ย่อ พาราโบลา เฉลย

3. พาราโบลา (Parabola) พาราโบลาเปดไปทางดานขวาหรือเปดไปทางดานซาย

พาราโบลาเปดขึน้ ดานบนหรือเปดลงดานลาง x=h− p

F (h, k + p) F (h + p,k )
V (h, k )
y=k−p V (h, k )

สมการรูปแบบมาตรฐาน ( x − h)2 = 4 p ( y − k ) สมการรปู แบบมาตรฐาน ( y − k )2 = 4 p ( x − h)
P  0 : พาราโบลาเปดข้นึ ดานบน P  0 : พาราโบลาเปดไปทางดานขวา
P  0 : พาราโบลาเปดลงดานลาง P  0 : พาราโบลาเปดไปทางดานซาย
จุดยอดอยูที่ V (h, k ) จุดยอดอยูที่ V (h, k )
โฟกสั อยูท่ี F (h, k + p) โฟกัสอยูท่ี F (h + p, k )
แกนสมมาตรขนานกับแกน Y แกนสมมาตรขนานกับแกน X
เสนไดเรกตริกซ : y = k − p เสนไดเรกตริกซ : x = h − p
เลตสั เรกตัมยาว 4 p หนวย เลตสั เรกตัมยาว 4 p หนวย

1. จงหาพกิ ัดของจดุ ยอด พกิ ัดของโฟกัส สมการของใดเรคตริกซ์ และแกนสมมาตรจากสมการของพาราโบลา

ต่อไปน้ี

1) y2 = 16x 2) y2 = −16x

( y − 0)2 = 4(4)(x − 0) ( y − 0)2 = 4(−4)( x − 0)

จุดยอด ( 0, 0 ) จดุ ยอด ( 0, 0 )
โฟกัส ( 4, 0 ) โฟกัส (−4, 0)
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์
แกนสมมาตรขนานกับแกน x = −4 แกนสมมาตรขนานกับแกน x=4
เลตัสเรกตมั ยาว เลตัสเรกตมั ยาว
X X

16 หนวย 16 หนวย

3) x2 = 20 y 4) x2 = −16 y
( x − 0)2 = 4(5)( y − 0)
จดุ ยอด ( x − 0)2 = 4(−4)( y − 0)
โฟกสั
สมการเส้นไดเรกตริกซ์ ( 0, 0 ) จุดยอด ( 0, 0 )
แกนสมมาตรขนานกับแกน ( 0, 5)
เลตสั เรกตมั ยาว โฟกัส (0, −4)
y = −5
สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ y = 4
Y
แกนสมมาตรขนานกับแกน Y
20 หนวย
เลตสั เรกตัมยาว 16 หนวย

29) ( y −1)2 =16(x − 2) ( 2,1) 30) ( y + 2)2 = 12( x − 3) (3, −2)
( −2,1) (6, −2)
( y −1)2 =4(4) (x − 2) ( y + 2)2 = 4(3)( x − 3)
จดุ ยอด x = −2 จุดยอด x=0
โฟกสั โฟกสั
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ X สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ X
แกนสมมาตรขนานกับแกน แกนสมมาตรขนานกับแกน
เลตสั เรกตมั ยาว 16 หนวย เลตัสเรกตมั ยาว 12 หนวย

31) ( y + 3)2 = −8( x +1) 32) ( x −1)2 = 12( y − 2)

( y + 3)2 = 4(−2)( x +1) ( x −1)2 = 4(3)( y − 2)
จดุ ยอด
โฟกสั (−1, −3) จุดยอด (1, 2)
สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ (−3, −3)
แกนสมมาตรขนานกับแกน โฟกสั (1,5)
เลตสั เรกตมั ยาว x =1
สมการเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ x = −1
X
แกนสมมาตรขนานกับแกน Y
8 หนวย
เลตสั เรกตัมยาว 12 หนวย

41) y2 − 4y −12x − 20 = 0 42) x2 + 6x − 20y + 49 = 0

y2 − 4y =12x + 20 x2 + 6x = 20y − 49

( y − 2)2 = 4(3)( x + 2) ( x + 3)2 = 20( y − 2)

จุดยอด (−2, 2) จดุ ยอด (−3, 2)

โฟกัส (1, 2) โฟกสั (−3,7)

สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ x = −5 สมการเส้นไดเรกตริกซ์ x = −3
แกนสมมาตรขนานกับแกน
เลตัสเรกตมั ยาว X แกนสมมาตรขนานกับแกน Y

12 หนวย เลตสั เรกตมั ยาว 20 หนวย

2. จากสิ่งท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้ จงหาสมการของพาราโบลา พรอ้ มทงั้ เขียนกราฟอย่างครา่ วๆ

1) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เส้นตรง x = −3 2) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เส้นตรง x = 5
และโฟกสั อยู่ทจ่ี ุด (3,0) และโฟกัสอยู่ท่จี ุด (−5,0)

y2 = −6x y2 = −20x

3) ไดเรคตริกซ์ คือ เส้นตรง x = 3 4) ไดเรคตริกซ์ คือ เส้นตรง x = − 3

2 4

และโฟกัสอย่ทู ่จี ุด  − 3 , 0  และโฟกสั อยทู่ ีจ่ ดุ  3 , 0 
 2   4 

y2 = 6x y2 = −20x

5) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เส้ันตรง x = 1 6) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เส้นตรง y = −5
และโฟกสั อยู่ทจี่ ุด (0, 5)
12
x2 = 20 y
และโฟกัสอยูท่ ี่จุด  − 1 , 0 
 12 

y2 = − 1 x
3

7) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เส้นตรง y = 4 8) ไดเรคตริกซ์ คือ เส้นตรง y = − 1

3 4

และโฟกัสอยทู่ ี่จดุ  0, − 4 และโฟกสั อยู่ท่จี ุด  0, 1 
 3   4 

x2 = − 13 x x2 = y
6

9) ไดเรคตริกซ์ คือ เสน้ ตรง y = − 2 10) ไดเรคตริกซ์ คือ เสน้ ตรง y = 1

3 4

และโฟกัสอยทู่ จี่ ุด  0, 2  และโฟกัสอยทู่ ี่จุด  0, − 1 
 3   4 

x2 = 8 x x2 = −y
3

3. จากสง่ิ ทกี่ ำหนดให้ต่อไปนี้ จงหาสมการพาราโบลา 2) จุดยอดอยูท่ จ่ี ดุ (-2, 3) และโฟกสั อยูท่ ่ีจุด (1,
1) จดุ ยอดอยทู่ จ่ี ดุ (1, 2) และโฟกัสอยทู่ ่ีจุด (5, 2)
3) V (h, k ) = (−2,3)
V (h, k ) = (1, 2) F (h + p, k ) = (1,3)

F (h + p, k ) = (5, 2) −2 + p =1
p=3
1+ p = 5
สมการพาราโบลา คือ ( y − 3)2 = 12( x + 2)
p=4

สมการพาราโบลา คือ ( y − 2)2 = 16( x −1)

3) จดุ ยอดอยูท่ จ่ี ุด (4,- 1) และโฟกัสอยู่ที่จดุ (0, -1) 4) จดุ ยอดอย่ทู ี่จดุ (-1,- 2) และโฟกสั อยู่ท่จี ุด (-
4,-2)
V (h, k ) = (4, −1) V (h, k ) = (−1, −2)
F (h + p, k ) = (−4, −2)
F (h + p, k ) = (0, −1)
−1+ p = −4
4+ p=0  p = −3

 p = −4 สมการพาราโบลา คือ ( y + 2)2 = −12( x +1)

สมการพาราโบลา คือ ( y +1)2 = −16( x − 4)

5) จดุ ยอดอยทู่ จ่ี ุด (1, 2) และโฟกัสอยทู่ ี่จุด (1, 6) 6) จุดยอดอยู่ทจ่ี ุด (-2, 2) และโฟกสั อยู่ท่ีจดุ (-2,
-1)
V (h, k ) = (1, 2) V (h, k ) = (−2, 2)
F (h + p, k ) = (−2, −1)
F (h + p, k ) = (1,6)
2 + p = −1
2+ p=6  p = −3

p=4 สมการพาราโบลา คือ ( y + 2)2 = −12( x − 2)

สมการพาราโบลา คือ ( y −1)2 = 16( x − 2)

7) จดุ ยอดอย่ทู ี่จดุ (-2, - 1) และโฟกสั อยู่ที่จดุ (-2, 5) 8) จดุ ยอดอยทู่ จี่ ดุ (2, -3) และโฟกัสอยทู่ ีจ่ ดุ (2,
-6)
V (h, k ) = (−2, −1) V (h, k ) = (2, −3)
F (h + p, k ) = (2, −6)
F (h + p, k ) = (−2,5)
−3+ p = −6
−1+ p = 5  p = −3

p=6 สมการพาราโบลา คือ ( x − 2)2 = −12( y + 3)

สมการพาราโบลา คือ ( x + 2)2 = 24( y +1)

4. จงหาพกิ ดั ของจดุ ยอด พิกัดของโฟกัส สมการของไดเรคตรกิ ซ์ และแกนสมมาตรจากสมการของพาราโบลา

ต่อไปน้ี

1) ( y −1)2 =16(x − 2) 2) ( y + 2)2 = 12( x − 3)

( y −1)2 =4(4) (x − 2) ( y + 2)2 = 4(3)( x − 3)

V (h, k ) = (2,1) V (h, k ) = (3, −2)

แกนสมมาตรอย่บู นเส้นตรง y = k =1 แกนสมมาตรอย่บู นเสน้ ตรง y = k = −2

p=4 p=3

F (h + p, k ) = (6,1) F (h + p, k ) = (6, −2)

สมการของเส้นไดเรกตริกซ์ x = h −c = −2 สมการของเส้นไดเรกตรกิ ซ์ x = h −c = 0

3) ( y + 3)2 = −8( x +1) 4) ( x −1)2 = 12( y − 2)
( y + 3)2 = 4(−2)( x +1) ( x −1)2 = 4(3)( y − 2)
V (h, k ) = (−1, −3) V (h, k ) = (1, 2)
แกนสมมาตรอยบู่ นเสน้ ตรง y = k = −3 แกนสมมาตรอยูบ่ นเสน้ ตรง x = h =1

p = −2 p=3

F (h + p, k ) = (−3, −3) F (h + p, k ) = (1,5)
สมการของเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ x = h −c =1 สมการของเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ y = k − c = −1

5) ( x + 2)2 = −20( y −1) 6) ( x +1)2 = 4( y + 2)

( x + 2)2 = 4(−5)( y −1) ( x +1)2 = 4(1)( y + 2)
V (h, k ) = (−2,1) V (h, k ) = (−1, −2)
แกนสมมาตรอยบู่ นเส้นตรง x = h = −2 แกนสมมาตรอยู่บนเส้นตรง x = h = −1

p = −5 p =1

F (h + p, k ) = (−2, −4) F (h + p, k ) = (−1, −1)
สมการของเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ y = k −c = 6 สมการของเส้นไดเรกตริกซ์ y = k − c = −3

7) y2 − 4y −12x − 20 = 0 8) x2 + 6x − 20y + 49 = 0

y2 − 4y =12x + 20 x2 + 6x = 20y − 49

( y − 2)2 = 4(3)( x + 2) ( x + 3)2 = 5(5)( y − 2)
V (h, k ) = (−2, 2) V (h, k ) = (−3, 2)
แกนสมมาตรอยู่บนเสน้ ตรง y = k = 2 แกนสมมาตรอยู่บนเสน้ ตรง x = h = −3

p=3 p = −3

F (h + p, k ) = (1, 2) F (h + p, k ) = (−3, 7)
สมการของเส้นไดเรกตรกิ ซ์ x = h −c = −5 สมการของเสน้ ไดเรกตริกซ์ y = k − c = −3