Matematika Kelas XI BG press

Ayo mengamati

• Guru memerintahkan siswa untuk mengamati kembali pergeseran objek
(titik, garis, dan bidang) pada bidang koordinat kartesius pada Gambar
4.2.

• Arahkan siswa mengamati posisi, bentuk, dan ukuran objek sebelum
dan sesudah pergeseran, adakah perubahan?

• Minta siswa mengomunikasikan pendapatnya tentang mengamati
posisi, bentuk, dan ukuran objek sebelum dan sesudah pergeseran.
Arahkan siswa membangun dan memahami Sifat 4.1.

Sifat 4.1:

Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk
dan ukuran

Ayo mencoba

• Setelah siswa mempelajari Masalah 4.1 dan Masalah 4.2, minta siswa
mengamati Gambar 4.3 dan menuliskan koordinat titik yang diminta
pada Tabel 4.1

• Tabel 4.1 telah terisi sebagai berikut!
Tabel 4.1: Translasi titik

Titik awal Titik akhir Proses Translasi
A(–10, –4) A(–6, –2)
 4−−01−62− =+ 24  += −–−–26−110462−−04=  4  + T−1−10442 
2

C(–6, –2) C(9, –5)  −95 =  −1553 +  − 6  T2 −15153
− 2

C(9, –5) D(4, –1)  −41 =  −45 +  −95 T3  −5 
4

D(4, –1) E(7, 4)  74 = 53 +  −41 T4  3 
5

E(7, 4) F(–8, 5)  −58 =  –−1155  +  7  T5  −–1155 
1 4 1

MATEMATIKA 79

Ayo mengomati

• Pandu siswa untuk menemukan konsep translasi melalui pengamatan
terhadap koordinat titik pada Tabel 4.1.

• Arahkan siswa menemukan konsep translasi berikut:

Titik A(x,y) ditranslasi oleh T(a,b) menghasilkan bayangan A′(x′,y′),

ditulis dengan:

A( x, y) Tba → A' ( x' , y') atau  xy'' =  a  +  x 
b y


Ayo menalar

• Pandu siswa memahami persoalan pada Contoh 4.1 dan Contoh 4.2
dengan menggunakan konsep translasi yang telah ditemukan.

• Guru dapat mendemonstrasikan kembali alternatif penyelesaian pada
Contoh 4.1 dan Contoh 4.2, atau dapat membuat contoh-contoh lainnya.

• Untuk mendapatkan tingkat pemahaman siswa akan konsep translasi,
minta siswa menyelesaikan Latihan 4.1 berdasarkan pemahaman konsep
dan contoh-contoh yang telah dipelajari, atau guru dapat memberikan
soal-soal translasi lainnya sebagai tugas kelompok atau pribadi.

• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 4.1 sesuai buku siswa.

Latihan 4.1

• Titik P(a,b + 2) digeser dengan T(3, 2b – a) sehingga hasil pergeseran
menjadi Q(3a + b, –3). Tentukan posisi pergeseran titik R(2, 4) oleh
translasi T di atas.
Alternatif penyelesaian:
Coba ikuti panduan berikut:
Langkah 1:
P(a,b + 2) T(3,2b−a)→Q(3a + b,−3)

 3a + b  =  3 a  +  b a 2 
−3 2b − +

3a + b = a + 3 atau a = − b + 3 (persamaan 1)
2

–3 = 3b – a + 2 (persamaan 2)

80 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Langkah 2:

Dengan mensubstitusi a = − b + 3 ke persamaan (2) maka diperoleh
2

nilai atau − 3 = 3b − ( − b + 3) + 2 sehingga diperoleh b = –1 dan a = 2
2

Dengan demikian, translasi yang dimaksud adalah T(3, 2b – a) = T(3, –4).
Langkah 3:
Pergeseran titik R(2, 4) oleh translasi T(3, –4) adalah:
R(2,4) T(3,−4→ R'(x, y)

 xy'' =  3  +  42  =  05 
−4

Jadi, koordinat pergeseran titik R adalah R′(5, 0) .

3. Kegiatan Penutup

• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang
telah diketahui setelah pembelajaran.

• Siswa dan guru bersama-sama melakukan refleksi dan merangkum
semua konsep dan sifat translasi dari yang dipelajari.

• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh
guru.

• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Guru dapat
memerintahkan siswa mengerjakan soal-soal pada Uji Kompetensi 4.1
atau soal-soal lainnya sesuai dengan konsep yang dipelajari.

• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.

4.2 Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan)

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan

1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran
yang efisien dan efektif.

2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.

3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran

4. Siapkan RPP dan form penilaian.

MATEMATIKA 81

No. Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan

• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi

1. Motivasi siswa mempelajari konsep refleksi (pencerminan).
2. Ingatkan kembali siswa materi pencerminan di tingkat SMP/MTs.
3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep refleksi (pencerminan)

ini dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan
konsep matriks.
2. Kegiatan Inti
Ayo Menalar
• Berikan ilustrasi yang menanamkan konsep pencerminan kepada siswa.
Arahkan siswa memahami sifat ”jarak objek terhadap cermin sama
dengan jarak bayangan terhadap cermin”. Informasikan cermin yang
dimaksud adalah cermin datar.
• Informasikan bahwa konsep pencerminan yang dipelajari adalah pen­
cerminan dengan pendekatan koordinat. Cermin pada bidang koordinat
adalah titik O(0, 0), sumbu x, sumbu y, garis y = x dan garis y = –x.
Ayo Mengamati
Masalah 4.3
• Minta siswa berdiskusi secara berpasangan atau berkelompok tentang
Masalah 4.3. Minta siswa mengamati Gambar 4.4.
• Arahkan siswa fokus berdiskusi pada jarak, bentuk dan ukuran antara
objek dan bayangannya oleh pencerminan pada Gambar 4.4.
Ayo mengomunikasikan
• Minta siswa memberi pendapatnya tentang Masalah 4.3 dan Gambar
4.4.
• Guru dapat memberikan media atau gambar lainnya pada bidang
koordinat untuk memperkuat pemahaman akan konsep pencerminan.
• Guru bersama-sama dengan siswa membangun sifat pencerminan.

Sifat 4.2:
Bangun yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidak
mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan
cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan
cermin tersebut.


82 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

4.2.1 Pencerminan terhadap Titik O(0,0)

Ayo Mengamati

• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.5. Pandu siswa me­
mahami pencerminan terhadap titik O(0, 0) melalui gambar tersebut.

• Arahkan siswa memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh
pencerminan terhadap titik O(0, 0) pada Gambar 4.5, kemudian minta
siswa melengkapi Tabel 4.2.

• Tabel 4.2 telah terisi sebagai berikut.

Tabel 4.2: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Titik O(0, 0)

Titik Bayangan

A(6, 3) A′(–6, –3)

B(–2, 2) B′(2, –2)

C(7, –2) C′(–7, 2)

D(1, –3) D′(–1, 3)
E(2, 3) E′(–2, –3)

Ayo menalar

• Pandu siswa memanfaatkan titik-titik koordinat objek dan bayangannya
pada Tabel 4.2 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap cermin
titik O(0, 0).

• Demonstrasikan kembali kepada siswa proses menemukan matriks
pencerminan terhadap titik O(0, 0) seperti pada buku siswa. Ingatkan
siswa kembali tentang materi perkalian dan kesamaan dua matriks.

• Guru dan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan ter­
hadap titik O(0, 0).

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) menghasilkan
bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:

A( x, y) CO(0,0) → A'(x', y') atau  xy'' =  −1 −01 x 
0 y



Ayo mencoba

• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.3 dan Contoh 4.4 dengan
meng­gunakan matriks pencerminan terhadap titik O(0, 0) yang telah
ditemukan.

MATEMATIKA 83

• Minta siswa menggambar pencerminan tersebut pada bidang koordinat
kartesius.

• Untuk memperdalam pemahaman siswa tentang pencerminan terhadap
titik O(0, 0), minta siswa mengerjakan Latihan 4.2 berdasarkan langkah-
langkah yang telah disediakan.

• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 4.2 sesuai buku siswa.

Ayo menalar

Latihan 4.2
Titik A(2, –3) ditranslasikan dengan T(–4, –5) kemudian dicerminkan ter­
hadap titik O. Tentukan bayangan titik A tersebut.
Alternatif Penyelesaian:

A(2,−3) T(−4,−5)→ A'(x', y') CO(0,0)→ A''(x'', y'')

Langkah 1 (Proses Translasi)

 xy'' =  − 4  +  −23 =  − 2 
− 5 − 8

Langkah 2 (Proses Refleksi)

 xy'''' =  −1 −01 xy'' =  −1 −01 − 2  =  2 
0 0 − 8 8

Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A"(2, 8).
4.2.2 Pencerminan terhadap Sumbu x
Ayo Mengamati
• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.6. Pandu siswa

memahami pencerminan terhadap sumbu x melalui Gambar 4.6.
• Arahkan siswa memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh

pencerminan terhadap sumbu x, kemudian siswa melengkapi Tabel 4.3.
• Tabel 4.3 telah terisi sebagai berikut.
Tabel 4.3: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Sumbu x

Titik Bayangan

A(1,1) A′(1, –1)

B(3,2) B′(3, –2)

C(6,3) C′(6, –3)

D(–2, –2) D′(–2,2)

E(–4,4) E′(–4,–4)

F(–7, –5) F′(–7,5)

84 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Ayo Menalar

• Pandu siswa memanfaatkan titik koordinat objek dan bayangannya pada
Tabel 4.3 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu x.
Minta siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan matriks
pencerminan terhadap cermin sumbu x tersebut.

• Guru dengan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan
terhadap sumbu x.

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan
A′(x′, y′), ditulis dengan:

A(x, y) Csumbux → A'(x', y') atau  xy'' =  1 −01 x 
0 y



Ayo Menalar

• Demonstrasikan proses penyelesaian Contoh 4.5 dan Contoh 4.6
dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan.

• Minta siswa menggambar pencerminan tersebut pada bidang koordinat
kartesius.

• Ingatkan siswa kembali konsep persamaan garis dan sketsanya.

Ayo Mengomunikasikan

• Untuk memperdalam pemahaman siswa tentang pencerminan terhadap
sumbu x, minta siswa mengerjakan Latihan 4.3 berdasarkan langkah-
langkah yang disediakan.

• Perintahkan siswa menyajikan jawabannya di depan kelas.
• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 4.3 sesuai buku siswa.

Ayo Menalar

Latihan 4.3

Titik A(–2, –5) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) kemudian dilanjutkan
dengan pencerminan terhadap sumbu x. Tentukan bayangan titik A tersebut.
Alternatif Penyelesaian

A(−2,−5) CO(0,0)→ A'(x', y') Csumbu x → A''(x'', y'')

Langkah 1 (Proses Refleksi terhadap titik O(0,0))

 xy'' =  −1 −01 − 2  =  52 
0 − 5

MATEMATIKA 85

Langkah 2 (Proses Refleksi terhadap sumbu x)

 xy'''' =  1 −01 xy'' =  1 −01 2  =  2 
0 0 5 −5

Jadi, bayangan titik A adalah A"(2, –5).
4.2.3 Pencerminan terhadap Sumbu y

Ayo Mengamati

• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.7 dan memandu siswa
memahami pencerminan terhadap sumbu y melalui Gambar 4.7.

• Arahkan siswa memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh
pencerminan terhadap sumbu y, kemudian siswa melengkapi Tabel 4.4.

• Tabel 4.4 telah terisi sebagai berikut.
Tabel 4.4: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Sumbu y

Titik Bayangan
A(–10, –5) A′(10, –5)
B(–8, –3) B′(8, –3)
C(–6, –1) C′(6, –1)
D′(–4, 1)
D(4, 1) E′(–2, 3)
E(2, 3) F′(–1, 4)
F(1, 4)

Ayo Menalar

• Pandu siswa memanfaatkan koordinat objek dan bayangannya pada
Tabel 4.4 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu y.

• Berdasarkan pemahaman siswa dalam menemukan matriks pencerminan
terhadap titik O(0, 0) dan sumbu x maka minta siswa mendemonstrasikan
proses menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu y dengan
panduan pada buku siswa.

• Berikut proses menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu y.

Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Sumbu y

Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x, y) di­
cerminkan terhadap sumbu y akan mempunyai koordinat bayangan A′(–x, y),
bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap sumbu y.

Misalkan matriks transformasinya adalah C =  a b  sehingga:
c d

86 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

A(x, y) Csumbuy → A'(−x, y)

 −ybdyx++ =ax  a= dbyx  xybd =a ca−acxx=xxyx++++xdyby=−yy  a b  x  =  ax + by 
xc c c c d y cx + dy

Ini berarti bahwa:

–x = ax + by ⇔ a = – 1, dan b = 0
y = cx + dy ⇔ c = 0, dan d = 1

Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap sumbu y adalah  −1 10 
0

• Guru dan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan

terhadap sumbu y.

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan
A′(x′, y′), ditulis dengan,

A( x, y) Csumbuy → A' ( x' , y') atau  xy'' =  −1 0  x 
0 1 y


Ayo Mencoba

• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.7 dan Contoh 4.8 dengan meng­
gunakan konsep yang telah ditemukan.

• Minta siswa menggambar pencerminan tersebut pada bidang koordinat
kartesius.

• Ingatkan siswa konsep persamaan garis dan sketsanya.
• Untuk memperdalam pemahaman siswa tentang pencerminan terhadap

sumbu y, minta siswa mengerjakan Latihan 4.4.

Ayo Mengomunikasikan

• Perintahkan siswa menyajikan hasil kerjanya di depan kelas.
• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 4.4 sesuai buku siswa.

Ayo Menalar

Latihan 4.4

Garis 2x – y + 5 = 0 dicerminkan terhadap titik O(0, 0), kemudian dilanjutkan
dengan pencerminan terhadap sumbu y. Tentukan persamaan bayangan garis
tersebut.

MATEMATIKA 87

Alternatif Penyelesaian
Misalkan titik A(x,y) terletak pada garis tersebut, sehingga:
A(x, y) CO(0,0) → A'(x', y') Csumbuy → A''(x'', y'')

Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0,0))

 xy'' =  −1 −01 x  =  − x 
0 y − y

Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)

 xy'''' =  −1 0  xy'' =  −1 10  − x  =  x 
0 1 0 − y −y

sehingga:
x″ = x dan y″ = –y
Langkah 4 (Proses menentukan persamaan bayangan)
Tentukan x dan y dalam bentuk x′′ dan y′′
x″ = x dan y″ = –y
Langkah 5 (Proses menentukan persamaan bayangan)
Substitusi x dan y ke 2x – y + 5 = 0 sehingga diperoleh persamaan
bayangan.
2(x) – (–y) + 5 = 0 atau 2x + y + 5 = 0

4.2.4 Pencerminan terhadap Garis y = x

Ayo Mengamati

• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.8. Pandu siswa
memahami pencerminan terhadap sumbu y = x melalui Gambar 4.8.

• Minta siswa memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh
pencerminan terhadap garis y = x pada Gambar 4.8, kemudian minta
siswa melengkapi Tabel 4.5.

• Tabel 4.5 telah terisi sebagai berikut!
Tabel 4.5: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Garis y = x

Titik Bayangan

A(–1, –5) A′(–5, –1)

B(3, –5) B′(–5, 3)

C(–2, 3) C′(3, –2)

D(0, 4) D′(4, 0)

E(2, 4) E′(4, 2)

88 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Ayo Menalar

• Pandu siswa memanfaatkan titik koordinat objek dan bayangannya pada
Tabel 4.5 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = x.

• Perintahkan siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan
matriks pencerminan terhadap garis y = x dengan cara yang sama pada
konsep-konsep pencerminan di atas. Guru dengan siswa bersama-sama
membangun konsep pencerminan terhadap garis y = x.

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan
bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:

A(x, y) Cy=x → A'(x', y') atau  xy'' =  0 1  x 
1 0 y



Ayo Mencoba

• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.9 dan Contoh 4.10 dengan
menggunakan konsep yang telah ditemukan. Minta siswa menggambar
pencerminan pada bidang koordinat kartesius.

• Ingatkan siswa konsep persamaan garis dan sketsanya.

• Untuk memperdalam pemahaman siswa tentang pencerminan terhadap
garis y = x, minta siswa mengerjakan Latihan 4.5 berdasarkan langkah-
langkah yang telah disediakan.

• Berikut alternatif penyelesaian Latihan 4.5 sesuai buku siswa.
Ayo Menalar
Latihan 4.5

Titik A(–1, –3) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) kemudian dilanjutkan
dengan pencerminan terhadap sumbu y dan dilanjutkan lagi dengan
pencerminan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik A tersebut.
Alternatif Penyelesaian

A(−1,−3) CO(0,0) → A'(x', y') Csumbuy → A''(x'', y'') Cy =x → A'''(x''', y''')

Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0, 0))

 xy'' =  −1 −01 − 13 =  13 
0 −

MATEMATIKA 89

Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)

 xy'' ''  =  −1 10  xy'' =  −1 0  13  =  −31
0 0 1

Langkah 3 (Proses pencerminan terhadap garis y = x)

 x' ' '' =  0 10  xy'' ''  =  0 10 −31 =  −31
y'' 1 1

Jadi, bayangan titik A adalah A′′(3,-1).
4.2.5 Pencerminan terhadap Garis y = –x

Ayo Mengamati

• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.9 dan memandu siswa
memahami pencerminan terhadap sumbu y = –x melalui Gambar 4.9.

• Arahkan siswa untuk memperhatikan koordinat objek dan bayangannya
oleh pencerminan terhadap garis y = –x, kemudian minta siswa
melengkapi Tabel 4.6.

• Tabel 4.6 telah terisi sebagai berikut.
Tabel 4.6: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Garis y = –x

Titik Bayangan

A(1, –4) A′(4, –1)

B(–2, –3) B′(3, 2)

C(–5, –3) C′(3, 5)

D(–1, 5) D′(–5, 1)
E(–3, 5) E′(–5, 3)

Ayo Menalar

• Pandu siswa memanfaatkan titik koordinat objek dan bayangannya pada
Tabel 4.6 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = –x.

• Minta siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan matriks
pencerminan terhadap garis y = –x sesuai dengan langkah-langkah
yang telah diberikan atau dengan cara yang sama pada pencerminan
sebelumnya.

• Demonstrasikan proses menemukan matriks pencerminan terhadap garis
y = –x.

90 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Ayo Menalar

Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Garis y = –x.

Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum, jika titik A(x, y) di­
cerminkan terhadap garis y = –x akan mempunyai koordinat bayangan
A′(–y,–x), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis

y = –x. Misalkan matriks transformasinya adalah C =  a b  sehingga:
c d
A(x, y) Cy = −x → A'(− y,−x)

 −by +y  axxc= =a  yxdbbdxy  =a acxx−=xxyx++xdybyy=−yy  a b  x  =  ax + by 
−dy +x c c c d y cx + dy

Ini berarti bahwa:

–y = ax + by ⇔ a = 0, dan b = –1

–x = cx + dy ⇔ c = –1, dan d = 0

Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap garis y = –x adalah

 0 −01
−1

• Guru dan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan ter­
hadap garis y = –x

Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = –x menghasilkan
bayangan A′(x′,y′), ditulis dengan,

A( x, y) Cy=−x → A' ( x' , y') atau  xy'' =  0 −01 x 
−1 y

]

Ayo Mencoba

• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.11 dan Contoh 4.12 dengan
menggunakan konsep yang telah ditemukan.

• Minta siswa menggambar pencerminan tersebut pada bidang koordinat
kartesius. Ingatkan siswa konsep persamaan garis dan sketsanya.

3. Kegiatan Penutup

• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep pada materi
yang telah dipelajari.

• Siswa dan guru bersama-sama melakukan refleksi dan merangkumkan
semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.

MATEMATIKA 91

• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh
guru.

• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan dirumah. Guru dapat
memberikan Uji Kompetensi 4.1 atau persoalan lainnya sesuai dengan
konsep yang dipelajari.

• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.

4.3 Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan

karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran
yang efisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
4. Siapkan RPP dan form penilaian.

No. Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan

• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi

1. Motivasi siswa mempelajari konsep rotasi (perkalian).
2. Ingatkan kembali siswa materi rotasi di tingkat SMP/MTs dan

konsep matriks.
3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep rotasi (perkalian) ini

dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan
konsep matriks.
4. Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.
2. Kegiatan Inti
Pengantar
• Guru memberikan contoh-contoh objek yang bergerak berputar di
lingkungan sekitar (seperti kipas, kincir angin, roda, dan lain-lain).
Siswa memberikan contoh-contoh lainnya.

92 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

• Motivasi siswa untuk mempelajari konsep transformasi ketiga yaitu rotasi
dengan pendekatan koordinat dan kaitannya dengan konsep matriks.

Masalah 4.4
Ayo Mengamati
• Minta siswa memahami Masalah 4.4 dan memandu siswa mengamati

dan menalar perputaran segitiga jika titik pusat pemutaran berada pada
bidang segitiga, berada di salah satu titik sudut segitiga, dan berada di
luar segitiga (lihat Gambar 4.10). Minta siswa memberi komentar dan
arahkan ke sesi tanya-jawab.
• Pandu siswa bahwa gerak rotasi objek dipengaruhi oleh titik pusat rotasi.
Minta siswa membandingkan kembali Gambar 4.10: A, B, dan C.
• Arahkan pengamatan siswa fokus pada bentuk, posisi, dan ukuran objek
sebelum dan sesudah rotasi.
• Guru dan siswa menemukan sifat rotasi berdasarkan pengamatan
perputaran objek di lingkungan sekitar dan pada bidang kartesius seperti
pada Gambar 4.10 dan Gambar 4.11.

Sifat 4.3:
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk
dan ukuran.

Ayo Menalar
• Demonstrasikan proses menemukan matriks rotasi pada pusat O(0, 0)
melalui Gambar 4.12. Ingatkan siswa konsep trigonometri serta kesamaan
matriks.
• Pandu siswa kembali melakukan percobaan untuk menemukan konsep
rotasi pada pusat P(a, b) dengan melakukan: (1) translasi titik dengan
T(–a, –b) sehingga pusat rotasi menjadi O(0, 0). Dengan demikian,
matriks rotasi dengan pusat O(0, 0) dapat digunakan, kemudian (2) hasil
rotasi pada langkah (1) ditranslasi kembali dengan T(a, b).
• Guru dan siswa bersama-sama menyimpulkan atau membangun konsep
rotasi yang diputar dengan sudut dan pusat P(p, q).

MATEMATIKA 93

Titik A(x, y) diputar dengan pusat P(p, q) dan sudut a menghasilkan
bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:

A(x, y) →R[P( p, q),a] A '(x ', y ')

 xy'' =  cosa − sina  x − p  +  p 
sin a cosa y − q q



Ayo Mencoba

• Uji pemahaman siswa kembali dengan mengajukan Contoh 4.13 dan
Contoh 4.14. Minta siswa kembali mendemonstrasikan proses dan
menjelaskannya di depan kelas.

• Guru memberikan persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari
untuk dikerjakan siswa secara berkelompok.

3. Kegiatan Penutup
• Minta siswa untuk mengomunikasikan konsep-konsep materi yang telah
diketahui setelah pembelajaran.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan refleksi dan merangkumkan
semua konsep dan sifat dari yang dipelajari.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan meng­
gunakan rubrik penilaian.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Guru dapat memberikan
Uji Kompetensi 4.2 atau persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari.
• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.

4.4 Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan

1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran
yang efisien dan efektif.

2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.

3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran

4. Siapkan RPP dan form penilaian.

94 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

No. Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan

• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi

1. Motivasi siswa mempelajari konsep dilatasi (perkalian).
2. Ingatkan kembali siswa materi dilatasi di tingkat SMP/MTs.
3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep dilatasi (perkalian) ini

dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan
konsep matriks.
4. Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.
2. Kegiatan Inti
Pengantar
• Pandu siswa memberikan contoh dilatasi atau perkalian yang terjadi
dalam kehidupan sehari-hari. Arahkan siswa memahami perkalian atau
dilatasi dengan pendekatan koordinat.
Masalah 4.5
Ayo Mencoba
• Dengan kelompok berdiskusi, siswa diajak mengamati, tanya-jawab, dan
mengomunikasikan pendapatnya akan Masalah 4.5.

• Minta siswa memahami Masalah 4.5 dan mengamati Gambar 4.13.
Arahkan siswa fokus mengamati pada jarak OA dengan OA2 atau OB
dengan OB2 atau OC dengan OC2. Arahkan siswa kembali mengamati
jarak OA dengan OA1 atau OB dengan OB1 atau OC dengan OC1.

Ayo Mengomunikasikan
• Berikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan tunjuk salah satu

kelompok untuk mengomunikasikan pendapat mereka “apa itu dilatasi?”
melalui pengamatan jarak pada Gambar 4.13.
• Minta siswa secara berkelompok membuat contoh lain mengenai dilatasi
titik, garis dan bidang secara gambar. Kemudian menyajikannya di depan
kelas.
Ayo Menanya
• Tanya siswa, yang manakah pusat dilatasi dan faktor skala dilatasi pada
Gambar 4.13?
• Arahkan kembali siswa konsentrasi pada ukuran objek dengan dilatasinya.
Minta siswa memperhatikan ukuran, ukuran dilatasinya dengan faktor
skala dilatasi.

MATEMATIKA 95

• Minta atau tunjuk seorang siswa untuk menyampaikan pendapatnya.
Ayo Menalar
• Arahkan bernalar dan memberikan komentar atau pendapatnya kembali

akan gambar dengan dilatasi k, di mana k > 0, k = 0 dan k < 0.
• Dengan kegiatan pengamatan pada contoh-contoh perkalian/dilatasi

di lingkungan sekitar dan pengamatan dilatasi objek pada bidang
koordinat maka arahkan siswa memahami Sifat 4.4.

Sifat 4.4:
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala
k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak
mengubah bentuk.
• Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah

terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran

dan letak.
• Jika 0< k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak

searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika –1< k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak

berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula.
• Jika k = –1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan
ukuran, tetapi letaknya berlawanan arah terhadap pusat
dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak
berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula.
Ayo Mengamati
• Arahkan kembali siswa mengamati Gambar 4.14 dengan konsentrasi
pada pusat dilatasi setiap objek (A, B, C, D dan E)?
• Minta siswa mengamati koordinat objek tersebut, koordinat hasil
dilatasi, koordinat pusat dilatasi serta jarak objek ke pusat dilatasi dan
jarak hasil dilatasi ke pusat dilatasi.
• Perintahkan siswa melengkapi Tabel 4.7 dengan melihat panduan pada
sel yang telah terisi. Pandu siswa melengkapi sel.

96 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

• Tabel 4.7 telah terisi sebagai berikut.
Ayo Mencoba

No. Pusat Obyek Hasil Pola

12 3 4 5

1 P(0, 0) A(2, 2) A′(6, 6)  6  = 3  22  −  00   +  0 
6 0

2 P(0, 0) B(–2, 2) B′(2, –2)  2  = −1  −22  −  00   +  0 
−2 0

3 P(9, 0) C(9, 2) C′(9, –4)  −94 = −292 − 90 + 90

4 P(–10, 1) D(–8, 2) D′(–2, 5)  −2  = 4   −8  −  −10   +  −10 
 5    2   1    1 
         

5 P(–8, –3) E(–7, –3) E(–3, –3)  − 33 = 5  − 7  −  − 83  +  − 83
− − 3 − −

Ayo Mengamati

• Arahkan dan pandu siswa melihat pola perhitungan pada Tabel 4.7. Lihat
kolom 5.

• Berdasarkan pengamatan dan bentuk pola yang ditemukan, guru dan
siswa menuliskan konsep dilatasi pada pusat P(p,q) dan skala k.

Titik A(x, y) didilatasi dengan pusat P(p, q) dan skala k menghasilkan
bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan,

A(x, y) →R[P( p, q), k] A '(x ', y ')

 xy'' = k  x − p  +  p 
y − q q



Ayo Menalar

• Uji pemahaman siswa kembali akan konsep dilatasi dengan mengajukan
Contoh 4.15 dan Contoh 4.16. Minta siswa mendemonstrasikan proses
dan menunjukkan gambarnya.

MATEMATIKA 97

3. Kegiatan Penutup
• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang
telah diketahui setelah pembelajaran.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan refleksi dan merangkumkan
semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh
guru.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.

4.5 Komposisi Transformasi

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan

karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran
yang efisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
4. Siapkan RPP dan form penilaian.

No. Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan

• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi

1. Motivasi siswa mempelajari konsep komposisi transformasi
meliputi kompisisi translasi, komposisi refleksi, komposisi rotasi,
dan komposisi dilatasi.

2. Ingatkan kembali siswa materi transformasi (translasi, refleksi,
rotasi dan dilatasi) pada sub-bab sebelumnya dan konsep fungsi
komposisi di kelas X.

3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep ini dikaji dengan
pendekatan koordinat dan hubungannya dengan konsep matriks.

4. Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.

98 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

2. Kegiatan Inti
Ayo Mengamati
• Guru mengingatkan kembali konsep-konsep transformasi (translasi,
refleksi, rotasi dan dilatasi) secara umum.
• Guru mendemonstrasikan proses penyelesaian pada Masalah 4.6
sehingga siswa memahami proses transformasi bertahap.
• Setelah siswa memahami proses bertahap, guru menerangkan
komposisi translasi dengan menunjukkan keterkaitannya dengan
komposisi fungsi secara umum.
• Arahkan siswa memahami Skema 4.1.
• Motivasi siswa untuk lebih memahami konsep komposisi translasi
secara umum.
• Guru menerangkan proses penyelesaian Contoh 4.17 dan menunjukkan
keterkaitan konsep komposisi translasi.
• Minta siswa menunjukkan Contoh 4.17 dengan gambar pada bidang
koordinat kartesius.
Ayo Mencoba dan Mengomunikasikan
• Guru memberikan contoh komposisi translasi lainnya untuk
dikerjakan siswa secara mandiri atau berkelompok. Hasil kerja siswa
dipresentasikan di depan kelas. Arahkan siswa untuk bertanya-jawab.

• Guru menjadi fasilitator, memantau kebenaran jawaban dan konsep
serta memberikan penilaian.

Masalah 4.7
Ayo Mengamati

• Minta siswa memahami Masalah 4.7 dan memandu siswa mengamati
dan menalar bentuk pencerminan yang diceritakan pada Masalah 4.7.
Minta siswa memberi komentar dan arahkan ke sesi tanya-jawab.

• Pandu siswa memahami konsep komposisi refleksi secara umum.
Informasikan bahwa konsep ini sama halnya dengan komposisi fungsi
pada umumnya atau konsep komposisi translasi.

• Arahkan siswa memahami perbedaan komposisi translasi dengan
komposisi refleksi. Minta siswa memberikan komentar tentang
perbedaan kedua komposisi transformasi.

• Arahkan siswa fokus pada proses refleksi bertahap sehingga terbentuk
komposisi refleksi.

• Guru dan siswa bersama-sama menemukan konsep komposisi refleksi.
Minta siswa memberikan pendapat tentang Skema 4.2.

MATEMATIKA 99

Ayo Menalar, Mencoba dan Mengomunikasikan
• Pandu siswa memahami konsep komposisi refleksi secara umum.
• Minta siswa memahami Contoh 4.17 kemudian guru memberikan per­

soalan lainnya untuk dikerjakan siswa secara mandiri atau berkelompok.
• Siswa mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas. Arahkan siswa

untuk bertanya-jawab. Guru menjadi fasilitator dan menjaga keadaan
kelas tetap terarah pada pembelajaran. Guru mengamati kebenaran
jawaban dan konsep. Guru melakukan penilaian.

Ayo Mengamati
• Berikan informasi kepada siswa kembali tentang translasi bertahap,

refleksi bertahap, dan keterkaitannya dengan komposisinya.

• Berikan beberapa persoalan yang berkaitan dengan rotasi bertahap dan
dilatasi bertahap sederhana dengan pusat rotasi atau pusat dilatasi yang
sama.

Ayo Mencoba dan mengomunikasikan
• Minta siswa mencoba mengerjakan persoalan rotasi bertahap dan

dilatasi bertahap serta mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas.
Guru memantau kebenaran jawaban.

Ayo Mengamati
• Guru mendemonstrasikan proses penyelesaian Contoh 4.18, dan Contoh

4.19.
• Guru memberikan contoh persoalan lainnya untuk dikerjakan siswa,
• Minta siswa kembali mendemonstrasikan proses dan menjelaskannya

proses penyelesaian Contoh 4.20 dan Contoh 4.21 di depan kelas.
• Guru memberikan persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari

untuk dikerjakan siswa secara berkelompok.
3. Kegiatan Penutup

• Minta siswa untuk mengomunikasikan konsep-konsep materi yang telah
diketahui setelah pembelajaran.

• Siswa dan guru bersama-sama melakukan refleksi dan merangkumkan
semua konsep yang dipelajari.

• Berikan penilaian terhadap proses, dan hasil karya siswa dengan meng­
gunakan rubrik penilaian.

• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Guru dapat memberikan

Uji Kompetensi 4.3 atau persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari.
• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.

100 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

  F.  Penilaian

Prosedur Penilaian:

No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian

1. Berani bertanya Pengamatan Kegiatan Inti
Kegiatan Inti
2. Berpendapat Pengamatan Kegiatan Inti
Kegiatan Inti
3. Mau mendengarkan orang lain Pengamatan Kegiatan penutup

4. Bekerja sama Pengamatan

5. Konsep Tes tertulis

1 Instrumen Penilaian Sikap

(Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)

Aspek

No. Nama Peserta Kerja Keaktifan Menghargai Tanggung Jumlah Nilai
Didik sama Pendapat Jawab
Teman

1.

2.

3.

4.

5.

Keterangan Skor:
1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tanda-tanda
awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.
2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya tanda-
tanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi belum konsisten.
3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan tanda
perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten.
4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan perilaku
yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten.

Skor Maksimal = 16
Nilai = Skor Perolehan × 100%

Skor Maksimal

MATEMATIKA 101

2. Instrumen Penilaian Pengetahuan
Contoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan

mempertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan
oleh siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru maka dapat disusun rubrik

penilaiannya. Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.

No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor

Penyelesaian dihubungkan dengan 5
konsep transformasi
3
Sudah menghubungkan penyelesaian
Pemahaman dengan konsep transformasi namun 1
1. terhadap konsep belum benar
transformasi Penyelesaian sama sekali tidak 0
5
dihubungkan dengan konsep 3
transformasi 1
0
Tidak ada respons jawaban 5
3
Jawab benar 2

2. Kebenaran Jawab hampir benar 1
0
jawaban akhir soal Jawaban Salah 5

Tidak ada respons jawaban 3

Proses perhitungan benar 2

Proses perhitungan sebagian besar benar

3. Proses Proses perhitungan sebagian kecil saja
perhitungan yang benar

Proses perhitungan sama sekali salah

Tidak ada respons jawaban

Sketsa objek dan bayangan oleh
transformasi benar

4. Membuat sketsa Sketsa objek dan bayangan oleh
transformasi benar tapi kurang lengkap

Sketsa objek dan bayangan oleh
transformasi tidak benar

102 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor

Tidak ada sketsa 0
20
Skor maksimal = 0
Skor minimal =

3. Instrumen Penilaian Pengetahuan
(Penilaian kinerja dalam menyelesaikan tugas presentasi)

No. Nama Komunikasi Sistematika Aspek Keberanian Antusias Jumlah Nilai
Peserta Penyampaian Skor
didik Penguasaan
Materi

1.

2.

3.

4.

5.

6.

SB = Sangat Baik B = Baik KB = Kurang Baik

Keterangan Skor:

Komunikasi:
1 = Tidak dapat berkomunikasi
2 = Komunikasi agak lancar, tetapi sulit dimengerti
3 = Komunikasi lancar tetapi kurang jelas dimengerti
4 = Komunikasi sangat lancar, benar, dan jelas

Wawasan:
1 = Tidak menunjukkan pengetahuan/materi
2 = Sedikit memiliki pengetahuan/materi
3 = Memiliki pengetahuan/materi tetapi kurang luas
4 = Memiliki pengetahuan/materi yang luas

Antusias:
1 = Tidak antusias
2 = Kurang antusias
3 = Antusias tetapi kurang kontrol
4 = Antusias dan terkontrol

MATEMATIKA 103

Sistematika Penyampaian:
1 = Tidak sistematis
2 = Sistematis
3 = Sistematis, uraian cukup
4 = Sistematis, uraian luas, dan jelas

Keberanian:
1 = Tidak ada keberanian
2 = Kurang berani
3 = Berani
4 = Sangat berani

Skor Maksimal = 20
Nilai = Skor Perolehan × 100%

Skor Maksimal

  G.   Pengayaan

Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio
tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan
proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen
ini dikembangkan terlebih dahulu dilakukan identifikasi kemampuan belajar
berdasarkan jenis serta tingkat kelebihan belajar peserta didik. Misalnya, belajar
lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih tinggi,
berpikir mandiri, superior dan berpikir abstrak, dan memiliki banyak minat.
Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok, belajar
mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor).
Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada
pengembangan kompetensi dasar wajib tertera pada Kurikulum Matematika
2013, termasuk pengembangan kompetensi dasar peminatan. Materi pembahasan
dituangkan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses,
check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang dibangun
melalui materi matematika yang dipelajari adalah kemampuan berpikir tingkat
tinggi (berpikir kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif terhadap perubahan,
penggunaan teknologi, dan membangun kerja sama antar siswa dan orang lain
yang lebih memahami masalah yang diajukan dalam asesmen.

104 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

  H.   Remedial
Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami kesulitan
dalam belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan pembelajaran
bagi peserta didik yang belum mencapai kompetensi. Remedial bukan mengulang
tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan
pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya
tertentu.
Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang
mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa
alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.
a. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian pembelajaran ulang dengan
model dan strategi pembelajaran yang lebih inovatif berbasis pada
berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada
peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.
b. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi
kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas
terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang diberikan
berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang
berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi
dasar tertentu.
c. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus,
misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.

MATEMATIKA 105

  I.  Rangkuman

Setelah kita membahas materi transformasi, kita membuat kesimpulan sebagai
hasil pengamatan pada berbagai konsep dan aturan transformasi sebagai berikut:
1. Transformasi yang dikaji terdiri dari translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan),

rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian).
2. Matriks transformasi yang diperoleh adalah:

No. Transformasi Matrik Transformasi
1. Translasi (a, b)
 a 
b

2. Refleksi Titik O(0, 0)  −1 −01
3. Refleksi Sumbu x 0

 1 −01
0

4. Refleksi Sumbu y  −1 0 
5. Refleksi garis y = x 0 1
6. Refleksi garis y = –x
 0 1 
1 0

 0 −01
−1

7. Rotasi [α, P(a, b)]  cos a − sin a   x − a   a 
sin a cos a  y − b   b 
  +  

106 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

No. Transformasi Matrik Transformasi
8. Dilatasi [k, P(a, b)]
 xy'' k x − a   a 
= y − b + b

3. Transformasi mempunai sifat-sifat sebagai berikut:
Translasi
Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Refleksi
Bangun yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidak mengalami

perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar)
adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.
Rotasi
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Dilatasi
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah
ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.
• Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat

dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
• Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap

pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah

terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k = –1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan

ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula.
• Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

MATEMATIKA 107

Selanjutnya, kita akan membahas tentang materi barisan dan deret. Materi
prasyarat yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, dan operasi hitung
bilangan. Hal ini sangat berguna dalam penentuan fungsi dari barisan tersebut. Semua
apa yang kamu sudah pelajari sangat berguna untuk melanjutkan bahasan berikutnya
dan seluruh konsep dan aturan-aturan matematika dibangun dari situasi nyata dan
diterapkan dalam pemecahan masalah kehidupan.

108 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

BAB

5

Barisan

A. Kompetensi Inti

Sikap 1.  Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
Pengetahuan 2.  Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,
Keterampilan
peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif
dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas
berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan ling-
kungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cermi-
nan bangsa dalam pergaulan dunia.

3.  Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptu-
al, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan,
teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan, dan peradab-an terkait penyebab fenomena
dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang
kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecah-
kan masalah.

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak
terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara
mandiri, dan mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

MATEMATIKA 109

B. Kompetensi Dasar dan Indikator

Indikator Pencapaian Kompetensi pada kegiatan pembelajaran dapat
dikembangkan oleh guru yang disesuaikan dari kondisi peserta didik dan
lingkungan di tempat guru mengajar. Berikut ini dipaparkan contoh Indikator
Pencapaian Kompetensi yang dapat dijabarkan dari KD pengetahuan 3.8 dan
KD Keterampilan 4.8.

No. Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

1. 3.6 Menggeneralisasi pola 3.6.1 Mendefiniskan barisan
bilangan dan jumlah pada 3.6.2 Menyatakan pola
barisan Aritmetika dan
Geometri.

2. 4.6 Menggunakan pola barisan 4.6.1 Menyajikan model matematika

aritmetika atau geometri dari suatu masalah nyata yang

untuk menyajikan dan berkaitan dengan barisan.

menyelesaikan masalah 4.6.2 Masalah kontektual berkaitan

kontekstual (termasuk dengan pertumbuhan, peluruhan,

pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas.

bunga majemuk, dan

anuitas)

  C. Tujuan Pembelajaran

Pembelajaran materi barisan melalui pengamatan, tanya jawab, penugasan
individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan penemuan (dicovery) diharap­
kan siswa dapat:
1. Melatih sikap sosial berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang

lain, bekerja sama dalam diskusi di kelompok sehingga terbiasa berani
bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain, bekerja sama dalam
aktivitas sehari-hari
2. Menunjukkan ingin tahu selama mengikuti proses pembelajaran
3. Bertanggung jawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugasnya
4. Menjelaskan pengertian barisan

110 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

5. Menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah dalam sehari-hari
yang berkaitan dengan barisan

6. Menunjukkan pola barisan
7. Menyajikan model matematika berdasarkan masalah nyata berkaitan

dengan barisan

MATEMATIKA 111

D. Diagram Alir

Fungsi Materi
prasyarat

Masalah Barisan
Autentik Bilangan

Syarat

Suku U Barisan U Suku
awal n Barisan Geometri n awal
s Aritmatika s
Beda u Deret u Rasio
r Geometri r
Suku Suku
ke-n Deret ke-n
Aritmetika
Jumlah n suku
Jumlah n suku pertama
pertama

112 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

  E. Proses Pembelajaran

5.1, 5.2 Membangun Konsep Barisan dan Barisan Aritmatika

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Siswa diharapkan sudah membawa perlengkapan alat-alat tulis untuk

pembelajaran.
2. Bentuklah kelompok kecil siswa yang memungkinkan belajar secara

efektif dan efisien.
3. Sediakan tabel-tabel yang diperlukan bagi siswa untuk mengisikan

hasil kerjanya pada tiap kegiatan yang dilaksanakan.

No. Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan

• Pembelajaran dimulai dengan salam dan doa
• Apersepsi

1. Para siswa diperkenalkan dengan informasi berbagai bentuk
baik susunan benda dan susunan angka.

2. Informasikan kepada siswa bahwa informasi seperti, susunan
barang, susunan angka dapat dibentuk menjadi beberapa
susunan angka yang sederhana.

3. Berilah kesempatan kepada siswa untuk memikirkan bentuk
susunan angka yang dibentuk.

4. Kemudian ajaklah siswa untuk memahami salah satu bentuk
yang dapat dibuat seperti yang telah diuraikan pada buku
siswa.

5. Berdasarkan masalah dan kegiatan yang diberikan pada buku
siswa, instruksikan siswa agar mampu menemukan konsep
barisan.

6. Berilah penilaian kepada siswa yang sedang melakukan
aktivitas membuat susunan barisan.

MATEMATIKA 113

2. Kegiatan Inti
Pengantar Pembelajaran
• Tumbuhkan motivasi internal dalam diri siswa melalui menunjuk­
kan manfaat mempelajari barisan dalam kehidupan siswa
• Ajaklah siswa untuk memperhatikan dan memahami masalah
pada buku siswa
• Himbaulah siswa untuk melakukan kegiatan yang ada pada buku
siswa
• Himbaulah siswa untuk memerhatikan masalah yang ada juga
disekitar sesuai dengan konsep barisan yang akan ditemukan
Mengamati
• Arahkan siswa menemukan konsep barisan dari berbagai situasi
nyata yang dekat dengan kehidupan siswa.
• Guru memberikan kesempatan pada siswa untuk mengamati
masalah serta contoh yang ada pada buku antara lain:
Masalah 5.1
• Beberapa kelereng dikelompokkan dan disusun sehingga setiap
kelompok tersusun dalam bentuk persegi sebagai berikut:

Gambar 5.1: SusunanGKaemlerbeangr 5.1: Susunan Kelereng

Kelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan:
1, 4, 9, 16, 25

K1 K2 K3 K4 K5
14 9 16 25

Gambar 5.1: Jumlah Kelereng pada Setiap Kelompok

114 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Permasalahan
• Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan

tersebut? Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut? Tentukan
banyak kelereng pada kelompok ke-15?.
Contoh5.1
Perhatikan barisan huruf berikut:
ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD . . . .
Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf
pada urutan 25 × 33!
Contoh 5.2
Sebuah barisan bilangan asli dituliskan sebagai berikut: 12345678910
11121314151617181920212223242526 . . . sehingga suku ke-10 = 1, suku
ke-11 = 0, suku ke-12 = 1 dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan
angka yang menempati suku ke-2004?
Contoh 5.4
Suatu barisan dengan pola sn = 2n3– 3n2. Tentukan pola barisan tersebut
kemudian tentukanlah suku ke-10.
Masalah 5.2

Perhatikan gambar tumpukan jeruk di
samping ini! Bagaimana cara menentu­
kan atau menduga banyak jeruk dalam
satu tumpukan?

Gambar 5.3: Tumpukan Buah Jeruk

• Guru memberikan kesempatan siswa untuk mengikuti instruksi
pada kegiatan.

• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang
hubungan antara data terhadap konsep barisan yang diperoleh
untuk membangun persepsi awal.

Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang hubungan susunan benda

ataupun angka terhadap konsep barisan dan barisan aritmatika
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumus­

kan konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun
merangsang siswa untuk bertanya.

MATEMATIKA 115

Menalar
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model

barisan dan barisan aritmetika dari setiap permasalahan yang ada
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat

pada setiap buku siswa sehingga diperoleh keterkaitan masalah
yang membentuk asumsi awal terhadap konsep barisan dan barisan
aritmetika.
Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya ke teman
sebangkunya, dan pastikan temannya yang menerima hasil karya
tersebut memahami apa yang harus dilakukan.
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyatakan
sendiri konsep barisan dengan bahasa dan penyampaiannya
sendiri.
• Guru memastikan siswa dapat menjelaskan pola barisan dan
barisan aritmetika secara iteratif.
• Guru memastikan siswa dapat memahami pola barisan dan barisan
aritmatika secara rekursif.

3. Kegiatan Penutup
• Periksalah apakah semua kelompok sudah mengumpulkan tugas-
tugasnya dan apakah identitas kelompok sudah jelas
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian
• Guru sebaiknya hanya mengkonfirmasi akan kebenaran konsep
barisan yang diperoleh siswa.

Penilaian
1. Prosedur Penilaian

No. Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian

1. Berani bertanya Pengamatan Kegiatan inti

2. Berpendapat Pengamatan Kegiatan inti

3. Mau mendengar orang lain Pengamatan Kegiatan inti

4. Bekerja sama Pengamatan Kegiatan inti

5. Pemahaman konsep Tes Tertulis Kegiatan penutup

116 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

2. Instrumen Pengamatan Sikap
Rasa ingin tahu

1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba
atau bertanya atau acuh tak acuh (tidak mau tau) dalam proses
pembelajaran

2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mencoba atau bertanya
dalam proses pembelajaran tetapi masih belum konsisten

3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha untuk mencoba atau
bertanya dalam proses pembelajaran secara kontinu dan konsisten

Indikator perkembangan sikap tanggung jawab (dalam kelompok)
1. Kurang baik jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam

melaksanakan tugas kelompok.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam

melaksanakan tugas kelompok tetapi belum konsisten.
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam

menyelesaikan tugas kelompok secara kontinu dan konsisten.

Bubuhkan tanda  pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.

No. Nama Rasa Ingin Tahu Tanggung Jawab
SB B KB SB B KB
1.
2.
3.
...
...
...
29.
30.

SB = Sangat Baik
B = Baik
KB = Kurang Baik

MATEMATIKA 117

3. Instrumen penilaian 1:

Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan

dilarang menyontek.
2. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:

Soal:

1. Bila a, b, c merupakan suku berurutan yang membentuk barisan

aritmetika, buktikan bahwa ketiga suku berurutan berikut ini juga

membentuk barisan aritmetika 1 , 1 , 1
bc ca ab
2. Tentukan banyak bilangan asli yang kurang dari 999 yang tidak habis

dibagi 3 atau 5 adalah . . . .

3. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . .

Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2004? (bilangan

ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).

4. Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD . . . berulang

sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 2634?

5. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . .

Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2013? (bilangan ke-

12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).

Pedoman Penilaian

No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor
Soal Maksimal

1. Keterampilan Dijawab benar 20 20
menghitung Dijawab salah 5

Tidak ada jawaban 0

2. Pemahaman konsep Dijawab benar 20 20

Dijawab salah 5

Tidak ada jawaban 0

3. Keterampilan dan Dijawab benar 20 20
ketelitian menghitung Dijawab salah 10

0

118 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor
Soal Keterampilan dan Maksimal
ketelitian menghitung Dijawab benar 20
4. Dijawab salah 10 20
Pemahaman konsep Tidak ada jawaban 0
5. Dijawab benar 20 20
Dijawab salah 10
0 100
Skor maksimal = 100 0
Skor minimal = 0

5.3 Menemukan Konsep Barisan Geometri

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep dan pola barisan.
2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar barisan

geometri.
3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan barisan

geometri.

No. Deskripsi Kegiatan

1. Kegiatan Pendahuluan
• Apersepsi
a. Memberi motivasi pentingnya materi ini.
b. Memberi informasi tentang kompetensi yang akan dicapai.

2. Kegiatan Inti
Pengantar
Sebelum melakukan kegiatan inti sebaiknya guru:
1. Mengingatkan kembali tentang pengertian barisan dan pola
barisan.
2. Ajak siswa untuk mengamati dan mendiskusikan beberapa contoh
dan masalah yang diberikan.

MATEMATIKA 119

Mengamati
• Arahkan siswa siswa mengamati setiap contoh-contoh yang

berkaitan dengan barisan geometri
Contoh 5.6
Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, . . .

2 4 8 16 32

X2 X2 X2 X2

Nilai perbandingan uu=21 uu=32 .=. . uunn−=1 2 . Jika nilai perbandingan
dua suku berurutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka
susunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan 2, 2 × 2, …
Perhatikan gambar berikut ini!

U1 U1 U1 U1 U1 U1

2

2 2 × 2 2 × 2 × 2 2 × 2 × 2 × 2 2× 2 × 2 × 2 × 2 ...

a a × r a × r × r a × r × r × r a × r × r × r × r ...

ar1 – 1 ar2 – 2 ar3 – 2 ar4 – 2 ar5 – 2 arn – 1

U1 = a U2 = ar U3 = ar2 U4 = ar3 U5 = ar4 Un = arn – 1

dari pola di atas dapat disimpulkan bahwa un = arn – 1
• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendisikusikan penyelesai­­

an sederhana dari model barisan geometri tersebut.

120 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang solusi alternatif yang

dapat ditemukan
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam me­

rumuskan konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun
merangsang siswa untuk bertanya.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada setiap buku siswa sehingga diperoleh penyelesaian barisan
geometri
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model
barisan aritmatika dari setiap permasalahan yang ada
Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya pada teman dan
pastikan semua siswa memahami konsep dan penyelesaian barisan
geometri.
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyatakan
sendiri konsep barisan geometri dengan bahasa dan penyampaian­
nya sendiri.
• Guru memastikan siswa dapat memahami pola barisan geometri
secara iteratif.
• Guru memastikan siswa dapat memahami pola barisan geometri
secara rekursif.
• Guru memastikan siswa menemukan solusi alternatif dari barisan
geometri.
3. Kegiatan Penutup
• Mintalah siswa untuk melakukan refleksi dan menuliskan hal
penting dari yang dipelajarinya
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian
• Jika dipandang perlu, berilah siswa latihan untuk dikerjakan di
rumah

MATEMATIKA 121

Penilaian

1. Prosedur Penilaian

No. Aspek yang dinilai Teknik Waktu Penilaian
Penilaian

1. Berani bertanya Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Amati
dan Bertanya

2. Berpendapat Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Mencoba
dan Berbagi

3. Mau mendengar Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Berbagi
orang lain

4. Bekerja sama Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Menggali
Informasi dan Bernalar

5. Pemahaman konsep Tes Tertulis Kegiatan Penutup

2. Instrumen Pengamatan Sikap:

Rasa ingin tahu
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba

atau bertanya atau acuh tak acuh (tidak mau tahu) dalam proses
pembelajaran
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mencoba atau bertanya
dalam proses pembelajaran tetapi masih belum konsisten
3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha untuk mencoba atau
bertanya dalam proses pembelajaran secara kontinu dan konsisten

Indikator perkembangan sikap tanggung jawab (dalam kelompok)
1. Kurang baik jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam

melaksanakan tugas kelompok.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam

melaksanakan tugas kelompok tetapi belum konsisten.
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam

menyelesaikan tugas kelompok secara kontinu dan konsisten.

122 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.

No. Nama Rasa Ingin Tahu Tanggung Jawab
SB B KB SB B KB

1.

2.

3.

...

...

...

29.

30.

SB = Sangat Baik
B = Baik
KB = Kurang Baik

3. InstrumenPenilaian:

Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan

dilarang menyontek.
2. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:

Soal:

1. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan di

bawah ini!

a) 1, 4, 16, 24, . . .

b) 5, 10, 20, 40, …

c) 9, 27, 81, 243, …

d) 1 , 1 , 1, 5, …
25 5
e) 81, 27, 9, 3, …

2. Tentukan rasio dan suku pertama dari barisan geometri di bawah ini!
a) Suku ke-4 = 8 dan suku ke-6 = 729
b) Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162
c) U3 = 10 dan U6 = 1,25

MATEMATIKA 123

3. Selesaikan barisan geometri di bawah ini!

a) Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 = 243, tentukan suku ke-8

b) U2 = 10 dan U6 = 10, tentukan U9
c) U2 = 2 2 dan U5 = 8, tentukan U10

4. Tentukan hasil dari jumlah bilangan di bawah ini !

a) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … (sampai 10 suku)

b) 54 + 18 + 6 + 2 + … (sampai 9 suku)

c) 5 – 15 + 45 – 135 + … (sampai 8 suku)

d) 1 + 1 + 3 + 2 + 9 + 4 + 27 + 8 + … (sampai 19 suku)

e) 8+7+9+3+...+ 1 + 1 =...
27 81

5. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga

ditambah 3 dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri.

Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi

5 kali suku pertama. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut!

Pedoman Penilaian

No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor
Soal Maksimal
Dijawab benar
1. Keterampilan Dijawab salah 20 20
Tidak ada jawaban
menghitung Dijawab benar 5
Dijawab salah
Tidak ada jawaban 0
Dijawab benar
2. Keterampilan Dijawab salah 20 20
menghitung Tidak ada jawaban
5

0

3. Keterampilan 20 20
menghitung
5

0

124 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor
Soal Maksimal

4. Keterampilan Dijawab benar 20 20

menghitung Dijawab salah 10

Tidak ada jawaban 0

5. Keterampilan Dijawab benar 20 20
menguraikan
Dijawab salah 10

Tidak ada jawaban 0

Skor maksimal = 100 100

Skor minimal = 0 0

5.4 Aplikasi Barisan

Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep dan pola barisan.
2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar barisan

geometri.
3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan barisan

geometri.

No. Deskripsi Kegiatan

1. Kegiatan Pendahuluan
• Apersepsi
a. Memberi motivasi pentingnya materi ini.
b. Memberi informasi tentang kompetensi yang akan dicapai.

2. Kegiatan Inti
Pengantar
Sebelum melakukan kegiatan inti sebaiknya guru:
1. Mengingatkan kembali tentang pengertian barisan, barisan
aritmetika dan geometri.
2. Ajak siswa untuk mengamati dan mendiskusikan beberapa contoh
dan masalah yang diberikan.

MATEMATIKA 125

Mengamati
• Arahkan siswa siswa mengamati setiap masalah dan contoh yang

berkaitan dengan barisan
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model

barisan dari setiap permasalahan yang berkaitan dengan barisan
antara lain pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan
anuitas.
Masalah 5.6
• Seorang peneliti mengamati perkembangan koloni bakteri yang
terbentuk setiap jam. Apabila jumlah koloni bakteri mula-mula
100 dan setiap bakteri membelah menjadi dua setiap jam. Peneliti
ingin mengetahui jumlah koloni bakteri yang terbentuk dalam
waktu 50 jam dan buatlah grafik dari model persamaan yang
ditemukan!
Contoh 5.9
• Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada
tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika
tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya?
Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015?
Masalah 5.7

Suatu neutron dapat pecah
mendadak menjadi suatu proton
dan elektron dan ini terjadi
sedemikian sehingga jika kita
memiliki 1.000.000 neutron,
kira-kira 5 % dari padanya akan
berubah pada akhir satu menit.
Berapa neutron yang masih ada
setelah n menit dan 10 menit?

Gambar 5.12: Peluruhan Atom

126 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Masalah 5.8
Ovano menerima uang warisan sebesar Rp. 70.000.000,- dari orang
tuanya dan berniat untuk menginvestasikan dalam bentuk tabungan
di bank selama 5 tahun. Dia menjajaki dua bank yang memiliki sistim
pembungaan yang berbeda. Bank BCL menggunakan bunga tunggal
sebesar 10 % per tahun dan Bank PHP menggunakan majemuk sebesar
9% per tahun. Dari hasil perhitungan pihak bank ia memperoleh
ilustrasi investasi sebagai berikut:

Dari ilustrasi investasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa walaupun
Bank PHP menawarkan bunga majemuk yang lebih kecil daripada
bunga tunggal Bank BCL namun hasil investasi yang dihasilkan
adalah lebih besar.
• Berilahkesempatankepada siswa untukmendiskusikanpenyelesai­

an sederhana dari model barisan tersebut
Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang solusi alternatif yang

dapat ditemukan.
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumus­

kan konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun
merangsang siswa untuk bertanya.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada setiap buku siswa sehingga diperoleh penyelesaian barisan
yang berkaitan dengan pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk,
dan anuitas.

MATEMATIKA 127

Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya pada teman dan

pastikan semua siswa memahami prosedur penyelesaian barisan
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyelesaikan

masalah barisan yang berkaitan dengan pertumbuhan, peluruhan,
bunga majemuk, dan anuitas.
• Guru memastikan siswa menemukan solusi-solusi alternatif dari
aplikasi barisan.

3. Kegiatan Penutup
• Mintalah siswa untuk melakukan refleksi dan menuliskan hal
penting dari yang dipelajarinya
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian
• Jika dipandang perlu, berilah siswa Uji Kompetensi 5.3 untuk
dikerjakan di rumah
• Doa dan salam

Penilaian

1. Prosedur Penilaian Teknik Waktu Penilaian
No. Aspek yang dinilai Penilaian
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Amati
1. Berani bertanya dan Bertanya
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Mencoba
2. Berpendapat dan Berbagi
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Berbagi
3. Mau mendengar
orang lain Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Menggali
Informasi dan Bernalar
4. Bekerja sama Tes Tertulis Kegiatan Penutup

5. Pemahaman konsep

128 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK