MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI

MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI

Maksimum dan Minimum Fungsi
MK. Matematika Dasar

PRODI S-1 PENDIDIKAN
FISIKA

OLEH : NILAI :
1). BAGUS INDRA PRATAMA
2). DARA ANGGITA LUBIS (4183321018)
3). ENINA ENINTA SINUHAJI (4201121018)
4). MARIA ROSA JOJOR NAINGGOLAN (4203121034)
5). SITI ZUHRA (4203321025)
6). TERA ANDRIANI GURUSINGA (4201121005)
(4201121028)

KELAS : PENDIDIKAN FISIKA C 2020
MATA KULIAH : MATEMATIKA DASAR
DOSEN PENGAMPU : ERI WIDYASTUTI S.Pd.,M.Si.

PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2020

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadiran Tuhan Yang Maha Esa, sebab
telah memberikan rahmat dan karuniaNya serta kesehatan kepada kami, sehingga
mampu menyelesaikan tugas KKNI ini. Tugas ini dibuat untuk memenuhi salah
satu mata kuliah yaitu “MATEMATIKA DASAR”.
Tugas laporan rekayasa ide, mini riset dan projek work yang kami buat yang
berjudul “Maksimum dan Minimum Fungsi” dengan penuh kemudahan. Dan tidak
lupa ucapan terimakasih kepada dosen pengampu mata kuliah Matematika Dasar
Eri Widyastuti S.Pd.,M.Si, yang telah membimbing dan telah memberikan tugas ini
kepada kami sebagai pelatihan dan penambahan wawasan.
Akhir kata, sebagimana layaknya manusia biasa yang memiliki banyak
keterbatasan, apabila terdapatkesalahan penulis mengharakan adanya kritik dan
saran yang membangun agar selanjutnya dapat lebih baik. Atas segala perhatian,
doa dan dukungan semua rekan, saya mengucapkan terimaksihnya Kami
mengucapkan terimakasih.

Medan ,16 Desember 2020

KELOMPOK 2

i

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Dalam matematika, maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yang
dikenal secara kolektif sebagai ekstrem, yang nilai terbesar dan terkecil
bahwa fungsi memerlukan pada suatu titik baik dalam lingkungan tertentu
(local atau relative ekstrem) atau pada domain fungsi secara keseluruhan
(ekstem global atau absolute). Maksimum Lokal dan minimum lokal secara
berturut-turut kadang disebut sebagai maksimum relative dan minimum
relative.

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan
untukmenyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan
satu atau beberapavariabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian
utama dari kalkulus dipikirkan padasaat yang bersamaan oleh Newton dan
Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675sebagai suatu alat untuk
menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. SirIsaac
Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan
GottfriedWilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman
dikenal sebagai ilmuwanyang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus
memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu
pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakansebagai suatu alat bantu
yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan
dan teknologi.

Berbagai macam permasalahan yang dihadapi manusia dapat
diselesaikan dengan cara matematis. Salah satu permasalahan yang dihadapi
adalah masalah optimasi. Optimasi adalah suatu disiplin ilmu dalam
matematika yang fokus untuk mendapatkan nilai minimum atau maksimum
secara sistematis dari suatu fungsi, peluang maupun pencarian nilai lainnya
dalam berbagai kasus (Marpaung, 2012: 154). Optimasi juga dapat
didefinisikan sebagai proses menemukan kondisi dimana fungsi mencapai
nilai maksimum atau minimum (Rao, 2009: 1). Masalah optimasi dapat
diselesaikan dengan menggunakan pemrograman linear maupun nonlinear.
Seiring dengan perkembangan zaman dan semakin kompleksnya
permasalahan yang timbul, maka permasalahan yang ada biasanya berbentuk

1

masalah nonlinear. Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinear apabila
fungsi tujuan dan kendala berbentuk nonlinear pada salah satu atau
keduanya. Pemrograman nonlinear dibedakan menjadi dua, yaitu masalah
optimasi dengan kendala dan masalah optimasi tanpa kendala. Kemungkinan
yang ada dalam pemrograman nonlinear adalah fungsi tujuan nonlinear dan
fungsi kendala nonlinear, fungsi tujuan nonlinear dan fungsi kendala linear,
fungsi tujuan linear dan fungsi kendala nonlinear. Masalah pemrograman
nonlinear dapat diselesaikan dengan beberapa cara, diantaranya pendekatan
kondisi Karush-Kuhn-Tucker, Lagrange Multiplier, Quadratic Programming,
Separable Programming.

B. TUJUAN PENULISAN

 Memenuhi salah satu tugas makalah mata kuliah matematika dasar
 Memahami tentang konsep dasar turunan beserta cabang-cabangnya
 Menjelaskan tentang konsep dasar turunan beserta cabang-cabangnya secara

jelas dan terstruktur
 Untuk lebih mngerti tentang system garis singgung dan normal fungsi

C. MANFAAT

 Agar mampu memahami konsep dasar penggunan turunan
 Sebagai sumber referensi bagi pembaca dalam mencari materi tentang

penggunan turunan
 Agar mempermudah pembaca dalam melakukan operasi hitung matematika

secara efektif dan benar
 Agar kita lebih mengerti dan paham penggunan turunan

2

BAB II
PEMBAHASAN

A. MINIMUM DAN MAKSIMUM DARI FUNGSI
Untuk melakukan optimisasi, yaitu mendapatkan solusi optimal, kita harus

mendapatkan maksimum atau minimum dari fungsi pada suatu interval. Dalam hal
ini MATLAB menggunakan metode numerik untuk menemukan minimum dari
suatu fungsi. Algoritma yang digunakannya iteratif, yaitu suatu proses berulang.
Misalkan kita ingin mencari minimum xmin dari fungsi f(x). Metode iteratif ini
membutuhkan tebakan awal x0. Dari nilai awal ini akan diperoleh nilai berikutnya,
x1, yang diharapkan semakin mendekati xmin. Seberapa dekat x1 ke xmin
tergantung pada metode numerik yang digunakan. Proses iterasi ini berlanjut
hingga nilai xi yang mendekati dengan akurasi tertentu diperoleh, di mana |xmin −
xi| cukup kecil. Dalam MATLAB tidak ada command untuk menentukan
maksimum suatu fungsi f(x), namun dalam hal ini bisa digunakan fungsi g(x) = − f(x)
untuk dicari minimumnya.

Dalam matematika, maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yang
dikenal secara kolektif sebagai ekstrem, yang nilai terbesar dan terkecil bahwa
fungsi memerlukan pada suatu titik baik dalam lingkungan tertentu ( local atau
relative ekstrem ) atau pada domain fungsi secara keseluruhan (ekstem global atau
absolute) .

Lebih umum lagi, maksimum dan minimum dari suatu himpunan
(sebagaimana didefinisikan dalam teori himpunan) adalah elemen terbesar dan
paling tidak set. Tak terbatas tak terbatasset seperti himpunan bilangan real tidak
memiliki minimum dan maksimum.

Missal s, adalah daerah asal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa:
a. f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di s;
b. f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di s;
c. f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai
minimum.

3

B. MAKSIMUM DAN MINIMUM LOKAL

Andaikan s, daerah asal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa:

a. f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c
sedemikian sehingga f (c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ s;

b. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c
sedemikian sehingga f (c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ s;

c. f(c) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum
local.

Teorema A

(uji turunan pertama untuk ekstrim lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka
(a,b) yang memuat titik kritis c.

a. jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f’(x) < style="">f(c) adalah nilai
maksimum local f.

b. jika f’(x) < style="">f’ (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f(c) adalah nilai
minimum lokal f.

c. jika f’ (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nilai ekstrim
local f.

Teorema B

(Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal). Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik
dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0

a. jika f” (c) < style="">f.
b. jka f” (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.
c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau

nilai minimum.

Diberikan fungsi f dengan daerah asal S, maka ada tiga hal yang perlu
ditanyakan tentang nilai-nilai maksimum atau minimum fungsinya.

1. apakah f mempunyai nilai maksimum pada S ?

2. Jika f mempunyai nilai maksimum, dimanakah nilai itu pada domain S? dan Jika f
mempunyai nilai maksimum, berapakah nilai itu ?

Untuk menjawab pertanyaan diatas kita lihat dulu definisi dibawah ini :

Definisi :

Andaikan S daerah asal f yang memuat titik c. Kita katakana bahwa :

- f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S

4

- f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S

- f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai
minimum pernyataan keujudan

apakah f mempunyai nilai maksimum atau minimum pada S ?

jawab :

ambillah f(x) = 1/x pada s = ( 0,∞)

fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum. Sebaliknya, fungsi
yang sama pada S = [1,3] mempunyai nilai maksimum f(1) = 1 dan nilai minimum
f(3) = 1/3. Pada S = [1,3], f tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum f(3)
= 1/3.

Jawabannya bukan hanya itu saja, karena jawaban diatas hanya pada fungsi
continue. Sedangkan, untuk tak continue bisa dijelaskan yaitu :

Ambilah fungsi tak continue g yang didefinisikan :

g(x) = x jika 1 ≤ x < 2

x – 2 jika 2 ≤ x ≤ 3

pada S = [1,3] , g tidak mempunyai nilai maksimum hanya mendekati nilai 2 tetapi
tidak pernah mencapai 2. Tetapi, g mempunyai nilai minimum untuk g(2) = 0.
Teorema kewujudan maksimum dan minimum.

Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah optimasi . Dengan kata lain , program linear merupakan
suatu teknik dalam mendapatkan nilai optimum (maksimum dan minimum) suatu
fungsi objektif dengan kendala-kendala tertentu. Kendala-kendala ini diterjemahkan
ke dalam bentuk system pertidaksamaan linear.

Nilai maksimum dan minimum adalah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi,
baik dalam kisaran tertentu (ekstrem lokal atau relatif) atau di seluruh domain dari
fungsi (ekstrem global atau absolut). Dalam masalah praktis sehari-hari nilai
maksimum dan minimum sering muncul dan membutuhkan suatu cara
penyelesaian. Misalnya seorang pengusaha atau pemilik pabrik tentunya ingin
meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan laba.

Kita dapat mengetahui tujuan utama dari program linear, yaitu menentukan
nilai optimum (maksimum/minimum) dari suatu fungsi objektif. Untuk
menyelesaikan masalah program linear yang berhubungan dengan nilai optimum,
langkah-langkah pemecahannya adalah sebagai berikut.

5

a. Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika.
b. Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai.
c. Menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang Cartesius yang memenuhi

sistem pertidaksamaan linear.
d. Menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi objektif.
e. Menafsirkan/menjawab permasalahan.

Berkaitan dengan hal tersebut, ada dua metode yang dapat digunakan untuk
menentukan nilai optimum dari program linear, yaitu metode uji titik sudut dan
metode garis selidik.
sudut dari daerah penyelesaian adalah O(0, 0), A(4, 0), dan B(0, 6).
Selanjutnya, selidiki nilai bentuk objektif z = x + y untuk masing-masing titik sudut
tersebut.

Titik O(0, 0) A(4, 0) B(0, 6)
X 0 4 0
Y 0 0 6
z=x+y 0 4 6
↑
z maks

Dari tabel di atas, nilai maksimum bentuk objektif z = x + y adalah 6, yaitu untuk x =
0 dan y = 6.

Selain menggunakan metode uji titik sudut.Metode lain yang dapat digunakan
untuk menentukan nilai optimum adalah metode garis selidik.
Garis selidik merupakan garis yang sejajar garis acuan atau garis yang diperoleh
dari fungsi objektif f(x,y) = ax+by, yaitu garis ax+by+ab.

C. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

Definisi 1: garis singgung merupakan sebuah garis yang tegak lurus terhadap
jari-jari (pada titik ekstrimnya) Definisi ini tidak memadai, bahkan pada lingkaran
sendiri, karena segment garis yang disebut jari-jari, memiliki dua titik ekstrim.
Masalah ini dapat diatasi tetapi definisi yang ada tetap tidak memadai, karena
definisinya hanya berlaku pada lingkaran.

6

Definisi 2: garis singgung merupakan sebuah garis yang menyentuh kurva
pada sebuah titik saja. Definisi 3: “Garis singgung adalah suatu garis yang
menyentuh kurva, tetapi tidak memotong kurva tersebut.
D. DIFERENSIAL

Fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya,
misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidakberaturan. Konsep turunan
sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir
Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan
Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 -1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan
( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah
dalam geometri dan mekanika. Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari
suatu fungsi sebelumnya.Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat
turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan
seperti itu seharusnya disebut “Persamaan Turunan”, namun istilah “persamaan
diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676 sudah umum digunakan. Sebagai contoh,
persamaan diferensial.

7

BABIII
PENUTUP

A. KESIMPULAN

Dari uraian pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa turunan memiliki
sangatbanyak penerapan. Diantaranya adalah untuk menentukan nilai maksimum
dan nilai minimum suatu fungsi, menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
lokal, menentukankemonotonan dan kecekungan grafik fungsi, menentukan nilai
limit tak hingga. Selain itu, konsep turunan juga dapat di aplikasikan untuk
menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang. Dalam fisika misalnya, turunan
dapat digunakan untuk menghitung kecepatan. Dalam matematika sendiri turunan
biasa digunakan untuk menentukan luas maksimum suatu benda, menentukan
persamaan garis singgung. Sedangkan dalam ekonomi, turunan digunakan untuk
menentukan biaya marjinal dari produksi suatu barang.

B. SARAN
Makalah ini tentunya sangat jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu,penulis besar
harapan apabila dalam penulisan makalah ini terdapat kekurangan atau
kesalahan – kesalahan, dan kami juga sangat mengharapkan saran maupun kritikan
yang sifatnya membangun demi kebaikan dan kesempurnaan makalah yang kami
buat ini di masa mendatang.Aamiin.

Akhir kata yang kami ucapkan dalam pembahasan makalah penggunaan turunan
ini, kami mengharapkan semoga apa yang tertulis dalam karya tulis ini menjadi
suatu pengalaman yang bermanfaat bagi kami selaku penulis dan para pembaca
pada umumnya

8

DAFTAR PUSTAKA
Budi,Deny. (September 2016). Bab 7 LIMIT FUNGSI.
Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Jakarta :Erlangga
Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga
Setiawan. 2004. PDF Pengantar Kalkulus.
Sutrisno,agung. 2009. Matematika dasar.WWW.BELAJARMATEMATIKA.COM.

9