ย่อ วงรี เฉลย

1

2.วงรี (Ellipse) วงรีตั้ง (แกนเอกขนานกับแกนY)
V2 (h, k + a)
วงรนี อน (แกนเอกขนานกบั แกนX) F2 (h, k + c)

V1 (h − a, k ) (h, k ) V2 (h + a, k ) (h, k )
F1 (h, k − c)
F1 (h − c, k ) F2 (h + c, k ) V1 (h, k − a)

สมการรปู แบบมาตรฐาน ( x − h)2 (y− k )2 =1 สมการรูปแบบมาตรฐาน ( x − h)2 (y− k )2 =1

a2 + b2 +
b2 a2

จดุ ศูนยกลางอยูท่ี (h,k ) จุดศนู ยกลางอยูท่ี (h,k )

จดุ ยอดอยูท่ี V1 (h − a, k ) และ V2 (h + a, k ) จุดยอดอยูท่ี V1 (h, k − a) และ V2 (h, k + a)
โฟกัสอยูท่ี F1 (h − c, k ) และ F2 (h + c, k ) โฟกสั อยูท่ี F1 (h, k − c) และ F2 (h, k + c)
แกนเอกยาว 2a หนวย แกนเอกยาว 2a หนวย
แกนโทยาว 2b หนวย แกนโทยาว 2b หนวย

เลตัสเรกตัมยาว 2b2 หนวย เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 หนวย

a a

b2 = a2 − c2 b2 = a2 − c2

1. จากสมการของวงรใี นแต่ละข้อต่อไปน้ี จงหาโฟกัส จุดยอด และเขียนกราฟอย่างคร่าวๆ

1) x2 + y2 = 1

25 64

a2 = 25 a = 5 b2 =16 b = 4
c = 3
c2 = a2 − b2 = 25 −16 = 9

โฟกสั (−3,0) และ (3,0)

จดุ ยอดอยู่ที่ (−5,0) และ (5,0)

เขยี นกราฟ

2

2) x2 + y2 = 1

100 64

a2 =100 a = 10 b2 = 64 b = 8
c = 6
c2 = a2 − b2 =100 − 64 = 36

โฟกสั (−6,0) และ (6,0)

จุดยอดอยู่ที่ (−10,0) และ (10,0)

เขยี นกราฟ

3) x2 + y2 = 1

9 25

a2 = 25 a = 5 b2 = 9 b = 3
c = 4
c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16

โฟกสั (0, −4) และ (0, 4)

จุดยอดอยู่ท่ี (0, −5) และ (0,5)

เขียนกราฟ

4) 16( x + 3)2 + 25( y +1)2 = 400

( x + 3)2 + ( y +1)2 = 1

25 16

a2 = 25 a = 5 b2 =16 b = 4

c2 = a2 − b2 = 25 −16 = 9 c = 3

จดุ ศนู ย์กลาง (−3, −1)

แกนเอกอยู่บนเส้นตรง y = k = −1

จดุ ยอดอยู่ท่ี (−8, −1) และ (2, −1)

จดุ โฟกัส (−6, −1),(0, −1)

3

5) 25( x − 3)2 + 9( y −1)2 − 225 = 0

( x − 3)2 ( y −1)2

+ =1
9 25

a2 = 25 a = 5 b2 = 9 b = 3

c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16 c = 4

จดุ ศนู ย์กลาง (−3, −1)

แกนเอกอยู่บนเส้นตรง x = h = 3

จุดยอดอยู่ท่ี (3, −4) และ (3,6)

จดุ โฟกสั (3, −3),(3,5)

6) 4x2 + 9y2 = 36

x2 + y2 =1
94

a2 = 9 a = 3 b2 = 4 b = 2

c2 = a2 −b2 = 9 − 4 = 5 c = 5

โฟกสั (− 5,0) และ ( 5,0)

จดุ ยอดอยู่ที่ (−3,0) และ (3,0)
เขียนกราฟ

7) 9x2 +16y2 =144

x2 + y2 =1
16 9

a2 =16 a = 4 b2 = 9 b = 3

c2 = a2 − b2 = 16 − 9 = 7 c = 7

โฟกัส (− 7,0) และ ( 7,0)

จุดยอดอยู่ท่ี (−4,0) และ (4,0)

เขียนกราฟ

4

8) 25x2 + 9y2 = 225

x2 + y2 =1
9 25

a2 = 25 a = 5 b2 = 9 b = 3

c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16 c = 4

โฟกสั (0, −4) และ (0, 4)

จดุ ยอดอยู่ที่ (0, −5) และ (0,5)

เขียนกราฟ

9) 25x2 +16y2 + 50x + 64y − 311 = 0

(25x2 + 50x) + (16 y2 + 64 y) = 311

25( x2 + 2x) +16( y2 + 4y) = 311

25( x +1)2 +16( y + 2)2 = 311+ 25 + 64

25( x +1)2 +16( y + 2)2 = 400

( x +1)2 ( y + 2)2

+ =1
16 25

a2 = 25 a = 5 b2 =16 b = 4

c2 = a2 − b2 = 25 −16 = 9 c = 3

จุดศนู ยก์ ลาง (−1, −2)

แกนเอกอยู่บนเส้นตรง x = h = −1
จุดยอดอยู่ท่ี (−1, −7) และ (−1, −3)

จดุ โฟกัส (−1, −5),(−1,1)

5

10) 25x2 + 9y2 +100x +18y −116 = 0

(25x2 +100x) + (9 y2 +18y) = 116

25( x2 + 4x) + 9( y2 + 2 y) = 116

25( x + 2)2 + 9( y +1)2 = 116 +100 + 9

25( x + 2)2 + 9( y +1)2 = 225

( x + 2)2 + ( y +1)2 = 1

9 25

a2 = 25 a = 5 b2 = 9 b = 3

c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16 c = 4

จุดศนู ย์กลาง (−2, −1)

แกนเอกอยู่บนเส้นตรง x = h = −2
จดุ ยอดอยู่ที่ (−2, −6) และ (−2, 4)

จุดโฟกัส (−2, −5),(−2,3)

11) 9x2 + 25y2 −18x +100y =116 9( x −1)2 + 25( y + 2)2 = 116 + 9 +100 = 225

(9x2 −18x) + (25y2 +100 y) = 116 a = 5 และ b = 3

( x −1)2 ( y + 2)2 c = 4

+ =1  จุดยอดอยู่ท่ี (6, −2) และ (−5, −2)
25 9  ความเยื้องสู่ศูนยก์ ลาง e = c = 3

c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16 a5

จดุ ศูนยก์ ลาง (1, −2) ค. ยาวแกนโท 2b = 6 หนว่ ย

จุดโฟกสั (5, −2),(−3, −2)  จดุ ปลายแกนโท (1,1),(1, −5)

ค.ยาวแกนเอก = 2a =10 หนว่ ย
เรตสั เรกตมั 2b2 = 18

a5

12) 9x2 + 25y2 +18x −100y =116 6

(9x2 +18x) + (25y2 −100y) = 116 9( x +1)2 + 25( y − 2)2 = 116 + 9 +100 = 225
a = 5 และ b = 3
( x +1)2 ( y − 2)2
c = 4
+ =1
25 9  จุดยอดอยู่ที่ (4, 2) และ (−6, 2)
 ความเยอื้ งสศู่ ูนยก์ ลาง e = c = 4
c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16
a5
จดุ ศูนย์กลาง (−1,2)
ค. ยาวแกนโท 2b = 6 หนว่ ย
จดุ โฟกสั (5, 2),(−5, 2)  จุดปลายแกนโท (−1, −1),(−1,5)

ค.ยาวแกนเอก = 2a =10 หนว่ ย
เรตสั เรกตมั 2b2 = 18

a5

13) 25x2 + 9y2 − 50x + 36y −164 = 0 25( x −1)2 + 9( y + 2)2 = 164 + 25 + 36 = 225

(25x2 − 50x) + (9 y2 + 36 y) = 164 a = 5 และ b = 3

( x −1)2 ( y + 2)2 c = 4

+ =1  จดุ ยอดอยู่ที่ (1,3) และ (1, −7)
9 25  ความเย้ืองสศู่ นู ยก์ ลาง e = c = 4

c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16 a5

จุดศูนยก์ ลาง (1, −2) ค. ยาวแกนโท 2b = 6 หนว่ ย

จุดโฟกัส (1, −6),(1, 2)  จดุ ปลายแกนโท (4, −2),(−3, −2)

ค.ยาวแกนเอก = 2a =10 หนว่ ย
เรตสั เรกตมั 2b2 = 18

a5

14) 25x2 + 9y2 + 50x − 36y −164 = 0 7

(25x2 + 50x) + (9 y2 − 36 y) = 164 25( x +1)2 + 9( y − 2)2 = 164 + 25 + 36 = 225
a = 5 และ b = 3
( x +1)2 ( y − 2)2
c = 4
+ =1
9 25  จุดยอดอยู่ท่ี (−1,7) และ (−1, −3)
 ความเยื้องส่ศู นู ย์กลาง e = c = 4
c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16
a5
จุดศนู ย์กลาง (−1,2)
ค. ยาวแกนโท 2b = 6 หน่วย
จดุ โฟกสั (−1,6),(−1, −2)  จุดปลายแกนโท (−4, −2),(2, −2)

ค.ยาวแกนเอก = 2a =10 หน่วย
เรตัสเรกตัม 2b2 = 18

a5

15) 100x2 + 4y2 −1000x − 24y + 2136 = 0 100( x − 5)2 + 4( y − 3)2 = 400

( ) ( )100x2 −1000x + 4 y2 − 24y = −2136 a =10 และ b = 2

( x − 5)2 ( y − 3)2 c = 4

+ =1  จุดยอดอยูท่ ่ี (5,13) และ (5, −7)
4 100
 ความเยอื้ งส่ศู นู ยก์ ลาง e = c = 4 = 2
c2 = a2 − b2 = 100 − 4 = 96
a 10 5
จุดศนู ยก์ ลาง (5,3)
ค. ยาวแกนโท 2b = 4 หนว่ ย
จดุ โฟกัส (5,7),(5, −1)
 จดุ ปลายแกนโท (7,3),(3,3)
ค.ยาวแกนเอก = 2a = 20 หน่วย
เรตสั เรกตมั 2b2 = 8 = 4

a 10 5

8

2. จงหาสมการวงรี เมอ่ื กาหนดโฟกสั และผลบวกของระยะจากจดุ ใดๆ บนวงรีไปยังโฟกัสท้งั สอง(ผลบวกคงตวั )
ดังตอ่ ไปนี้
1) โฟกัสท่ี (0,-2), (0,2) แกนโทยาว 6 หน่วย
2b = 6 b = 3 และ c = 2

a2 = c2 + b2 = 9 + 4 = 13 c = 5
x2 + y2 =1
9 13

2) จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (-3,2) จุดยอดหนึง่ คือ (-3,10) ระยะระหวา่ งโฟกสั ท้ังสองยาว 8 หน่วย

a=3 c=2

b2 = a2 − c2 = 64 −16 = 48

สมการวงรีคอื ( x + 3)2 ( y − 2)2 =1

+
48 64

3) แกนเอกยาว 10 หน่วย จุดปลายแกนโทอยู่ที่ (0,4) และ (0,-4)

4) จุดยอดอยทู่ ี่ (0,5) และ (0,-5) โฟกสั จุดหนึง่ อยทู่ ่ี (0,4)

9
5) โฟกัสอยู่ท่ี (-3,0) และ (3,0) แกนโทยาว 7 หนว่ ย

6) จุดปลายแกนโทอยทู่ ่ี (−5,0) และ (5,0) โฟกสั อยทู่ ี่ (0,− 39 )

7) โฟกัสอยู่ท่ี (0,5) และ (0,-5) แกนเอกยาว 12 หนว่ ย

2a =12 a = 6

c=5

b2 = a2 − c2 = 36 − 25 = 11

จดุ ศนู ยก์ ลาง (0,0)

สมการวงรีคอื x2 + y2 = 1

11 36

10

8) โฟกสั อยู่ท่ี (-4,0) และ (4,0) จดุ ยอดอยู่ท่ี (-5,0) และ (5,0)

c = 4 a = 5
b2 = a2 − c2 = 25 −16 = 9

จดุ ศูนย์กลาง (0,0)
สมการวงรีคอื x2 + y2 = 1

25 9

9) จดุ ยอดอยูท่ ่ี (−5, −3) และ (3, −3) และแกนโทยาว 6 หนว่ ย

2b = 6 b = 3

จดุ ศนู ย์กลาง =  −5 + 3 , −3 − 3  = (−1, −3)
 2 2 

a=4

สมการวงรีคอื ( x +1)2 + ( y + 3)2 = 1

16 9

10) จุดศนู ย์กลางอยู่ที่ (5,1) จุดยอดจุดหนง่ึ อยูท่ ี่ (5,4) และจุดปลายแกนโทจดุ หนง่ึ คือ (3,1)

a=3 b=2

สมการวงรคี อื ( x − 5)2 ( y −1)2 =1

+
49

11) จดุ ยอดจุดหนง่ึ อยู่ท่ี (6,3) โฟกัสอยทู่ ่ี (−4,3) และ (4,3)
จดุ ศนู ยก์ ลาง (0,3)

a=6 c=4

b2 = a2 − c2 = 36 −16 = 20

สมการวงรีคอื x2 ( y − 3)2 =1

+
36 16

11

12) จุดศนู ย์กลางอยู่ท่ี (3,2) โฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ (3,7)และจุดยอดหน่ึงอยทู่ ี่ (3,−5)
จุดศูนย์กลาง (3,2)

a=7 c=5
b2 = a2 − c2 = 49 − 25 = 24

สมการวงรคี ือ ( x − 3)2 + ( y − 2)2 = 1

25 49

13) จดุ โฟกสั อยทู่ ี่ (−1,−2) และ (3,−2) ขนาดของแกนเอกเทา่ กับ 10

จดุ ศนู ยก์ ลาง =  −1 + 3 , −2 − 2  = (1, −2)
 2 2 

2a =10 a = 5 และ c = 2

b2 = a2 − c2 = 25 − 4 = 21 c = 21

สมการวงรคี ือ ( x −1)2 + ( y + 2)2 = 1

25 21

14) จุดยอดอยู่ท่ี (−2,1) และ (6,1) จุดโฟกัสจดุ หน่ึงอยู่ที่ (4,1)

จดุ ศนู ยก์ ลาง =  −2 + 6 , 1 +1  = ( 2,1)
 2 2 

a = 4 และ c = 2

b2 = a2 − c2 =16 − 4 =12

สมการวงรคี อื ( x − 2)2 ( y −1)2 =1

+
16 12

12
15) โฟกัสอยทู่ ี่ (0,8),(0, −8) จดุ ปลายแกนโทอยทู่ ่ี (15,0),(−15,0)
จดุ ศูนยก์ ลาง (0,0)

c = 8 b =15
a2 = b2 + c2 = 64 + 225 = 289

สมการวงรีคือ x2 + y2 = 1

225 289

16) จดุ ยอดอยู่ที่ (10,0),(−10,0)ความยาวเรตัสเรกตม้ั เทา่ กบั 5 หน่วย
จดุ ศูนยก์ ลาง (0,0)

a =10
2b2 = 2b2 = 5
a 10
b2 = 25

สมการวงรคี ือ x2 + y2 = 1

100 25

17) โฟกัส (0,6),(0, −6) แกนโทยาว 16 หน่วย
จดุ ยอด (0,0)

b=8 c=6
a2 = b2 + c2 = 36 + 64 =100

สมการวงรคี ือ x2 + y2 = 1

164 100