ สื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็น ประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทน ประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ 7

7. ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃) คือ ตัวระบุจำ นวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำ ให้ประโยคเปิด กลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำ ให้ P(x) เป็นจริง ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำ ให้ P(x) เป็นเท็จ ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำ ให้ P(x) เป็นจริง ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำ ให้ P(x) เป็นจริง ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทน ได้ด้วยสัญลักษณ์ ∀ อ่านว่า “ สำ หรับสมาชิก x ทุกตัว ” ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทน ได้ด้วยสัญลักษณ์ ∃ อ่านว่า “ สำ หรับสมาชิก x บางตัว ” ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)] ~∃x[P(x)] สมมูลกับ∀x[~P(x)] ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ∃x[P(x)] ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ∀x[P(x)] การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า สำ หรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้ โดยการ อ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ เหตุ สำ หรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุ สมผลหรือไม่ สามารถพิจารณาได้จากประพจน์ (สิ่งที่กำ หนดให้) และ ผล (สิ่งที่ตามมา) ( P1 ∧ P2 ∧ … Pn) → C ถ้าประพจน์ ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เรา สามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สม เหตุสมผล 8

จงหาเซตคำ ตอบของสมการ x+5=0 ห้ามทิ้งขยะบริเวณนี้ เเบบฝึกหัดที่ 1 คำ สั่ง : จงพิจารณาประโยคต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นประพจน์ จงบอกว่าความจริงของประพจน์นั้น สุนัขเป็นสัตว์สี่ขา เดือนสิงหาคมมี 30 วัน จงทำ แบบฝึกหัด 1.1 ตอบ ตอบ ตอบ ตอบ ตอบ 9

จงหาเซตคำ ตอบของสมการ x+5=0 ห้ามทิ้งขยะบริเวณนี้ เฉลยเเบบฝึกหัดที่ 1 คำ สั่ง : จงพิจารณาประโยคต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นประพจน์ จงบอกค่าความจริงของประพจน์นั้น สุนัขเป็นสัตว์สี่ขา เดือนสิงหาคมมี 30 วัน จงทำ แบบฝึกหัด 1.1 ตอบ ตอบ ตอบ ตอบ ตอบ เป็นประพจน์ ค่าความจริง เป็นจริง เป็นประพจน์ ค่าความจริง เป็นเท็จ ไม่เป็นประพจน์ ไม่เป็นประพจน์ ไม่เป็นประพจน์ 10

เเบบฝึกหัดที่ 2 คำ สั่ง : จงเขียนประโยคต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ เเละหา ค่าความจริงของประพจน์ ตัวอย่าง 2 เป็นจำ นวนคู่ และ 3 เป็นจำ นวนคี่ เขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์โดยให้ P แทน ………………………. q เเทน….……………………. ค่าความจริงของประพจน์…………………………………………. 1) 4 เท่ากับ 8 หรือ 5 เท่ากับ 0 เขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์โดยให้ P แทน ………………………. q เเทน….……………………. ค่าความจริงของประพจน์…………………………………………. 2) ถ้าปลาบินได้เเล้วนกเป็นสัตว์เลี้ยง เขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์โดยให้ P แทน ………………………. q เเทน….……………………. ค่าความจริงของประพจน์…………………………………………. 3) 4 เป็นจำ นวนคู่ หรือ 6 เป็นจำ นวนคี่ เขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์โดยให้ P แทน ………………………. q เเทน….……………………. ค่าความจริงของประพจน์…………………………………………. 2 เป็นจำ นวนคู่ 3 เป็นจำ นวนคี่ เป็นจริง 11

เฉลยเเบบฝึกหัดที่ 2 คำ สั่ง : จงเขียนประโยคต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ เเละหา ค่าความจริงของประพจน์ ตัวอย่าง 2 เป็นจำ นวนคู่ และ 3 เป็นจำ นวนคี่ เขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์โดยให้ P แทน ………………………. q เเทน….……………………. ค่าความจริงของประพจน์…………………………………………. 1) 4 เท่ากับ 8 หรือ 5 เท่ากับ 0 เขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์โดยให้ P แทน ………………………. q เเทน….……………………. ค่าความจริงของประพจน์…………………………………………. 2) ถ้าปลาบินได้เเล้วนกเป็นสัตว์เลี้ยง เขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์โดยให้ P แทน ………………………. q เเทน….……………………. ค่าความจริงของประพจน์…………………………………………. 3) 4 เป็นจำ นวนคู่ หรือ 6 เป็นจำ นวนคี่ เขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์โดยให้ P แทน ………………………. q เเทน….……………………. ค่าความจริงของประพจน์…………………………………………. 4 เท่ากับ 8 5 เท่ากับ 0 2 เป็นจำ นวนคู่ 3 เป็นจำ นวนคี่ เป็นจริง เป็นเท็จ ปลาบินได้ นกเป็นสัตว์เลี้ยง เป็นจริง 4 เป็นจำ นวนคู่ 6 เป็นจำ นวนคี่ เป็นจริง 12

ข้อที่ 1 ให้ตรวจสอบว่าข้อความที่กำ หนดให้ สมมูลกันหรือไม่ (ก) ถ้า 4+3 = 7 เเล้ว 7 เป็นจำ นวนนับ (ข) 7 ไม่ใช่จำ นวนนับ เเต่ 4+3=7 เเบบฝึกหัดที่ 3 วิธีทำ ข้อที่ 2 รูปเเบบของประพจน์ P→ (q ∨ r) เเละ (~r∧P)→q สมมูลกันหรือไม่ วิธีทำ 13

ข้อที่ 1 ให้ตรวจสอบว่าข้อความที่กำ หนดให้ สมมูลกันหรือไม่ (ก) ถ้า 4+3 = 7 เเล้ว 7 เป็นจำ นวนนับ (ข) 7 ไม่ใช่จำ นวนนับ เเต่ 4+3=7 เฉลยเเบบฝึกหัดที่ 3 วิธีทำ ข้อที่ 2 รูปเเบบของประพจน์ P→ (q ∨ r) เเละ (~r∧P)→q สมมูลกันหรือไม่ วิธีทำ ให้ p เเทน 4+3=7 q เเทน 7 เป็นจำ นวนนับ นั่นคือ (ก) p →q (ข ) ~q ∧p จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของประพจน์ p v~ 9 และ ~(~P ∧ 9) ตรงกันทุกกรณี ดังนั้น p v~ 9 สมมูล ~(~p ∧ q) หรือ p v~ q = ~(~p ∧ 9) 14

ตรรกศาสตร์ เบื้องต้น

อ้างอิง สำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน,ตัวชี้วัดเเละสาระการเรียนรู้เเกนกลาง. กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง 2560 ) สืบค้นเมื่อวันที่ 29 สิงหาคม 2566 จากากเว็บไซต์:http://academic.obec.go.th/images/document/1580786328_d_1.pdf โทวัฒน์ เพ็ชรเพ็ง, ตรรกศาสตร์เบื้องต้น, หน้ํา 33 สืบค้นเมื่อวันที่ 29 สิงหาคม 2566 จากากเว็บไซต์ :https://www.kroobannok.com/news_file/p42477491215.pdf กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์, ตรรกศาสตร์เบื้องต้น. โรงเรียนนาเชือก. สืบค้นเมื่อวันที่ 29 สิงหาคม 2566 จากากเว็บไซต์ : https://nachuakpit.ac.th/client-upload/np/uploads/files/ เอกสารประกอบการสอนตรรกศาสตร์เบื้องต้น ค

ประวัติส่วนตัว นายศุภโชค ผมไผ 65040140107 ปัจจุบันกำ ลังศึกษาอยู่ คณะครุศาสตร์ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี ปี 2 ง

จริงและจริง เป็นจริง สิ่งควรรู้ ที่เหลืออยู่ นั้นเป็น เท็จทั้งสาม เท็จหรือเท็จ เป็นเท็จ อยู่หนึ่งยาม เหลืออีกสาม เป็นจริงหมด ควรจดจำ จริงแล้วเท็จ นั้นเป็น เท็จแน่ๆ เหลืออยู่แต่ จริงทั้งสาม นะงามขำ ก็ต่อเมื่อ มาเป็นคู่ อยู่ประจำ เหมือนกันนำ ผลให้ ได้เป็นจริง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ประพันธ์ ครูบัญญัติ ศรีประเสริฐ