Bab 6 - Ketaksamaan Linear Dalam Dua Pemboleh Ubah

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

Bab 6

Ketaksamaan Linear
Dalam Dua

Pemboleh Ubah

Scan QR Code 84
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Scan QR Code
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

6.1: Ketaksamaan Linear Dalam Dua Pemboleh Ubah
NOTA:

Lebih daripada atau sama dengan > Lebih daripada

 Sekurang-kurangnya
Tidak kurang daripada
Minimum

Kurang daripada atau sama dengan < Kurang daripada

 Selebih-lebihnya
Sebanyak-banyaknya
Tidak lebih daripada
Maksimum

A Wakilkan setiap situasi berikut dalam bentuk ketaksamaan linear dengan menggunakan
pemboleh ubah yang sesuai
SP 6.1.1 [TP1]

Contoh: Contoh:

Semua kelas di SMK Parit Besar Sarah perlu membayar lebih daripada RM15
menggabungkan murid lelaki dan murid untuk membeli 5 batang pen dan 4 batang
perempuan dengan keadaan bilangan murid pensel di kedai itu.
dalam setiap kelas tidak lebih daripada 35
orang murid. Katakan: x = pen
y = pensel
Katakan: x = murid lelaki
y = murid perempuan Kata kunci: Lebih daripada → >

Kata kunci: Tidak lebih daripada →  Maka, 5x + 4y > 15

Maka, x + y  35 Tips: Darabkan setiap pemboleh
ubah dengan bilangan
1. Dalam sebuah bas menuju ke Cameron
Highlands, terdapat kurang daripada 40 2. Setiap hari, Mak Som menjual tidak kurang
orang penumpang yang terdiri daripada daripada 100 biji kuih karipap dan kuih
penumpang kanak-kanak dan dewasa. keria di depan rumahnya.

3. Terdapat beberapa keping kertas warna 4. Dalam suatu kuiz Matematik online, Alif
merah dan warna hijau di atas meja Puan akan mendapat 10 markah bagi setiap
Iffah. Diberi bahawa bilangan kertas merah soalan yang dijawab dengan tepat dan
adalah lebih daripada bilangan kertas hijau. dipotong sebanyak 5 markah bagi setiap
soalan yang salah. Markah minimum yang
diperolehnya ialah sebanyak 65 markah.

5. Jumlah dividen simpanan bank yang diterima Jesnita pada tahun lepas adalah selebih-
lebihnya RM 550 hasil simpanannya di dua buah bank, Bank Tulus dan Bank Ace. Bank
Tulus telah memberi dividen sebanyak 5% manakala bank Ace memberi dividen sebanyak
4.5%.

Scan QR Code 85
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

B Selesaikan yang berikut: Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K
SP 6.1.2 [TP2]
Contoh:
Contoh:

Tentukan sama ada titik (5,2) memuaskan Tentukan sama ada titik (–3,0) memuaskan y
y = x + 4, y > x + 4 atau y < x + 4. = 2x – 1, y > 2x – 1 atau y < 2x – 1.

y x+4 y 2x – 1

2 5+4 0 2(–3) – 1
=9 = –7

2<9 0 > –7

Maka, titik (5,2) Maka, titik (–3,0)

memuaskan y < x + 4 memuaskan y > 2x – 1

1. Tentukan sama ada titik (1,4) memuaskan 2. Tentukan sama ada titik (2,–2) memuaskan
y = 3x – 2, y > 3x – 2 atau y < 3x – 2. y = 2x + 6, y > 2x + 6atau y < 2x + 6.

y 3x – 2 y 2x + 6

3. Tentukan sama ada titik (2,5) memuaskan 4. Tentukan sama ada titik (0,1) memuaskan

y = 7 – x, y > 7 – x atau y < 7 – x. y = – 3x + 3, y > – 3x + 3 atau y < – 3x + 3.

NOTA: Gunakan garisan penuh →
Jenis Garisan: Gunakan garisan putus-putus →

 atau 
> atau <

Kawasan Lorek:

 atau > Lorek bahagian ATAS atau KANAN
Lorek bahagian BAWAH atau KIRI
(Lebih Besar)

 atau <

(Lebih Kecil)

Scan QR Code 86
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

C Lorekkan rantau yang mewakili kataksamaan yang diberikan.
SP 6.1.3 [TP3]

Contoh: Contoh: Contoh:

y+x2 x>–1 y  3 + 2x

Tips: Lorek ke Tips: Lorek ke Tips: Lorek ke
bawah garis lurus kanan garis lurus atas garis lurus

1. y > – x + 1 2. y  – x 3. x < 1

4. y  13x + 2 5. y < 2 6. 2y + 11x  –22

7. y  0 8. 3y > x – 3 9. y + 3x < 6

Scan QR Code 87
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

D Lukis garis lurus dan lorek rantau yang memuaskan ketaksamaan berikut
SP 6.1.3 [TP3]

Contoh:
yx–2

①: Bina jadual, letakkan dua nilai x
(cth: 0 & 2), kemudian hitung nilai y
bagi persamaan y = x – 2.
x02
y –2 0

②: Plot kedua-dua koordinat berdasarkan
jadual di ①.

③: Tentukan jenis garis lurus. Garisan
penuh atau putus-putus.

④: Tentukan arah lorekkan berdasarkan
simbol ketaksamaan.

1. y  x + 2 2. y > 1 – 2x

3. x + y  1 4. y < – 1 x
5. y > -2 2

6. x  3

Scan QR Code 88
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

6.2: Sistem Ketaksamaan Linear Dalam Dua Pemboleh Ubah

NOTA: y<x
y lebih besar daripada x y > x y lebih kecil daripada x yx
y  kx
y tidak kurang daripada x yx y tidak lebih daripada x yk
x+y>k
y sekurang-kurangnya k kali x y  kx y selebih-lebihnya k kali x y–x<k
y–xk
Minimum y ialah k yk Maksimum y ialah k

Hasil tambah x dan y lebih besar daripada k

Beza nilai y dan x kurang daripada k

y melebihi x sekurang-kurangnya k

A Tulis semua ketaksamaan linear yang mewakili situasi yang berikut:
SP 6.2.1 [TP3]

Contoh:

Kelab Setem SMK Parameswara telah mengadakan lawatan sambil belajar ke Kuala Lumpur.

Setiap ahli Kelab Setem perlu membayar yuran sebanyak RM50 manakala murid lain perlu

membayar yuran sebanyak RM75.
Katakan x → Ahli Kelab Setem & y → Murid lain.

(a) Maksimum bilangan peserta yang boleh menyertai program ini x + y  80
ialah seramai 80 orang murid sahaja.

(b) Sekurang-kurangnya RM3 750 telah dikutip hasil bayaran yuran 50x + 75y  3750
peserta.

(c) Diberi bahawa bilangan murid lain melebihi bilangan ahli Kelab y – x < 15
Setem. Beza antara bilangan murid lain dan ahli Kelab Setem
adalah kurang daripada 15 orang murid.

1. Naim perlu membeli sejumlah guli berwarna biru dan kuning untuk projek seni “Bendera
Perlis”. Syarat-syarat pembelian guli yang diperlukannya adalah seperti berikut:

(a) Jumlah guli yang perlu dibeli olehnya ialah selebih-lebihnya 500
biji guli.

(b) Naim telah mempunyai sejumlah guli biru dalam simpanannya,
maka beliau perlu membeli guli kuning lebih daripada guli biru.

(c) Jumlah minimum guli biru yang perlu dibelinya ialah sebanyak 230
biji guli.

2. Panitia Matematik SMK Gebang ingin menempah beberapa set papan putih mini yang
berharga RM8 dan beberapa batang pen marker hitam yang berharga RM5 untuk kegunaan
pelajar. Syarat-syarat tempahan adalah seperti berikut:

(a) Bilangan pen marker hitam sekurang-kurangnya 3 kali ganda
bilangan set papan putih mini.

(b) Jumlah pembelian tidak melebihi RM 270

(c) Jumlah papan putih mini perlu lebih daripada 15 set.

Scan QR Code 89
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

3. Sebuah motel di pulau Langkawi mempunyai dua jenis bilik untuk di sewa iaitu jenis bilik
A dan jenis bilik B. Harga sewa bagi jenis bilik A dan jenis bilik B masing-masing ialah
RM100 dan RM 115 semalam. Setiap bilik A mempunyai 2 katil dan setiap bilik B
mempunyai 3 katil.

(a) Jumlah bilangan katil yang terdapat di motel itu adalah tidak kurang
daripada 50 katil.

(b) Jumlah bilangan bilik A adalah selebih-lebihnya 2 kali ganda
bilangan bilik B

(c) Sekiranya semua bilik di motel itu disewa, jumlah bayaran yang
diterima oleh pihak motel adalah lebih daripada RM5 000

4. Puan Irah menjalankan sebuah kajian berkaitan pemakanan dua jenis haiwan ternakan iaitu
itik dan ayam. Dalam kajian itu, secara puratanya, itik menghabiskan 200 g dedak dan 100 ml
air pada setiap kali diberi makan, manakala ayam pula menghabiskan 250 g dedak dan 120 ml
air pada setiap sesi yang sama.

(a) Jumlah bilangan haiwan ternakan yang terlibat dalam kajian
tersebut ialah lebih daripada 100 ekor.

(b) Puan Irah memperuntukkan sekurang-kurangnya 6 kg dedak dalam
kajian tersebut.

(c) Selebih-lebihnya 5 liter air telah digunakan dalam kajian Puan Irah
itu.

5. B
A

xm

D ym C

Rajah di atas menunjukkan sebidang tanah terbiar yang berbentuk segi empat tepat ABCD.
Lebar tanah tersebut ialah x m dan panjangnya diberi sebagai y m. Tulis ketaksamaan bagi
setiap situasi berikut:

(a) Panjang tanah tersebut ialah sekurang-kurangnya 20 meter lebih
berbanding lebarnya.

(b) Maksimum perimeter tanah itu ialah 180 m.

(c) Sisi AB, BC dan CD akan dipagar dengan kawat duri yang berharga
RM4 semeter. Diberi bahawa lebih daripada RM600 diperlukan
untuk tujuan tersebut.

Scan QR Code 90
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

B Tentukan rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan linear berikut.
SP 6.2.2 [TP2]

Contoh:
y  – x dan x > – 2

①: Tentukan arah lorekkan bagi kedua-dua
ketaksamaan
(Rujuk anak panah pada rajah)

②: Kenalpasti kawasan yang merupakan
pertindihan antara kedua-dua arah
lorekkan

Jawapan: Kawasan C

1. y + x > 1 dan y  2 + 2x 2. 3y – x < 1 dan y  – 1

3. y  − 7 + 1 dan x < 1 4. y  – x dan x  0
12 2

5. 3y > x + 6 dan 2y  12 – 11x 6. y < x + 1 dan y  0

Scan QR Code 91
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

C Lorek rantau yang memuaskan setiap sistem ketaksamaan linear berikut
SP 6.2.3 [TP3]

Contoh:
y + x  – 2, 2y > x + 6 dan y  4

①: Lukis garis lurus yang belum dilukis

②: Tentukan arah lorekkan bagi semua
ketaksamaan (Rujuk arah anak panah)

③: Kenalpasti kawasan pertindihan semua
anak panah yang dilukis.

④: Lorek kawasan tersebut.

1. y + x < 2, y  2x + 4 dan y  – 3 2. y > x, y  4 dan x  3

3. y  5x, y  0 dan x + 2y < 10 4. 4y ≥ x, y + x < 7 dan x  0

5. y > − 4 – 2, y  − 4 – 4, x  2 dan y < 3 6. y < 8 – x, y  3x, x < 4 dan x + y  4
3 3

Scan QR Code 92
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

D Tulis semua ketaksamaan linear yang mentakrifkan rantau berlorek dalam rajah berikut.
SP 6.2.3 [TP3]

Contoh:

①: Kenalpasti semua persamaan bagi garis
lurus yang terlibat.

②: Kenalpasti sama ada lorekkan yang
dilukis berada di atas, bawah, kiri atau
kanan garis lurus tersebut.

③: Kenalpasti jenis garisan, garisan penuh
atau putus-putus.

Jawapan:
i. y < 3x
ii. x + y  6

iii. y  –3
1. 2.

Jawapan: Jawapan:
i. i.
ii. ii.

iii. iii.
iv.
3.
4.

Jawapan: Jawapan:
i. i.
ii. ii.

iii. iii.

Scan QR Code 93
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

E Selesaikan masalah berikut
SP 6.2.4 [TP4 & TP5]

Contoh
Sara menggunakan 40 g dan 50 g tepung masing-masing untuk membuat sebiji karipap dan
sekeping biskut. Bilangan biskut yang perlu dihasilkan adalah selebih-lebihnya dua kali ganda
bilangan karipap dengan jumlah jisim tepung yang digunakan adalah kurang daripada 2 kg.
(Katakan bilangan karipap ialah x dan bilangan biskut ialah y)

(a) Tulis dua ketaksamaan linear, selain daripada x  0 dan y  0, yang mewakili situasi itu.

(b) Lukis dan lorek rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan linear pada Rajah 1 di

bawah.

(c) Daripada graf anda di (b), berapakah bilangan karipap dan biskut yang dapat dihasilkan?

Beri dua penyelesaian yang mungkin.

Jawapan:

(a) i. y  2x (b)

ii. 40x + 50y < 2000 atau 4x + 5y < 200

(c) (20,10) → 20 biji karipap & 10 keping
biskut

(15,25) → 15 biji karipap & 25 keping
biskut

Rajah 1

1. Tadika Sinar Budi merancang untuk mengadakan lawatan sambil belajar ke Menara Alor
Setar. Jumlah peserta program yang terdiri daripada guru dan murid adalah tidak lebih
daripada 40 orang peserta dengan keadaan bilangan murid sekurang-kurangnya sama dengan
bilangan guru. (Katakan bilangan guru ialah x dan bilangan murid ialah y).

(a) Tulis dua ketaksamaan linear, selain daripada x  0 dan y  0, yang mewakili situasi itu.
(b) Lukis dan lorek rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan linear pada Rajah 2 di

bawah.
(c) Berdasarkan graf anda di (b), adakah boleh sekiranya terdapat seramai 25 orang guru ingin

menyertai program tersebut? Berikan justifikasi anda.

Jawapan: (b)
(a)

(c)

Rajah 2

Scan QR Code 94
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4

Modul by: Sir Fakhri Math & Sir K

2. Dalam sebuah konsert kumpulan nasyid terkenal, terdapat dua jenis tiket yang dijual kepada
para penonton iaitu tiket x bagi kerusi di tingkat atas dan tiket y bagi kerusi di tingkat bawah.
Jumlah maksimum bagi tiket x dan tiket y yang disediakan masing-masing ialah sebanyak 800
dan 900 keping tiket. Jumlah tiket yang berjaya dijual adalah lebih daripada atau sama dengan
1 000 keping tiket.

(a) Tulis tiga ketaksamaan linear, selain daripada x  0 dan y  0, yang mewakili situasi itu.
(b) Lukis dan lorek rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan linear pada Rajah 3 di

bawah.
(c) Diberi bahawa harga tiket x dan y masing-masing ialah RM30 dan RM50. Daripada graf

anda di (b), hitung beza dalam RM, jumlah kutipan maksimum dan minimum konsert itu.

Jawapan: (b)
(a)

(c)

Rajah 3

3. Dalam satu pertandingan Explorasi Matematik, peserta perlu menjawab beberapa soalan di
lokasi A dan di lokasi B. Setiap soalan yang dijawab dengan betul di lokasi A dan lokasi B
masing-masing akan diberikan sebanyak 2 markah dan 4 markah. Untuk layak ke pusingan
akhir, peserta hanya dibenarkan menjawab maksimum 20 soalan dengan jumlah markah tidak
kurang daripada 40 markah.

(a) Tulis dua ketaksamaan linear, selain daripada A  0 dan B  0, yang mewakili situasi itu.
(b) Lukis dan lorek rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan linear pada Rajah 4 di

bawah.
(c) Daripada graf anda di (b), tentukan bilangan minimum dan bilangan maksimum soalan

yang perlu dijawab dengan betul di lokasi B sekiranya seseorang peserta itu ingin layak ke
peringkat akhir namun hanya berjaya mendapat 20 markah di lokasi A.

Jawapan: (b)
(a)

(c)

Rajah 4

Scan QR Code 95
untuk video penerangan lengkap
Revisi Topikal KSSM Matematik Tingkatan 4