Rangkuman dan soal latihan

Latihan Soal Math Club
Notasi Sigma

∑
∑

∑∑

Pembahasan

∑(
Penyelesaian :
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, maka kita bisa meyelesaikannya dengan mudah.
∑( ∑ ∑

(( ) (
(

∑( (
Penyelesaian :
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, maka kita bisa meyelesaikannya dengan mudah.
∑( ( ∑(

∑ ∑ ∑∑

( ( ( (
( ((

Penyelesaian :

Kita tahu bahwa deret tersebut merupakan deret aritmatika, nilai a = 1 dan b = 4, sehingga
dengan menggunakan rumus suku ke-n deret artmatika diperoleh

(
(

Bentuk notasi sigmanya : (( ( (
( ∑(

Penyelesaian :
Kita tahu bahwa deret tersebut merupakan deret aritmatika, nilai a = 2 dan b = 2, sehingga
dengan menggunakan rumus suku ke-n deret artmatika diperoleh

(
(

Bentuk notasi sigmanya :

∑
*) Batas atasnya 9 karena banyaknya suku ada 9.

∑ ∑(

Penyelesaian :
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, maka kita bisa meyelesaikannya dengan mudah.

∑ ∑( ∑ ∑ ((

∑ ∑(
∑ ∑(
∑(

Ringkasan Materi

Matematika

28

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Bentuk Pangkat, Akar,
dan Logaritma
1

Kelas X Semester 1 5)  a n = an
 b  bn
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Memecahkan  Menggunakan 6) a0 = 1
masalah yang aturan pangkat, akar,
berkaitan dengan dan logaritma. 7) a−n = 1
bentuk pangkat, an
akar, dan logaritma.  Melakukan
manipulasi aljabar B. Bentuk Akar
dalam perhitungan
yang melibatkan Pada bentuk akar berlaku:
pangkat, akar, dan
logaritma. 1) n am = a m
n

2) m a × n b = m× n a×b

A. Bentuk Pangkat 3) m a = m a
Bentuk pangkat meliputi: pangkat bulat positif, n b n b
pangkat bulat negatif, dan pangkat nol.
Secara umum perpangkatan bulat positif suatu 4) m a × n a = mn an × am
bilangan real didefinisikan:
5) ma = mn an
nb am

an = a × a × a × ... × a C. Logaritma
Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari per­
sebanyak n faktor pangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai
berikut.
Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat untuk

a, b ∈ R; m, n ∈ B ; a ≠ 0, b ≠ 0 (R = himpunan bilangan

real dan B = himpunan bilangan bulat) berikut. x = an ⇔ alog x = n
untuk a > 0, a ≠ 1 dan x > 0.
1) am × an = am +n

2) am = am −n
an
Keterangan:
3) (am)n = am × n

4) (ab)n = an × bn a = bilangan pokok atau basis logaritma

x = numerus, bilangan yang dicari logaritmanya,

x > 0

n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau

negatif 29

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Sifat-sifat logaritma:

1) alog a = 1

2) alog 1 = 0

3) alog x + alog y = alog (x . y)

4) alog x – alog y = alog x
y

5) alog xn = n . alog x

6) alog x = c log x
7) alog x = c lo1ga
x loga

8) a a log x = x

9) an log x m = m . a log x
10) n
1
alog x = − a log x

11) 1 log x = − a log x
a

12) alog x . xlog y = alog y

13) alog an = n

14) log2x = log x . log x
15) log-1 x = 1

log x

30

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Persamaan kuadrat
dan Fungsi
2

Kelas X Semester 1 Kompetensi Dasar B. Persamaan Kuadrat
Standar Kompetensi Bentuk umum persamaan kuadrat:

Memecahkan  Memahami konsep ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0
masalah yang fungsi.
berkaitan dengan Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan
fungsi, persamaan  Menggambar
dan fungsi grafik fungsi aljabar dengan:
kuadrat serta sederhana dan
pertidaksamaan fungsi kuadrat.  memfaktorkan;
kuadrat.
 melengkapkan bentuk kuadrat sempurna;

 menggunakan rumus abc:

x1,2 = −b ± b2 − 4ac
2a
A. Pengertian Relasi dan Fungsi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:
pemasangan ang­gota-anggota himpunan A dengan
anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu 1) jumlah akar-akar persamaan kuadrat:
fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu
relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan x1 + x2 = − b
tepat satu anggota B. a
Fungsi f dari himpunan A ke B ditulis:
2) hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:
f:A→B
x1 . x2 = c
(dibaca: fungsi f memetakan A ke B) a

Pada fungsi f : A → B berlaku: C. Fungsi Kuadrat
1) Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari Bentuk umum fungsi kuadrat:

f, ditulis Df. f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ R
2) Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)
Cara-cara menentukan fungsi kuadrat:
dari f. a. jika diketahui titik potong dengan sumbu x di
3) Himpunan dari semua peta f di B disebut daerah
(x1, 0) dan (x2, 0)maka y = f(x) = a (x – x1) (x – x2);
hasil (range) dari fungsi tersebut, ditulis Rf. b. jika diketahui koordinat titik puncak (titik balik)

nya P (p,q), maka y = f(x) = a(x – p)2 + q;
c. jika melalui tiga titik yang diketahui, digunakan

y = ax2 + bx + c.

31

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Sistem Persamaan

3

Kelas X Semester 1 2) Sistem persamaan linear dengan tiga variabel.

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Bentuk umumnya:

Memecahkan  Menyelesaikan  ax + by + cz = d
kx + ly + mz = n ;
masalah yang sistem persamaan  px + qy + rz = s

berkaitan dengan linear dan sistem

sistem persamaan persamaan a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s = bilangan real.

linear dan campuran linear dan

pertidaksamaan satu kuadrat dalam dua

variabel. variabel. Sistem persamaan linear dengan persamaan

 Merancang model kuadrat. Bentuk umumnya:

matematika dari y = ax + b

masalah yang  ; a, b, p, q, r = bilangan real.

berkaitan dengan y = px 2 + qx + r

sistem persamaan

linear. Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel.
Bentuk umumnya:
 Menyelesaikan

model matematika

dari masalah yang y = ax2 + bx + c ; a, b, c, p, q, r = bilangan real.

berkaitan dengan  y = px 2 + qx + r

sistem persamaan

linear dan

penafsirannya. B. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan
Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem
A. Sistem Persamaan Linear persamaan linear dengan dua variabel dan
persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan
Sistem persamaan linear terdiri atas dua atau beberapa cara, yaitu:
1) substitusi,
lebih persamaan linear. Sistem persamaan linear 2) eliminasi, dan
3) gabungan substitusi dan eliminasi.
terbagi atas:

1) Sistem persamaan linear dengan dua variabel.

Bentuk umumnya:

ax + by = c
px + qy = r
; a, b, c, p, q, r = bilangan real.

32

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Pertidaksamaan

4

Kelas X Semester 1 1) Pertidaksamaan linear, yaitu suatu pertidak­

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar samaan yang mempunyai variabel pangkat

Memecahkan  Menyelesaikan satu.
masalah yang pertidaksamaan
berkaitan dengan satu variabel yang Contoh: x + 4 < 2x + 7
fungsi, persamaan melibatkan bentuk
dan fungsi pecahan aljabar. 2) Pertidaksamaan kuadrat, yaitu suatu pertidak­
kuadrat serta
pertidaksamaan  Merancang model samaan yang mempunyai variabel pangkat
kuadrat. matematika dari
masalah yang dua.
berkaitan dengan
pertidaksamaan satu Contoh: x2 – 2x + 4 < 7
variabel.
3) Pertidaksamaan pecahan, yaitu suatu pertidak­
 Menyelesaikan
model matematika samaan yang mempunyai bentuk pecahan dan
dari masalah yang
berkaitan dengan mengandung variabel x pada penyebutnya.
pertidaksamaan
satu variabel dan Contoh: 2x + 3 >0
penafsirannya. 1 − 2x

4) Pertidaksamaan nilai mutlak (harga mutlak),

yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai

tanda mutlak. Pada pertidaksamaan nilai mutlak

berlaku:

A. Pengertian Pertidaksamaan x > 0 sama artinya –a < x < a.
Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang x < 0 sama artinya x < –a atau x > a.
memuat satu variabel (peubah) atau lebih dan tanda- 5) Pertidaksamaan bentuk akar, yaitu pertidak­
tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, atau ≥).
samaan yang variabelnya terletak di bawah

tanda akar. Cara penyelesaiannya diawali

dengan menguadratkan kedua ruas.

B. Jenis-Jenis Pertidaksamaan dan Penyelesai­ Contoh: x −1 < 0
annya

Berdasarkan pangkat dari variabelnya (bentuk
pertidaksamaan), pertidaksamaan dapat dibagi
atas:

33

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Logika Matematika

5

Kelas X Semester 2 A. Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Negasinya
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan,
apakah bernilai benar atau salah.
Menggunakan  Memahami
logika matematika pernyataan dalam Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat
dalam pemecahan matematika dan ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau
masalah yang ingkaran atau salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah
berkaitan dengan negasinya. bersamaan.
pernyataan
majemuk dan  Menentukan Ingkaran pernyataan (negasi penyataan) adalah
pernyataan nilai kebenaran kebalikan dari penyataan. Jika pernyataan benar,
berkuantor. dari suatu per- ingkarannya salah, dan sebaliknya.
nyataan majemuk
dan pernyataan Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~p, dibaca:
berkuantor. tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p
atau non-p.
 Merumuskan
pernyataan yang Contoh:
setara dengan p = Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat.
pernyataan majemuk
atau pernyataan (benar/B)
berkuantor yang Ingkarannya:
diberikan. ~ p = Bandung bukan ibu kota Provinsi Jawa Barat.

 Menggunakan (salah/S)
prinsip logika ~ p = Tidak benar bahwa Bandung adalah ibu kota
matematika yang
berkaitan dengan Provinsi Jawa Barat. (salah/S)
pernyataan majemuk
dan pernyataan Penyataan Majemuk
berkuantor
dalam penarikan Pernyataan majemuk adalah penyataan yang
kesimpulan dan terdiri dari dua pernyataan atau lebih dapat
pemecahan masalah

34

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

dihubungkan dengan kata hubung, yaitu: ... dan ... , ... Tabel kebenaran implikasi: p⇒q
atau ... , jika ... maka ..., dan ... jika dan hanya jika ... . pq B
Contoh: Hari ini mendung atau langit berwarna BB S
biru. BS B
SB B
Jenis-Jenis Kalimat Majemuk SS
Ada empat pernyataan majemuk, yaitu:
1) Konjungsi, yaitu gabungan antara dua 4) Biimplikasi, dibentuk dari (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p),
dinotasikan:
pernyataan dengan memakai kata hubung
”dan”, dinotasikan: p ⇔ q
dibaca: p jika dan hanya jika q,
p ∧ q dibaca: p dan q p syarat cukup dan perlu untuk q,
p ekuivalen dengan q
Tabel kebenaran konjungsi:

p q p∧q

BB B Tabel kebenaran biimplikasi:

BS S p q p⇒q q⇒p p⇔q
BBBBB
SB S BSSBS
SBBS S
SS S SSBBB

2) Disjungsi, yaitu gabungan antara dua pernyataan B. Ingkaran Pernyataan Majemuk
dengan memakai kata hubung ”atau”, dinotasi­ Ingkaran pernyataan majemuk terbagi atas.
kan: 1) Ingkaran dari konjungsi, berlaku:
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
p ∨ q dibaca: p atau q. 2) Ingkaran dari disjungsi, berlaku:
~(p ∨ q) ≡ ~p ∨ ~q
Tabel kebenaran disjungsi: p∨q 3) Ingkaran dari implikasi, berlaku:
pq B ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
BB B 4) Ingkaran dari biimplikasi, berlaku:
BS B ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
SB S
SS

3) Implikasi, yaitu gabungan antara dua pernyataan C. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
dengan memakai kata hubung ”jika …maka…”, Dari implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi baru,
dinotasikan: yaitu:
 Konvers: q ⇒ p
p → q dibaca: jika p maka q,  Invers: ~p ⇒ ~q dan
p hanya jika q,p syarat cukup untuk q,  Kontraposisi: ~q ⇒ ~p
q syarat perlu untuk p, atau q jika p

35

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

D. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya b) Aturan Tollens, berlaku:
Pernyataan berkuantor terdiri atas: Jika p ⇒ q benar dan ~q benar maka
1) Pernyataan berkuantor universal, dinotasikan: pernyataan ~p bernilai benar.

∀p(x) (dibaca: “Untuk semua x, berlaku-­ p ⇒ q
lah p(x)”) ~p
∴ ~q
Ingkarannya:
c) Silogisme, berlaku:
~(“∀ p(x)) ≡ ∃x ~p(x) (dibaca: “ingkaran
untuk semua x yang berlaku p(x) adalah Jika p ⇒ q dan q ⇒ r keduanya
ada x yang bukan p(x)”). benar maka p ⇒ r juga benar.
p ⇒ q
q ⇒ r
2) Pernyataan berkuantor eksistensial, dinotasi­ ∴ p ⇒ r

kan: 2) Penarikan kesimpulan dari pernyataan ber­
kuantor
∃(x) p(x)
(dibaca: “Ada x sehingga berlaku p(x)”) Contoh:
p(x) : Jika suatu segitiga merupakan segitiga
Ingkarannya:
sama kaki maka mempunyai dua sudut
~(∃x p(x)) ≡ ∀x ~p(x) (dibaca: “ingkaran sama besar.
beberapa x berlaku p(x) adalah semua x ≡ Setiap segitiga sama kaki mempunyai dua
bukan p(x)”). sudut sama besar.

E. Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan terbagi atas:
1) Penarikan kesimpulan dari pernyataan majemuk,

dengan aturan:
a) Modus Ponens, berlaku:
Jika p ⇒ q benar dan p benar
maka pernyataan q bernilai benar.
p ⇒ q
p
∴ q

36

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Trigonometri

6

Kelas X Semester 2 A. Perbandingan Trigonometri
Rumus-rumus perbandingan trigonometri
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Menggunakan  Melakukan 1) sin α = panjang sisi depan y
panjang sisi miring = r
perbandingan, manipulasi aljabar

fungsi, persamaan, dalam perhitungan panjang sisi apit x r
panjang sisi miring r α
dan identitas teknis yang cos α = = y
x
trigonometri dalam berkaitan dengan

pemecahan masalah perbandingan, tan α = panjang sisi depan = y
panjang sisi apit x
fungsi, persamaan

dan identitas 1 1
cos sin
trigonometri. 2) sec α = α ; cosec α = α ;

 Merancang model

matematika dari cotan α = 1 α; cosec α = cos α ;
tan sin α
masalah yang

berkaitan dengan Perbandingan trigonometri sudut α dengan (90o– α)
3) sin (90° – α) = cos α
perbandingan, cos (90° – α) = sin α
tan (90° – α) = cotan α
fungsi, persamaan cotan (90° – α) = tan α
cosec (90° – α) = sec α
. dan identitas sec (90° – α) = cosec α
Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180o– α)
trigonometri. 4) sin (180° – α) = sin α
cos (180° – α) = –cos α
 Menyelesaikan tan (180° – α) = –tan α
cotan (180° – α) = –cotan α
model matematika cosec (180° – α) = sec α
sec (180° – α) = -cot α
dari masalah yang

berkaitan dengan

perbandingan,

fungsi, persamaan

dan identitas

trigonometri, dan

penafsirannya.

37

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180o+ α) C. Identitas Trigonometri
5) sin (180° + α) = –sin α Contoh identitas trigonometri:
cos (180° + α) = –cos α 1) sin2 a + cos2 a = 1
tan (180° + α) = tan α 2) 1 + tan2 a = sec2 a
cotan (180° + α) = cotan α
cosec (180° + α) = -cosec α D. Persamaan Trigonometri
sec (180° + α) = -sec α Untuk k∈B (B = himpunan bilangan bulat), diperoleh
persamaan sebagai berikut.
90° 1) Jika sin x = sin a, maka:
x1 = a + k . 360° x2 = (180° – a) + k . 360°
Kuadran II Kuadran I 2) Jika cos x = cos a, maka:
sinus positif semua positif x1 = a + k . 360° x2 = –a + k . 360°
3) Jika tan x = tan a, maka:
180° 0° x = a + k . 180°
4) Jika cotan x = cotan a, maka:
Kuadran III Kuadran IV x = a + k . 180°
tangan positif kosinus positif

270°

B. Fungsi Trigonometri E. Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus
Fungsi trigonometri dapat berbentuk sebagai
berikut. Segitiga
1) f(x) = a sin (kx + b)
Aturan sinus:

a A = b = c
sin sin B sin C
C

periode = 360° = 2p Aturan kosinus:
k k
1) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b a

nilai maksimum = a nilai minimum = – a 2) b2 = a2 + c2 – 2ac cos B A c B
2) f(x) = a cos (kx + b) 3) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

periode = 360° = 2p Luas segitiga:
k k
1 1 1
nilai maksimum = a nilai minimum = – a L∆ABC = 2 b.c sin A L∆ABC = 2 ac sinB L∆ABC = 2 a.b sinC

3) f(x) = a tLa∆nABC(k=x 1 bb.)c sin A L∆ABC = 1 ac sinB L∆ABC = 1 a.b sinC
+2 2 2

180° p
k k
periode = =

Tidak ada nilai maksimum dan minimum.

38

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Ruang Dimensi Tiga

7

Kelas X Semester 2 Kedudukan suatu garis terhadap garis lain (dua garis)

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar dibedakan atas:

Menentukan  Menentukan 1) Berimpit 3) berpotongan
kedudukan, jarak, kedudukan titik,
dan besar sudut garis, dan bidang 2) Sejajar 4) bersilangan
yang melibatkan dalam ruang dimensi
titik, garis, dan tiga.
bidang dalam ruang
dimensi tiga.  Menentukan jarak
dari titik ke garis dan
dari titik ke bidang Kedudukan suatu bidang terhadap bidang lain (dua
dalam ruang dimensi bidang) dibedakan atas:
tiga. 1) Berimpit
2) Sejajar
 Menentukan besar 3) Berpotongan
sudut antara garis
dan bidang dan
antara dua bidang
dalam ruang dimensi
tiga.

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang pada
Bangun Ruang B. Proyeksi Ruang
Proyeksi ruang meliputi:
Kedudukan titik dibedakan atas: 1) Proyeksi titik pada garis.
1) Titik terletak pada garis 2) Proyeksi titik pada bidang.
2) Titik terletak di luar garis 3) Proyeksi garis pada bidang.
3) Titik terletak pada bidang
4) Titik terletak di luar bidang

39

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Statistika dan Peluang

8

Kelas XI Semester 1 Kompetensi Dasar A. Statistika
Standar Kompetensi Perbedaan Pengertian Statistik dengan Statistika

Menentukan  Membaca data Statistik merupakan kumpulan angka-angka dari
kedudukan, jarak, dalam bentuk tabel suatu permasalahan, sehingga dapat memberikan
dan besar sudut dan diagram batang, gambaran mengenai masalah tersebut. Sedangkan
yang melibatkan garis, lingkaran, dan statistika adalah cara ilmiah yang mem­pelajari
titik, garis, dan ogive. pengumpulan, pengaturan, perhitungan, peng­
bidang dalam ruang gambaran, dan penganalisisan data, serta penarikan
dimensi tiga.  Menyajikan data kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan
dalam bentuk tabel yang dilakukan, dan pembuatan kesimpulan yang
dan diagram batang, rasional.
garis, lingkaran,
dan ogive serta Penyajian Data Tunggal
penafsirannya. Penyajian data dapat berupa:
1) Diagram batang, yaitu penyajian data dengan
 Menghitung ukuran
pemusatan, ukuran menggunakan batang-batang berbentuk
letak, dan ukuran persegi panjang dengan lebar batang yang
penyebaran data, sama dan dilengkapi dengan skala tertentu
serta penafsirannya. untuk menyatakan banyaknya tiap jenis data.
2) Diagram lingkaran, yaitu penyajian data statistik
 Menggunakan dengan menggunakan gambar yang berbentuk
aturan perkalian, lingkaran, yang dibagi atas juring-juring.
permutasi, dan 3) Diagram garis, yaitu penyajian data pada
kombinasi dalam bidang Cartesius dengan menghubungkan
pemecahan masalah. titik-titik data pada bidang Cartesius (sumbu x
dan sumbu y), sehingga diperoleh suatu grafik
 Menentukan ruang berupa garis.
sampel suatu 4) Diagram Batang daun, yaitu penyajian data yang
percobaan. dibagi atas dua bagian, yaitu bagian batang dan

 Menentukan
peluang suatu
kejadian dan
penafsirannya.

40

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

daun. Bagian batang memuat angka puluhan, 2) Tabel distribusi frekuensi kumulatif, meru­p­ a­
sedangkan bagian daun memuat angka kan tabel frekuensi yang berisikan frekuensi
satuan. kumulatif (frekuensi hasil akumulasi).
5) Diagram kotak garis, yaitu penyajian data dalam Frek­ uensi kumulatif adalah frekuensi yang
bentuk kotak garis. dijumlahkan, yaitu frekuensi suatu kelas
di­jumlahkan dengan frekuensi kelas
Penyajian Data Berkelompok­­ sebelumnya.
Apabila data cukup banyak maka data
Ukuran Data Statistik
dikelompokkan dalam beberapa kelompok,
kemudian data tersebut disajikan dalam bentuk a. Ukuran Pemusatan Data (Ukuran Tendensi
tabel distribusi frekuensi.
Sentral)
Langkah-langkah membuat tabel distribusi
frekuensi adalah sebagai berikut. Ada tiga macam ukuran tendensi sentral, yaitu:
1) Urutkan data dari data terkecil ke data ter­
a) Rata-rata atau mean ( x ), yaitu jumlah seluruh
besar.
2) Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi fre­ nilai-nilai data dibagi dengan banyaknya data.

kuensi, dengan menggunakan metode Sturges: 1) Rata-rata untuk data tunggal (tidak ber­

k = 1 + 3,3 log n kelompok) , rumusnya:

Keterangan: n
k = banyak kelas n = banyak data ∑ x = x1 + x2 + xn3 + ... . + xn = i=1n xi



2) Rata-rata untuk data berkelompok, rumusnya:



∑∑
3) Tentukan interval kelas dengan rumus: n
x = f1x1 +f 1f2+xf22 ++ff33x+ 3 .+....+...f+n fn xn
I R = i=1 fi x i
k n
= fi
i =1

Keterangan:

I = interval kelas k = banyak kelas 3) Rata-rata sesungguhnya, rumusnya:

R = range = jangkauan = data tertinggi – data n
∑ fi di
terendah x = x0 + i =1
n
4) Tentukan batas atas kelas (Ba) dan batas bawah ∑ fi

kelas (Bb). i =1

Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan atas: 4) Rata-rata sesungguhnya dengan mem-
faktorkan interval kelasnya, rumusnya:
1) Tabel distribusi frekuensi relatif: mempunyai

frekuensi relatif dalam bentuk persentase

(%). Besarnya frekuensi relatif dapat ditentu­ ∑ n fi ui 

kan dengan rumus:  
x x0  i =1  I
Fungsi relatif kelas ke-k = = +  n

rela tif kela s frekuensi kelas ke-k ∑  fi 
banyak data
i =1

Frekuensi ke-k = ×100%

41

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Keterangan: Kuartil terbagi atas:

x (eksbar) = rata-rata data  Kuartil bawah (Q1), terletak pada data
n = jumlah semua bobot data urutan ke-¼ (n + 1)

x0 = rata-rata sementara  Kuartil tengah (Q2), terletak pada data
xfIi i = nbiolabiodtautantkuek-In ilai-n ilai xi urutan ke-½ (n + 1)
=
 Kuartil atas (Q3), terletak pada data urutan
= interval kelas ke-¾ (n + 1)

u = d ==f akftaorkitnoterrvianl terval Rumus kuartil untuk data berkelompok:
I

b) Median (Md), yaitu nilai yang terletak di tengah  j n − fkQ 
deretan data setelah diurutkan dari yang terk­ ecil.  4 
Rumus median untuk data berkelompok: Qj = TbQj + j  I

 1  fQ j 
 2  
 n− fk 
Md Tb  f  I
= + Keterangan:

  Qj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3)

Keterangan: TbQi = tepi bawah kelas yang memuat Qj
Md = median
Tb = tepi bawah kelas n = jumlah seluruh frekuensi
fk = frekuensi kumulatif fkQ i = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah
kelas yang memuat Qj
fI Qi = frekuensi kelas yang memuat Qj
c) Modus (Mo), yaitu data yang paling sering = lebar atau panjang kelas (interval kelas)

muncul atau yang mempunyai frekuensi

terbanyak. b) Desil, yaitu ukuran letak yang membagi
sekumpulan data menjadi 10 bagian. Rumus
Rumus modus data kelompok adalah desil untuk data berkelompok:

Mo = Tb +  d1  I  j 
 d1 + d2   10
   n− fkD
 fD j j 
Dj = TbDj +  I
Keterangan:
Mo = modus 
d = selisih antara frekuensi kelas modus dengan
1 frekuensi kelas sebelumnya Keterangan:
d 2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan
frekuensi kelas sesudahnya Dj = desil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 9)
TbDi = tepi bawah kelas yang memuat Dj
b. Ukuran Letak n = jumlah seluruh frekuensi
Ukuran letak suatu data dapat dinyatakan dalam
fkDi = frekuensi kumulatif kurang dari di
bentuk fraktil. bawah kelas yang memuat Dj
Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi sepe­ fDi = frekuensi kelas yang memuat Dj
I = lebar atau panjang kelas (interval kelas)
rangkat data yang telah berurutan menjadi beberapa
bagian yang sama, yaitu: c) Persentil, yaitu ukuran letak yang membagi
a) Kuartil, yaitu ukuran letak yang membagi sekum­ sekumpulan data menjadi 100 bagian. Rumus
kuartil untuk data berkelompok:
pulan data tersebut menjadi 4 bagian yang
sama.

42

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

 j n − fkPj  B. Peluang
 4  Permutasi
Pj = TbPj + fPj  I Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah
 unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.
 Rumusnya:


Keteran gan: n! n!
Pj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 99) −r
nTb Pi = tepi bawah kelas yang memuat Pj P(n, r ) = (n )! atau n Pr = (n − r )!
= jumlah seluruh frekuensi
fkPi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah
kelas yang memuat Pj Di mana k ≤ n
If Pi = frekuensi kelas yang memuat Pj Permutasi terbagi atas:
= lebar atau panjang kelas (interval kelas) 1) Permutasi dengan beberapa objek sama, ber­

c. Ukuran Penyebaran Data (Dispersi) laku:
Ukuran penyebaran data terbagi atas: a) Banyaknya permutasi dari n objek dengan
a) jangkauan atau range (R), berlaku:
r objek sama (r < n) adalah
R = Xmaks – Xmin
n Pr = n!
r!

b) simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata (SR), b) Banyaknya permutasi dari n objek, di mana

rumusnya: ada beberapa objek sama, misalnya ada m1
objek yang sama, ada m2 objek yang sama
nn n serta m3 objek yang sama, dan seterusnya
∑ ∑ ∑xi − x xi x fi xi − x adalah
∑ ∑ SR = i=1SRn= i=1 n − atau 1 n xi=i1− xn
n
atatuaSuR = SR f=i fi

i =1

c) simpangan baku/standar deviasi/deviasi stani=d1 ar Pn m1, m2 , m3,.... = m1 ! n! ....
m2 ! m3 !
(SD), rumusnya:

SD = ∑n (xi − x )2 jika n > 30 2) Permutasi siklis, berlaku:
Banyaknya permutasi siklis dari n objek =
i =1 (n – 1)!

n

SD = ∑n (xi − x )2 jika n ≤ 30 Kombinasi
Banyaknya kombinasi r objek dari n objek ditulis
i =1 dengan nCr atau Crn adalah

n −1

nCr = r n! r )!

d) simpangan kuartil atau jangkauan semi inter­ !(n −

kuartil (Qd), rumusnya: Peluang Suatu Kejadian
Keterangan: Peluang (P) merupakan ukuran mengenai kemung­
1 QQ3d = simpangan kuartil kinan suatu kejadian tertentu akan terjadi dalam
Qd = 2 (Q3 − Q1) = simpangan atas suatu percobaan. Jika hasil suatu percobaan yang

Q1 = simpangan bawah

43

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

mungkin itu dihimpun dalam suatu himpunan Kejadian Majemuk
maka himpunan itu disebut ruang sampel yang Pada kejadian majemuk berlaku:
dilambangkan dengan S. Peluang kejadian saling asing atau kejadian saling
lepas:
Peluang P untuk terjadinya suatu kejadian E adalah
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(E ) = n(E ) Untuk peluang kejadian sembarang A dan B ber­laku:
n(S)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Keterangan:
P(E) = peluang kejadian yang diharapkan sukses Pada kejadian A dan B saling bebas, kejadian A tidak
n(E) = banyaknya anggota kejadian E memengaruhi kejadian B atau kejadian B tidak
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya memengaruhi kejadian A, sehingga berlaku:
kejadian yang mungkin terjadi)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Peluang komplemen suatu kejadian berlaku:
Dua buah kejadian disebut kejadian tidak saling
P(EC) = 1 – P(E) bebas berlaku:


Keterangan:
P(EC) = peluang komplemen suatu kejadian
P(E) = peluang yang diharapkan sukses

Frekuensi Harapan P(A ∩ B) = P(A) × P(B| A)
Jika suatu percobaan dilakukan n kali maka peluang
kejadian yang diharapkan adalah P(E). Perkalian Peluang bersyarat P(B| A) artinya peluang terjadinya
antara berapa kali percobaan dilakukan dengan B setelah A terjadi
peluang kejadian itu dinamakan frekuensi harapan
(fh), ditulis dengan:

fh (E) = n × P(E)

Keterangan:
fPh((EE)) = frekuensi harapan
= peluang kejadian E n = banyak kejadian

44

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Kompisisi Dua Fungsi
dan Invers
9

Kelas XI Semester 2 memetakan setiap elemen dari P (domain)
dengan tepat satu elemen dari Q (kodomain).
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Jika f memetakan suatu elemen x ∈ P ke suatu
elemen y ∈ Q, fungsi f dari A ke B dapat ditulis
Menentukan  Menentukan y = f(x) dengan x sebagai peubah bebas dan y
komposisi dua komposisi fungsi dari sebagai peubah terikat.
fungsi dan invers dua fungsi. Daerah asal (domain) fungsi y = f(x) adalah nilai-
suatu fungsi.
 Menentukan invers
suatu fungsi.

nilai x supaya y = f(x) ada nilainya (terdefinisi).

A. Pengertian Relasi dan Fungsi Syarat agar suatu fungsi terdefinisi :

1. Produk Cartesius
Jika terdapat himpunan P dan Q yang tidak * y = f (x ) → syarat f (x ) ≥ 0
f (x)
kosong, produk cartesius dari himpunan P dan * y = g (x ) → g(x) ≠ 0
Q adalah himpunan pasangan terurut (x, y)

dengan x ∈ P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut. * y = f (x)log (x )

P × Q = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q} → syarat g(x ) > 0 dan f (x ) > 0, f (x ) ≠ 1

2. Relasi
Relasi atau hubungan R dari himpunan P ke Daerah hasil (range) fungsi y=f(x) adalah nilai-nilai
y yang dipengaruhi oleh domain fungsi (Df).
himpunan Q adalah sembarang himpunan
Menentukan range (daerah hasil) dari fungsi
bagian dari produk cartesius P × Q dengan x ∈ kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c adalah sebagai
P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut: berikut.

R = {(x, y)  x ∈ P dan y ∈ Q}  Untuk Df = {xx ∈ R}
- Jika a > 0, daerah hasilnya Rf = {yy > ye,
3) Fungsi y ∈ R}
Suatu fungsi f atau peme­
- Jika a < 0, daerah hasilnya Rf = {yy < ye,
taan f dari himpunan P
ke himpunan Q adalah y ∈ R} dengan ye =  b2 − 4ac 
suatu relasi khusus yang − 4a 



45

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

 Untuk Df = {xp < x < q, x ∈ R} ete=nt−u2kbaan D. Komposisi Fungsi
- Jdikiadaablasims tiitniktepruvnalcadkonmyaainx, Jika fungsi f: A → B dan fungsi g: B → C, fungsi h:
A → C disebut fungsi komposisi yang ditentukan
oleh rumus sebagai berikut.
f(xe), f(p), dan f(q), sehingga: Rf = {yfmin
< y < fmaks , y∈ R} h = gof = gof(x) = go{f(x)} = (gof)(x)
- Jika absis titik puncaknya (xe) di luar
interval domain, tentukan f(p), dan f(q),  Syarat agar fungsi g dan fungsi f dapat dikom­

sehingga: Rf = {yfmin < y < fmaks , y∈ R}. posisikan menjadi (gof) adalah sebagai berikut.
- Irisanantaradaerahhasilfungsidengandaerah
B. Sifat-sifat Fungsi
 Fungsi dari himpunan P ke Q asal fungsi g bukan himpunan kosong.

disebut satu-satu (one-one (Rf ∩ Rg) ≠ 0
/ injektif ) jika setiap elemen - Daerah asal fungsi komposisi (gof) adalah
dari P hanya mempunyai
satu peta di Q dan tidak harus semua elemen himpunan bagian dari daerah asal fungsi f.
dari Q terpetakan dari P.
 Fungsi dari himpunan P ke - DaerDah(gohf )as⊆il Df komposisi (gof) adalah
himpunan Q disebut pada fungsi
(onto / surjektif ) jika setiap
elemen dari himpunan Q himpunan bagian dari daerah hasil fungsi g.
habis terpetakan (mempunyai minimal satu
pasangan dengan elemen himpunan P).  Sif at R(gof ) ⊆ Rf tidak komutatif
 Fungsi dari himpunan P fungsi komposisi:
ke himpunan Q disebut
korespondensi satu-satu gof(x) ≠ fog(x).
(one-one onto / bijektif ) jika fungsi itu injektif
dan onto). E. Fungsi Invers
 Tidak semua fungsi invers merupakan fungsi
C. Aljabar Fungsi
Jika f dan g adalah dua fungsi yang diketahui, maka invers dan invers fungsi yang merupakan fungsi
fungsi yang merupakan jumlah, selisih, hasil kali, disebut fungsi invers.
dan hasil bagi kedua fungsi tersebut masing-masing  Suatu fungsi f : A  B mempunyai fungsi invers
sebagai berikut. f-1 : B  A jika semua elemen himpunan A dan
elemen himpunan B berkorespondensi satu-
* (f + g)(x ) = f (x ) + g(x ), dengan D(f +g) = Df ∩ Dg satu.
 Notasi fungsi invers adalah jika f(x) = y, f-1(y) = x
* (f − g)(x ) = f (x ) − g(x ), dengan D(f −g) = Df ∩ Dg atau y-1 = f-1(x).
 Langkah menentukan fungsi invers dari y = f(x)
* (f . g)(x ) = f (x ). g(x ), dengan D(f .g) = Df ∩ Dg adalah:
- Mengubah fungsi y = f(x) dalam bentuk x
*  f  (x )= f (x) , dengan D = Df ∩ Dg dan g(x ) ≠ 0
 g  g (x )  sebagai fungsi y.
  - Mengganti y pada f-1(y) dengan x untuk

mendapatkan f-1(x).
 Sifat komposisi fungsi invers : f-1o g-1 = (g o f)-1

f 
 
 g 

46

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

F. Hubungan komposisi dan invers G. Rumus-rumus
Jika (g o f)(x) = h(x), maka diperoleh: 1. (f ± g) (x) = f(x) ± g(x)
1. h-1(x) = (g o f)-1(x) = (f-1o g-1)(x) = f-1 (g-1(x)) 2. (f × g) (x) = f(x) × g(x)
2. (f o g)-1(x) = (g-1o f-1)(x) = g-1 (f-1(x))
3. g(x) = (h o f-1)(x) 3.  f ( x) = f(x) dengan g(x) ≠ 0
4. f(x) = (g-1 o h)(x)  x g( x)

4. f n( x) = {f ( x)}n

x b 1

5. f (x) = ax n + b → f -1( x ) =  − n
 a 

6. f(x)= n ax +b →f -1( x ) = xn −b
a

7. f(x)= ax + b → f -1( x ) = -dx + b ; x ≠ a
cx + d cx − a c

47

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Limit Fungsi

10

Kelas XI Semester 2 Kompetensi Dasar A. Pengertian Limit
1. Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai
Standar Kompetensi  Menghitung limit
fungsi aljabar a adalah harga yang paling dekat dari f(x) pada
Menggunakan sederhana di suatu saat x mendekati nilai a.
konsep limit fungsi titik. 2. Jika lim f (x) = L ,artinyaLadalahnilaipendekatan
dan turunan fungsi untuxk→xa di sekitar a.
dalam pemecahan  Menggunakan sifat
masalah. limit fungsi untuk
menghitung bentuk
tak tentu fungsi B. Teorema Limit
aljabar.
1. Jika f(x) = x, maka lim f (x) = a
 Menggunakan sifat x →a
dan aturan turunan
dalam perhitungan 2. Jika c konstanta, maka lim c.f ( x) = c. lim f (x)
turunan fungsi x →a x →a
aljabar.
3. lim{f ( x) ± g( x)}= lim f ( x) ± lim g( x)
 Menggunakan x →a x →a x →a
turunan untuk
menentukan 4. lim{f ( x).g( x)}= lim f ( x). lim g( x)
karakteristik suatu x →a x →a x →a
fungsi aljabar dan
memecahkan 5. lim f(x) = lim f ( x) , untuk lim g( x) ≠ 0
masalah. g( x)
x →a x →a x →a
 Merancang model
matematika dari lim g( x)
masalah yang x →a
berkaitan dengan
ekstrem fungsi n
aljabar.
lim f ( x) ,
 Menyelesaikan ( )6.
model matematika lim f n( x) = lim {f ( x)}n =
dari masalah x →a x →a x →a
yang berkaitan
dengan ekstrem untuk n bilangan asli
fungsi aljabar dan
penafsirannya. C. Limit Fungsi Aljabar

Langkah umum penyelesaian limit fungsi aljabar

lim f (x) adalah sebagai berikut.

x →a

1. Substitusi nilai x = a ke f(x). 0
0
2. Jika hasilnya bentuk tak tentu  , ∞ , ∞, − ∞  ,
f(x) harus diuraikan.  ∞ 

3. Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai

limitnya.

48

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

D. Jenis Limit untuk x → c F. Jika x → ∞ dengan hasil ∞ – ∞,
1. Jika x → c dan c adalah konstanta, fungsi f(x) fungsi f(x) diurai­kan dengan cara dikali sekawan

diuraikan dengan cara faktorisasi. untuk fungsi yang mengandung bentuk akar,
2. Untuk fungsi f(x) yang mengandung bentuk kemudian membagi pembilang dan penyebut
dengan x pangkat tertinggi.
akar, kalikan dengan sekawannya terlebih Rumus jumlah dan selisih akar
dahulu, baru masukkan nilai limitnya.

E. Jika x → ∞ ddaiunrahiaksainlndyaen∞∞gaantacuara00 , ( )  ∞, untuk a>c
fungsi f(x) membagi lim ax + b + cx + d =  0, untuk a=c
x→∞
−∞, untuk a<c

pembilang dan penyebut dengan x pangkat ( ) cx + d  ∞, untuk a>c
lim ax + b − =  0, untuk a=c
tertinggi. x→∞
−∞, untuk a<c

 ∞, untuk m > n

lim a1x m + a2 x m−1 + ... =  a1 , untuk m = n Rumus selisih akar kuadrat
x→∞ b1x n + b2 x n−1 + ...  b1

 0, untuk m < n  ∞, untuk a> p
( ) 
px2 +qx +r  b−q
 2a
lim ax2 +bx +c − = −∞ , , untuk a= p
x→∞ untuk a< p

49

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Integral

11

Kelas XII Semester 1 C. Penerapan Integral Tentu

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar ∫1. S = v dt

Menggunakan  Memahami konsep ∫ 2. V = a dt
konsep integral integral tak tentu
dalam pemecahan dan integral tentu. D. Integral Tertentu
masalah sederhana.
 Menghitung b
integral tak tentu
dan integral tentu ∫f ( x)dx = F(x) b = F(b) − F(a)
dari fungsi aljabar a
sederhana.
a
 Menggunakan
integral untuk F( x) = antiturunan f ( x)
menghitung luas
daerah di bawah a = batas bawah
kurva.
b = batas atas

E. Sifat-Sifat Integral Tertetu

b

∫1. k dx =k(b − a)
a

A. Integral Tak Tentu a

∫2. f (x) dx = 0
a
∫1. dx = x + c
bb

∫2. df ( x) = f ( x) + c ∫ ∫3. k f (x)dx =k f (x)dx
aa

∫3. adx = ax + c ba

1 ∫ ∫4. f (x)dx = − f (x)dx
+ ab
∫4. x ndx = x n+1 + c dengan n ≠1
bc c
n 1
∫ ∫ ∫5. f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx
∫5. ax ndx = a x n+1 +c dengan n ≠ −1 ab a
+
n 1

∫6. (ax + b)n dx = (ax + b)n+1 + c dengan a ≠ 0
a(n + 1)

B. Sifat-Sifat Integral

∫ ∫1. kf (x)dx = k f (x)dx
∫ ∫ ∫2. (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx

50

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

F. Luas Bidang Datar H. Integral Fungsi Trigonometri
1. Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X 1. ∫ sin x dx= - cos x + c
2. ∫ cos x dx = sin x + c
b bb 3. ∫ sec2 x dx = tan x + c
4. ∫ cosec2 x dx = - cot x + c
Luas D1 = ∫ f (x)dx Luas D2 = ∫− f (x)dx = ∫ f (x)dx 5. ∫ sec x tan x dx = sec x + c
a aa 6. ∫ cosec x cot x dx = - cosec x + c

I. Integral Substitusi Trigonometri

2. Luas Antara Dua Kurva Fungsi Integral Substitusi Hasil
dengan Substitusi

b a2 − x2 x = a sin α a cosα

∫Luas D1 = [f (x) − g(x)]dx

D1 a

a2 + x2 x = a tan α a sec α

G. Volume Benda Putar x2 − a2 x = a sec α a tan α
1. Mengelilingi Sumbu X
J. Panjang Busur

b

∫Volume = [f (x)]2 dx

x=b a

2. Mengelilingi Sumbu Y ∫S= b 1+  dy 2 dx
a  dx 
b

Volume = π ∫[f ( y)]2 dy
a

51

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Program Linear

12

Kelas XII Semester 1 Kompetensi Dasar B. Himpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan
linear
Standar Kompetensi  Menyelesaikan
sistem Daerah penyelesaian dari masalah program linear, yaitu
Menyelesaikan pertidaksamaan
masalah program linear dua variabel. model matematika yang berbentuk pertidaksamaan
linear.
 Merancang model linear ax + by < ab atau ax + by > ab.
matematika dari
masalah program Daerah penyelesaian dapat ditentukan dengan
linear.
cara:
 Menyelesaikan
model matematika 1. Jika ax + by < ab maka daerah penyelesaian
dari masalah berada di sebelah kiri garis, dengan syarat
program linear dan
penafsirannya. koefisien x positif (a > 0).

2. Jika ax + by > ab maka daerah penyelesaian
berada di sebelah kanan garis, dengan syarat

koefisien x positif (a > 0).



A. Persamaan garis lurus Letak kiri dan kanan daerah penyelesaian,
1. Persamaan garis yang
bergradien m dan melalui dengan syarat koefisien x positif ( a > 0 )
titik (x1, y1) adalah:
kiri (≤) kanan (≥) kiri (≤) kanan (≥) kiri (≤)
y – y1 = m(x – x1) kanan (≥) kiri (≤) kanan (≥)

2. Persamaan garis yang C. Fungsi Tujuan (Objektif /Sasaran), Nilai Mak­
si­m­ um, dan Nilai Minimum
melalui dua titik (x1, y1)
dan (x2, y2) adalah: 1. Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu
dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)
y − y1 = x − x1
y2 − y1 x2 − x1 2. Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah
kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum
3. Persamaan garis yang atau minimum

melalui titik (0, a) 3. Pada gambar HP program linear, titik-titik
sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai
dan (b, 0) adalah: minimum atau maksimum berada. Apabila

ax + by = ab

52

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua Berdasarkan kedua grafik di atas dapat di­

pertidaksamaan, maka titik-titik kritisnya bisa simpulkan cara penentuan titik kritis sebagai

ditentukan tanpa harus digambar grafiknya. berikut.

1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y

atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q,

Titik kritis ada 3: 0) jika tujuannya maksimumkan atau

(0, a), (x, y), dan (n, 0) yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya

minimumkan.

2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)

Titik kritis ada 3 :
(0, m), (x, y), dan (b, 0)

53

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Matriks

13

a b c p q r
bd cae bdef aspncf Btq=s uq r 
Kelas XII Semester 1 A = a e fd rtp 
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar d us t u 

Menggunakan  Menggunakan sifat- A + Ba=+ a +p b +q c+r 
pd +bas++qpe +cbt++rqf +cu+
matriks dalam sifat dan operasi r 

pemecahan masalah. matriks untuk 1) Sdifa+tspenedju++mtslahfea+n+umtatfri+ksu

menunjukkan bahwa

suatu matrik persegi Jika A, B, dan C matriks-matriks berordo

merupakan invers sama, berlaku:

dari matriks persegi (a) Sifat Komutatif: A + B = B + A;

lain. (b Sifat Asosiatif: (A + B) + C = A + (B +

 Menentukan

determinan dan C);

invers matriks 2 x 2. (c) Terdapat matriks Identitas, yaitu matriks

 Menggunakan nol, sehingga: A + 0 = 0 + A = A;

determinan dan (d) Setiap matriks A mempunyai invers

invers dalam penjumlahan yaitu matriks – A ,

penyelesaian sistem

persamaan linear sehingga:

dua variabel. A + ( –A ) = ( –A ) + A = 0

2) Pada pengurangan matriks bersifat:

1. Pengertian matriks (a) Tidak Komutatif
a) Matriks merupakan susunan kumpulan bilangan
(b) Tidak Asosiatif
dalam bentuk persegi atau persegi panjang
yang diatur menurut baris dan kolom; (c) Tidak terdapat unsur Identitas
b) Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-
bilangan yang mendatar dalam matriks; b) Perkalian Matriks
c) Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan- Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak
bilangan yang tegak dalam matriks.
2. Operasi hitung matriks kolom matriks pertama (kiri) sama dengan
a) Penjumlahan atau pengurangan matriks banyak baris matriks kedua (kanan)
Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau 1) Am x n . Bn x k = Cm x k
dikurangkan jika ordo A = ordo B 2) Bn x k . Am x n tidak dapat dikalikan

54

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

3. Transpos Matriks Apabila |A| = 0 |A| = 0, maka matriks A tidak
mempunyai invers dan disebut matriks singular.
Transpos matriks A ( At) adalah sebuah matriks yang

disusun dengan cara menuliskan baris ke-I matriks Apabila |A| ≠ 0 |A| ≠ 0, maka matriks A mempunyai

A menjadi kolom ke-I matriks At . invers dan disebut matriks non singular.

a b c a d 3) Sifat-sifat invers matriks
d e b
f  → At = c e  (1) A A-1 = A-1 A = I = 1 0 1 0
  0 1 0 1
f 

Beberapa sifat matriks transpos: (2) (A B)-1 = B-1 A-1
a) (A + B)t = At + Bt
b) ( At )t = A 5. Penggunaan matriks dalam sistem per­
c) (AB)t = BtAt samaan linear
d) (KA)t = KAt, k merupakan konstanta
1) Cara Matriks
4. Determinan dan invers matriks Jika persamaan AX = B, maka X = A-1 B
Jika persamaan XA = B, maka X = B A-1
1) Jika A = a b , maka determinan matriks A = 2) Cara determinan
c  ax + by = p
d  cx + dy = q
maka x =x D=dxDddxany=yD=DyDDy
|A|= a b = ad –dbc −b dengan
a c Ad−1 = 1 −c 
b A a 

2) Jikca Ad−=1 =acA1 db−dc, m−aabka invers matriks A = D = a b , Dx = p b , Dy = a p
c d q d c q


A−1 = 1  d −b
A A−−c1 = 1a −dc −b
A 
a 

55

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelajaran Barisan dan Deret

14

Kelas XII Semester 2 Kompetensi Dasar d. Jumlah n suku pertama (Sn)
Standar Kompetensi Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un – 1 + Un

Menggunakan  Menentukan suku Sn n (a Un ) atau Sn = n {2a + (n −1)b}
2 2
konsep barisan ke-n barisan dan = +

dan deret dalam jumlah n suku deret

pemecahan masalah. aritmetika dan e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (Ut),

geometri. dan suku ke-n (Un)

 Merancang model 1
=2
matematika dari ( )Ut ,
a + U2k −1
masalah yang

berkaitan dengan k letak suku tengah, banyaknya suku 2k – 1
Sn = n . Ut
deret.

 Menyelesaikan

model matematika f. Sisipan

dari masalah b
+
yang berkaitan bbaru = k 1

dengan deret

dan menafsirkan 2. Barisan dan Deret Geometri
a. Bentuk umum barisan:
solusinya. U1, U2, U3, U4, . . . , Un

1. Barisan dan Deret Aritmatika Un r, ar, ar2, ar3,. . . , arn–1
a. Bentuk umum barisan:
U1, U2, U3, U4, . . . ,

b. Rasio (perbandingan) = r

a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a + (n – 1)b r = U2 = U3 = U4 = . . . = Un
U1 U2 U3 Un−1
b. Beda (selisih) = b
b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = . . . = Un – Un – 1 c. Suku ke-n (Un)

c. Suku ke-n (Un) Un = arn–1
Un = a + (n – 1)b Un = Sn – Sn – 1
Un = Sn – Sn – 1

56

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

d. Jumlah n suku pertama (Sn) 3. Deret Geometri Tak Hingga
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un – 1 + Un
a. Konvergen (semakin mengecil), apabila limit
( )a rn − 1
jumlah untuk n  ∞ dapat ditentukan.
Sn = r − 1 , r > 1 atau
Jumlah sampai tak hingga:
( ) a 1 − rn a
S∞ = 1− r , -1 < r < 1, r ≠ 0.
Sn = 1 − r , r < 1
b. Divergen (semakin menyebar/membesar),
e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (Ut), apabila limit jumlah untuk n  ∞ tidak dapat
dan suku ke-n (Un) ditentukan.

Ut2 = a.Un Jumlah sampai tak hingga:
S∞ = ± ∞ , r < -1 atau r > 1.

f. Sisipan

rbaru = k +1 r

57