BAHAN AJAR TURUNAN TRIGONOMETRI // TINA PRIYATUN 1
BAHAN AJAR TURUNAN TRIGONOMETRI // TINA PRIYATUN 2 1) Identitas Bahan Ajar Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XII Alokasi Waktu : 2 x 45 menit (1 pertemuan) 2) Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi KD IPK 3.3Menggunakan prinsip turunan ke fungsi Trigonometri sederhana 3.3.1 Memahami konsep turunan trigonometri dan sifat-sifatnya 3.3.2 Memahami turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan sifat-sifatnya 3.3.3 Menentukan turunan trigonometri lanjutan 3.3.4 Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri 3.3.5 Menentukan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri 3.2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri 4.3.1 Menentukan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan sifat-sifatnya 4.3.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri 4.3.3 Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri 3) Deskripsi Materi Singkat Turunan Trigonometri Lanjutan 4) () = tan ′() = sec2 5) () = cotan ′() = − cosec2 6) () = sec ′() = sec tan 7) () = cosec ′() = − cosec cotan 8) Petunjuk Belajar Agar belajar kalian bermakna, maka kalian perlu melakukan: a. Mengerti target kompetensi yang akan dicapai b. Mulailah dengan membaca materi. Buatlah rangkuman dan tandai bagianbagian yang belum kalian pahami sebagai bahan diskusi bersama teman dan guru. c. Kerjakan aktivitas yang ada pada bahan ajar ini. d. Kerjakan soal formatif untuk mengetahui seberapa pemahaman kalian tentang materi yang disajikan. A. PENDAHULUAN
BAHAN AJAR TURUNAN TRIGONOMETRI // TINA PRIYATUN 3 e. Pelajari soal-soal yang belum terjawab, apabila menemui kesulitan maka diskusikanlah bersama teman atau guru. f. Gunakan referensi penunjang lainnya untuk menambah pengetahuan dan pemahaman kalian. 1. Melalui model pembelajaran Discovery Learning berbantuan powerpoint dan LKPD serta ceramah interaktif, peserta didik dapat terlibat aktif dan bergotong royong dalam pembelajaran menentukan turunan trigonometri lanjutan dengan benar 2. Melalui model pembelajaran Discovery Learning berbantuan powerpoint dan LKPD serta diskusi kelompok, peserta didik dapat terlibat aktif dan bergotong royong dalam pembelajaran mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri dengan benar 3. Melalui model pembelajaran Discovery Learning berbantuan powerpoint dan LKPD serta diskusi kelompok, peserta didik dapat terlibat aktif dan bergotong royong dalam pembelajaran menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri dengan benar B. TUJUAN PEMBELAJARAN C. POKOK-POKOK MATERI
BAHAN AJAR TURUNAN TRIGONOMETRI // TINA PRIYATUN 4 Turunan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari. Di era digital ini banyak masyarakat belajar, menyimak berita, mempelajari tutorial, hingga melihat hiburan melalui layar smartphone. Smarthphone dapat bekerja berkat beberapa komponen, salah satunya kapasitor. Komponen ini memungkinkan adanya teknologi teknologi touchscreen (layar sentuh). Tegangan yang terdapat dalam kapasitor membentuk fungsi triginometri. kuat arus dalam kapasitor merupakan contoh turunan fungsi trigonometri. D. APLIKASI DI DUNIA NYATA
BAHAN AJAR TURUNAN TRIGONOMETRI // TINA PRIYATUN 5 TURUNAN TRIGONOMETRI LANJUTAN Sekarang kita akan menentukan turunan pertama fungsi trigonometri fungsi trigonometri () = tan , () = cotan , () = sec , dan () = cosec . Diberikan () = tan maka: ′() = lim ℎ→0 ( + ℎ) − () ℎ = lim ℎ→0 tan( + ℎ) − tan ℎ = lim ℎ→0 1 ℎ ( tan + tan ℎ 1 − tan tan ℎ − tan ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( tan + tan ℎ − tan (1 − tan tan ℎ) 1 − tan tan ℎ ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( tan + tan ℎ − tan + tan2 tan ℎ 1 − tan tan ℎ ) = lim ℎ→0 tan ℎ (1 + tan2 ) ℎ(1 − tan tan ℎ) = lim ℎ→0 tan ℎ ℎ lim ℎ→0 (1 + tan2 ) lim ℎ→0 1 (1 − tan tan ℎ) = 1 ∙ (1 + tan2 ) ∙ 1 = sec2 Diberikan () = cotan maka: ′() = lim ℎ→0 ( + ℎ) − () ℎ = lim ℎ→0 cotan( + ℎ) − cotan ℎ = lim ℎ→0 1 ℎ ( 1 tan( + ℎ) − 1 tan ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( tan − tan( + ℎ) tan tan( + ℎ) ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( tan − tan + tan ℎ 1 − tan tan ℎ tan ( tan + tan ℎ 1 − tan tan ℎ ) ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( tan (1 − tan tan ℎ) − (tan + tan ℎ) 1 − tan tan ℎ tan (tan + tan ℎ) 1 − tan tan ℎ ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( tan − tan2 tan ℎ − tan − tan ℎ tan2 + tan tan ℎ ) = lim ℎ→0 −tan ℎ (1 + tan2 ) ℎ(tan2 − tan tan ℎ) = lim ℎ→0 − tan ℎ ℎ lim ℎ→0 (1 + tan2 ) lim ℎ→0 1 (tan2 − tan tan ℎ) E. URAIAN MATERI Ingat rumus trigonometri tan( + ) = tan+tan 1−tan tan Ingat rumus trigonometri tan( + ) = tan+tan 1−tan tan Ingat identitas trigonometri cotan = 1 tan
BAHAN AJAR TURUNAN TRIGONOMETRI // TINA PRIYATUN 6 = −1 ∙ (1 + tan2 ) ∙ 1 tan2 = − 1 + tan2 tan2 = − cos2 cos2 + sin2 cos2 sin2 cos2 = − sin2 + cos2 cos2 sin2 cos2 = − 1 sin2 = − cosec2 Diberikan () = sec maka: ′() = lim ℎ→0 ( + ℎ) − () ℎ = lim ℎ→0 sec( + ℎ) − sec ℎ = lim ℎ→0 1 ℎ ( 1 cos( + ℎ) − 1 cos ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( cos − cos( + ℎ) cos cos( + ℎ) ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( −2 sin( + + ℎ) sin( − − ℎ) cos cos( + ℎ) ) = lim ℎ→0 −2 sin ( + 1 2 ℎ) sin (− 1 2 ℎ) ℎ cos cos( + ℎ) = −2lim ℎ→0 sin (− 1 2 ℎ) ℎ lim ℎ→0 sin ( + 1 2 ℎ) lim ℎ→0 1 cos cos( + ℎ) = −2 ∙ (− 1 2 ) ∙ sin ∙ 1 cos2 = sin cos2 = 1 cos sin cos = sec tan Diberikan () = cosec maka: ′() = lim ℎ→0 ( + ℎ) − () ℎ = lim ℎ→0 cosec( + ℎ) − cosec ℎ = lim ℎ→0 1 ℎ ( 1 sin( + ℎ) − 1 sin ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( sin − sin( + ℎ) sin sin( + ℎ) ) = lim ℎ→0 1 ℎ ( 2 cos( + + ℎ) sin( − − ℎ) sin sin( + ℎ) ) = lim ℎ→0 2 cos ( + 1 2 ℎ) sin (− 1 2 ℎ) ℎ sin sin( + ℎ) = 2lim ℎ→0 sin (− 1 2 ℎ) ℎ lim ℎ→0 cos ( + 1 2 ℎ) lim ℎ→0 1 sin sin( + ℎ) = 2 ∙ (− 1 2 ) ∙ cos ∙ 1 sin2 Ingat rumus trigonometri cos x – cos y = –2 sin ½(x + y) sin ½(x – y) Ingat identitas trigonometri sec = 1 cos Ingat identitas trigonometri cosec = 1 sin Ingat rumus trigonometri sin x – sin y = 2 cos ½(x + y) sin ½(x – y)
BAHAN AJAR TURUNAN TRIGONOMETRI // TINA PRIYATUN 7 = − cos sin2 = − 1 sin cos sin = − cosec cotan Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut. a. () = t − cota b. () = 2 − sec + cosec c. () = 2 sec + 3 cotan Penyelesaian: a. () = tan − cotan ′() = sec2 − (−cosec2 ) = sec2 + cosec2 b. () = 2 − sec + cosec ′() = 2 − sec tan − cosec cotan c. () = 2 sec + 3 cotan ′() = 2 sec tan − 3 cosec2 Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut. a. () = 3 t b. () = sec Penyelesaian: a. () = 3 t = 3 ′ = 3 2 = tan ′ = sec2 ′() = ′ + ′ ′() = 3 2 tan + 3 sec2 b. () = 2 sec = ′ = 1 = sec ′ = sec tan ′() = ′−′ 2 ′() = 1 ∙ sec− ∙ sec tan (sec )2 ′() = sec (1− tan) sec2 CONTOH 1 CONTOH 2
BAHAN AJAR TURUNAN TRIGONOMETRI // TINA PRIYATUN 8 Diketahui () = tan − cotan . Tentukan nilai dari ′() untuk = 4 . Penyelesaian: () = tan − cotan ′() = sec2 + cosec2 ′ ( 4 ) = sec2 ( 4 ) + cosec2 ( 4 ) ′ ( 4 ) = 1 cos2( 4 ) + 1 sin2( 4 ) ′ ( 4 ) = 1 ( 1 2 √2) 2 + 1 ( 1 2 √2) 2 ′ ( 4 ) = 1 1 2 + 1 1 2 = 2 + 2 = 4 Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa ▪ () = tan ′() = sec2 ▪ () = cotan ′() = − cosec2 ▪ () = sec ′() = sec tan ▪ () = cosec ′() = − cosec cotan 1. Turunan pertama dari () = sec + cotan 3 adalah ′() = …. A. tan2 x + 3 cosec 3x B. sec x tan x + 3 cosec 3x C. sec x tan x – 3 cosec 3x D. sec2 x – 3 cosec 3x E. sec x – 3 cosec 3x 2. Turunan pertama fungsi () = sin cos + cos sin adalah …. A. 1 cos2 − 1 sin2 B. − 1 cos2 + 1 sin2 G. LATIHAN SOAL CONTOH 3 F. RANGKUMAN
BAHAN AJAR TURUNAN TRIGONOMETRI // TINA PRIYATUN 9 C. 1 cos2 sin2 D. −1 cos2 sin2 − 1 sin2 E. cos2 sin2 3. Jika () = tan + , ′ ( 4 ) = 3 dan ′ ( 3 ) = 9 maka nilai + = …. A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 E. 4. Turunan pertama dari () = sec ( + 3) adalah ′() = .... A. sec( + 3) tan( + 3) B. sec( + 3) + tan( + 3) C. sec( + 3) − tan( + 3) D. − sec( + 3) tan( + 3) E. 3 sec( + 3) tan( + 3) 5. Turunan pertama dari = cos tan 2 adalah ′ = …. A. –2 cos x sec2 2x + sin x tan 2x B. 2 cos x sec2 2x – sin x tan 2x C. 2 cos x sec2 2x + sin x tan 2x D. cos x sec2 2x – 2 sin x tan 2x E. cos x sec2 2x + 2 sin x tan 2x 6. Jika () = 2 cotan maka ′ ( 4 ) = …. A. 8 (4 + π) B. 8 (4 – π) C. 8 (π – 4) D. 4 (8 – π) E. 4 (8 + π) -------------------------------------------------------------------------------Semangat Belajar-------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------jika tidak mulai dari diri kita, mau mulai dari siapa?-----------------------------------------------------