PENGAMIRAN

KOD DAN NAMA KOLEJ VOKASIONAL SANDAKAN
PROGRAM PETI SURAT 1162,
SEMESTER
NO DAN TAJUK 90713 SANDAKAN, SABAH.

STANDARD KERTAS PENERANGAN 2
PEMBELAJARAN PENGAMIRAN

UMT2122
KALKULUS / CALCULUS

2

2 PENGAMIRAN

2.1 Menggunakan konsep kamiran tak tentu untuk menyelesaikan
masalah.

2.2 Menggunakan konsep kamiran tentu untuk menyelesaikan
masalah.

2.3 Menggunakan pengamiran untuk fungsi trigonometri.

TUJUAN 2.1.1 Menentukan kamiran melalui proses mencari songsangan
kepada pembezaan.

2.1.2 Menentukan kamiran .
2.1.3 Menentukan kamiran bagi fungsi yang berbentuk hasil tambah

sebutan algebra.
2.1.4 Menentukan kamiran dengan menggunakan penggantian bagi

ungkapan berbentuk ( + ) , dengan keadaan dan
ialah pemalar, ialah integer.
2.1.5 Mencari nilai pemalar dalam kamiran tak tentu.
2.1.6 Menentukan persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan.

2.2.1 Mencari nilai kamiran tentu bagi ungkapan algebra.
2.2.2 Mencari luas di bawah sesuatu lengkung: terhad kepada satu

lengkung.
2.2.3 Mencari isipadu janaan apabila sesuatu lengkung dikisarkan

pada paksi− atau paksi− .

2.3.1 Menentukan hasil kamiran bagi fungsi trigonometri yang
melibatkan sin dan kos.

NAMA PELAJAR
NO. KAD PENGENALAN
PROGRAM
NAMA PENSYARAH

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.1 Menggunakan konsep kamiran tak tentu untuk menyelesaikan masalah

2.1.1 Menentukan kamiran melalui proses mencari songsangan kepada pembezaan

Nota Penting :

Secara umum, jika [f(x)] =f ′ (x),maka ∫ ′( ) = ( ) +


Proses mencari kamiran suatu fungsi di kenali sebagai
pengamiran. Kamiran yang menghasilkan suatu pemalar

pengamiran, , dikenali sebagai kamiran tak tentu.

Contoh : Jawapan : ( 3 + 5) = 3 ² .

(a) Diberi ( 3 + 5) = 3 ² ,

Terbitan bagi 3 + 5 ialah 3x².
Maka, kamiran bagi 3 ² ialah 3 + 5.
cari ∫ 3 ²
∫ 3 ² = ³ + 5

(b) Jika ( 3 + 5 − 1) = 3 ² + 5, Jawapan : ( 3 + 5 − 1) = 3 2 + 5 .



cari∫(3 2 + 5) Terbitan bagi 3 + 5 − 1 ialah 3 2 + 5.

Maka, kamiran bagi 3 2 + 5 ialah 3 + 5 − 1.

∫(3 2 + 5) = 3 + 5 − 1

2

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

Praktis Kendiri 2.1.1 (b) Diberi ( ² − 2)= ²+2 ,
+1 ( +1)²
1. Selesaikan setiap yang berikut:
(a) Jika = 4 dan = 4 + 7, cari cari ∫ ( +2) .
( +1)²


∫ 4 .

Jawapan :

Jawapan :

(c) Jika ( 2 + 3 − 10) = 2 + 3, (d) Diberi ( ) = 5 − 2 + 8, cari
∫ ′ ( ) .

Jawapan :
cari ∫(2 + 3) .
Jawapan :

(e) Jika (3 2 − 6 + 2) = 6 − 6, (f) Diberi ( ) = (3 − 4)( + 2), cari
∫ ′ ( ) .

Jawapan :
cari ∫(6 − 6) .
Jawapan :

3

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.1.2 Menentukan kamiran .

Nota Penting :

Diketahui bahawa pengamiran ialah proses songsangan kepada
pembezaan. Maka, rumus untuk pengamiran boleh diterbitkan
daripada sifat-sifat pembezaan.

1. ∫ = + , dengan dan ialah pemalar.

2. ∫ = +1 + , dengan dan ialah pemalar, ialah
+1

integer dengan ≠ –1.

Tip :
Pengamiran terhadap , dengan ialah pemalar, ialah integer dan ≠ –1 melalui tiga
operasi:
1. Indeks bagi ditambah dengan 1.
2. Sebutan dibahagi dengan indeks baharu.
3. Pemalar ditambah dengan hasilnya.

Contoh:

Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

(a) ∫ 7 Jawapan : ∫ 7 = 7 +

(b) ∫ 5 Jawapan : ∫ 5 = 5+1 +

5+1

= 6 +

6

(c) ∫ 1 Jawapan : ∫ −3 = −3+1 +
3
−3+1

= −2 +

−2

(d) ∫ 6 2 Jawapan :

4

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

Praktis Kendiri 2.1.2

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

(a) ∫ 9 (b) ∫

Jawapan : Jawapan :

(c) ∫ 1 (d) ∫ 7
2 Jawapan :

Jawapan :

(e) ∫ 1.5 (f) ∫− 3
Jawapan : 2 2

Jawapan :

(g) ∫ 4 3 (h) ∫ 6
Jawapan: 4

Jawapan:

5

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.1.3 Menentukan kamiran bagi fungsi yang berbentuk hasil tambah sebutan algebra.
Nota Penting :

Setiap sebutan dalam ungkapan algebra dikamirkan satu
demi satu dengan mengikut petua berikut :

∫[ ( ) ± ( )] = ∫ ( ) ± ∫ ( ) .

Contoh :

Tentukan kamiran bagi setiap yang berikut.

(a) ∫( 3 + 2 − 1) Jawapan :

∫( 3 + 2 − 1) = 4 + 2 2 − 1 +

42

= 1 4 + 2 − +

4

(b) ∫( + 1)( − 3) Jawapan :
∫( + 1)( − 3) = ∫( 2 − 2 − 3)

= 3 − 2 2 − 3 +

32

= 1 3 − 2 − 3 +

3

(c) ∫ 4+1 Jawapan :
2
∫ 4+1 = ∫( 4 + 1 2)
2 2

= ∫( 2 + −2)

= 3 + −1 +

3 −1

= 1 3 − 1 +

3

(d) ∫ 2 −9 Jawapan :
−3
∫ 2 −9 = ∫ ( −3)( +3)
−3 ( −3)

= ∫( + 3)

= 1 2 + 3 +

2

6

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

Praktis Kendiri 2.1.3

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap 2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap
yang berikut. .

(a) ∫( 4 + 9) 25− 2

Jawapan : (b)

+5

Jawapan :

(b) ∫( 3 − 2 + 5) 3−2
Jawapan :
(b) 2
Jawapan :

7

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

(c) ∫( + 1)( 2 + 1) (c) 6 − 7
Jawapan : 2

Jawapan :

2. Diberi ∫ + 3 = + + , dengan , , dan ialah pemalar, cari nilai


p, nilai q dan nilai n.

Jawapan :

8

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.1.4 Menentukan kamiran dengan menggunakan penggantian bagi ungkapan berbentuk

( + ) , dengan keadaan dan ialah pemalar, ialah integer.

Nota Penting :

Info :

Pengamiran bagi ungkapan ( + ) , boleh diselesaikan dengan dua cara:

• Kaedah penggantian dengan menggunakan gantian = + .

( + ) +
• Kaedah rumus dengan menggunakan rumus ∫( + ) = ( + )

Rumus :

∫( + ) = ( + ) +1
( + 1) +

Contoh:
1. Cari kamiran bagi setiap yang berikut dengan kaedah penggantian.

(a) ∫(2 + 7)7 (b) ∫ 1
(2 +7)2

Jawapan: Jawapan:

Katakan = 2 + 7 Katakan = 2 + 7, Maka, = 2 atau 1 =

Maka, = 2 atau 1 = 2
2

∫(2 + 7)7 = ∫ 7 (1) ∫ 1 =∫(2 + 7)−2
(2 +7)2
2

= 8 (1) + =∫ −2 (1)

82 2

= 1 8 + = −1 (1) +

16 −1 2

= 1 (2 + 7)8 + = − 1 +
2
16
− 1 +
= 2(2 +7)

2. Cari kamiran bagi setiap yang berikut dengan menggunakan rumus.

(a) ∫(3 − 4)8 (b) ∫ 5(4 − 3 )6 dx

Jawapan : Jawapan :

∫(3 − 4)8 = (3 −4)8+1 + ∫ 5(4 − 3 )6 = 5∫(4 − 3 )6
3(8+1)
5(4−3 )6+1
= 1 (3 − 4)9 + = (−3)(6+1) +

27

= − 5 (4 − 3 )7 +

21

9

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

Praktis Kendiri 2.1.4 (b) ∫ 25(2 − 5 )9
1. Selesaikan setiap yang berikut: Jawapan:

1. Cari kamiran bagi setiap yang berikut.
(a) ∫(7 + 1)3

Jawapan:

(c) ∫ 1
(3 +1)4

Jawapan :

2. Diberi∫( + 2) =1 ( + 2)5 + , dengan m, n dan c ialah pemalar. Cari nilai

15

m dan nilai n.

Jawapan :

10

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.1.5 Mencari nilai pemalar c dalam kamiran tak tentu.

Nota Penting :

Kamiran tak tentu melibatkan satu pemalar bagi

pengamiran, . Jika nilai yang sepadan bagi dan
atau ( ) diberi, maka nilai boleh di tentukan.

Contoh: Jawapan :
Soalan: = ∫(4 + 3)
= 2 2 + 3 +
Jika = 4 + 3 dan = 6 apabila
Apabila = 1 dan = 6,

6 = 2(12) + 3(1) +
= 1, cari nilai apabila = 2. 6 = 5 +
1 =
= 1

Maka, = 2 2 + 3 + 1

Apabila = 2, = 2(22) + 3(2) + 1
= 15

Praktis Kendiri 2.1.5
1. Selesaikan setiap yang berikut:

(a) Jika = 3 2 dan = 6 apabila = 1, tentukan nilai bagi pemalar .



Jawapan :

11

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

(b) Diberi = 4 + 3 dan = −3 apabila = −1. Cari nilai-nilai apabila = 0.



Jawapan :

(c) Jika ′( ) = 3 2 − 4 dan (2) = 0, tunjukkan bahawa ( ) = 3 − 4 .
Seterusnya, cari nilai-nilai apabila ( ) = 0.

Jawapan :

(d) Jika = 4 dan = 3 apabila = 2, ungkapkan dalam sebutan .



Seterusnya, cari nilai apabila = 3.

Jawapan :

(e) Diberi = + 5 dan = 1 apabila = 4, cari nilai apabila = −2.



Jawapan:

12

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.1.6 Menentukan persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan.

Nota Penting :

Persamaan lengkung dapat ditentukan jika diberi fungsi kecerunan,
dy dengan menggunakan proses pengamiran. Jika dy = g(x) ,
dx dx

maka persamaan lengkung ialah y = g(x) dx .

Contoh:

Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan dy = 2x + 8 dan melalui titik
dx

(2,3).

Jawapan: Tips:
1. Kamirkan fungsi kecerunan
y =  2x + 8 dx 2. Gantikan nilai koordinat dalam persamaan untuk

y = 2x2 + 8x + c cari nilai .
2 3. Tuliskan semula persamaan y dengan gantian

y = x2 + 8x + c nilai .

Pada titik (2,3) :
3 = 22 + 8(2) + c
c = −17

Maka, persamaan lengkung ialah = 2 + 8 − 17.

Praktis Kendiri 2.1.6

1. Cari persamaan lengkung yang melalui titik (3, 0) dan mempunyai fungsi kecerunan
2 − 6.

13

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2. Cari persamaan lengkung yang melalui titik (1, 8) dan mempunyai fungsi kecerunan

2 + 3
x2

3. Diberi kecerunan suatu lengkung dy = 4x2 (x +1) dan melalui titik (1, 2). Cari persamaan
dx

lengkung itu.

4. Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan f '(x) = 1 dan
(2x − 3)2

melalui titik (2, 4).

5. Cari persamaan lengkung yang melalui titik (2, 5) dan mempunyai fungsi kecerunan

8

3(5 − 2 )3.
14

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.2 Menggunakan konsep kamiran tentu untuk menyelesaikan masalah.
2.2.1 Mencari nilai kamiran tentu bagi ungkapan algebra

b

f (x)dx = f (b) − f (a)

a

Contoh:
Cari nilai bagi setiap yang berikut.

a) 4 b) 2 x2 dx c) 2
1
4 dx (x +1) dx
2 0

Jawapan : Jawapan : Jawapan :

4 4 dx = 4 x4 2 x2  x3 2 2  x 2  2
2  3  (x +1) dx =  2 x 0
2 1 dx =  1 0  + 

= 4(4) − 4(2) =  23 − 13  = 22 +  − 0 + 0
 3  2
=8  

3  2


=7 =4
3

d) 2(4x − x2 ) dx e) −1 x4 + 5x dx
−1 −2 x3

Jawapan : Jawapan :

2  x3 2 x4 + 5x −1(x + 5x−2 )dx
 3  x3
(4x − x2) dx =  2x2 −  −1  −1 dx = −2

−1 −2

=  x2 − 5 −1
 
 2  23   2 ( − 1 )3   2 x  −2
3 3
= (2) 2 − − − 1) 2 − (  (−1)2 5  −  (−2)2 5 
2 (−1) 2 (−2)
= − −

= 8 − 8  −  2 + 1  =  1 + 5 −  2 + 5 
 3  3 2   2

=3 = 11 − 9
22

=1

15

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

Praktis Kendiri 2.2.1 b) 2 4x3 dx
1. Nilaikan kamiran tentu berikut : −1

4

a)  2 5 dx

c) 2 (2x2 − 3x) dx d) 4
1
(1− 3t)(1+ 2t) dt
2

e) 3  2x − 3 dx f) ∫−31 5+6
0 3  4

16

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.2.2 Mencari luas di bawah sesuatu lengkung: terhad kepada satu lengkung.

a) Dibatasi oleh paksi− b) Dibatasi oleh paksi−
y y y =f(x)
y =f(x) d

c

0a b x 0x

Luas rantau berlorek, L = b y dx d
a
Luas rantau berlorek, L = c x dy

Contoh: Kirakan luas rantau berlorek yang berikut.
a) b)

y y4
y = 3x2 + 4

2

0 x

02 5 x Jawapan :
y2 = x −1
Jawapan : x = y2 +1

Luas rantau berlorek, Luas rantau berlorek,

5 4

L = y dx L = x dy
2 2

= 5 (3x2 + 4) dx = 4 ( y2 + 1) dy
2 2

x3 = 5 =  y3 + 4
+ 4x 2  3 y

2

= [53 + 4(5)] − [23 + 4(2)] =  43 +  −  23 + 
4 2
= 145 − 16  3  3
   

= 129 = 76 − 14
33

= 62
3

17

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

Praktis Kendiri 2.2.2

1. Cari luas rantau yang berlorek:
y

0 35 x
2. Hitungkan luas kawasan berlorek:

y

4
3

0 x
3. Cari luas rantau yang berlorek:

(a)

(b)
18

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.2.3 Mencari isipadu janaan apabila sesuatu lengkung dikisarkan pada paksi− atau
paksi− .

(a) Isipadu yang dijana pada paksi-x

Isipadu janaan bagi sesuatu pepejal dimana rantaunya dilitupi oleh lengkung = ( ),
paksi-x, garisan x=a dan garisan x=b, dikisarkan 360° pada paksi-x diberi sebagai:

b

Vx =  y 2dx
a

(b) Isipadu yang dijana pada paksi-y

Isipadu janaan bagi sesuatu pepejal dimana rantaunya dilitupi oleh lengkung = ( ),
paksi-y, garisan y=c dan garisan y=d, dikisarkan 360° pada paksi-y diberi sebagai:

d

Vy =  x2dy

c

19

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

Contoh 1:

Hitung isipadu yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi y = x + 2 dibatasi oleh
x

= 1 dan = 4 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-x.

Penyelesaian:

4

Vx =  y 2dx
1

4  2 2

=  x +  dx
1 x

=  4  x 2 + 4 + 4 dx
1  x2 

=   x3 + 4x − 44
 3 
 x  1

=   43 + 4(4) − 4  −  13 + 4(1) − 4 
3 4 3 1

=   64 + 16 − 1 −  1 + 4 − 4 
3   3

=  109 − 1 
 3 3

= 36

Contoh 2:

Hitung isipadu yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi x = ( y − 3)2 dibatasi oleh
= 0 dan = 3 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.

Penyelesaian:

3

Vy =  x2dy

0

3

=   ( y − 3)4 dx

0

=   ( y − 3)5  3
 5(1)  0
 

=  0 −  − 243 
 5

= 243
5

20

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

Praktis Kendiri 2.2.3

1. Hitung isipadu yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi y = x(x + 2) dibatasi
oleh = −2 dan = 1 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-x.

2. Cari isipadu yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi y = x2 − 3x dibatasi oleh
= 0 dan = 2 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-x.

3. Cari isipadu pepejal yang dijanakan dalam sebutan apabila fungsi = 9 − 2
dibatasi oleh = 0 dan = 9 serta dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.

21

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2.3 Melaksanakan pengamiran untuk fungsi trigonometri
2.3.1 Menentukan hasil kamiran bagi fungsi trigonometri yang melibatkan sin dan kos.

Rumus :  sin x dx = −kos x + c
 kos x dx = sin x + c

Contoh:
Nyatakan hasil kamiran setiap fungsi yang berikut:

i.  4 sin x dx = 4 sin x dx ii.  − 5 kos x dx = −5 kos x dx

= 4(−kos x) + c = −5sin x + c

= −4kos x + c

Praktis Kendiri 2.3.1

1. Nyatakan hasil kamiran setiap fungsi yang berikut:

a)  5 sin x dx b)  − 3 kos x dx

c) 4 sin x dx d) 1  kos x dx
2

e)  0.3kos x dx f) − 1  sin x dx
2

22

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

1. Nilaikan setiap yang berikut TUTORIAL 2
a) Jika ( ) = ( )
b) Jika ( ) = 3 ( )


Cari ∫ ( ) 
Cari ∫ ( ) 

c) Jika = 4 dan = 4 + 1 d) Diberi ( ) = 1
( +1)2
+1

Cari ∫ 4  Cari ∫ 1  
( +1)2

e) Jika ( 2 + 3 − 10) = 2 + 3 f) Diberi ( ) = 5 − 2 + 8
Cari ∫ ′( ) 


Cari ∫(2 + 3) 

g) Diberi ( + 5) = 2 + 5 h) Jika ( 2 + − 2) = 2 + 1



Cari ∫ 2 + 5 Cari ∫(2 + 1)

i) Diberi = − sin dan = cos j) Diberi (4 sin ) = 4 cos



Cari ∫ − sin Cari ∫ 4 cos

23

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

2. Cari nilai bagi setiap kamiran tak tentu yang berikut

a) ∫ 1 b) ∫ 4
2

c) ∫ 1 d) ∫ 4+5 2
6 2

e) ∫ 2 2 + 6 − 1   f) ∫(3 3 − 2 ) 

g) ∫ (1 − 3 )(1 + 2 ) h) ∫(2 − 4)6

24

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

3. Selesaikan

a) Diberi = − 2, dan apabila = 4 , = −1. b) Diberi = 3 , dan apabila = 1, = 2 .
3 3

Cari Cari

i) pemalar bagi pengamiran, c. i) pemalar bagi pengamiran, c.

ii) y dalam sebutan x ii) y dalam sebutan x

c) Diberi = 3 3 − 4 , dan apabila d) Diberi = −2 2 − 3 , dan apabila


= 4, = 2. Cari = 8, = 2 . Cari

i) pemalar bagi pengamiran, c. i) pemalar bagi pengamiran, c.
ii) y dalam sebutan x ii) y dalam sebutan x

25

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

4. Selesaikan

a) Kecerunan suatu lengkung ialah = 6 − 5. Jika lengkung itu melalui titik (-


1,6), cari persamaan lengkung itu.

b) Fungsi kecerunan bagi suatu lengkung yang melalui titk (1, -11) diberi oleh
′( ) = 6 2. Tentukan persamaan lengkung itu.

c) Cari persamaan lengkung yang mempunyai kecerunan = 3 + 9 dan melalui


titik (2, 12)

26

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

5. Cari nilai bagi setiap kamiran tentu yang berikut

b) ∫02 3 c) ∫−31 5
2

d) ∫24(3 2 − 5 + 1) e) ∫01 2 ( 2 + 1)

2

f) ∫−21(1 − 4 )(1 + 2 ) g) ∫−−31(4 − 3)4

27

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

6. Kirakan luas rantau berlorek bagi setiap yang berikut : x

a) b)
y

y

4
3

02 4 x0
Penyelesaian : Penyelesaian :

28

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

7. Kira isipadu yang dijanakan bagi setiap yang berikut : x

a) b)
y

y

4

2 x 01 3
Penyelesaian :
0
Penyelesaian :

29

UMT2122 - KALKULUS SEMESTER 2
KERTAS PENERANGAN 2 – PENGAMIRAN DVM

8. Nyatakan hasil kamiran bagi setiap fungsi trigonometri berikut :

(a)  2 sin x dx (b)  2 kos x dx
3

(c)  − 3 sin x dx (d)  − 1 kos x dx
4

(e) ∫ −4 (f) ∫ - os

(g) ∫ 5 (h) ∫ 3 kos
(i) ∫ ( − 3 kos − 2) 4

(j) ∫( − 3)

(k) ∫(1 + 1 kos ) (l) ∫(4 − 1 )
4 4

30