เซตเบื้องต้น

เซตเบื้อ บื้ งต้น ต้

ความหมาย ในรายวิชาคณิตศาสตร์ ใช้คำ ว่า "เซต" ในการกล่าวถึงกลุ่มสิ่ง ต่าง ๆ และเมื่อกล่สวถึงกลุ่มใด แล้วสามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่ง ใดอยู่ในกลุ่มสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เรีย รี นสิ่งที่อยู่ในเซตว่า "สมาชิก" ” หรือ รื เขียนแทนเป็น∈ และไม่เป็นสมาชิกเขียนแทนด้วย ∉ และ เซตที่ไม่มีสามารถเรีย รี กว่า “เซตว่าง” สัญลักษณ์ ∅ การเขียนเซต แบ่งออก 2 แบบ คือ - การเขียนแบบแจกแจง - การเขียนแบบบอกเงื่อนไข A = {1, 3, 5, 7} B = {X | X เป็นจำ นวนจริง ริ บวกซึ่ง X ≤ 0 }

เซตจำ กัด (FINITE SET) คือ เซตที่สามารถระบุจำ นวนสมาชิกที่เป็น จำ นวนนับ หรือ รื ศูนย์ได้ ตัวอย่างที่ 1 A = {1, 3, 5, 7} จะเห็นว่า เซต A มีสมาชิก 4 ตัว เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า N(A) = 4 ดังนั้น เซต A ถือเป็นเซตจำ กัด เพราะสามารถระบุจำ นวนสมาชิกได้ว่ามี ทั้งหมด 4 ตัว เซตจำ กัดและเซตอนันต์

เซตจำ กัดและเซตอนันต์ ตัวอย่างที่ 2 B = {X | X เป็นจำ นวนจริง ริ บวกซึ่ง X ≤ 0 } จะเห็นว่า เซต B เป็นเซตว่าง เนื่องจากไม่มีจำ นวนจริง ริ บวกใด ๆ ที่มีค่าน้อยกว่าหรือ รื เท่ากับ 0 และ 0 เองก็ไม่ถือเป็นจำ นวนจริง ริ บวก ซึ่งสามารถเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ว่า B = { } หรือ รื ∅ จะได้ ว่า เซต B มีสมาชิก 0 ตัว เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า N(B) = 0 ดังนั้น เซต B จึงถือเป็นเซตจำ กัด เพราะสามารถระบุสมาชิกได้ว่ามี ทั้งหมด 0 ตัว

เซตจำ กัดและเซตอนันต์ เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกได้ หรือ รื เป็น เซตที่มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน มาดูตัวอย่างของเซตอนันต์กัน ตัวอย่างที่ 3 C = {C | C เป็นจำ นวนจริง ริ ที่น้อยกว่า 999} จะเห็นว่าเซต C มีสมาชิกเป็นจำ นวนจริง ริ มากมายนับไม่ถ้วน เพราะรวมทั้งเศษส่วน ทศนิยม และตัวเลขอื่น ๆ ที่เป็นจำ นวนจริง ริ และมีค่าน้อยกว่า 999 ดังนั้น เราจึงไม่สามารถนับจำ นวนสมาชิก หรือ รื เขียนแจกแจงสมาชิกให้กับเซต C ได้ จะได้ว่าเซต C เป็นเซตอนันต์

เซตว่าง เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือ รื มีจำ นวนสมาชิกในเซตเป็น ศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ รื Ø ตัวอย่างเช่น A = {X | X เป็นจำ นวนเต็ม และ 1 < X < 2} ∴ A = Ø B = { X | X เป็นจำ นวนเต็มบวก และ X + 1 = 0 } ∴ B = Ø เนื่องจากเราสามารถบอกจำ นวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่าง เป็นเซตจำ กัด

เอกภพสัมพัทธ์ เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำ หนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิก ของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของ เซตที่กำ หนดขึ้นนี้ โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ เช่น กำ หนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8} A = {1,3,5,7} B = {2,4,8} หรือ รื กำ หนดให้ U = {X Ε I+ | 1<X<20} A = {X Ε U | X=N+3 เมื่อ N เป็นจำ นสวนเต็มคี่บวก} B = {X Ε U | X=N+3 เมื่อ N เป็นจำ นสวนเต็มคู่บวก} นั่นคือทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

การดำ เนินการของเซต อินเตอร์เ ร์ซกชัน (INTERSECTION) มีนิยามคือ เซต A อินเตอร์เ ร์ซกชัน เซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3} B = {3,4,5} ∴ A ∩ B = {3} เราสามารถเขียนการอินเตอร์เ ร์ซกชันลงในแผนภาพได้ดังนี้

การดำ เนินการของเซต ยูเนียน (UNION) มีนิยามว่า เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่ง ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ รื เซต B หรือ รื ทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3} B= {3,4,5} ∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5} เราสามารถเขียนการยูเนี่ยนลงในแผนภาพได้ดังนี้

การดำ เนินการของเซต คอมพลีเมนต์ (COMPLEMENTS) มีนิยามคือ ถ้าเซต A ใดๆ ใน เอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบ ด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถ เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’ ตัวอย่างเช่น U = {1,2,3,4,5} A ={1,2,3} ∴ A’ = {4,5} เราสามารถเขียนการคอมพลีเมนต์ของเซตลงในแผนภาพได้ดังนี้

สับเซตและเพาเวอร์เซต สับเซต (SUBSET) ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรีย รี กว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรีย รี กว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B

สับเซตและเพาเวอร์เซต สมบัติของสับเซต 1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง) 2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์) 3) Ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต) 4) ถ้า A ⊂ Ø แล้ว A = Ø 5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด) 6) A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A 7) ถ้า A มีจำ นวนสมาชิก N ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2N สับเซต

สับเซตและเพาเวอร์เซต สับเซตแท้ นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A⊂B และ A ≠ B ตัวอย่าง กำ หนดให้ A = { A , B , C } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ Ø, {A} , {B} ,{C} , {A,B} , {A ,C} , {B,C} มีจำ นวนสมาชิกทั้งสิ้น 7 สับเซต หมายเหตุ ถ้า A มีจำ นวนสมาชิก N ตัว สับเซตแท้ของเซตA จะมีทั้ง สิ้น 2N –1 สับเซต

สับเซตและเพาเวอร์เซต เพาเวอร์เซต ร์ (POWER SET) คำ ว่า เพาเวอร์เซต ร์ เป็นคำ ศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรีย รี กเซตเซตหนึ่งที่ เกี่ยวข้องกับเรื่องสับเซต เพาเวอร์เซต ร์ ของ A เขียนแทนด้วย P(A) P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็นสมาชิก

สับเซตและเพาเวอร์เซต สมบัติของเพาเวอร์เซต ร์ ให้ A , B เป็นเซตใดๆ 1) Ø ⊂ P(A) 2) A ⊂ P(A) 3) P(A) ≠ Ø 4) P(A) ⊂ P(B) ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B 5) ถ้า A มีสมาชิก N ตัว P(A) จะมีสมาชิก 2N ตัว

แผนภาพเวนน์ การเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือ รื รูปปิดใดๆ ส่วนเซต A,B,C,D,… ซึ่งเป็นเซต ย่อยของ Uอาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือ รื วงรีห รี รือ รื รูปปิดใดๆโดยให้ ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แทนเอกภพสัมพัทธ์ การพิจารณาเกี่ยวกับเซตจะง่ายขึ้น ถ้าเราใช้แผนภาพของเวนน์- ออยเลอร์ เข้ามาช่วย หลักการเขียนแผนภาพมีดังนี้ 1. ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือ รื สี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ 2. ใช้วงกลมหรือ รื วงรีห รี รือ รื รูปปิดใด ๆ แทนเซตต่าง ๆ ที่เป็น สมาชิกของ และเขียนภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า

แผนภาพเวนน์