เรขาคณิตวิเคราะห์ชุด 1

1Chapter

0 5 เรขาคณติ วิเคราะห์

1.

ระยะทางระหว่างจดุ สองจดุ ( จดุ – จุด ) Distance between Two Points

Q(x2,y2) d = PQ = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

P(x1,y1)

1. จงหาระยะทางระหว่างจุดทีก่ าหนดให้ 2) (−2, 4) กบั (5,7)
1) (5, 4) กับ (2,0) วิธที า d = (5 + 2)2 + (7 − 4)2
วธิ ที า d = (5 − 2)2 + (4 − 0)2
= 49 + 9
= 9 +16 = 58
=5
4) (−4,8) กบั (−4, 2)
3) (−4,6) กบั (6,7) วธิ ที า d = (−4 + 4)2 + (8 − 2)2
วิธที า d = (6 + 4)2 + (7 − 6)2
= 0 + 36
= 100 +1 =6
= 101

2. กาหนดสามเหลยี่ ม ABC ซง่ึ มจี ดุ มมุ อยู่ท่ี A(1,2), B(3,4) และ C(0,7) จงหาความยาวรอบรปู
สามเหลีย่ มรปู นี้
วธิ ีทา AB = (1− 3)2 + (2 − 4)2 = 2 2 หน่วย

BC = (3 − 0)2 + (4 − 7)2 = 3 2 หนว่ ย

AC = (1− 0)2 + (2 − 7)2 = 26 หนว่ ย
ดังนัน้ ความยาวรอบรปู สามเหล่ยี ม = AB + BC + AC = 2 2 +3 2 + 26 = 5 2 + 26 หน่วย

3. จงหาระยะทางระหว่างจุด (−3, −4) กบั แกน Y (0, −4)
วิธที า สมมติให้ จดุ บนแกน Y คอื

d = (−3 − 0)2 + (−4 + 4)2

=9
=3

2

4. กาหนดให้ C(1,3) เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลมหนงึ่ A(−2,−1) เปน็ จดุ ๆหนงึ่ บนวงกลมน้นั จงหาความ
ยาวของรัศมวี งกลมวงน้ี
วธิ ีทา วงกลมรศั มยี าว = (1+ 2)2 + (3 +1)2
= 9 +16 = 5 หน่วย
วงกลมน้ีมีรศั มยี าว = 5 หน่วย

5. วงกลมวงหนงึ่ มีจดุ ศูนย์กลางอยทู่ ี่จุด (2,3) และวงกลมนี้ผ่านจุด (5,7) จงหาความยาวของเส้นผา่ น
ศูนย์กลางของวงกลมนี้

วิธที า วงกลมรัศมียาว = (2 − 5)2 + (3− 7)2 = 5 หนว่ ย
วงกลมนมี้ ีเสน้ ผ่านศูนย์กลางยาว =10 หนว่ ย

6. วงกลมวงหนึ่งมจี ุดศูนย์กลางอย่ที่ท่ีจุด (5,−4) และวงกลมน้สี ัมผสั แกน X จงหาจุดสัมผสั และความยาว
ของรัศมขี องวงกลมนี้
วิธที า วงกลมน้สี ัมผสั แกน X ทจี่ ดุ (5,0)
และมรี ศั มยี าว = 4 หนว่ ย

7. กาหนดให้ A(−1,−2),B(5, −2) และ C(2, 2) เปน็ จดุ ยอดมุมของรปู สามเหลย่ี ม ABC จงแสดงวา่ รปู
สามเหล่ยี ม ABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมหนา้ จวั่

วธิ ที า AB = (−1− 5)2 + (−2 + 2)2 = 6 หน่วย

BC = (5 − 2)2 + (−2 − 2)2 = 5 หนว่ ย

AC = (2 +1)2 + (2 + 2)2 =5 หนว่ ย

จะพบวา่ BC = AC ดังน้นั ABC เป็นสามเหล่ยี มหน้าจวั่

8. รูปสามเหลี่ยมทมี่ จี ุดมุม A(2, −2), B(−3, −1) และ C(1,6) เปน็ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จ่ัว หรือรปู
สามเหลีย่ มดา้ นเทา่

วธิ ที า AB = (2 + 3)2 + (−2 +1)2 = 26 หนว่ ย

BC = (−3 −1)2 + (−1− 6)2 = 65 หนว่ ย

AC = (2 −1)2 + (−2 − 6)2 = 65 หนว่ ย

จะพบว่า BC = AC ดงั น้นั ABC เป็นสามเหลยี่ มหน้าจ่ัว

3

9. วงกลมทีผ่ า่ นจดุ A (−3, 2) และ B(−1, 4) และมศี นู ย์กลางท่ี O(a,0) จงหารัศมีวงกลม

วิธีทา r = (a + 3)2 + (0 − 2)2 d = (a +1)2 + (0 − 4)2

= (a + 3)2 + 4 = (a +1)2 +16
ยกกาลงั สองทั้งสองข้าง

(a + 3)2 + 4 = (a +1)2 +16
(a + 3)2 + 4 = (a +1)2 +16

a2 + 6a + 9 + 4 = a2 + 2a +1+16

a =1

ดงั น้นั จุด O น้ันคอื (1,0)

10. ถา้ ระยะทางระยะหว่างจุด A (13, 2) และ B(−11, k ) เท่ากับ 26 จงหาคา่ k

วิธที า 26 = (13 +11)2 + (2 − k )2 = 576 + (2 − k )2
ยกกาลังสองทว้ั สองขา้ ง
676 = 576 + (2 − k )2
(2 − k )2 −100 = 0
(−k +12)(−k + 8)

k =12, −8

11. จงหาจดุ บนแกน Y ซง่ึ อยหู่ ่างจาก (−6, 2) และ (2,−2) เป็นระยะเท่ากัน
วิธที า สมมตใิ ห้ จุดบนแกน Y คอื (0, y)

d = (0 + 6)2 + ( y − 2)2 d = (0 − 2)2 + ( y + 2)2

= 36 + ( y − 2)2 = 4 + ( y + 2)2

จบั ท้งั สองสมการเทา่ กัน 36 + ( y − 2)2 = 4 + ( y + 2)2
ยกกาลังสองทง้ั สองข้าง 36 + ( y − 2)2 = 4 + ( y + 2)2

36 + y2 − 4y + 4 = 4 + y2 + 4y + 4
8y = 32
y=4

ดังน้นั จดุ นัน้ คือ (0,4)

4

12. จงหาจุดบนแกน x ซง่ึ อยูห่ ่างจาก A (4,8) และ B(−2,−4) เปน็ ระยะเท่ากัน
วิธีทา สมมติให้ จุดบนแกน x คอื ( x,0)

d = (4 − 0)2 + (8 − x)2 d = ( x + 2)2 + (0 + 4)2

= 16 + (8 − x)2 = ( x + 2)2 +16

จับท้งั สองสมการเท่ากนั 16 + (8 − x)2 = ( x + 2)2 +16

ยกกาลังสองทั้งสองข้าง16 + (8 − x)2 = ( x + 2)2 +16

16 + 64 −16x + x2 = x2 + 4x + 4 +16
x=3

ดังนน้ั จุดน้นั คอื (3,0)

13. จงหาจุดทีอ่ ยหู่ า่ งจากจุด A(1,7), B(8,6) และ C(7, −1) เปน็ ระยะทางเท่ากนั ให้ P( x, y) เปน็ จุด
ท่อี ยหู่ ่างจาก A, B และ C เป็นระยะทางเทา่ กนั
วธิ ที า ดังนัน้ AP = BP และ AP = CP

AP = ( x −1)2 + ( y − 7)2 , BP = ( x − 8)2 + ( y − 6)2 , CP = ( x − 7)2 + ( y +1)2
ดงั น้นั จะได้สมการ ดงั น้ี

AP = BP

( x −1)2 + ( y − 7)2 = ( x − 8)2 + ( y − 6)2 -------------
และ AP = CP

( x −1)2 + ( y − 7)2 = ( x − 7)2 + ( y +1)2 -------------
จากการยกกาลังสองขา้ งของสมการ  จะได้วา่

( x −1)2 + ( y − 7)2 = ( x − 8)2 + ( y − 6)2

x2 − 2x +1+ y2 −14y + 49 = x2 −16x + 64 + y2 −12y + 36

7x − y = 25 -----------
จากการยกกาลงั สองข้างของสมการ  จะไดว้ ่า ( x −1)2 + ( y − 7)2 = ( x − 7)2 + ( y +1)2

x2 − 2x +1+ y2 −14y + 49 = x2 −14x + 49 + y2 + 2y +1

3x − 4y = 0 -----------

จากสมการ  และ 

 4 ; 28x − 4y =100 ----------- แทน x = 4 ใน 
-;
25x =100 y=3

x = 4 ดังนน้ั พิกัดของ P คอื (4,3)

5

2. จดุ ก่ึงกลางระหว่างจดุ สองจดุ

ทฤษฎบี ท 2 ถ้าจดุ P ( x, y) เป็นจดุ กึ่งกลางระหวา่ ง P1 ( x1, y1 ) และ P2 ( x2, y2 ) แล้ว

x = x1 + x2 และ y = y1 + y2

22

1. หาจุดกึง่ กลางระหวางจุดท่ีกาหนดใหในแตละขอ 2) (7, −8) และ (−9, 4)
1) (−2,0) และ (6,0)
x = 7 − 9 = −1
x = −2 + 6 = 2 2
2
y = −8 + 4 = −2
y = 0+0 =0 2
2
จุดกง่ึ กลางคือ (−1, −2)
จดุ กึง่ กลางคอื (2,0)

2. ถ้าจดุ (10,3) และ (−2,−13) เป็นจุดปลายของเสน้ ผา่ นศนู ย์กลางของวงกลม แลว้ จดุ ศูนยก์ ลางของ
วงกลมน้ีเทา่ กับเท่าไร

จดุ ศูนยก์ ลาง คือ  10 − 2 , 3 −13  = (4, −5)
 2 2 

3. ถ้าจดุ กงึ่ กลางของส่วนของเสน้ ตรงเสน้ หน่งึ เป็น M(3,1) และจดุ ปลายขา้ งหนึ่งเปน็ Q(5,7) จงหาจุด P
ซึ่งเป็นจดุ ปลายอีกข้างหน่ึง

กาหนดให้จุด P คอื ( x, y)

(3,1) =  x + 5 , y + 7 
 2 2 

( x, y) = (6 − 5, 2 − 7) = (1, −5)

4. เส้นมัธยฐานของสามเหล่ียม A(3,6), B(1,2)และ C(−3,4) ท่ลี ากจากจดุ A มายงั ด้านตรงข้ามยาว
เทา่ กบั เท่าไร
กาหนดใหจ้ ดุ ก่ึงกลางระหว่าง B และ C คือ ( x, y)

( x, y ) =  1− 3 , 2 + 4 
 2 2 

( x, y) = (−1,3)

เสน้ มัธยฐานของสามเหลยี่ ม ลากจากจดุ A มายงั ดา้ นตรงข้ามยาวเท่ากับ (−1− 3)2 + (3− 6)2

= 16 + 9 = = 5

6

5. ถ้า O( x,3) เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลมหนง่ึ ซึ่งมจี ดุ A (−2,0) และ B(5,7) อย่บู นเส้นรอบวงของ
วงกลมน้ี จงหา x

OA = OB

(OA)2 = (OB)2
( x+2)2 + (3 − 0)2 = ( x − 5)2 + (3 − 7)2

x2 + 4x + 4 + 9 = x2 −10x + 25 +16
14x = 28
x=2

7

3. การหาจดุ ทแี่ บ่งสว่ นของเสน้ ตรงเปน็ อัตราสว่ น

C n B(x2,y2)

m พกิ ดั ของจดุ C คอื  nx1 + mx 2 , ny1 + my2 
 n+m n+m 
A(x1,y1)

1. จงหาจดุ แบ่งสว่ นของเส้นตรงจาก P1 (1,7) ไป P2 (6, −3) ในอตั ราสว่ น PP1 : PP2 = 2 : 3

P ( x, y ) =  (2) (6) + (3)1 , (2) (−3) + (3) (7) 
 
 2+3 2+3 

=  15 , 15 
 5 5 

= (3,3)

2. ถา้ จดุ A(−1, −1) แบง่ ส่วนของเสน้ ตรงจากจุด B(−5, −3) ไป C( x, y) เปน็ อัตราสว่ น

AB : AC = 2 : 5

( −1, −1) =  (2) ( x) +(5)( −5) , (5) (−3) + (2) ( y ) 
 
 2+5 2+5 

−1 = 2x − 25 −1 = 2 y −15
7 7

−7 = 2x − 25 −7 = 2y −15

18 = 2x 8= 2y

x=9 y=4

C( x, y) = (9, 4)

3. จงหาจดุ แบ่งส่วนของเสน้ ตรงจาก A (−3, 4) และ B(13,12) ในอตั ราส่วน 5:3

P ( x, y ) =  (3) (13) + (5) (−3) , (3)(12) + (5) ( 4) 
 
 3+5 3+5 

=  24 , 56 
 8 5 

= (3,8)

8

4. กาหนด A(18,−7) และ B(−2,3)โดย P ( x, y) เปน็ จดุ แบ่งเส้นตรง AB ออกเปน็ อัตราส่วน 3: 2

P ( x, y) =  ( 2) (−2) + (3) (18) , (2) (3) + (3) (−7) 
 
 2+3 2+3 

=  50 , −15 
 8 8 

=  25 , −15 
 4 8 

5. ABเปน็ เสน้ ตรงทมี่ ีจดุ ปลายที่ A(2,4),B(3,−6) โดยมีอัตราสว่ นการแบง่ เปน็ 2 จงหาจดุ แบ่งของ

3

AB

P ( x, y ) =  (2) (3) + (3) ( 2) , (2) ( −6) + (3) (4) 
 + 
 2 3 2+3 

=  12 , 0 
 5 5 

=  12 , 0 
 5 

6. ABเป็นเส้นตรงท่ีมีจุดปลายที่ A(−3,−1),B(6,2) โดยมอี ตั ราส่วนการแบ่งเปน็ 5 จงหาจดุ แบ่งของ

2

AB

P ( x, y ) =  (2) ( 6) +(5) ( −3) , ( 2) (2) + (5) ( −1) 
 
 2+5 2+5 

=  −3 , −1 
 7 7 

7. ABเปน็ เสน้ ตรงทมี่ ีจดุ ปลายท่ี A(0,0),B(7,5) โดยมีอตั ราสว่ นการแบ่งเปน็ 5 จงหาจดุ แบง่ ของ AB

2

P ( x, y ) =  (2) (7) + (5) (0) , (2) (5) + (5)(0) 
 + + 
 2 5 2 5 

=  14 , 10 
 7 7 

=  2, 10 
 7 

9

4. ความชันของเส้นตรง(Slope,m)

m = y2 − y1
x2 − x1

1. จงหาความชันของเสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ สองจุดท่ีกำหนดให้

1) (1, 4) และ (3,10) 2) (−2,0) และ (6, −3)

วิธีทำ m = 10 − 4 = 6 = 3 วิธีทำ m = 0 + 3 = 3

3−1 2 −2 − 6 −8

2. ถา้ เสน้ ตรงที่ลากผ่านจุด ( x,5) และ (−2,8) มีความชันเทา่ กับ − 1 จงหา x

2

วธิ ีทำ 8 − 5 = − 1

−2 − x 2

x=4

3. จงแสดงวา่ จุด (2,3),(4,5) และ (6,7) อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั

วธิ ีทำ ให้ A (2,3), B(4,5) และ C(6,7)

 mAB = 5 − 3 =1
4 − 2

และ mAC = 7 −3 =1
6 −2

A,B,C mAB = mAC

อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

4. ถ้าจดุ A(1,−1),B(2,2) และ C(4,t) อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกันแลว้ จงหา t

วิธที ำ ถา้ A,B และ C อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั
จะได้ mAB = mBC

2+1 = t −2
2−1 4 − 2

t = 8

5. ถ้าเสน้ ตรง ax +10y = 6 ขนานกับเสน้ ตรง x + 2y = 8 จงหาค่า a

หา m ของ ax +10y = 6 หา m ของ x + 2y = 8

y=− a x+6 y = −1 x+4
10 2

m=− a m=−1
10 2

เส้นตรงสองเสน้ ขนานกันจะมีความชนั เทา่ กนั − a = − 1

10 2

a=5

10

6. กำหนด A (−3, −1), B(5,3),C(3,5) และ D(1,7) เป็นจดุ ยอดุมของรปู สเ่ี หลี่ยม ABCD ถา้

P,Q,R และ S เปน็ จุดกึง่ กลางของด้าน AB, BC, CD และ DA ตามลำดบั จงแสดงวา่ PQRS เป็นรปู
ส่เี หล่ยี มด้านขนาน

วธิ ที ำ จุด P คือ  −3 + 5 , −1 + 3  = (1,1)
 2 2 

จุด Q คอื  3 + 5 , 5 + 3  = ( 4, 4)
 2 2 

จุด R คอื  3 + 1 , 5 + 7  = (2,6)
 2 2 

และ จดุ S คือ  −3 +1 , −1 + 7  = (−1,3)
 2 2 

mPQ = 4 −1 =1 mQR = 6−4 = −1
4 −1 2−4

mPS = 3−1 = −1 mRS = 3−6 =1
−1 − 1 −1− 2

mPQ = mRS PQขนานกบั RS

mPS = mQR PS ขนานกับ QR

PQRSเปน็ รปู ส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน

7. จากรูป ถา้ ABCD เปน็ รูปส่เี หล่ียมด้านขนาน โดยมี AB ขนานกับ CD และ BC ขนานกับ AD จง
หา D(x, y)

วิธที ำ AB ขนานกบั CD

mAB = mCD

3 +1 = −3 − y
3−1 6− x
2 = −3 − y

6−x

12 − 2x = −3− y

2x − y =15 --------------
และ AD ขนานกับ BC

mAD = mBC

y +1 = −3 − 3 = −2
x −1 6 −3

2x + y =1--------------
จาก และได้ x = 4, y = −7

D ( x, y) =D(4, −7)

11

5. เสน้ ขนาน m1 m2 “ ถา L1 //L2 แลว m1=m2 ” หรือ
L2 “ ถา m1=m2 แลว L1 //L2 ”
เส้นขนาน

L1

1.กาหนด P,Q อยู่บนเสน้ ตรง L1 และจุด R,Sอยู่บนเส้นตรง L2 จงพจิ ารณาวา่ L1 / /L2 หรอื ไม่

1) P (3, 4),Q (2,5), R (1, −1),S(−3,3) 2) P (1, 2),Q (−1, −5), R (4, −2),S(3, 2)

mPQ = 4−5 = −1 = −1 mPQ = 2+7 = 9
3−2 1 1+1 2

mRS = −1− 3 = −4 = −1 mRS = −2 + 2 = 0 = 0
1+ 3 4 4−3 1

mPQ = mRS mPQ  mRS

 L1 / / L2  L1 / / L2

2. ถา้ เสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ (k,6) และ (−2, −3) ขนานกบั เส้นตรงทผี่ ่านจุด (1, 2) และ (−2,5) จงหาค่า k

หา m1 = 6 + 3 หา m2 = 2−5 = −3 = −1
k + 2 1+ 2 3

m1 = m2
9 = −1

k+2

−9 = k + 2

k = −11

3. ถา้ A(a,3),B(6,9) และ C(−2, −3) เปน็ จุด 3 จุดบนเสน้ ตรงเดยี วกนั แล้ว a2 +1 มคี า่ เท่าไร

หา mAB = 3−9 = −6 หา mBC = 9 + 3 = 12 = 3
a−6 a−6 6 + 2 8 2

−6 = 3 −12 = 3a −18
a−6 2

3a = 6 a=2

a2 +1= 4 +1= 5

4. ถา้ เสน้ ตรง 3x + ky + 4 = 0 ขนานกับเสน้ ตรงท่ีผ่านจุด (4,1) และ (−2, 2) แลว้ k มคี ่าในขอ้ ใด

หา m1 = − 3 หา m2 = 1− 2 = −1
k 4+2 6

m1 = m2 −3 =−1 k =18
k6

6. เส้นตัง้ ฉาก 12

“ ถา้ L1 ⊥ L2 แล้ว m1 m2 = −1” หรอื
“ ถ้า m1  m2 = −1 แลว้ L1 ⊥ L2 ”

4. ในแต่ขอ้ ต่อไปนี้ เสน้ ตรงท่ีผ่านจดุ A,Bตง้ั ฉากกับเส้นตรงท่ีผ่านจดุ C,Dหรือไม่

1) A (−1, 2),B(3,5),C(7,5) และ D (4,9) 2) A  3, 1  ,B  −3, 1  ,C  2, 3  และ D  −2, 3 
 2   4   2   4 

mAB = 2−5 = −3 = 3 1−1 1 1
−1− 3 −4 4 24 24
mAB = 3+3 = 4 =
6

1

mCD = 5−9 = −4 3−3 =3
7−4 3 24 16
mCD = 2+2

mAB  mCD = −1 mAB  mCD  −1
AB ⊥ CD
AB ⊥ CD

2. ถ้าเสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ ( x,5) และ (−2,3) ต้ังฉากกบั เส้นตรงที่ผา่ นจดุ (1, 4) และ(−1, −3) จงหาคา่ x

หา m1 = 5−3 หา m2 = 4+3 = 7
x+2 1+1 2

m1 = − 1
m2

2 = −2
x+2 7

−7 = x + 2

x = −9

3. จงหาค่า k ของสมการ kx + 2y + 3 = 0ซง่ึ ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ (4,5) และจดุ (2, −5)

หา m = 5 + 5 = 10 = 5 หา kx + 2y + 3 = 0

4−2 2 m=−k
y=−k x−3 2

22

5  − k  = −1 k=2
2  5

13

4. ถ้าเส้นตรง x + ky + 2 = 0 ตงั้ ฉากกบั เส้นตรง 4x + 3y − 7 = 0 ค่า k คือขอ้ ใด

หา m1 = − 1 หา m2 = − 4
k 3

m1  m2 = −1 − 1  − 4 = −1
k3

k =−4
3

5.จงพจิ ารณาเสน้ ตรง L1 สมพั นั ธก์ ับเสน้ ตรง L2 ในลกั ษณะใด (ขนาน, ตงั้ ฉาก, ตดั กันแต่ไม่ตั้งฉาก หรือเป็น
เสน้ ตรงเดยี วกนั )

1) L1;4x + 5y − 7 = 0 2) L1;3x + 7y −1 = 0

L2;4x + 5y + 2 = 0 L2;7x − 3y + 4 = 0

ขนาน ตงั้ ฉาก

3) L1;2x − 5y +1 = 0 4) L1;9x −12y − 5 = 0

L2; 4x −10y +11 = 0 L2;4x + 3y + 8 = 0

ขนาน ตัง้ ฉาก

5) L1;2x + 9y = 5 6) L1;6x − 7 y = 5

L2;2x + 9y = 7 L2;7x + 6y = 9

ขนาน ตง้ั ฉาก

6. ถา้ เสน้ ตรงที่ลากผ่านจดุ (4,1) และ(1,4) ตง้ั ฉากกบั เส้นตรงที่ลากผ่านจุด (m,5) และ(−2,6) แลว้ จง

หาค่าของ m
วธิ ที ำ ความชนั ของเสน้ ตรงลากผา่ นจุด (4,1) และ (1,4) = 4 −1 = −1

1− 4

ความชนั ของเสน้ ตรงลากผ่านจดุ (m,5) และ (−2,6) = 6 − 5 = 1

−2 − m −2 − m

−1 1 m  = −1
−2 − 

1 =1
−2 − m

m = −3

14

7. หลักการหาสมการเส้นตรง

ข้ันที่ 1. รู้จุด  รู้จุดอยา่ งนอ้ ย 1 จดุ ทีเ่ ส้นตรงท่ีเราจะหาสมการผ่าน
ขน้ั ที่ 2. รู้ความชัน
ขน้ั ที่ 3. เข้าสตู ร y − y1 = m( x − x1 )
เมือ่ ( x1,y1 ) คอื จุดท่ีเส้นตรงผ่าน

1. จงหาสมการของเสน้ ตรงที่มีความชันเทา่ กับ 2 และผ่านจุด (1,2)

3

y − 2 = 2 ( x −1)

3
3y −6 = 2x − 2
2x −3y + 4 = 0

2. จงเขยี นสมการของกราฟเสน้ ตรงท่ลี ากผ่านจดุ (1,2) และ (4,3)
หา m = 3 − 2 = 1

4−1 3

y − 2 = 1 ( x −1)

3
3y −6 = x −1
x −3y +5 = 0

3. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผา่ นจดุ (−1, −3) และขนานกบั เสน้ ตรงทีผ่ ่านจุด (1, 2) และ (−3,4)

m= 2−4 =−1
1+3 2

y + 3 = − 1 ( x +1)

2
2y + 6 = −x −1
x+2y+7 = 0

15

4. จงหาสนมการของเสน้ ตรงทล่ี ากผ่านจดุ (−4, −5) และต้งั ฉากกบั เสน้ ตรงทลี่ ากผา่ นจดุ (1,2) และ (6,5)
หา m

m= 5−2 = 3
6 −1 5

ความชันของเสน้ ตรงที่ฉากคือ m = − 5

3

y +5 = − 5 (x + 4)

3
3y +15 = −5x − 20
5x + 3y + 35 = 0

5. จงหาสมการเส้นตรงที่ลากผา่ นจดุ (1, 4) และตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรง 3x + 4y + 5 = 0
หา m

y = −3 x− 5
44

m=−3
4

ความชันของเส้นตรงทีต่ ั้งฉากคอื m = 4

3

y − 4 = 4 ( x −1)

3
3y −12 = 4x − 4
4x −3y +8 = 0

6. จงหาสมการเส้นตรงทล่ี ากผ่านจดุ (−1, −2)และขนานกับเส้นตรง 2x −3y + 4 = 0
หา m

y= 2x+4
33

m= 2
3

y + 2 = 2 ( x +1)

3
3y + 6 = 2x + 2
2x −3y − 4 = 0

16

7. จงหาสมการเส้นตรงท่ีผา่ นจุด (−2, −1)และตัง้ ฉากกบั เสน้ ตรงทเี่ ชอ่ื จดุ A (5,1) และ B(3, −2)

หา m = 1+ 2

5−3

m= 3
2

m⊥ = − 2
3

y +1= − 2 (x + 2)

3

3y + 3 = −2x − 4

2x +3y + 7 = 0

8. จงหาสมการเสน้ ตรงทต่ี ้ังฉากกับเสน้ ตรง 2x −3y +10 = 0 และผ่านจุดท่ีเส้นตรง 3x −5y + 4 = 0 ตดั กบั

เสน้ ตรง 2x +10y − 6 = 0

หา m; 2x −3y +10 = 0 หาสมการ

m= 2 y − 13 = − 3  x + 1 
3 20 2  4 

m⊥ = − 3 2 y − 13 = −3 x + 1 
2 10 4 

หาจดุ ตดั 80y − 52 = −120x − 30

3x −5y + 4 = 0 ------------ 120x + 80y − 22 = 0

2x +10y − 6 = 0 ----------- 60x + 40y −11 = 0

 2; x + 5y −3 = 0 ----

+; 4x +1= 0

x = − 1 แทน x = − 1 ใน 

44

3 − 1  − 5 y + 4 = 0
4 

−3− 20y +16 = 0
y = 13

20

17

8. ระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรงกบั จุด ( จดุ – เสน้ )

d= Ax1+By1+C
A2 +B2

1. จงหาระยะระหว่างเส้นตรง 3x + 4y + 5 = 0 กบั จุด (3, 4)

วธิ ีทา จากสูตร d = Ax1 + By1 + C

A2 + B2

จะได้ d = (3)(3) + (4)(4) + 5 = 30 = 6
32 + (4)2 5

ฉะนน้ั จะได้วา่ ระยะระหว่าง 3x + 4y + 5 = 0 กบั จุด (3, 4) มคี า่ เท่ากับ 6 หน่วย

2.จงหาความยาวของรัศมีวงกลมทีม่ ีจดุ (2,−3) เป็นจดุ ศนู ย์กลาง และมีเส้นตรง 8x +15y = 22 เป็นเสน้

สมั ผัส
วธิ ที ำ เน่อื งจาก รัศมีขอวงกลมตั้งฉากกบั เสน้ สมั ผัส ณ จุดสัมผัสใดๆ

จากสตู ร d = Ax1 + By1 + C
A2 + B2

แทนคา่ A = 8,B =15,C = −22, x1 = 2, y1 = 3 ลงในสมการจะไดว้ ่า

จะได้ d = (8)(2) + (15)(−3) − 22 = 15 = 3
82 +152 17

ฉะน้นั ความยาวของรัศมวี งกลม มีค่าเทา่ กบั 3 หนว่ ย

3. จงหาสมการเส้นตรงทขี่ นานกับเส้นตรง 12x +5y −10 = 0 และอยหู่ ่างจากจดุ (1, −1) เป็นระยะ 4

หนว่ ย

วิธที ำ สมการเสน้ ตรงท่ตี ้องการคือ 12x +5y +C = 0

จะได้ 4 = (12)(1) + (5)(−1) + C = 7 + C
(12)2 + (5)2 13

52 = C + 7

แล้ว C + 7 = 52 หรือ C + 7 = −52

C = 45 C = −59

ฉะนัน้ สมการเส้นตรงทต่ี ้องการ คือ 12x + 5y + 45 = 0 หรือ 12x + 5y −59 = 0

18

4. จงหาค่า k เมื่อกำหนดเสน้ ตรง 3x + 4y + k = 0 เสน้ ตรงอย่หู ่างจากจดุ P (3,1) เปน็ ระยะ 3 หนว่ ย

วิธที ำ จะได้ 3 = (3)(3) + (4)(1) + k = k +13
(3)2 + (4)2 5

15 = k +13 หรอื k +13 = −15

แล้ว k +13 =15 k = −28
ฉะนน้ั k = 2

5. จงหาสมการเส้นตรงท่ีต้ังฉากกับเสน้ ตรง 12x +5y −3 = 0 และอยหู่ า่ งจากจุด (−1,−1) เปน็ ระยะทาง 3
หนว่ ย

วิธีทา เสน้ ตรงท่ที ต่ี ง้ั ฉากกับเสน้ ตรง 12x +5y −3 = 0 มคี วามชนั 5

12

ดังนน้ั สมการกราฟเส้นตรงต้องอยู่ในรูป y = 5 x + C

12

จดั ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จะได้ 12y = 5x +12C  5x −12y +12C = 0

จะได้ 3 = (5)(−1) + (−12)(−1) +12C = 7 +12C = 7 +12C
(5)2 + (12)2 169 13

7 +12C = 39

ดงั นน้ั 7 +12C = 39 หรือ 7 +12C = −39

12C = 32 12C = −46

ฉะนนั้ จะได้สมการเสน้ ตรง คือ 5x −12y + 32 = 0 หรอื 5x −12y − 46 = 0

6. สามเหล่ียม ABC มีจดุ A(3, 4), B(0, −2), C(3,1) จงหาความยาวของสว่ นสงู ทล่ี ากจาก A ไปยงั
ฐาน BC

วิธีทา เสน้ ตรงที่ผ่านจดุ B(0, −2), C(3,1) มคี วามชนั 1− (−2) =1

3−0

ดงั นั้น สมการกราฟเส้นตรงต้องอยู่ในรปู y = x +C  x − y +C = 0 --------- 

แทนจดุ B(0, −2) ลงใน  ; 0 + 2 + C = 0  C = −2

จะได้สมการเสน้ ตรงคือ x − y − 2 = 0

จากสูตร d = Ax1 + By1 + C
A2 + B2

แทนคา่ A =1,B = −1,C = −2, x1 = 3, y1 = 4 ลงในสมการจะไดว้ า่

จะได้ d = (1)(3) + (−1)(4) − 2 = −3 = 3 = 3 2
12 + (−1)2 2 22

ฉะนัน้ ส่วนสูงท่ีลากจาก A ไปยังฐาน BC มคี า่ เท่ากับ 3 2 หน่วย

2

19

7. จงหาสมการเส้นตรงทข่ี นานและอยหู่ า่ งจากเสน้ ตรง −2x −5y +3 = 0 เป็นระยะ 5 หน่วย
วิธีทา แทนคา่ A = −2,B = −5,C = 3 ลงในสมการจะไดว้ ่า

5 = −2x1 − 5y1 + 3 = −2x1 − 5y1 + 3
(−2)2 + (5)2 29

5 29 = −2x1 − 5 y1 + 3 หรือ −5 29 = −2x1 − 5y1 + 3

ดงั นั้น 5 29 = −2x1 − 5y1 + 3

2x1 + 5y1 + 3 + 5 29 = 0 2x1 + 5y1 − 3 − 5 29 = 0

ฉะนัน้ จะไดส้ มการกราฟเสน้ ตรง คือ 2x1 + 5y1 + 3 + 5 29 = 0 หรอื 2x1 + 5y1 − 3 − 5 29 = 0

8. กาหนดสมการเส้นตรง 7x − 24y + a = 0 ห่างจากจดุ (−5,1) เป็นระยะ 5 หนว่ ย จงหาคา่ a

วธิ ีทา จากสตู ร d = Ax1 + By1 + C
A2 + B2

แทนคา่ A = 7,B = −24,C = a, x1 = −5, y1 =1 ลงในสมการจะได้วา่

7(−5) + (−24)(1) + a 59 + a
5= =
(7)2 + (−24)2 25

59 + a = 125 หรือ 59 + a = −125

ดังนั้น 59 + a =125

a = 66 a = −184

ฉะนน้ั จะได้ a คือ 66 หรือ −184

9. จงหาระยะห่างจากจดุ ตดั ของเส้นตรง 2x −3y +1= 0และ x + y − 2 = 0 กบั เสน้ ตรง

12x − 5y + 32 = 0

หาจุดตัดของกราฟท้ังสอง
2x − 3y +1 = 0-----------------
x + y − 2 = 0 -------------------

3; 3x + 3y − 6 = 0 ----

+; 5x − 5 = 0

x =1 และ แทน x =1ใน 

y =1

จุดตุดคอื (1,1)

จากสตู ร d = Ax1 + By1 + C

A2 + B2

(12)(1) + (−5)(1) + 32 39
d = = =3
(12)2 + (−5)2 13

20

8. ระยะห่างระหว่างเส้นคขู่ นาน

d= C1-C2
A2 +B2

1. จงหาระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรง 3x + 4y − 7 = 0 กบั 3x + 4y + 3 = 0

วธิ ีทา จากสูตร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = 3 + 7 = 10 = 2
(3)2 + (4)2 5

ดังน้นั ระยะห่างระหวา่ งเสน้ คู่ขนานนี้ คอื 2

2. จงหาสมการเสน้ ตรงทีข่ นานกบั เสน้ ตรง 3x + 4y −5 = 0 และอยู่ห่างจากจุด (−1,1) เป็นระยะ 1 หนว่ ย

วธิ ที า ให้สมการเส้นตรงที่ขนานกบั เสน้ ตรง 3x + 4y −5 = 0 คอื 3x + 4y + C = 0

3(−1) + 4(1) + C C +1
1= =
32 + 42 5

C−5 =5

ดังนั้น C +1= 5 หรือ C +1= −5

C=4 C = −6

สมการเสน้ ตรงที่ขนาน คือ 3x + 4y + 4 = 0 หรือ 3x + 4y − 6 = 0

3. ถา้ เสน้ ตรง 12x −5y −10 = 0 เปน็ เสน้ ตรงที่อยูก่ ่ึงกลางระหว่างเสน้ ขนานคู่หนึ่ง ซง่ึ อยูห่ ่างกัน 8 หนว่ ย

แล้ว จงหาสมการของเส้นขนานคนู่ ้ี

วธิ ที า ให้สมการเส้นตรงที่ขนานกบั เสน้ ตรง 12x −5y −10 = 0 คือ 12x −5y −C2 = 0
แล้ว 12x −5y −10 = 0 และ 12x −5y −C2 = 0 ห่างกัน 4 หน่วย

4 = −10 − C2 = −10 − C2
122 + (−5)2 13

52 = −10 − C2

−10 − C2 = 52 และ −10 − C2 = −52

C2 = −62 C2 = 42

ดังนั้นสมการทั้งสองคือ 12x −5y − 42 = 0 กบั 12x − 5y + 62 = 0

21

4. จงหาสมการเสน้ ตรงทข่ี นานกบั เส้นตรง −3x + 4y −7 = 0 และอย่หู ่างจากเส้นตรงนี้เป็นระยะ 3 หน่วย

วธิ ีทา จากสตู ร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ 3 = −7 − C2 = −7 − C2
(−3)2 + (4)2 5

−7 − C2 = 15 หรือ −7 − C2 = −15

ดงั น้นั −7 −C2 =15

C2 = −22 C2 = 8

ดงั นัน้ สมการเสน้ ตรงท่ีขนาน คือ −3x + 4y − 22 = 0 กับ −3x + 4y +8 = 0

5. จากสมการเส้นตรงที่ต้งั ฉากกับเส้นตรง 3x − 4y + 2 = 0 และห่างจากจดุ (−5, 2) เป็นระยะ 3 หนว่ ย
วิธที า สมสการเส้นตรงทีต่ ้ังฉากกบั เสน้ ตรง 3x − 4y + 2 = 0 คือเส้นตรง 4x + 3y +C = 0

จะได้ว่า (4)(−5) +(3)(2) +C C −14
3= =
(3)2 + (−4)2 5

15 = C −14

C −14 =15 หรือ C −14 = −15

C = 29 C = −1

สมการเส้นตรง คือ 4x + 3y + 29 = 0 หรอื 4x + 3y −1= 0

6. จงหาสมการเส้นตรงทีข่ นานกบั เส้นตรง 3x − 4y + 2 = 0 โดยห่างจากจุดตดั ของเสน้ ตรง 6x −5y = −21

กบั 7x −3y =1 เป็นระยะ 3 หนว่ ย

วธิ ีทา หาจดุ ตดั สมการเสน้ ตรงทีข่ นานคอื 3x − 4y + C = 0

6x −5y = −21----- จะได้ 3 = (3)(4) + (−4)(9) + C = C − 24
(3)2 + (4)2 5

7x −3y =1----- 15 = C − 24

 3; 18x −15y = −63 ---------  แล้ว C − 24 =15 หรือ C − 24 = −15

5; 35x −15y = 5-------- C = 39 C =9

 - ; 17x = 68

x = 4 แทน x = 4 ใน

จะได้ y = 9

ดังนั้นจุดตัดคือ (4,9)

ฉะนัน้ สมการเส้นตรงทตี่ ้องการ คอื 3x − 4y +39 = 0 หรอื 3x − 4y + 9 = 0

22

7. จากสมการเสน้ ตรงท่ีตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรง 15x −8y + 7 = 0 โดยหา่ งจากจดุ ตดั ของเสน้ ตรง 3x − y = 9กับ

2x + 5y = −11 เป็นระยะ 4 หน่วย

วิธีทา หาจดุ ตดั สมการเส้นตรงท่ีตง้ั ฉาก คือ 8x +15y +C = 0

3x − y = 9----- จะได้ 4 = (8)(2) + (15)(−3) + C = C − 29
(8)2 + (15)2 17

2x + 5y = −11----- 68 = C − 29

 5; 15x −5y = 45 ---------  แลว้ C − 29 = 68 หรือ C − 29 = −68

 + ; 17x = 34 C = 97 C = 39

x = 2 แทน x = 2 ใน

จะได้ y = −3

ดงั น้ันจุดตัดคือ (2, −3)

ฉะนนั้ สมการเส้นตรงทีต่ ้องการ คือ 8x +15y +97 = 0 หรือ 8x +15y +39 = 0

8. จากสมการเส้นตรงที่ตัง้ ฉากกับเสน้ ตรง 5x +12y −3 = 0 โดยห่างจากจุดตัดของเส้นตรง 6x −5y = −21

กับ 7x −3y =1 เป็นระยะ 1 หนว่ ย

วธิ ีทา หาจุดตดั สมการเสน้ ตรงท่ตี งั้ ฉาก คือ 12x −5y +C = 0

6x −5y = −21----- จะได้ 1 = (12)(4) + (−5)(9) + C = C + 3
(12)2 + (−5)2 13

7x −3y =1----- 13 = C + 3

 3; 18x −15y = −63 ---------  แล้ว C + 3 =13 หรอื C + 3 = −13

5; 35x −15y = 5-------- C =10 C = −16

 - ; 17x = 68

x = 4 แทน x = 4 ใน

จะได้ y = 9

ดังนั้นจดุ ตัดคือ (4,9)

ฉะน้ัน สมการเสน้ ตรงทต่ี ้องการ คือ 12x −5y +10 = 0 หรือ 12x −5y −16 = 0