PEMBEZAAN

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
MATRIKS

KOD DAN NAMA KOLEJ VOKASIONAL SANDAKAN
KURSUS PETI SURAT 1162,
SEMESTER
NO DAN TAJUK 90713 SANDAKAN, SABAH.
STANDARD
PEMBELAJARAN KERTAS PENERANGAN 1
PEMBEZAAN
TUJUAN
UMT2122
KALKULUS / CALCULUS

2

1 PEMBEZAAN

1.1 Menggunakan konsep terbitan pertama bagi fungsi
polinomial untuk menyelesaikan masalah.

1.2 Menggunakan konsep terbitan kedua bagi fungsi polinomial
untuk menyelesaikan masalah.

1.3 Melaksanakan pembezaan fungsi trigonometri.
1.1.1 Menentukan terbitan pertama bagi fungsi dengan

menggunakan rumus.
1.1.2 Menentukan nilai terbitan pertama bagi fungsi untuk nilai x

yang diberi.
1.1.3 Menentukan terbitan pertama bagi sesuatu fungsi yang

melibatkan penambahan dan / atau penolakan sebutan-
sebutan algebra.
1.1.4 Menentukan terbitan pertama hasil darab dua polinomial.
1.1.5 Menentukan terbitan pertama hasil bahagi dua polinomial.
1.1.6 Menentukan terbitan pertama fungsi gubahan dengan
menggunakan petua rantai.

1.2.1 Menentukan terbitan kedua untuk fungsi y = f (x) .
1.2.2 Menentukan titik pusingan sesuatu lengkung maksimum

atau minimum dengan menggunakan kaedah pembezaan
peringkat kedua.

1.3.1 Menyatakan terbitan pertama bagi fungsi trigonometri
yang melibatkan sin, kos dan tan.

NAMA PELAJAR
NO. KAD PENGENALAN
PROGRAM
NAMA PENSYARAH

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

1.1 Menggunakan konsep terbitan pertama bagi fungsi polinomial untuk
menyelesaikan masalah

1.1.1 Menentukan terbitan pertama bagi fungsi dengan menggunakan
rumus.

Petua Asas Pembezaan

Fungsi (y) Terbitan Pertama ( )
=

( k=pemalar)
= = 0

=
= −


= −


Contoh : 1.1.1

Bezakan fungsi berikut terhadap .

a) = 6 Jawapan: = 6
= 6(1)
b) = 4 2 Jawapan:
c) = 3 5
d) = 10 Jawapan: = 6( 1−1)
e) = 8 = 6( 0)

=6
= 4 2



= 4(2 2−1)
= 8
= 3(5) 5−1



= 15 4

Jawapan: = 0



Jawapan: = 8 8−1



= 8 7

f) = 2 4 Jawapan: = 2(4) 4−1



g) = 25 Jawapan: = 0



2

Latihan 1.1.1 : KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
Cari bagi setiap fungsi berikut : UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN



Bil. Fungsi ( )

a) = 5

b) = −6 3

c) = 1 6
−2

d) = 9 2

e) = 4 5

f) = 2 2

g) y =10
h) = 7

3

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

1.1.2 Menentukan nilai terbitan pertama bagi fungsi untuk nilai yang diberi.

Contoh 1.1.2 :

a) Cari nilai untuk = 12 3 Penyelesaian :
= 36 2


bila = −1 .

Bila = −1 , = 36(-1)2



= 36

b) Diber = 2 6, cari nilai Penyelesaian: = 6( 2 ) 6−1 = 4 5
3
3

bila = 2.
Bila = 2, = 4(2)5

= 4(32)

= 128

Latihan 1.1.2 :

Selesaikan yang berikut :

a) Jika = 4, cari Penyelesaian:

di

mana = 1.

b) Diberi = −3 5, cari nilai Penyelesaian:



bila = 2.

c) Diberi = 2 2 cari nilai Penyelesaian:



bila = 4.

4

d) Jika = 4 2 cari nilai KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Penyelesaian:
bila = 3.

e) Diberi = − 1 8, cari nilai Penyelesaian:

4

bila = 1.

f) Jika y = 7 3, cari nilai Penyelesaian:



bila = 2.

g) Diberi = 1 5, cari nilai Penyelesaian:

3

bila = −1.

h) Diberi = 4 3, cari nilai Penyelesaian:



bila = −2.

5

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

1.1.3 Menentukan terbitan pertama bagi sesuatu fungsi yang melibatkan
penambahan dan / atau penolakan sebutan-sebutan algebra.

Nota Penting :
Rumus Terbitan Hasil Tambah dan Hasil Tolak

+
− +

−

Contoh 1.1.3 :
Bezakan setiap yang berikut terhadap x.

a) = 4 2 + 3 Penyelesaian: = 4(2) 2−1 + 3 1−1



= 8 + 3

b) = 5 3 − 4 2 + Penyelesaian: = 5(3) 3−1 − 4(2) 2−1 + 1



= 15 2 − 8 + 1

Latihan 1.1.3 :

Selesaikan setiap yang berikut :
a) Diberi = 2 2 + 5 , tentukan Penyelesaian:




b) Jika = 4 2 + 7 − 6, Penyelesaian:



nyatakan

6

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

c) Cari jika = 2 + 8 − 12 Penyelesaian:

,


d) Jika = 10 2 + − 6, cari Penyelesaian:





e) Jika y = 3 3 − 2 2, cari Penyelesaian:



f) Diberi = 5 3 + 1 2, Penyelesaian:

62

tentukan



g) Jika = 1 4 − 3, cari Penyelesaian:

5

7

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

h) Jika = 12 2 + 5 − 2, cari Penyelesaian:



i) Jika = 1 3 + 14 − 8, Penyelesaian:

3



cari



j) Jika = 10 3 − 2 2 + 4 , cari Penyelesaian:





k) Jika = 7 4 + 1 3 − 10 , cari Penyelesaian:

2



l) Diberi = 3 2 − 6 + 7, cari Penyelesaian:

.



8

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

1.1.4 Menentukan terbitan pertama hasil darab dua polinomial.

Nota Penting :
Rumus Terbitan Hasil Darab

y = = +


Contoh 1.1.4 :
Bezakan setiap yang berikut terhadap x :

a) = ( + 1)(2 − 5) Penyelesaian:

Katakan = ( + 1) Katakan = (2 − 5)

= 1 = 2



= +



= ( + 1)(2) + (2 − 5)(1)
= (2 + 2) + (2 − 5)
= 2 + 2 + 2 − 5
= 4 − 3

b) = ( 2 + )( + 3) Penyelesaian:

Katakan = ( 2 + ) Katakan = ( + 3)

= (2 + 1) = 1



= +



= ( 2 + )(1) + ( + 3) (2 + 1)

= 2 + + 2 2 + + 6 + 3
= 3 2 + 8 + 3

9

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Latihan 1.1.4

Bezakan setiap yang berikut terhadap x :

a) = ( + 5)( − 2) Penyelesaian:

b) = (2 − 3)( + 4) Penyelesaian:

c) = (3 + 2)( 2 + 1) Penyelesaian:

d) = (1 − 2 3)( + 2) Penyelesaian:

10

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

1.1.5 Menentukan terbitan pertama hasil bahagi dua polinomial

Nota Penting :
Rumus Terbitan Hasil Bahagi

−




Contoh 1.1.5:

a) 2 2 − 3 Penyelesaian: Katakan = 2
= 2 Katakan = (2 2 − 3)

= 4 = 2



= −


2

2(4 ) − (2 2 − 3)(2 )
= ( 2 )2

4 3 − 4 3 + 6
= 4

6
= 3

b) Penyelesaian: Biarkan = 4 + 3
2 − 1 Biarkan = 2 − 1 = 4
= 2
=
4 + 3

= −


2

(4 +3)]

[(4 +3) ( 2−1)]−[( 2−1)

= (4 +3)2

= [(4 −3)(2 )−( 2−1)(4)]
(4 +3)2

= 8 2−6 −4 2+4 = 4 2−6 +4
(4 +3)2 (4 +3)2

11

Latihan 1.1.5 KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
Bezakan setiap yang berikut: UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN
a)
b)
( + 3) ( 2 + 5)
= ( − 2)
Penyelesaian: = ( 2 − 3)
Penyelesaian:

c) d)
2 (3 2 − 1)

= (2 2 − 1) = ( 3 − 2 2)
Penyelesaian: Penyelesaian:

12

e) (1 − 2 3) KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
= ( 2 − ) UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Penyelesaian: f) (3 2 − 1)
= ( 3 − 2 2)

Penyelesaian:

g) h) 2 − 3
= 2 + 3 = + 4

Penyelesaian: Penyelesaian:

13

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

1.1.6 Menentukan terbitan pertama fungsi gubahan dengan menggunakan
petua rantai

Nota Penting :
Rumus Fungsi Gubahan (Petua Rantai)


= ×

Contoh 1.1.6:
Bezakan setiap yang berikut terhadap .

a) = (3 2 − 1)5 Penyelesaian: dan = 3 2 − 1
dan = 6
Katakan = (3 2 − 1)5
maka = 5

= 5 5



= ×



= 5u4 × 6x

= 30 4

= 30 (3 2 − 1)4

b) Penyelesaian:

4 Katakan = 4 dan = 1 − 2
= (1 − 2)2 (1− 2)2 = −2

maka = 4 = 4 −2
2

= −8 −3 = − 8 dan
3

= ×



= − 8 × (−2 )
3

= 16
3
16
= (1− 2)3

14

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Latihan 1.1.6 b) = (2 − 1)−6
Bezakan setiap yang berikut terhadap .
Penyelesaian:
a) = ( + 2)5

Penyelesaian:

c) = (5 − )3 d) = 3 2( − 4)5

Penyelesaian: Penyelesaian:

15

e) = (1 − 2 )(3 − 2)3 KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN
Penyelesaian:
f) = ( 2 + 1)(1 − )2

Penyelesaian:

g) 3 h) (1 − )3
= (2 − 1)2 = 1 +

Penyelesaian: Penyelesaian:

16

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

1.2 Menggunakan konsep terbitan kedua bagi fungsi polinomial untuk
menyelesaikan masalah.

1.2.1 Menentukan terbitan kedua untuk fungsi = ( )

1. Apabila suatu fungsi y = x3 + x2 − 3x + 6 dibezakan

terhadap x, terbitannya ialah dy = 3x2 + 2x − 3
dx

2. Fungsi yang kedua dy boleh dibeza lagi terhadap x. Proses
dx

pembezaan dua kali berturut–turut ini dikenali sebagai pembezaan

peringkat kedua dan ditulis sebagai d 2 y .
dx2

3. Ambil perhatian bahawa d2y   dy 2 .
dx2  dx 

Jika y = f (x)

Maka = ( )



d 2 y = d [ f '(x)] = f "(x)
dx2 dx

Contoh 1:
Jika y = 4x3 − 7x2 + 5x −1
Terbitan pertama dy = 12x2 −14x + 5

dx
Terbitan kedua d 2 y = 24x −14 .

dx2

Contoh 2: Contoh 3:

Jika y = x2 = 1 Jika f (x) = (2x −1)4
x
f '(x) = 4(2x −1)3(2)
dy = 2x − 1 = 8(2x −1)3
dx x2 f "(x) = 8 [3(2x −1)2(2)]
= 48(2x −1)2
d2y = 2 − (− 2
dx2 x3 )

d2y = 2+ 2
dx2 x3

17

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Latihan 1.2.1 a:

Cari terbitan kedua bagi setiap fungsi yang berikut:

a) = 2 2 + 5 b) = 3 + 3 − 1

Penyelesaian: Penyelesaian:

c) 1 + 2 d) 2 3 − 1
= 2 =

Penyelesaian: Penyelesaian:

18

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

1.2.2 Menentukan titik pusingan sesuatu lengkung maksimum atau
minimum dengan menggunakan kaedah pembezaan peringkat kedua.

Titik maksimum = 0



d2y  0
dx2

⦁ ( 1, 1) Titik

⦁ minimum = 0

( 1, 1)

d2y  0
dx2

(a) Di titik pusingan (b) Di titik maksimum A (c) Di titik minimum B
A dan B dy = 0 dan d 2 y  0 dy = 0 dan d 2 y  0
dy = 0 dx dx2 dx dx2
dx

Contoh 1: (Nilai Maksimum suatu fungsi kuadratik)

Diberi bahawa y = 3x(4 − x) , hitungkan
(a) nilai x apabila y adalah maksimum,
(b) nilai maksimum y.

Penyelesaian: (a) Apabila y ialah maksimum, dy = 0
dx
y = 3x(4 − x)
y = 12x − 3x2 0 = 12 − 6x
dy = 12 − 6x . x=2
dx
(b) Nilai maksimum y :

y = 12x − 3x2

apabila x = 2
y = 12(2) − 3(2)2

y = 12

19

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Contoh 2: (Menentukan titik pusingan dan ujian terbitan kedua)

Cari koordinat titik-titik pusingan bagi lengkung y = 2x3 + 3x2 −12x + 7 dan tentukan
jenis titik itu.

Penyelesaian:

a) Koordinat titik pusingan
Langkah 1: Bezakan = 2 3 + 3 2 + 7,

Maka, dy = 6x2 + 6x −12
dx

Langkah 2: Pada titik pusingan, dy = 0
dx

6 2 + 6 − 12 = 0
2 + − 2 = 0

( − 1)( + 2) = 0
= 1 atau = −2

Langkah 3: apabila x = 1
y = 2(1)3 + 3(1)2 −12(1) + 7

y=0

Maka, (1, 0) ialah suatu titik pusingan

apabila x = −2
y = 2(−2)3 + 3(−2)2 −12(−2) + 7
y = 27

Maka, (−2, 27) ialah suatu titik pusingan.

b) Untuk menentukan jenis titik (maksimum / minimum)

Langkah 1: Bezakan dy = 6x2 + 6x −12 , maka 2 = 12 + 6
dx 2

2

Langkah 2: Apabila x = 1 , 2 = 12(1) + 6 = 18 > 0 (positif)
Oleh itu, titik pusingan (1, 0) adalah titik minimum.

Apabila x = −2 , d 2 y = 12(−2) + 6 = −18  0 (negatif)
dx2

Oleh itu, titik pusingan (−2, 27) adalah titik maksimum.

20

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Contoh 3:
Cari titik pusingan maksimum dan minimum bagi lengkung y = x + 4 .

x

Penyelesaian:

y = x+ 4
x

dy = 1− 4
dx x2

d2y = −2 − 4  = 8
dx2  x3  x3

Apabila dy = 0 Penentuan sifat titik pusingan:
dx
Apabila x = 2, d 2 y = 8 = 1  0
1− 4 = 0 dx2 23
x2
4 =1 Ini bermakna (2, 4) ialah titik pusingan
x2 minimum.
x2 = 4
x= 4 Apabila x = −2, d2y = 8 = −1  0
x = 2 dx2 (−2)3

Apabila x = 2, y = 2 + 4 = 4 Ini bermakna ( − 2, − 4) ialah titik
2 pusingan maksimum.

Apabila x = −2, y = 2 + 4 = −4
−2

(2, 4) dan (−2, −4) ialah titik pusingan

21

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Latihan 1.2.2 b:
1. Cari titik pusingan bagi setiap lengkung berikut. Seterusnya, tentukan sama ada

titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.
a) y = 5 2 − 8

b) Diberi = 6 − 2

c) Jika = 2 − 4x + 2

22

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

2. Cari titik pusingan maksimum dan minimum bagi setiap yang berikut.
a) y = 2 3 − 6 2

b) Diberi = + 9



c) Jika = 2+16



23

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

1.3 Melaksanakan pembezaan fungsi trigonometri

1.3.1 Menyatakan terbitan pertama bagi fungsi trigonometri sin, kos dan
tan.

Rumus

( ) = ( ) = − ( ) =


Contoh.

1. Carikan terbitan pertama bagi fungsi trigonometri yang berikut :

Contoh: 1. (kos )


(sin )

Penyelesaian:


(sin ) =

2. (sin ) 3. (sin )



24

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Rumus:


( ) =

Contoh:

2. Carikan terbitan pertama bagi fungsi trigonometri yang berikut

Contoh: 1. = 2


( 2 )

Penyelesaian:

( 2 ) = 2 2 3. (2 3 )



2. ( ) = 2 1

2

4. = 3 5 5. ( ) = −3 4

6. (− 3 ) 7. = 2 6
3

8. ( ) = − 8. (– 2 2 )


25

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Rumus:


( ) = −

Contoh :

3. Carikan terbitan pertama bagi fungsi trigonometri yang berikut

Contoh: 1. 9

d
dx ( 4x )

Penyelesaian :

( 4 ) = −4 sin 4


2. . f(A) = kos 1 A 3. d (−4 2t )

2 dt

4. (−2 ) 5. f(d) = −4kos 1 d

2

6. d ( ) 7. = 3

dx 9. f(x) = kos 1 x

8. = − 1 6 3

2

26

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

Rumus :

( ) =


Contoh :

4. Carikan terbitan pertama bagi fungsi trigonometri yang berikut :

Contoh: 1. = 8


( 7 )

Penyelesaian

( 7 ) = 7 2 7


2. ( ) = 3 4 3. (– 3 2 )

2

4. = 2 tan 3 5. (− )



6. ( ) = (− 2 ) 7. = −2 tan

8. (– 3 ) 9. = 1 tan 6

3

TAMAT
27

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

TUTORIAL 1

1. Tentukan terbitan pertama bagi setiap yang berikut

a) 5 b) (−6 3)



c) = − 1 6 d) ( ) = 9 2

2

e) = 4 5 f) = 2 2

g) y =10 h) ( ) = 7

2. Cari nilai dy setiap yang berikut b) Jika = 4 2
dx cari nilai bila = 3.

a) Jika = 4,
cari di mana = 1.



c) Diberi = −3 5, d) Diberi = 2 2
cari nilai bila = 2. cari nilai bila = 4.



28

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

3. Selesaikan
a) Diberi = 2 2 + 5 , tentukan



b) Jika ( ) = 4 2 + 7 − 6, nyatakan ′( )

c) Cari , jika = 2 + 8 − 12



d) Jika = 1 3 + 14 − 8, cari

3

e) Jika ( ) = 3 3 − 2 2, cari ′( )

f) Jika = 7 4 + 1 3 − 10 , cari

2

29

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

4. Dapatkan hasil pembezaan bagi setiap yang berikut

a) = (3 2)( − 2) b) = (2 − 3)( + 4)

c) = (3 + 2)( 2 + 1) d) = (1 − 2 3)( 2)

e) = (2 )( 2 + 2 − 1) f) = ( 2 + 4 − 3)

30

g) y = 2x + 3 KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
x UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

h) p = t
t−2

i) y = x + 3 j) y = r2 + 5
x−2 r2 − 3

k) Diberi f ( t ) = t 2 − t + 1 , cari, ii) nilai-nilai t apbila f' ( t ) = 0
t −1

i) f' ( t )

31

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

5. Bezakan setiap ungkapan berikut terhadap (7 + 4)4 b) (2 − 2)3
a)

c) 1 d) 1
2 + 5x x2 + 4

e)  x2 + 2  5 f) (x 2 2
4
− 5)2

32

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

6. Cari titik pusingan bagi setiap graf yang berikut. Seterusnya, nyatakan sama ada setiap
titik itu ialah titik maksimum atau titik minimum

a) = (2 − 3 2) b) = ( 2 + 2 + 5)

c) ( ) = (2 − 3)2 d) f ( x) = 8x + 1
2x2

33

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

7. Bagi setiap yang berikut cari koordinat bagi setiap titik pusingannya dan tentukan jenis
titik itu.

a) y = x + 2 b) y = x3 + 16
8x x

c) ( ) = 3 − 3 2 − 9 d) f ( x) = x2
x+2

34

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

8. Tunjukkan bahawa lengkung y = 27x + 4 mempunyai satu titik pusingan sahaja.
x2

Seterusnya, cari titik pusingan itu dan tentukan sama ada titik itu ialah maksimum atau

minimum

9. Lengkung = 2 + mempunyai titik pusingan pada (1,2). Cari nilai p dan q

10. Diberi lengkung y = 3 + x3 . Tunjukkan bahawa lengkung itu mempunyai satu titik
x

pusingan sahaja. Seterusnya, cari titik pusingan itu dan tentukan sama ada titik itu
ialah maksimum atau minimum.

35

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

11. Seketul batu dilontarkan dari sebuah tebing oleh seorang budak lelaki. Diberi fungsi
ketinggian maksimum yang dicapai batu itu apabila dilontarkan ialah
ℎ( ) = 56 + 10 − 2. Cari nilai ketinggian maksimum batu tersebut boleh dicapai.

Tinggi maksimum

36

KERTAS PENERANGAN 1 DVM TAHUN 1 SEM 2
UMT2122 - KALKULUS PEMBEZAAN

12. Nyatakan terbitan pertama bagi fungsi trigonometri berikut :

a) d (sin 3t ) = b) d (tan 10 v ) =
dt dv

c) f ( x ) = 4 kos 5x d) y = − 1 kos 2x
4

e) f ( A ) = 5 tan 3A f) f ( u ) = − 2 tan 3u
3

g) y = 6kos( 2x + 1) h) f ( x ) = −2 sin ( 5x − 2 )

i) d (sin 4t ) = j) d (tan 8 t) =
dt dt

k) y = sin 5t l) f ( x ) = kos 3 x
m) y = −kos ( 6t − 2 ) 4
o) f ( x ) = −tan 3 x
n) f ( s ) = 2 kos 3s
5 p) f ( r ) = −5 sin ( 4r + 3 )

37