1 A. Sudut di berbagai kuadran 90º 180º Kuadran II sin α & csc α (+) α lancip = 180º– α Kuadran I semua (+) sudut lancip 0º Kuadran III tan α & cot α (+) α lancip = α – 180º Kuadran IV cos α & sec α (+) α lancip = 360º – α 270º Contoh soal : 1. Tentukan nilai dari cos 150º, tan 330º, dan sin 120º! Penyelesaian : 1. a. cos 150º (1) Lihatlah nilai sudut dan tentukan kuadrannya. Pada soal di atas nilai sudut adalah 150º. Sudut 150º berada pada Kuadran II; (2) Setelah itu, lihatlah perbandingan trigonometri yang ditanyakan nilainya. Kemudian cocokan dengan ketentuan kuadran. Pada soal perbandingan trigonometri yang ditanyakan adalah cos. Nilai cos pada Kuadran II bernilai negatif. Karena hanya sin dan csc yang bernilai positif pada Kuadran II; (3) Setelahnya gunakan nilai α lancip pada Kuadran II, yakni 180º – α. Nilai α digantikan dengan nilai sudut yang diketahui. Pada soal nilai α = 150º. Maka nilai α lancipnya 180º ‒ 150º = 30º* (4) Setelah itu kerjakan dan temukan hasilnya cos 150º = – cos (180º ‒ 30º) = ‒ cos (30º) = ‒ 1 2 √3 b.tan 330º tan 330º = ‒ tan (360º ‒ 30º) = ‒ tan (30º) = ‒ 1 3 √3 c. sin 120º
2 sin 120º = sin (180º ‒ 60º) = sin 60º = 1 2 √3 B. Koordinat kartesius dan koordinat kutub Misalkan terdapat titik P seperti pada gambar di samping maka titik P dinyatakan dengan koordinat kartesius adalah P (x, y) dan dinyatakan dengan koordinat kutub adalah P (r, α). a) Cara merubah koordinat kartesius P (x, y) ke dalam koordinat kutub P (r, α) b) Cara merubah koordinat kutub P (r, α) ke dalam koordinat kartesius P (x, y) Contoh soal : 1. Tentukan koordinat kutub dari koordinat kartesius (−5, 5√3)! 2. Tentukan koordinat kartesius dari koodinat kutub P (6, 120º)! Penyelesaian : 1. x = ‒ 5 dan y = 5√3 = √ 2 + 2 . = √(−5) 2 + (5√3) 2 . = 10 x = (‒) dan y (+), maka α di Kuadran II sehingga menggunakan ketentuan Kuadran II .tan = 5√3 −5 .tan = √3 −1 .tan = −√3 .60º = 180º ‒ α ››› α = 120º koordinat kutubnya adalah P (10, 120º) α r P x y y x = √ 2 + 2 tan = = ∙ cos = ∙ sin
3 2. r = 6 dan α = 120º = 6 ∙ cos 120° . = 6 ∙ (− 1 2 ) . = −3 = 6 ∙ sin 120° . = 6 ∙ ( 1 2 ) . = 3 C. Perbandingan trigonometri sudut berelasi Contoh soal : sin 240º Penyelesaian : sin 240º = ‒ sin (240º ‒ 180º) = ‒ sin 60º = − 1 2 √3 sin 240º = ‒ sin (180º + 60º) = ‒ sin 60º = − 1 2 √3 sin 240º = ‒ sin (270º ‒ 30º) = ‒ cos 30º = − 1 2 √3 D. Identitas trigonometri Kuadran I Kuadran III sin(90° − ) = cos cos(90° − ) = sin tan(90° − ) = cot cot(90° − ) = tan csc(90° − ) = sec sec(90° − ) = csc sin(360° + ) = sin cos(360° + ) = cos tan(360° + ) = tan cot(360° + ) = cot csc(360° + ) = csc sec(360° + ) = sec sin(180° + ) = −sin cos(180° + ) = −cos tan(180° + ) = tan cot(180° + ) = cot csc(180° + ) = −csc sec(180° + ) = −sec sin(270° − ) = −cos cos(270° − ) = −sin tan(270° − ) = cot cot(270° − ) = tan csc(270° − ) = −sec sec(270° − ) = −csc Kuadran II Kuadran IV sin(90° + ) = cos cos(90° + ) = −sin tan(90° + ) = −cot cot(90° + ) = − tan csc(90° + ) = sec sec(90° + ) = −csc sin(180° − ) = sin cos(180° − ) = −cos tan(180° − ) = −tan cot(180° − ) = −cot csc(180° − ) = csc sec(180° − ) = −sec sin(270° + ) = −cos cos(270° + ) = sin tan(270° + ) = −cot cot(270° + ) = −tan csc(270° + ) = −sec sec(270° + ) = csc sin(360° − ) = −sin cos(360° − ) = cos tan(360° − ) = −tan cot(360° − ) = −cot csc(360° − ) = −csc sec(360° − ) = sec sin2 + cos2 = 1 1 + tan2 = sec2 1 + cot2 = csc2 sin cos = tan cos sin = cot
4 Contoh soal : 1. Buktikan Penyelesaian : 1. Terbukti bahwa, sin cos + cos sin = 1 cos ∙ sin = sin2 + cos2 cos ∙ sin sin cos + cos sin = 1 cos ∙ sin = 1 cos ∙ sin sin cos + cos sin = 1 cos ∙ sin