เฉลยวงกลม

AB Chapter 1
C
0 3 ภาคตัดกรวย
(Conic Section)

1.วงกลม (Circle) การหาสมการวงกลม รู้
P ( x, y) 1. จุดศนู ยกลางอยูท่ี (h,k)
2. รัศมยี าว r หนวย
(h, k ) 3. เข้าสตู ร ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2

1. จงหาจุดศนู ยก์ ลางและรัศมขี องวงกลมท่ีมีสมการดงั ต่อไปนี้

1) x2 + y2 − 2x −8 = 0 2) x2 + y2 − 4y –12 = 0

( )x2 − 2x + y2 = 8 ( )x2 + y2 − 4 y = 12

( x −1)2 + ( y − 0)2 = 8 +1 ( x − 0)2 + ( y − 2)2 = 12 + 4

( x −1)2 + ( y − 0)2 = 32 ( x − 0)2 + ( y − 2)2 = 42
จดุ ศูนย์กลางคือ (1,0) รศั มี คือ 3 จดุ ศนู ยก์ ลางคือ (0,2) รศั มี คอื 4

3) x2 + y2 − 2x − 4y − 20 = 0 4) x2 + y2 + 2x − 6y +1 = 0

( x2 − 2x) + ( y2 − 4y) = 20 ( x2 + 2x) + ( y2 − 6 y) = −1

( x −1)2 + ( y − 2)2 = 20 +1+ 4 ( x +1)2 + ( y − 3)2 = −1+1+ 9
( x −1)2 + ( y − 2)2 = 52 ( x +1)2 + ( y − 3)2 = 32
จุดศนู ย์กลางคือ (1,2) รัศมี คอื 5 จดุ ศูนย์กลางคือ (−1,3) รศั มี คือ 3

5) x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0 6) x2 + y2 + 6x − 2y −15 = 0

(x2 − 4x) +( y2 + 6y) = 3 ( x2 + 6x) + ( y2 − 2y) = 15

( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 3+ 4 + 9 ( x + 3)2 + ( y +1)2 = 15 + 9 +1
( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 16 ( x + 3)2 + ( y +1)2 = 25
จดุ ศูนย์กลางคือ (2, −3) รศั มี คือ 4 จุดศูนยก์ ลางคือ (−3, −1) รศั มี คือ 5

2

2. จงเขยี นความสมั พันธ์ซึ่งมกี ราฟเป็นวงกลม เม่ือกาหนด
1) จดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ จี่ ุด (0, 0) และมีรศั มยี าว 3 หน่วย
สมการวงกลมคอื ( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 9
หรือ x2 + y2 − 9 = 0

2) จดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ จี่ ุด (0,0) มรี ศั มยี าว 5
สมการวงกลมคอื ( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 25
หรอื x2 + y2 − 25 = 0

3) จดุ ศูนยก์ ลางอยู่ทจ่ี ุด (0,0) มรี ศั มียาว 10
สมการวงกลมคอื ( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 100
หรือ x2 + y2 −100 = 0

4) จุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ีจุด (1, 0) มีรัศมยี าว 4 หนว่ ย
สมการวงกลมคอื ( x −1)2 + ( y − 0)2 = 16
หรอื x2 + y2 −16 = 0

5) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0, -2) มีรัศมยี าว 5 หนว่ ย
สมการวงกลมคอื ( x − 0)2 + ( y + 2)2 = 25
หรอื x2 + y2 + 4y − 21 = 0

6) จดุ ศูนย์กลางอยูท่ ี่จุด (1, 2) มีรัศมียาว 3 หนว่ ย
สมการวงกลมคือ ( x −1)2 + ( y − 2)2 = 9
หรือ x2 + y2 − 2x − 4y − 4 = 0

7) จุดศูนย์กลางอย่ทู จ่ี ุด (-2, 3) มรี ศั มยี าว 4 หนว่ ย
สมการวงกลมคือ ( x + 2)2 + ( y − 3)2 = 16
หรอื x2 + y2 + 4x − 6y − 3 =16

8) จุดศูนยก์ ลางอยู่ทจ่ี ุด (3, -4) มีรัศมียาว 5 หน่วย
สมการวงกลมคอื ( x − 3)2 + ( y + 4)2 = 25
หรอื x2 + y2 − 6x + 8y + 9 = 0

3

3. จุดศูนยก์ ลางอยู่ท่จี ุดกาเนิดและผา่ นจดุ (7,4)
r = (7 − 0)2 + (4 − 0)2 = 49 +16 = 65
สมการวงกลมคอื ( x − 7)2 + ( y − 4)2 = 65

4. จดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ีจดุ (3,2) และผา่ นจดุ (2,−2)
r = (3 − 2)2 + (2 + 2)2 = 1+16 = 17
สมการวงกลมคือ ( x − 3)2 + ( y − 2)2 = 17

5. จุดศูนย์กลางอยู่ทจี่ ุด (−2, 4) และผา่ นจดุ (5,7)
r = (5 + 2)2 + (7 − 4)2 = 49 + 9 = 58
สมการวงกลมคือ ( x + 2)2 + ( y − 4)2 = 58

6. จดุ ศูนยก์ ลางอยู่ท่จี ุด (−4,6) และผา่ นจุด (6,7)
r = (6 + 4)2 + (7 − 6)2 = 100 +1 = 101
สมการวงกลมคอื ( x + 4)2 + ( y − 6)2 = 101

7. จดุ ศูนย์กลางอยู่ท่ีจดุ (−4,8) และผา่ นจุด (−4, 2)
r = (−4 + 4)2 + (8 − 2)2 = 0 + 36 = 6
สมการวงกลมคือ ( x + 4)2 + ( y − 8)2 = 36

8. จงเขียนสมการวงกลมท่มี ีจุดศูนย์กลางอยทู่ ่จี ุด (0. 0) และวงกลมนีผ้ ่านจดุ (−3,4)
r = (4 − 0)2 + (3− 0)2 = 5
( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 25
สมการวงกลมคือ x2 + y2 = 25

9. จงเขียนสมการวงกลมที่มจี ุดศูนย์กลางอย่ทู ่ีจดุ C (4. −1) และวงกลมน้ีผา่ นจดุ A(−1,3)
r = (4 +1)2 + (−1− 3)2 = 41
สมการวงกลมคอื ( x − 4)2 + ( y +1)2 = 41

4

10. จงเขียนสมการวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางอยทู่ ่จี ดุ C (−3. 2) และวงกลมนี้ผา่ นจดุ A(1,2)
r = (−3 −1)2 + (2 − 2)2 = 4
สมการวงกลมคอื ( x + 3)2 + ( y − 2)2 = 4

11. จงเขียนสมการวงกลมทม่ี ีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ จ่ี ุด (1,2) ถ้าจุดปลายเส้นผ่านศูนยก์ ลางข้างหน่งึ ของวงกลมน้ี
อยู่ท่จี ดุ (4,6)

r = (1− 4)2 + (2 − 6)2 = 5
สมการวงกลมคือ ( x −1)2 + ( y − 2)2 = 25

12. จงเขยี นสมการวงกลมท่ีมีจุดศนู ย์กลางอยทู่ ่จี ุด (−1,2) ถ้าจดุ ปลายเส้นผ่านศูนย์กลางข้างหนง่ึ ของวงกลม
นี้อย่ทู จี่ ดุ (−3, 2)

r = (−1+ 3)2 + (2 − 2)2 = 4
สมการวงกลมคอื ( x +1)2 + ( y − 2)2 = 16

13. จงเขียนสมการวงกลมท่มี ีจุดศนู ยก์ ลางอยู่ทีจ่ ดุ (−5,−2) ถ้าจุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลางขา้ งหน่ึงของ
วงกลมนีอ้ ยู่ท่จี ดุ (2, −2)

r = (−5 − 2)2 + (−2 + 2)2 = 7
สมการวงกลมคอื ( x + 5)2 + ( y + 2)2 = 49

14. ถ้าจดุ (10,3) และ (−2,−13) เป็นจดุ ปลายของเสน้ ผา่ นศนู ย์กลางของวงกลม จงหาสมการวงกลมน้ี

จุดศูนยก์ ลาง คือ 10 − 2 , 3 −13  = (4, −5)
 2 2 

r = (4 −10)2 + (−5 − 3)2 = 36 + 64 = 10

( x − 4)2 + ( y + 5)2 = 100

5

15. ถ้าจดุ A (−1,3) และ C(5,7) เป็นจดุ ปลายของเสน้ ผา่ นศูนย์กลางของวงกลม จงหาสมการวงกลมน้ี

จดุ ศนู ย์กลาง คือ  −1+ 5 , 3 + 7  = ( 2, 5)
 2 2 

r = (2 +1)2 + (5 − 3)2 = 9 + 4 = 13

( x − 2)2 + ( y − 5)2 = 13

16. ถ้าจดุ (−3,2) และจุด (5,8) เป็นจดุ ปลายของเส้นผา่ นศนู ย์กลางของวงกลม จงหาสมการวงกลมนี้

จุดศูนย์กลาง คือ  −3 + 5 , 2+8 = (1, 5)
 2 2 

r = (1+ 3)2 + (5 − 2)2 = 16 + 9 = 5

( x + 3)2 + ( y − 2)2 = 25

17. จงหาสมการวงกลมท่ีมีจุดศนู ยก์ ลางอยู่ที่ (−2, −1)และสมั ผัสกับเส้นตรงซงึ่ มีสมการเปน็ 3x + 4y =15
รศั มี r = 3(−2) + 4(−1) −15 = 5

32 + 42

สมการวงกลมคอื ( x + 2)2 + ( y +1)2 = 25

.
18. จงหาสมการวงกลมท่ีสมั ผสั เส้นตรง 5x −12y = 7 และมจี ดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ี่ (5,−5)
รศั มี r = 5(5) −12(−5) − 7 = 78 = 6

52 + (−12)2 13
สมการวงกลมคือ ( x − 5)2 + ( y + 5)2 = 36

19. จงหาสมการวงกลมที่มจี ุดศูนย์กลางอยู่ที่ (1,2) สมั ผสั เสน้ ตรง 3x + 4y + 4 = 0

รัศมี r = 3(1) + 4(2) + 4 = 15 = 3
32 + 42 5

สมการวงกลมคือ ( x −1)2 + ( y − 2)2 = 9

6
20. จงหาสมการวงกลมทมี่ ีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่จดุ (0, 0) และสมั ผัสเสน้ ตรง y + 4 = 0
 หารศั มขี องวงกลม = 0(0) + (1)(0) + 4 = 4

02 +12

สมการวงกลม คือ ( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 16

21. จงหาสมการวงกลมท่ีมีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ จ่ี ุด (−3,2) และสัมผัสเสน้ ตรง y = −1
 หารัศมีของวงกลม = −3(0) + (2)(1) +1 = 3

02 +12

สมการวงกลม คือ ( x + 3)2 + ( y − 2)2 = 9

22. จงหาสมการวงกลมทมี่ ีจุดศูนย์กลางอยทู่ ี่จุด (0, 0) และสัมผัสเส้นตรง 3x + 4y −10 = 0
 หารัศมขี องวงกลม = 3(0) + (4)(0) −10 = 2

32 + 42

สมการวงกลม คือ ( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 4

23. จงหาสมการวงกลมท่มี ีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ีจดุ (3, 4) และสมั ผสั เส้นตรงที่ลากผา่ นจุด (2, 1) และ

(−2, 4)

หาความชนั 4 −1 = 3

−2 − 4 −4

หาสมการเส้นตรง y −1 = − 3 ( x − 2)

4

4y − 4 = −3x + 6

3x + 4y −10 = 0

หารศั มีของวงกลม = 3(3) + (4)(4) −10 = 15 = 3
32 + 42 5

สมการวงกลม คือ ( x − 3)2 + ( y − 4)2 = 9

7

24. จงหาสมการเส้นตรงท่ีสมั ผสั วงกลม x2 + y2 − 6x + 4y −12 = 0 ทจ่ี ดุ (6, 2)

จัดรปู ใหอ้ ย่ใู นรปู มาตรฐาน ( x2 − 6x) + ( y2 + 4y) = 12

( x − 3)2 + ( y + 2)2 = 12 + 9 + 4 = 25
จุดศนู ย์กลาง (3, −2)

 −2 − 2  m2 = −1
 3−6 

m2 = − 3
4

y − 2 = − 3 (x −6)

4

4y −8 = −x +18

x + 4y − 26 = 0

25. จงหาสมการเสน้ สัมผัสวงกลม x2 + y2 + 4x + 2y = 0ท่จี ดุ (−3,1)
หาจดุ ศนู ย์กลางวงกลม x2 + y2 + 4x + 2y = 0

( x2 + 4x) + ( y2 + 2y) = 0

( x + 2)2 + ( y +1)2 = 4 +1 = 5
จุดศนู ย์กลางวงกลม คอื (−2, −1)

หาความชันของเสน้ สมั ผัส  −1 − 1  m2 = −1 m2 = 1
 −2 + 3  2

หาสมการของเส้นสมั ผัส y −1 = 1 ( x + 3)

2

2y−2 = x+3

x−2y+5= 0

26. จงหาสมการวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางอยูท่ ่ีจดุ ตัดของเส้นตรง x + y = 5และ x − y =1และผ่านจุด

( −2,1)

หาจุดตดั หารัศมี r = (−2 − 3)2 + (1− 2)2 = 25 + 9 = 34

x + y = 5-------- สมการวงกลมคือ ( x − 3)2 + ( y − 2)2 = 34

x − y =1---------

+; 2x = 6
x = 3 แทน x = 3 ใน  จะได้

y=2

ดังน้ันจดุ จุดศนู ย์กลางอยทู่ ี่ (3,2)

8

27. จงหาสมการวงกลมทม่ี ีจุดศูนย์กลางอย่ทู ี่จดุ ตัดของเส้นตรง 2x −3y +1= 0และ x + y − 2 = 0 และผ่าน

จดุ (3, 4)

2x −3y +1= 0----------------- หารัศมี r = (1− 3)2 + (1− 4)2 = 13

x + y − 2 = 0 ------------------- สมการวงกลมคือ ( x −1)2 + ( y −1)2 = 13

3; 3x + 3y − 6 = 0 ---- y =1

+; 5x −5 = 0
x =1 และ แทน x =1ใน 

ดังนน้ั จุดศูนยก์ ลางคือ (1,1)

28. จงหาสมการวงกลมทม่ี ีจุดศูนยก์ ลางอย่ทู ี่จุดตัดของเส้นตรง x + 2y = 3และ 3y − x = 2 และผ่านจุด

(−5, −2)

หาจดุ ตดั หารัศมี r = (1+ 5)2 + (1+ 2)2 = 45

x + 2y = 3-------- สมการวงกลมคือ ( x −1)2 + ( y −1)2 = 45

3y − x = 2 ---------
+; 5y = 5
y =1 แทน y =1 ใน  จะได้

x =1

ดังนน้ั จดุ ศูนยก์ ลางคือ (1,1)

29. จงหาสมการของวงกลมท่ีผ่านจดุ (−1,3) และมจี ดุ ศูนย์กลางรว่ มกับวงกลม x2 + y2 − 4x −10y = 0
ให้จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมจาก x2 + y2 − 4x −10y = 0

จะได้ ( x2 − 4x) + ( y2 −10y) = 0

( x − 2)2 + ( y − 5)2 = 4 + 25 = 29
จดุ ศูนย์กลาง (2,5)

รศั มวี งกลมนี้ = (2 +1)2 + (5 − 3)2 = 13

สมการวงกลมคอื ( x − 2)2 + ( y − 5)2 = 13