11
i KATA PENGANTAR Puji syukur panjatkan kehadiran Allah SWT Tuhan Yang Maha Esa karena dengan limpahan Rahmat, Taufik dan Hidayah-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan bahan ajar Matematika untuk pesertadidik kelas X Sekolah Menegah Atas. Bahan ajar iniakan membaha mengenai fungsi kuadrat dimana dilengkapi dengan latihan soal untuk menguji pemahaman peserta didik tekait materi yang terdapat pada bahan ajar ini. Bahan ajar fungsi kuadrat ini saysusun dengan segala kemampuan saya semaksimal mungkin. Saya menyadari bahwa dalam penyusuannya tentu tidaklah sempurna dan masih banyak kesalahan ataupun kekurangan. Oleh karena itu, saya sebagai penulis, mohon kritik dan saran dari semua pihak guna langkah perbaikan untuk menyusun bahan ajar selanjutnya. Tidak lupa ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu proses penyusunan bahan ajar ini. Terutama Bapak/Ibu guru dosen, guru Pamong, serta rekan-rekan mahasiswa PPG Prajabatan Gelombang 2 Tahun 2023 Universitas PGRI Semarang. Semoga bahan ajar ini dapat bermanfaat bagi kita semua terutama dalam proses pembelajaran matematika materi fungsi kuadrat. Semarang, Januari 2024 Penulis
ii PETUNJUK PENGGUNAAN 1. Berdo'a terlebih dahulu sebelum mempelajari materi 2. Bacalah terlebih dahulu capaian pembelajaran yang harus dicapai yang terletak sebelum pembahasan materi 3. Bacalah tujuan pembelajaran yang hendak dicapai pada akhir penyelesaian bab yang terletak sebelum pembahasan 4. Pahami uraian materi dengan seksama dan perhatikan segala kegiatan permasalahan yang diberikan dengan sebaik-baiknya 5. Kerjakan latihan soal dengan seksama 6. Mintalah bantuan kepada guru atau teman-teman anda apabila ada hal-hal yang belum dipahami
iii DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ...........................................................................................................i PETUNJUK PENGGUNAAN...............................................................................................ii DAFTAR ISI..........................................................................................................................iii PETA KONSEP.....................................................................................................................iv KOMPETENSI YANG HARUS DICAPAI..........................................................................1 A. CAPAIAN PEMBELAJARAN .................................................................................1 B. TUJUAN PEMBELAJARAN ...................................................................................1 C. MANFAAT PEMBELAJARAN ...............................................................................1 D. PENERAPAN PEMBELAJARAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI.........2 APERSEPSI...........................................................................................................................3 KEGIATAN PEMBELAJARAN ..........................................................................................5 A. KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 ...........................................................................5 Tujuan Pembelajaran...........................................................................................5 Materi Pembelajaran ...........................................................................................5 A. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat ....................................................................5 B. Karakteristik Fungsi Kuadrat.......................................................................5 Contoh Soal.........................................................................................................7 Latihan Soal Individu..........................................................................................8 B. KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 ...........................................................................9 Tujuan Pembelajaran...........................................................................................9 Materi Pembelajaran ...........................................................................................9 C. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Manual .........................9 D. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Menggunakan Geogebra.........9 Contoh Soal.........................................................................................................10 Latihan Soal Individu..........................................................................................12 C. KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 ...........................................................................13 Tujuan Pembelajaran...........................................................................................13 Materi Pembelajaran ...........................................................................................13 E. Menyusun Fungsi Kuadrat..............................................................................13 Contoh Soal.........................................................................................................14 Latihan Soal Individu..........................................................................................15 D. KEGIATAN PEMBELAJARAN 4 ...........................................................................16 Tujuan Pembelajaran...........................................................................................16 Materi Pembelajaran ...........................................................................................16 F.Menyelesaikan Masalah dengan Fungsi Kuadrat ............................................16 Contoh Soal.........................................................................................................16 Latihan Soal Individu..........................................................................................17 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................18
iv PETA KONSEP FUNGSI KUADRAT BENTUK KARAKTERISTIK MENGGAMBAR MENYELESAIKAN UMUM FUNGSI KUADRAT SKETSA GRAFIK MASALAH DENGAN FUNGSI KUADRAT FUNGSI KUADRAT SECARA MANUAL MENGGUNAKAN GEOGEBRA
1 KOMPETENSI YANG HARUS DICAPAI CAPAIAN PEMBELAJARAN Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Mereka dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat (termasuk akar imajiner), dan persamaan eksponensial (berbasis sama) dan fungsi eksponensial. TUJUAN PEMBELAJARAN Adapun tujuan pembelajaran yang harus dicapai peserta didik adalah sebagai berikut: 1. Peserta didik dapat menentukan karakteristik dari fungsi kuadrat melalui diskusi kelompok dengan tepat 2. Peserta didik dapat menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara langsung dan menggunakan bantuan geogebra melalui pengamatan video pembelajaran dengan tepat 3. Peserta didik dapat menyusun fungsi kuadrat dalam beberapa kondisi dengan tepat 4. Peserta didik dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat melalui diskusi kelompok dengan tepat MANFAAT PEMBELAJARAN Adapun manfaat pembelajaran materi fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut: 1. Arsitektur yang ingin mengkonsep bangunan berbentuk melengkung simetris seperti tiang jembatan, biasa berpatokan pada rumus fungsi kuadrat. 2. Seseorang bisa menghitung puncak tertinggi benda yang dilempar pada lintasan parabola dengan persamaan fungsi kuadrat.
2 PENERAPAN FUNGSI KUADRAT DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Adapun penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut: Gambar 1. Lintasan ketika olahraga lompat jauh Gambar 2. Lintasan lemparan ketika bermain basket Gambar 3. Bentuk jembatan tol perbatasan tol BatangKendal Gambar 4. Lintasan air mancur Gambar 5. Bentuk lintasan permainan Roller Coster
3 APERSEPSI Sebelumnya, anda telah mempelajari persamaan linear dan persamaan kuadrat.Apakah anda masih ingat tentang materi tersebut? Mari kita ulang sebentar materi tersebut. Persamaan Linear Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan(=) dan hanya memuat satu variabel dengan pangkat satu. Bentuk umum persamaan linearsatu variabel adalah dan a ≠ 0. Penyelesaian persamaan linear adalah pengganti variabel yang menyebabkan persamaan bernilai benar.Contoh: 1. 2. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang memiliki pangkat tertingginya dua. Contoh bentuk persamaan kuadrat : Secara umum bentuk persamaan kuadrat adalah dengan Persamaan kuadrat terbagi menjadi 3, yaitu 1. Persamaan kuadrat lengkap ,a ≠ 0 untuk setiap 2. Persamaan kuadrat tak lengkap ,a ≠ 0 untuk setiap 3. Persamaan kuadrat murni ,a ≠ 0 untuk setiap
4 Diskriminan Diskriminan adalah suatu nilai yang menjadi penentu sifat-sifat dari akar suatu persamaan kuadrat. Jadi, jenis akar dari persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara mengetahui nilai diskriminan atau dapat dinotasikan dengan “D”. Rumus diskriminan adalah sebagai berikut:
5 KEGIATAN PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 Tujuan Pembelajaran Peserta didik dapat menentukan karakteristik dari fungsi kuadrat melalui diskusi kelompok dengan tepat Materi Pembelajaran A. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinomial atau suku banyak dimana pangkat tertinggi dari variable atau peubahnya adalah 2. Maka, bentuk umum dari fungsi kuadrat mendekati bentuk umum persamaan kuadrat. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah sebagai berikut: Dengan keterangan sebagai berikut: adalah fungsi kuadrat, adalah koefisien adalah konstanta adalah variabel B. Karakteristik Fungsi Kuadrat 1. Keterbukaan Untuk menentukan keterbukaan grafik fungsi kuadrat dapat dilihat berdasarkan tanda a. a. Jika , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum atau parabola terbuka ke atas. b. Jika , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum atau parabola terbuka ke bawah. 2. Titik Potong Terhadap Sumbu X Kurva memotong sumbu X apabila atau Berdasarkan tanda diperoleh berikut.
6 a. Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. b. Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berimpit atau menyinggung sumbu X. c. Jika grafik fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. 3. Titik Potong Terhadap Sumbu Y Kurva memotong sumbu Y apabila atau Berdasarkan nilai c diperoleh berikut. a. Untuk grafik memotong sumbu Y di atas O (0,0) b. Untuk grafik melalui titik asal O (0,0) c. Untuk grafik memotong sumbu Y di bawah O (0,0) 4. Sumbu Simetri, Nilai Ekstrem, dan Titik Puncak/Titik Balik a. Persamaan sumbu simetri parabola b. Nilai ekstrem (maksimum/minimum) parabola c. Titik puncak/titik balik fungsi kuadrat ( ) ( ) 5. Kedudukan Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X Gambar 6. Kedudukan Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X 1) Jika dan , parabola terbuka keatas dan memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. 2) Jika dan , parabola terbuka keatas dan menyinggung sumbu X. dikatakan parabola di atas dan pada sumbu X untuk setiap Secara aljabar dapat dikatakan: Bentuk untuk setiap atau bentuk tidak pernah negative untuk setiap
7 3) Jika dan , parabola terbuka keatas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. dikatakan parabola selalu berada di atas sumbu X untuk setiap Secara aljabar dapat dikatakan: Bentuk untuk setiap atau bentuk disebut definit positif. Jika dan , parabola terbuka ke bawah dan memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. 4) Jika dan , parabola terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu X. dikatakan parabola di bawah dan pada sumbu X untuk setiap Secara aljabar dapat dikatakan: Bentuk untuk setiap atau bentuk tidak pernah positif untuk setiap 5) Jika dan , parabola terbuka ke bawah dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. dikatakan parabola selalu berada di bawah sumbu X untuk setiap Secara aljabar dapat dikatakan: Bentuk untuk setiap atau bentuk disebut definit negative. Contoh Soal 1. Tentukan batas-batas nilai m agar grafik fungsi memotong sumbu X di dua titik yang berbeda! Alternatif Penyelesaian: berarti Syarat agar grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berbeda adalah . Maka, ( )
8 Jadi, agar grafik fungsi memotong sumbu x di dua titik yang berbeda, batas nilai m adalah 2. Tentukan titik potong dengan sumbu X, titik potong dengan sumbu Y, sumbu simetri, nilai ekstrem, dan titik puncak ! Alternatif Penyelesaian: Titik potong dengan sumbu X, maka y = 0 Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah Titik potong dengan sumbu Y, maka x = 0 Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah Sumbu Simetri Nilai ekstrem Titik Puncak ( ) Latihn Soal Individu Kerjakan soal-soal berikut dibuku catatan anda! 1. Tentukan batas-batas nilai k agar grafik fungsi memotong sumbu X di dua titik yang berbeda! 2. Tentukan titik potong dengan sumbu X, titik potong dengan sumbu Y, sumbu simetri, nilai ekstrem, dan titik puncak ! 1 5 + - +
9 KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 Tujuan Pembelajaran Peserta didik dapat menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara langsung dan menggunakan bantuan geogebra melalui pengamatan video pembelajaran dengan tepat (Link Video Pembelajaran: https://docs.google.com/presentation/d/13cpL19tKRompUAMCMX92p1HN2ZdFtCtm/e dit?usp=sharing&ouid=100765839155720859346&rtpof=true&sd=true ) Materi Pembelajaran C. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Manual Langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara manual adalah sebagai berikut: 1. Menentukan titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0 2. Menentukan titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0 3. Menentukan sumbu simetri 4. Menentukan nilai ekstrem 5. Menetukan titik puncak/titik balik fungsi kuadrat ( ) ( ) D. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Menggunakan Geogebra Langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat menggunakan geogebra adalah sebagai berikut: 1. Install aplikasi Geogebra 3D Calculator di smarthphone masing-masing 2. Setelah terinstall buka aplikasi Geogebra 3D Calculator 3. Klik ‘Input’ untuk memasukan persamaan fungsi kuadrat yang terdapat pada soal 4. Klik ‘Tombol Enter’ sehingga muncul grafik fungsi kuadrat
10 5. Untuk mengetahui titik potong dengan sumbu X, titik potong dengan sumbu Y, dan titik puncak dari fungsi kuadrat pada aplikasi Geogebra 3D Calculator, klik ‘Simbol Titik Tiga’ yang terdapat samping kana saat kita memasukan persamaan fungsi kuadrat 6. Kemudian pilih ‘Special Points’ sehingga muncul titik potong dengan sumbu X, titik potong dengan sumbu Y, dan titik puncak dari fungsi kuadrat Contoh Soal Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat secara manual dan menggunakan geogebra dilengkapi dengan langkah-langkah menggambarrnya! Alternatif Penyelesaian: Dengan Cara Manual a. Titik potong dengan sumbu x, jika y=0 Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (-8,0) dan (4,0) b. Titik potong dengan sumbu y, jika x=0 Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0,-32) c. Sumbu simetri d. Nilai ekstrem e. Titik puncak ( ) f. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
11 Dengan Menggunakan Geogebra 1. Buka aplikasi geogebra 2. Klik input 3. Tuliskan persamaan fungsi kuadrat, kemudian klik enter
12 4. Untuk mengecek titik potong dengan sumbu X, titik potong dengan sumbu Y, dan titik puncak klik ‘Simbol Titik Tiga’ yang terdapat samping kana saat kita memasukan persamaan fungsi kuadrat 5. Kemudian pilih ‘Special Points’ sehingga muncul titik potong dengan sumbu X, titik potong dengan sumbu Y, dan titik puncak dari fungsi kuadrat Latihan Soal Individu Kerjakan soal-soal berikut dibuku catatan anda! 1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat secara manual dilengkapi dengan langkah-langkah menggambarrnya! Kemudian buktikan jawaban anda menggunakan aplikasi geogebra, apakah sama atau berbeda? 2. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat secara manual dilengkapi dengan langkah-langkah menggambarrnya! Kemudian buktikan jawaban anda menggunakan aplikasi geogebra, apakah sama atau berbeda
13 KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 Tujuan Pembelajaran Peserta didik dapat menyusun fungsi kuadrat dalam beberapa kondisi dengan tepat Materi Pembelajaran E. Menyusun Fungsi Kuadrat Ada beberapa cara untuk menyusun fungsi kuadrat 1. Grafik fungsi memotong sumbu X di A dan B serta melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai: dengan nilai a ditentukan kemudian. 2. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai: dengan nilai a ditentukan kemudian. 3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai: dengan nilai a ditentukan kemudian. 4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
14 dengan nilai a, b , dan c ditentukan kemudian. Contoh Soal 1. Sebuah fungsi kuadrat memotong sumbu X di Jika grafik melalui titik tentukan persamaan fungsi kuadrat! Alternatif Penyelesaian: Persamaan fungsi kuadratnya dapat di-nyatakan sebagai Grafik itu melalui titik memenuhi: Fungsi kuadratnya adalah: Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah 2. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai titik balik dan melalui titik . Tentukan persamaan fungsi kuadrat! Alternatif Penyelesaian: Titik balik persamaan fungsi kuadrat itu persamaan fungsinya adalah . Grafik melalui titik maka memenuhi persamaan: Fungsi kuadratnya adalah: Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah
15 Latihan Soal Kerjakan soal-soal berikut dibuku catatan anda! 1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di A dan B dan melalui titik ! 2. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X di A dan melalui titik ! 3. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak dan melalui titik !
16 KEGIATAN PEMBELAJARAN 4 Tujuan Pembelajaran Peserta didik dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat melalui diskusi kelompok dengan tepat Materi Pembelajaran F. Menyelesaikan Masalah Dengan Fungsi Kuadrat Langkah-langkah memecahkan masalah yang berhubungan dengan fungsi kuadrat adalah sebagai berikut: 1. Menyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan) dengan huruf 2. Merumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah 3. Menentukan penyelesaian dari model matematika yang diperoleh pada langkah 2 4. Menafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula Contoh Soal Soal Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari untuk ternakan bebek. Peternakan itu dibuat persegi panjang. Panjang kawat yang tersedia 400 meter a. Tentukan ukurannya agar terdapat daerah peternakan yang seluas-luasnya! b. Tentukan luas maksimumnya! Alternatif Penyelesaian: Keliling = 400 m a.
17 L maksimum saat Jadi, agar terdapat daerah peternakan yang seluas-luasnya ukurannya adalah b. Jadi, luas maksimumnya adalah 10.000 Latihan Soal Individu Kerjakan soal berikut dibuku catatan anda! Panjang sebuah besi beton 12 m. Bagian ujung-ujungnya dibengkokkan sehingga bentuknya menyerupai huruf U. a. Jika L menyetakan luas penampang bentuk U, nyatakan L sebagai fungsi x! b. Carilah nilai x agar luas L mencapai maksimum! c. Tentukan luas maksimumnya!
18 DAFTAR PUSTAKA Purnomo, Agus, Dkk.2023.Modul Belajar Praktis Matematika Kurikulum Merdeka Untuk SMA/MA dan SMK/MAK Kelas X Semester 2.Jawa Tengah: CV VIVA PAKARINDO