Funciones I-02

TEMA I: FUNCIONES (I)

Aristóbulo Martín Concepción
MATEMÁTICAS II IES PÉREZ GALDÓS

ÍNDICE

• 1. Concepto de función.

En la descripción de fenómenos físicos, químicos, económicos, etc, existe
cierta dependencia entre magnitudes que los describen: por ejemplo: el área
de un círculo depende de su radio, la velocidad media de un vehículo
depende de la distancia recorrida y del tiempo empleado, la resistencia de
un cable depende del tipo de conductor, de su longitud y su sección.

Las magnitudes son las propiedades que pueden ser descritas por
cantidades numéricas. Longitud, superficie, velocidad, temperatura,
presión, voltaje, resistencia, ph

Definición: una función f definida desde un conjunto A, llamado conjunto
inicial o dominio de la función , a un conjunto B, llamado conjunto final de
la función es una manera o regla de asignar a cada elemento ∈ un
único elemento ∈ imagen de a, que llamaremos f(a). Se representa:

f :AB
a  f (a)  b

Por ejemplo podemos llamar y el área un círculo y a x el radio del círculo. La
función

y   x2

La variable que se fija inicialmente es “x” y se llama “variable independiente”. Se llama variable
dependiente “y”, ya que depende de la variable x.

Hemos usado la nomenclatura habitual para las variables dependientes e independientes en
matemáticas, pero perfectamente podríamos haber usado la expresión:

A r2

Donde la variable independiente sería la “r” y la dependiente “A”.
La función se puede representar de dos formas:

a) Mediante un texto: expresión verbal o literal que detalla cualitativamente come
se relacionan las variables.

b) Mediante gráficas: En sistema de coordenadas con la escala adecuada a los
valores de las variables.

1.1. Función de variable real.

Se denomina una función de variable real a toda función f de un subconjunto no vacío
A de R, denominado dominio de la función, en un conjunto B  R denominado
conjunto final de la función. Para representar una función utilizaremos la notación:

f :AB
x  f (x)

1.1.1. Dominio de una función.
El conjunto inicial de la función es denominado Dominio de la función y se representa por
Dom(f), son todos los valores para los que está definida la función.
Ejemplo: la función f (x)   x , asocia a cada número real positivo su raíz cuadrada positiva.
Como la función está definida para los números reales cuya raíz existe, esto es, para los
números reales positivos

Dom( f )  R  0

La función f (x)  x2 está definida en todo R, por tanto su dominio es: Dom( f )  R
1.1.2. Imagen de una función.

Es el conjunto de resultados de la función f(x) cuando x  Dom( f ) esto es:

Im( f )  y  R | y  f (x), x  Dom( f )

También se denomina a veces recorrido de la función.

Ejemplo:

f (x)  x2 1

Im(f)=[-1,∞)

• 2. Gráfica de una Función

Toda función expresada por una ecuación del tipo y=f(x) puede representarse en un sistema de
coordenadas en el plano.

La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano (x, f(x)), donde los x pertenecen
al dominio de la función.

 Gr( f )  (x, y)  R2 | y  f (x) , x  R

Ejemplos:

f (x)  x2 1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f (x)  x2 1 8 3 0 -1 0 3 8

• 3. Función constante.

Las funciones constantes son las funciones reales de variable real con expresión algebraica

f (x)  k

Siendo k un número real cualquiera.
Ejemplo:
Y=2
Dom(f)=R
Im(f)={2}

4. Función Lineal.

Las funciones lineales tiene como ecuación y=ax, con a  0 .
Las funciones lineales son funciones de la forma f : R  R tal que f (x)  ax , donde a es un
número real llamado pendiente.
Cota el eje X en el punto (0,0) y pasa por el punto (1,a)
Está inclinada hacia la derecha si a>0, e inclinada hacia la izquierda si a<0.

y  2x

Ejemplo: y x
3

• 5. Función afín.

Las funciones afines tienen por ecuación y=ax+b con a≠0 y b≠0. Se representan con una recta
que tiene las siguientes características:

a) El coeficiente a se llama pendiente de la recta, condiciona la inclinación de la recta.

Mide la inclinación con respecto el eje X

b) El valor de b se denomina ordenada en el origen. El punto de corte con el eje Y es (0,b)

c) Corta el eje X cuando Y=0 en el punto ( b , 0)
a

d) Está inclinada hacia la derecha si a>0, e inclinada a la izquierda sia<0.

Ejemplos:
f (x)  2x 1

g(x)  x  5

Ejercicio
Representa las siguientes funciones

f (x)  x 1

h( x)  2x  1
4

g(x)  2 x 1
3

• 6. Función cuadrática

Las funciones de segundo grado o cuadráticas son aquellas en las que la variable x está elevada
al cuadrado. Es decir, definidas por polinomios de 2 grado.

f (x)  ax2  bx  c donde a, b y c son números reales, con a≠0.

La función cuadrática más sencilla y  ax2 , con a≠0. Es una parábola con vértice en el origen

de coordenadas. Si a>0, la parábola está orientada hacia arriba (se dice que es convexa) y si
a<0, la parábola está orientada hacia abajo (se dice que es cóncava)

Características de las funciones y  ax2

a) Dominio en todo el conjunto de los números reales. Dom(f)=R
b) Simetría respecto al eje Y. La función es par f(-x)=f(x)
c) Con respecto a la Imagen de f, Im(f)
Si a>0, Im(f) son todos los números reales positivos y el cero

Im( f )  R 0  0, 

Si a<0, Im(f) son todos los números reales negativos y el cero

Im( f )  R 0  , 0

d) Alcanzan mínimo y el máximo valor de la parábola
a>0 alcanza el mínimo en (0,0). Vértice de la parábola
a<0 alcanza el máximo en el punto (0,0). Vértice de la parábola.

La parábola y  ax2  k , se obtiene trasladando verticalmente k la parábola y  ax2

En este caso el vértice de la parábola se traslada al punto V=(0,k)

La parábola y  (x  h)2 se obtiene desplazando horizontalmente h unidades la parábola.

Ejemplos

f (x)  (x  3)2
g(x)  (x  5)2

La función de segundo grado con coeficientes a, b y c reales y distintos de cero

y  ax2  bx  c

Se puede determinar su vértice está situado en la abscisa xv   b y sustituyendo este valor
2a

en la función, determinamos que yv   b2  4ac
4a

Ejemplos

f (x)  2x2  8x  4
g(x)  2x2  3x  2

Las propiedades de las funciones cuadráticas son:
Dom(f)=R

Corte con el eje X:

En ese caso y=0 y pueden ser dos uno o ninguno, dependiendo de la solución de la ecuación

ax2  bx  c  0

Corte con el eje Y:
X=0, y será en el punto (0,c)

Es simétrica con respecto a la recta x  xv   b , si b=0 sería simétrica con respecto al eje Y.
2a

Si a>0 se verifica Im( f )   yv , 

Si a<0 se verifica que la Im( f )  , yv 

Ejercicio

Determina las propiedades de las siguientes funciones cuadráticas

f (x)  2x2  8x  4
g(x)  2x2  3x  2

• 7. Propiedades de las funciones
• Función positiva o negativa.

Se dice que una función f : R  R es positiva cuando f (x)  0 , para todo x  Dom( f )
Se dice que f es estrictamente positiva cuando f (x)  0 , para todo x  Dom( f )

De la misma manera:

Se dice que una función f : R  R es negativa cuando f (x)  0 , para todo x  Dom( f )
Se dice que f es estrictamente positiva cuando f (x)  0 , para todo x  Dom( f )

Ejemplo de función estrictamente positiva y negativa

• Monotonía de una función: crecimiento y
decrecimiento

Una función real f es monótona creciente si para todo x1  x2 , entonces f (x1)  f (x2 )
Se dice que es estrictamente monótona creciente si cuando x1  x2 entonces f (x1)  f (x2 )

De la misma manera

Una función real f es monótona decreciente si para todo x1  x2 , entonces f (x1)  f (x2 )
Se dice que es estrictamente monótona decreciente si f (x1)  f (x2 )

Ejemplo:

La función y  x 1 es estrictamente creciente.
La función y  2x 1 es estrictamente decreciente.

• Extremos relativos: máximos y mínimos

Una función f alcanza un máximo relativo en el punto de abscisa a si existe un entorno

reducido de a, de tal forma que f (x)  f (a) para todos los puntos x de su entorno reducido

Una función f alcanza un mínimo relativo en el punto de abscisa b si existe un entorno

reducido de a, de tal forma que f (x)  f (a) para todos los puntos x de su entorno reducido

Un entorno reducido de a es un intervalo de (a  h, a  h) con h>0 al que hemos quitado el
punto x=a o sea (a  h, a)  (a, a  h)

• Acotación. Función acotada superiormente. Función
acotada inferiormente. Función acotada. Máximos y
mínimos absolutos.

•

Una función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real K tal que la
imagen de cualquier punto x del dominio de f es siempre menor o igual que ese valor

La función f está acotada superiormente si sólo si  K  R | f (x)  K, x  Dom( f )

Si f es una función acotada superiormente, a la menor de las cotas superiores se le llama

supremo de f, se expresa K  sup( f )

Si existe un x0 Dom( f ) tal que f (x0 )  K , siendo K  sup( f ) , se dice que f tiene un

máximo absoluto.

De forma análoga:
Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número real L tal que la
imagen de cualquier punto x del dominio de f es siempre mayor o igual que ese valor

La función f está acotada inferiormente si sólo si  L  R | f (x)  L, x  Dom( f )

Si f es una función acotada inferiormente, a la mayor de las cotas inferiores se le llama ínfimo

de f, y se expresa como inf( f ) .

Si existe un x0 Dom( f ) tal que f (x0 )  L , siendo L  inf( f ) , se dice que f tiene un

mínimo absoluto.

Por último, indicar que una función está acotada cuando está acotada inferiormente y
superiormente
Ejemplo:
f(x)=sen(x)

El f(x)=sen(x), para cada x real, 1  sen(x)  1
La función está acotada inferiormente por L=-1, L=-1 es un inf(f) y L  1Im( f ) , luego L=-1

es un mínimo absoluto de la función f(x)=sen(x)
La función f está acotada superiormente por K=1, además K=1 es el sup(f) y se cumple

K  1Im( f ) , luego K=1 es un máximo absoluto de f(x)=sen(x)

• Paridad de una función: funciones pares e impares

Una función f : R  R es par cuando f (x)  f (x) ,  x  Dom( f )

Una función f : R  R es impar cuando f (x)   f (x) ,  x  Dom( f )

Ejemplo:

f (x)  xm , con m  N , son funciones pares, si solo si, m es par
f (x)  xm , con m  N , son funciones impares, si solo si, m es impar

Existen otras funciones pares e impares.

• Función periódica.

Una función f se dice que es periódica, si existe un p real y positivo tal que f (x  p)  f (x)
 x  Dom( f ) .
Si cambiamos x por x+p, la condición de periodicidad se escribe: f (x  2 p)  f (x  p)

Repitiendo el proceso.

f (x)  f (x  p)  f (x  2 p)  f (x  3 p)    f (x  np) para todo número natural n y

para todo x del dominio de f.
De forma análoga si cambiamos x por x-p

f (x  p)  f (x)
f (x  np)  f (x)

• 8. Funciones polinómicas.

Generalizando los conceptos de función lineal, lineal afín y cuadrática para un polinomio de
grado n se obtienen funciones polinómicas
Las funciones polinómicas tienen la forma:
f (x)  an xn  an1xn1   a1x  a0

Donde an , an1,, a1, a0 son números reales y se llaman coeficientes del polinomio y n es el

grado del polinomio.
Características:
Dom(f)=R

Corte con el eje Y (x=0) en el punto (0, a0 )

Corte con el eje X (y=0) a lo sumo en n puntos cuyas abscisas son las soluciones de la ecuación
an xn  an1xn1   a1x  0
No son periódicas. Salvo para f(x)=0, x  R

Ejemplo:
f (x)  x4 1
Dom( f )  R
Corte con el eje Y (x=0) será en el punto (0,1)

Corte con eje X (y=0), serán las raíces de la ecuación x4 1  0 cuyas soluciones son
x1  1, x2  1, correspondiendo a los puntos (-1,0), (1,0).

La función es par, se puede ver f(-x)=f(x), luego es simétrica respecto al eje Y.

La función es estrictamente decreciente desde (, 0) . Si tomamos dos puntos x1  x2 de ese
intervalo f (x1)  f (x2 ) .

De la misma manera es estrictamente creciente desde (0, ) . Si tomamos dos puntos
x1  x2 , f (x1)  f (x2 ) .

En x=0 la función pasa de decreciente a creciente, presenta un mínimo absoluto en (0,-1)

Im g( f )  (1, )

• 9. Funciones racionales.

Las funciones racionales son aquellas cuya expresión algebraica es un cociente de dos

polinomios, f (x)  P(x) , con Q(x)  0
Q(x)

Sus características son:

Dominio en todos los números reales excepto aquellos que anulen el denominador. Para
obtenerlo, basta con resolver la ecuación Q(x)  0 y excluir de R las raíces de dicha ecuación.

Corte con el eje Y, será el punto (0, f(0))

Corte con el eje X, se resuelve la ecuación P(x)  0 , con x  Dom( f ) . Las soluciones de la
ecuación son las abscisas de los puntos de corte.

Ejemplo:

f (x)  x2 5x  6
x2 1

Dominio: los números reales, excepto en la solución de la ecuación x2 1  0 ; esto es

x1  1, x2  1. Resulta entonces que Dom( f )  R 1,1

Corte con el eje Y,(x=0). f(0)=-6, luego (0, -6)

Corte con el eje X (y=0). Resolvemos la ecuación x2  5x  6  0 y obtenemos que
x1  2, x2  3 . Luego los puntos de corte serán (2,0), (3,0)

Un caso particular de funciones racionales son las del tipo f (x)  (x k , donde k y a son
 a)n

números reales k  0 y n es un número natural.

Si n es par y k>0: el dominio es R-{a}. El recorrido son los números reales positivos. Es
creciente para x<a y decreciente para x>a. Es una función simétrica a la recta x=a.

Si n es par y k<0: el dominio es R-{a}. El recorrido son los números reales negativos. Es
decreciente para x<a y creciente para x>a. Es una función simétrica a la recta x=a.

Si n es impar y k>0: el dominio son todos los números reales excepto a y el recorrido
son todos los números reales excepto el cero; decreciente en todo su dominio. La función es
simétrica respecto al punto (a,0)

Si n es impar y k<0: el dominio son todos los números reales excepto a y el recorrido son
todos los números reales excepto el cero; creciente en todo su dominio. La función es
simétrica respecto al punto (a,0)

Ejemplos:



• 10. Funciones Irracionales.

Las funciones racionales son las funciones cuya expresión algebraica presenta un radical:

f (x)  n g(x) , donde g(x) es una función polinómica o racional.

Características:

Si el radical es par su dominio son todos los valores para los que el radicando es positivo o
nulo.

Si el índice del radical es impar, el dominio es todo R.

Si n es par la imagen es [0, )

Ejemplo:

f (x)  x  4

x -4 -2 0 2 4 12 21 32
6 84 5 6
x4 0 22

Dom( f )  4,  y su imagen, Im g( f )  0, 

• 11. Funciones definidas a trozos.

Una función está definida a trozos es aquella cuyo dominio está dividido en intervalos
disjuntos, de forma que en cada intervalo la función viene dada por expresiones matemáticas
distintas.

Ejemplos:

0 si 0  x  2
3
f (x)  4 si 2  x  4
si 4  x  6

0 si 6  x  7

g ( x)   x si x  1
 x2 si x  1


h(x)  x

h( x)  x si x 0 0
 x si x

• 12. Operaciones con funciones.

Dadas dos funciones reales definidas en un conjunto A , A  R :

f :AR g:AR
x  f (x) x  g(x)

• Función suma.

Se define la función suma f  g : A  R , como aquella que toma en cada punto x  A el

valor ( f  g)(x)  f (x)  g(x)

• Función diferencia.

• Se define la función diferencia f  g : A  R , como aquella que toma en cada punto

x  A el valor ( f  g)(x)  f (x)  g(x)

• Función producto

• Se define la función producto f  g : A  R , como aquella que toma en cada punto

x  A el valor ( f  g)(x)  f (x)  g(x)

• Función cociente.

• Se define la función cociente f : A  R , como aquella que toma en cada punto el
g

valor f (x)  f (x) , para todo x  A , siendo g(x)  0
g g (x)

• Función compuesta.

Sean f y g dos funciones, tal que A es el dominio de f, y f ( A)  B , siendo f(A) la imagen de A
y B el dominio de g.

f : A  f ( A)  B

g:BR

Se define la composición de la función f con g g  f , que toma en los puntos del dominio del
valor de f el valor g  f (x)  g( f (x))

g f :AR
x  g( f (x))

Ejemplo:

f (x)  1
x2

g(x)  x
x 1

f  g(x)  f ( g ( x))  f ( x 1)  1  (x  1)2
 x x2
x  2

 x 1 

• 13. Función Identidad.

Llamamos función identidad a la función I

I :R  R
x  I(x)  x

Dada una función real, diremos que tiene función inversa f 1 , cuando f  f 1  f 1  f  I
Ejemplo:
La función inversa de f (x)  x3 , viene dada por f 1(x)  3 x

• 14. Resumen