Fisika Stastistik-Ruang Fasa

FISIKA STASTISTIK

RUANG FASA

OLEH:
KUSUMA DEWI WIJAYANTI

WARTINAH

BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Setiap cabang ilmu Fisika dipelajari dengan memisahkan ruang yang terbatas dari
lingkungannya. Bagian yang dipisahkan yang menjadi pusat perhatian disebut dengan sistem
dan segala sesuatu diluar sistem disebut lingkungan. Bila suatu sistem telah dipilih maka
kelakuan sistem atau interaksi dnegan lingkungan dinyatakan dalam kuantitas fisis.
Perumusan ruang fase mekanik kuantum menempatkan posisi dan variabel momentum
sejajar dalam ruang fase. Dua bagian utama dari dari formulasi ruang fase adalah bahwa
keadaan kuantum digambarkan oleh distribusi quasiprobability (bukan fungsi gelombang,
vektor negara, atau kepadatan matriks) dan perkalian operator diganti dengan produk bintang.
Teori ini sepenuhnya rinci oleh Hip Groenewold pada tahun 1946 dalam tesis PhD-nya dengan
kontribusipositif signifikan oleh Joe Moyal, setiap bangunan dari ide-ide sebelumnya oleh
Herman Weyl dan Eugene Wigner.
Dalam matematika dan fisika, ruang fase adalah ruang di mana semua negara mungkin
dari suatu sistem yang diwakili, dengan masing-masing negara kemingkinan sistem sesuai
dengan satu titik unik dalam ruang fase. Untuk sistem mekanik, ruang fase biasanya terdiri dari
semua kemungkinan nilai posisi dan momentum variabel (yaitu ruang kotangens ruang
konfigurasi).

1

BAB II
PEMBAHASAN
A. Definisi Ruang Fasa
Ruang fasa adalah ruang yang dibentuk oleh ruang spasial dan ruang
momentum atau ruang spasial dan ruang kecepatan. Kita perlu memahami ruang fasa
karena sebenarnya keadaan sistem statistik yang telah dan akan kita bahas adalah
keadaan sistem tersebut dalam ruang fasa.
Misalkan kita memili sebuah partikel. Posisi partikel dapat diterangkan dengan
lengkap oleh tiga koordinat ruang, yaitu x, y, dan z. Tetapi posisi saja tidak lengkap
mendeskripsikan dinamika partikel. Kita juga memerlukan informasi tentang kecepatan
partikel tersebut. Kecepatan partikel dapat didefinisikan dengan lengkap oleh tiga
koordinat kecepatan, yaitu vx , vy , dan vz . Dengan demikian, dinamika sebuah partikel
dapat dijelaskan secara lengkap oleh enam buah koordinat, yaitu tiga koordinat ruang
x, y, dan z serta tiga koordinat kecepatan vx , vy , dan vz. . Kita dapat menggabungkan
enam koordinat tersebut dalam satu ungkapkan, yaitu ( x, y, z, vx , vy, vz ).
Karena momentum merupakan perkalian masaa dan kecepatan, yaitu p= mv
maka alternatif lain untuk mendeskripsikan dinamika partikel secara lengkap adalah
memberikan tiga koordinat spasial dan tiga koordinat momentum. Dalam deskripsi ini,
dinamika partikel dapat dijelaskan dengan lengkap jika tiga koordinator spasial dan tiga
koordinat momentum dapat ditentukan. keenam koordinat tersebut digabung dalam satu
ungkapan (x, y, z, px , py, pz ).

Ruang yang direpresentasikan oleh koordinat posisi saja disebut ruang spasial. Ruang
yang diungkapkan oleh koordinat momentum saja disebut ruang momentum. Ruang

2

yang direpresentasikan oleh gabungan koordinat ruang dan momentum disebut ruang
fasa.

B. Elemen Volum Ruang Fasa

Jika ruang fasa dibangun oleh ruang spasial tiga dimensi dan ruang momentum tiga
dimensi maka:

 Elemen volum ruang spasial adalah: dVs = dx dy dz
 Elemen volum ruang momentum adalah: dVp = dpx dpy dpz
 Elemen volum ruang fasa menjadi : dΓ = dVs dVp = dx dy dz dpx dpy dpz

Jika ruang fasa dibangun oleh ruang spasial dua dimensi dan ruang momentum dan
dimensi maka:

 Elemen volum ruang spasial adalah: dSs = dx dy
 Elemen volum ruang momentum adalah: dSp = dpx dpy
 Elemen volum ruang fasa menjadi : dΓ = dSs dSp = dx dy dpx dpy

Jika ruang fasa dibangun oleh ruang spasial satu dimensi dan ruang momentum satu
dimenasi maka :

 Elemen volum ruang spasial adalah: dXs = dx
 Elemen volum ruang momentum adalah: dPp = dpx
 Elemen volum ruang fasa menjadi : dΓ = dXs dPp = dx dpx

Perhatikan bahwa yang dimaksud elemen volum pada penjelasan di atas bisa bermakna
umum. Untuk kasus tiga dimensi, yang dimaksud elemen volum adalah elemn volum
yang umumnya kita kenal. Untuk kasus dua dimenasi, yang dimaksud elemen volum
adalah elemen luas, sedangkan untuk kasus satu dimensi, yang dimaksud elemen volum
adalah elemen panjang.

C. Energi Kinetik

Tinjau elemen kecil volum dalam ruang fasa yang dibatasi oleh koordinat-koordinat
berikut ini:

Antara x sampai x + dx

Antara y sampai y + dy

3

Antara z sampai z + dz

Antara px sampai px + dpx

Antara py sampai py + dpy

Antara pz sampai pz + dpz

Volum ruang fasa elemen tersebut adalah
dΓ = dx dy dz dpx dpy dpz (persamaan 3.1)

di dalam elemen volum tersebut, komponen momentum partikel adalah px , py, dan pz
dengan demikian energi kinetik partikel yang berada dalam elemen volum tersebut
adalah

E = 1 mv2 - 1 m(vx2 + vy2+ vz2) - 1 ( [mvx]2 +[mvy]2 +[mvz]2 )
2 2
2

=1 (px2 + py2+ pz2) (persamaan 3.2)

2

D. N System dalam Ruang Fasa
Tiap sistem akan memiliki 6 koordinat fasa yang bebas yang terdiri dari 3 koordinator
ruang dan 3 koordinator monetum.
Koordinat sistem pertama (x1, y1, z1, p1x, p1y, p1z)
Koordinat sistem kedua (x2, y2, z2, p2x, p2y, p2z)
-
-
dan seterusnya.
Jika sistem pertama berada pada elemen volum yang dibatasi oleh koordinat-koordinat
berikut ini.
Antara 1sampai 1 + 1
Antara 1sampai 1 + 1
Antara 1sampai 1 + 1

4

Antara 1 sampai 1 + 1
Antara 1 sampai 1 + 1

Antara 1 sampai 1 + 1
Maka volum elemen ruang fasa yang menjadi lokasi sistem tersebut adalah

Γ1 = 1 1 1 1 1 1

Dengan cara yang sama maka akan kita peroleh elemen volum ruang fasa yang
ditempati sistem kedua adalah

Γ2 = 2 2 2 2 2 2

dan seterusnya. Dari hasil ini maka kita dapatkan elemen total ruang fasa yang ditempati
oleh N buah sistem adalah

Γ = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 …



= ∏

=1



= ∏ Γ ( 3.3)

=1

Di dalam elemen ruang fase tersebut, energi masing-masing sistem adalah

1 = 1 ( 12 + 12 + 12 )
2

2 = 1 ( 22 + 22 + 22 )
2

-

-

-

= 1 ( 2 + 2 + 2 )
2

Dengan demikian energi total N sistem yang menempati ruang fasa dalam persamaan
3.3 adalah

5

= 1 + 2 + ⋯ +



= ∑

=1

= 1 ( 2 + 2 + 2 ) (persamaan 3.4)
2
∑

=1

E. Menghitung Jumlah Keadaan

Pada penurunan fungsi distribusi kita sudah membagi energi atas kelompok-kelompok
energi dari kelompok ke-1 hingga kelompok ke-M. Tinjau sebuah sistem dengan energi
= ( 2 + 2 + 2 )/2 . Penulisan energi di atas dapat dibalik sebagai berikut.

2 + 2 + 2 = (√2 )2 (persamaan 3.5)

Bandingkan persamaan 3 dengan persamaan untuk bola berikut ini.
2 + 2 + 2 = 2 (persamaan 3.6)

Persamaan 3.5 dan 3.6 persis sama. Pada persamaan 3.5 yang berperan sebagai jari-jari
adalah √2 . Ini berarti dalam koordinat momentum, nilai-nilai , , dan yang
memberikan E yang konstan adalah yang berada pada permukaan bola dengan jari-jari
√2 . Satu kulit bola mewakili satu nilai energi. Makin besar jari-jari bola maka
makin besar energi yang dimiliki sistem yang berada pada kulit bola momentum
tersebut.

Gambar 1 Bola pada ruang momentum. Jari-jari bola adalah √2

6

Jika kita bagi energi assembli atas kelompok-kelompok energi maka tiap kelompok
akan diwakili oleh kulit bola dengan ketebalan tertentu. Mari kita ambil elemen volum
pada kulit bola dengan jari-jari √2 dan ketebalan (√2 ) . luas kulit bola tersebut
adalah

= 4 (√2 )2 = 8 (persamaan 3.7)

Tebal kulit bola adalah

(√2 ) = √2 (√ ) = √2 × 1 −1/2 = √2 −1/2 (persamaan 3.8)
2 2

Dengan demikian, volum kulit bola adalah

= (√2 )

= 8 √2 −1/2 = 2 (2 )3/2 1/2 (persamaan 3.9)
2

Gambar 2 Elemen volum dalam ruang momentum berupa kulit bola

Volum ruang fasa yang ditempati oleh sistem yang berada pada kulit bola momentum
serta dalam elemen volum spasial = adalah
Γ = 2 (2 )3/2 1/2 (persamaan 3.10)

7

Volum ruang fasa yang ditempati oleh sistem pada semua ruang spesial, tetapi tetap
berada dalam kulit bola momentum diperoleh dengan mengintegralkan persamaan 3.10
pada elemen ruang spasial. Hasilnya adalah

ΔΓ = ∫ 2 (2 )3/2 1/2

= 2 (2 )3/2 1/2 ( 3.11)

dengan = ∫ adalah volum total ruang spasial yang tidak lain merupakan
volum assembli itu sendiri.

Kita belum mengetahui berapa kerapatan keadaan dalam ruang fasa. Untuk sementara
kita menganggap kerapatan keadaan tersebut adalah B. Jumlah keadaan dalam elemen
ruang fasa ΔΓ sama dengan volum ruang fasa dikali kerapatannya, yaitu
ΔΓ = 2 (2 )3/2 1/2 ( 3.12)

Jika kelompok-kelompok energi yang kita bangun di dalam assembli diwakili oleh kulit
bola maka kita dapat menyamakan dalam persamaan 2.11 dengan ΔΓ pada
persamaan 3.12. Akhirnya, kita dapatkan ungkapan untuk , sebagai

= 2 (2 )3/2 1/2 ( 3.13)

F. Menentukan
Setelah kita mengetahui bentuk dalam fungsi kontinu yaitu yang tertuang dalam
persamaan 3.13, selanjutnya kita akan menentukan dalam bentuk kontinu juga.
Dalam bentuk diskrit, hubungan antara dan adalah
= + (persamaan 2.11)
Pada persamaan di atas adalah jumlah sistem di dalam assembli. Sekarang kita
mendefinisikan kerapatan sistem, yaitu jumlah sistem per satuan energi. Untuk
kerapatan sistem kita gunakan simbol ( ). Dengan demikian, jumlah sistem dalam
kulit bola yang dibatasi oleh energi dan + adalah ( ) . Dengan mengganti
dengan ( ) , dengan persamaan 3.13 kita dapatkan hubungan antara
jumlah sistem dan kerapatan keadaan dalam bentuk kontinu sebagai berikut.
( ) = 2 (2 )3/2 1/2 × +
8

= 2 (2 )3/2 + 1/2 (persamaan 3.14)

G. Volum Elemen Ruang Fasa Dinyatakan dalam Momentum dan Laju

Persamaan 3.11 menyatakan elemen volum ruang fasa dinyatakan dalam variabel
energi. Kita juga dapat menyatakan elemen volum tersebut dalamvariabel mementum
atau laju. Kita mulai dari hubungan = 2/2 ehingga

1/2 = 1 1/2 ( 3.15)
(2 )

1
= ( 3.16)

Substitusi persamaan 3.15 dan 3.16 ke persamaan 3.11 diperoleh ungkapan elemen
ruang fasa dinyatakan dalam momentum sebagai berikut.

1

3 12 1
ΔΓ = 2 (2 )2 × (2 ) ×
= 4 2 (persamaan 3.15)

Mengingat hubungan antara momentum dan laju = maka = .
Konsekuensinya, kita dapat menulis elemen ruang fasa dalam koordinat posisi sebagai
berikut.

ΔΓ = 4 ( )2( )
= 4 3 2 (persamaan 3.16)

Dengan menggunakan persamaan 3.16 maka kita dapatkan = ∆Γ =
4 3 2 dan kerapatan keadaan menjadi

( ) = +
= 4 3 2 × + ( 2/2)

= (4 3 ) 2 − 2/2 (persamaan 3.17)

9

KESIMPULAN

 Ruang fasa adalah ruang yang dibentuk oleh ruang spasial dan ruang momentum atau
ruang spasial dan ruang kecepatan.

 Elemen volum bisa bermakna umum. Untuk kasus tiga dimensi, yang dimaksud elemen
volum adalah elemn volum yang umumnya kita kenal. Untuk kasus dua dimenasi, yang
dimaksud elemen volum adalah elemen luas, sedangkan untuk kasus satu dimensi, yang
dimaksud elemen volum adalah elemen panjang.

 Energi kinetik partikel yang berada dalam elemen volum tersebut adalah

E = 1 mv2 - 1 m(vx2 + vy2+ vz2) - 1 ( [mvx]2 +[mvy]2 +[mvz]2 )
2 2 2

= 1 (px2 + py2+ pz2)
2

 Energi total N sistem yang menempati ruang fasa

= 1 + 2 + ⋯ +



= ∑

=1

= 1 ( 2 + 2 + 2 )
2
∑

=1

 Jika kelompok-kelompok energi yang kita bangun di dalam assembli diwakili oleh kulit
bola maka kita dapat menyamakan dalam persamaan = + dengan ΔΓ
pada persamaan ΔΓ = 2 (2 )3/2 1/2 . Akhirnya, kita dapatkan ungkapan
untuk , sebagai

= 2 (2 )3/2 1/2 Hubungan antara jumlah sistem dan kerapatan keadaan
dalam bentuk kontinu sebagai berikut.

( ) = 2 (2 )3/2 1/2 × +

= 2 (2 )3/2 + 1/2

 Hubungan antara jumlah sistem dan kerapatan keadaan dalam bentuk kontinu sebagai
berikut.

( ) = 2 (2 )3/2 1/2 × +
10

= 2 (2 )3/2 + 1/2
 Ruang fasa dinyatakan dalam momentum sebagai berikut.

1

3 12 1
ΔΓ = 2 (2 )2 × (2 ) ×
= 4 2
kita dapat menulis elemen ruang fasa dalam koordinat posisi sebagai berikut.
ΔΓ = 4 ( )2( )
= 4 3 2
Kerapatan keadaan menjadi
( ) = +
= 4 3 2 × + ( 2/2)
= (4 3 ) 2 − 2/2

11

DAFTAR PUSTAKA
Abdullah, Eng Mikrajuddin, Pengantar Fisika Statistik untuk Mahasiswa, Bandung: KK

Fismatel FMIPA ITB, 2009.
https://scholar.google.com/scholar?hl=en&as_sdt=0%2C5&q=buku+fisika+statistik&btnG=#

d=gs_qabs&u=%23p%3DmGeH50ptlF8J
Safitri, Rini, dkk, Fisika Statistik: Buku untuk Mahasiswa, Banda Aceh: Syiah Kuala

University Press, 2018.
https://books.google.com/books/about/Fisika_Statistik_Buku_untuk_mahasiswa.html?id=II_

PDwAAQBAJ
Virdi, Sparisoma, dkk, Catatan Kuliah Fisika Statistik, Bandung: ITB, 2010.
https://www.researchgate.net/publication/280612859_Catatan_Kuliah_Fisika_Statistik
Adenan, NH & Noorani, MSM. 2015.Peramalan Data Siri Masa Aliran Sungai di Dataran

Banjir dengan Menggunakan Pendekatan Kalut. Jurnal Sains Malaysiana. 44(1): 463-
471.
Dwiyanti, Yanyan. 2012. Pemodelan Perilaku Korosi Baja Paduan (Fe-Cr-Ni) Menggunakan
Metoda Dinamika Molekular. Jurnal Sains dan Teknologi. 8(1): 64-74.

12