รายวิชา คณิตศาสตร์(พค11001)

194

จากภาพ สว นของเสน ตรงระหวางจดุ 2 จดุ บนวงกลมท่ผี า นจดุ ศูนยก ลาง เรยี กวา เสน ผา น
ศูนยกลาง

ในรปู จดุ ก เปนจุดศนู ยก ลาง
กข และ กค เปนรศั มี
ขค เปน เสน ผานศนู ยกลาง

เร่ืองที่ 3 รูปเรขาคณติ สามมติ ิ
รูปเรขาคณิตสามมติ ิ คอื ทรงเรขาคณติ ทม่ี คี วามกวาง ความยาว และความสงู รูปเรขาคณติ สาม

มติ ิ เชน ทรงกรม ลกู บาศก พรี ามดิ ปรซิ มึ ทรงกระบอก และกรวย
1. ลักษณะและชนิดของรูปเรขาคณิตสามมติ ิ

เม่อื นํากลองวางลงบนกระดาษแลว ใชดนิ สอลากไปรอบของกนกลอ ง จะไดรปู สเ่ี หลย่ี ม ดงั นี้

รปู ใดเกิดจากการใชด นิ สอลากไปตามขอบของกนแกว

รูปที่ 1 รูปท่ี 2
นักศกึ ษาจะพบวา รูปท่ี 2 ลากไปตามขอบของกนแกว

195
กลองกระดาษ ลูกเตา แกวนา้ํ กระปอง หมอ ลูกบอล ฯลฯ มีสว นสงู ขึน้ จากระนาบ เราเรยี กสง่ิ
เหลาน้วี า รูปเรขาคณิตสามมติ ิ

รูปเรขาคณิต
สามมิติมหี ลายชนดิ เชน
ลูกบาศก เปน ทรงสี่เหลีย่ มมมุ ฉากท่มี ีหนา ทกุ หนาเปนรปู สเี่ หลย่ี มจัตุรัส เชน ลกู เตา

ลูกบาศกมหี นา ซงึ่ เปน รปู สี่เหลี่ยมจัตรุ สั ทงั้ หมด 6 หนา
ปรซิ มึ เปน ทรงสามมิติ มีดา นขางเปนรปู สีเ่ หล่ียมมุมฉาก แตหนา ตดั อกี 2 ดา น
เปน รูปเหลย่ี มใด ๆ เปน สามเหล่ยี ม ส่เี หลยี่ ม หา เหล่ียม เชน ที่อยบู นระนาบทขี่ นานกนั และมขี นาด
เทากัน เรียกวา ปริซึม

196

พรี ะมดิ เปน ทรงสามมิตมิ ียอดแหลม ดานขา งเปน รูปสามเหลยี่ มและฐานเปน รูปหลายเหล่ียม
หรอื เรียกวา พรี ะมดิ

พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลยี่ ม พรี ะมิดฐานหาเหลีย่ ม

ทรงกระบอก เปนทรงสามมติ มิ หี นา ตัดเปนรูปวงกลมทัง้ ดา นบนและดานลา งและมีขนาดเทา กนั

พนื้ ผวิ โดยรอบมีลักษณะโคง แตถา คล่ผี ิวโดยรอบออกมาจะเปน รปู สี่เหล่ียมผืนผา

กรวย เปนรูปเรขาคณติ สามมิติมยี อดแหลมและมีฐานเปนวงกลมผิวดานขา งมลี กั ษณะโคง
เรยี กวา กรวย เชน กรวยทําบายศรี กรวยใสขนม ฯลฯ

ทรงกลม เปน รปู เรขาคณิตสามมิตทิ ีม่ ีผวิ โคง และทกุ จดุ บนผิวโคง จะหา งจากจุดศูนยกลางของ
ทรงสามมิตินี้เปนระยะทางเทา กนั ทรงสามมติ นิ ี้ เรยี กวา ทรงกลม เชน ลกู ปง ปอง ลกู บอล ลูกแกว

197

กิจกรรม ใหผูเรยี นสํารวจสิง่ ของเครื่องใชต า ง ๆ ทีม่ ีรูปทรงสามมิติ พรอ มทั้งบันทกึ ขอ มลู ตามตาราง

ทรงสามมติ ิ ส่ิงของเครื่องใชต า ง ๆ
ทรงกลม .................................................................................................... ..................
ลูกบาศก .......................................................................................................................
ปริซมึ .................................................................................................... ..................
พีระมดิ .......................................................................................................................
ทรงกระบอก .................................................................................................... ..................
กรวย .......................................................................................................................

เรอ่ื งที่ 4 ลกู บาศก

ลูกบาศกเปน รูปเรขาคณติ สามมติ ทิ รงสเี่ หลย่ี มมมุ ฉาก มหี นา ทกุ หนาเปนรูปสี่เหลยี่ มจตั ุรัส มี

ความกวาง ความยาว ความสูงเทา กนั

ลกู บาศกทีม่ คี วามกวา ง ความยาว และความสงู 1 หนว ย 1 หนวย
จะมปี รมิ าตร 1 ลกู บาศกห นว ย 1 หนวย

1 ซม. 1 ม. 1 หนวย
1 ซม. 1 ซม. 1 ม. 1 ม.

มปี รมิ าตร 1 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร มปี ริมาตร 1 ลกู บาศกเ มตร

(ลบ.ซม. หรือ ซม3) (ลบ.ม. หรือ ม3)

การหาปริมาตรของทรงสเ่ี หลี่ยมมุมฉาก

1. โดยการพับรปู ลูกบาศก พบั ลูกบาศกได 30 ลกู แตละลกู มปี ริมาตร 1 ลูกบาศก

เซนตเิ มตร ดงั นน้ั ทรงส่ีเหลีย่ มมมุ ฉากมปี ริมาตร 30

2 ซม. ลกู บาศกเซนติเมตร ปรมิ าตร 30 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร หรือ 30

ลบ.ซม. หรือ 30 ซม3

5 ซม.

3 ซม. ทรงสเ่ี หล่ียมมมุ ฉากขา งบน มคี วามกวา ง 3 ซม. ความยาว 5
ซม. และความสงู 2 ซม.
2. โดยวิธีการคาํ นวณ

198

ดงั นัน้ ทรงสเ่ี หลี่ยมมุมฉากมปี ริมาตร = 35  2 ลบ.ซม. = 30 ลบ.ซม.

แบบฝกหดั ตารางหนว ย
จงหาปรมิ าตรของทรงส่ีเหลีย่ มมุมฉากตอไปนี้

1. มีปรมิ าตร

2.

มปี ริมาตร ตารางหนว ย

199

เร่ืองท่ี 5 การสรางรปู เรขาคณิต

5.1 การสรางเสนตรงใหย าวเทา กบั เสน ตรงทก่ี าํ หนดให
กําหนด PQ ตามรูป จงสราง MN ใหยาวเทา กับ PQ

P Q
วธิ ีสรา ง 1. ลากเสน SO ใหยาวพอประมาณและยาวกวา PQ

S O
2. กางวงเวยี นรัศมีเทา กับ PQ

3. ใช S เปนจดุ ศนู ยก ลางรัศมี PQ เขยี นสว นโคงของวงกลมตดั SO ท่ีจุด Q
4. จะได SQ โดยที่ PQ = SQ ตามตองการ
5.2 การสรา งมุม มุม AMR ทกี่ ําหนดให
กาํ หนดให MNR ใหสราง CAB มขี นาดเทากบั มุม MNR มีวธิ สี รางดังน้ี

M

NR

200

วิธสี รา ง
1. ลากเสน ตรง AB ใหย าวพอสมควร

AB

2. ใช N เปน จุดศูนยก ลาง กางวงเวยี น รัศมีพอประมาณเขียนสว นโคงตัด NR และ NM ท่จี ดุ X
และ Y ตามลาํ ดับ

M

X

N R
Y

3. ใช A เปน จดุ ศูนยก ลาง กางวงเวยี นรศั มีเทาเดมิ เขยี นสว นโคงของวงกลมตดั AB ที่จดุ D (ดัง
รูป)

A B
D

4. ใช D เปนจุดศนู ยก ลางรศั มเี ทา กับ XY เขียนสวนโคงของวงกลมตดั สวนโคง เดมิ ทจ่ี ดุ
E (ดงั รูป)

E

AD B

201

5. ลากเสน AC ผา นจดุ E จะได CAˆB โดยท่ี M (CAˆB ) = M ( MNˆR ) ตามตอ งการดังรปู

E B
ค
AD

5.3 การสรา งรูปสี่เหล่ียม
ง

กข
สําหรบั การสรา งรปู  ผืนผา มีวิธีสรางเชน เดยี วกัน แตค วามยาว และความกวา งจะเทากบั
โจทยก ําหนด

5.4 การสรางวงกลม
การสรางวงกลมใหมีรัศมีตามตอ งการ เราสามารถใชว งเวยี นสรา งดงั น้ี

วิธีสราง
ขนั้ ที่ 1 กางวงเวียนบนไมบ รรทัดยาว 2 ซม.
ขน้ั ที่ 2 กําหนดจุดศูนยก ลาง ใชป ลายแหลมกดทจี่ ดุ ศนู ยก ลาง แลวหมนุ วงเวยี นใหดนิ สอเขียน

ไปรอบจุด

X

กิจกรรม ใหผ ูเรียนประดษิ ฐลวดลายโดยนาํ ความรเู รื่อง  และ มาใชป ระดษิ ฐ

202

เรอ่ื งท่ี 6 การประดษิ ฐรปู เรขาคณิตสามมติ ิ

รูปเรขาคณิตสามมติ ิ คือ ทรงทมี่ องเหน็ ทง้ั 3 มิติ เหน็ ทรงทเ่ี ปนจริง มีสว นกวาง ยาว และสงู เม่อื
นําทรงสามมิติมาคลีอ่ อก จะไดรูปแบน ๆ ซึ่งมีสองมติ ิ เชน

รูปปริซึม

ลูกบาศก

203

ทรงสเี่ หลย่ี มมุมฉาก

ปรามิด

แบบฝก หดั ท่ี 4 ค (2) ป
จงเตมิ คาํ ตอบ 3 ซม.
(1)

3 ซม. 3 ซม. 4 ซม.

ก 3 ซม. ข อ 5 ซม. บ

กข = …………………………. ซม. อบ = …………………………. ซม.
กค = …………………………. ซม. อป = …………………………. ซม.
ขค = …………………………. ซม. บป = …………………………. ซม.
กขค เปนรปู สามเหลีย่ ม ........................ อบป เปนรูปสามเหลย่ี ม ........................

204

(3) จ (4) ค
2 ซม. 2 ซม.

ง 3 ซม. ฉ กข

งจ = …………………………. ซม. ก = …………………………. องศา
ข = …………………………. องศา
จฉ = …………………………. ซม. ค = …………………………. องศา
กขค เปน รูปสามเหลี่ยม .............................
งฉ = …………………………. ซม. ก + ข +ค = ............................................ องศา

งจฉ เปนรูปสามเหลย่ี ม .........................

(5) (6)
ฉ อ
1

งจ บ 50° 70° ป

ง = …………………………. องศา อ = …………………………. องศา
จ = …………………………. องศา บ = 50 องศา
ฉ = …………………………. องศา ป = 70 องศา
งจฉ เปน รูปสามเหล่ียม ......................... อบป เปนรปู สามเหลยี่ ม .............................
ง + จ +ฉ = ............................................ องศา อ + บ + ป = ........................................... องศา

205

(7) ค
ฉง

ก จข
ใน  กขค ถา กข เปนฐานแลว ................................................................... เปน สว นสูง

ถา กง เปนสว นสูงแลว .............................................................. เปน ฐาน
ถา กค เปน ฐานแลว ................................................................... เปนสวนสงู

แบบฝกหดั ที่ 5
(1) จงบอกชนดิ ของรูปสเ่ี หล่ยี มตอไปนี้

206

207

(2) จงเขยี น หนาขอที่ถกู และ  หนาขอทีผ่ ิด
................... ก. เสนทแยงมมุ 2 เสน ของสี่เหลี่ยมรปู วาวยาวเทา กนั
.................. ข. เสนทแยงมุม 2 เสน ของสเ่ี หลีย่ มขนมเปยกปูนตดั กนั เปนมมุ ฉาก
.................. ค. เสน ทแยงมมุ เสนหนึ่งของสเ่ี หลีย่ มผนื ผา แบง รปู สเี่ หลย่ี มเปนสามเหล่ียม 2 รูป

ท่มี ขี นาดเทากนั
................. ง. เสนทแยงมมุ ของรปู สี่เหล่ยี มคางหมูแบงครง่ึ กนั และกนั
................. จ. รปู สี่เหลีย่ มผืนผา และรปู สี่เหล่ยี มดานขนานมีคณุ สมบตั เิ กย่ี วกบั เสนทแยงมุมเหมอื นกัน

แบบฝก หดั ท่ี 6
(1) จงบอกชือ่ สง่ิ ของทม่ี ลี กั ษณะเปน วงกลมมา 3 สง่ิ
(2) รปู ขางลา งนี้ประกอบดว ยวงกลมกวี่ ง

(3) จงเขยี น หนา ขอทถ่ี ูก และ  หนาขอทผ่ี ดิ
................... (1) วงกลมแตล ะวงจะมจี ดุ ศูนยก ลางเพียงจุดเดยี ว
.................. (2) วงกลมแตล ะวงจะลากเสน ผานศูนยก ลางไดเ พียงเสนเดียว
.................. (3) รศั มีทกุ เสน ของวงกลมจะยาวเทากนั
................. (4) เสน ผา นศูนยก ลางจะยาวเปน 2 เทา ของรศั มีของวงกลมเดียวกนั
................. (5) จดุ ปลายของเสน ผานศนู ยก ลางจะอยูบ นวงกลม

208

แบบฝกหดั ที่ 7
(1) จงเขียนรูปสามเหลีย่ ม กขค ให กข = 4 ซม. กค = 5 ซม. ขค = 6 ซม.
(2) จงเขยี นรูปสเ่ี หลีย่ มจตั รุ ัส กขคง ใหยาวดา นละ 4 ซม.
(3) จงเขียนรปู สีเ่ หลีย่ มผืนผา กขคง ให กข = 4 ซม. ขค = 3 ซม.
(4) จงเขยี นวงกลมใหม ีรัศมียาว 3 ซม.
(5) จงประดษิ ฐภ าพทีใ่ ชรูปสามเหลย่ี ม รปู ส่ีเหลยี่ ม และวงกลมมา 1 ภาพ
แบบฝก หดั ที่ 8
คาํ ช้แี จง ใหน ักศกึ ษาบอกวา รปู เรขาคณติ สามมติ ติ อ ไปนี้ ประกอบไปดวยรปู สองมิติรปู ใดบาง และมกี ร่ี ูป

1. รปู สามเหลยี่ ม ............................................ รูป
รูปสี่เหลี่ยม ................................................ รูป

2. รูปสี่เหลย่ี ม ................................................. รปู
รูปส่ีเหลี่ยมคางหมู .................................... รูป

3. รปู สี่เหล่ยี ม ............................................ รูป
รูปหาเหลีย่ ม ................................................ รูป

209

4.
รูปสเ่ี หลย่ี ม ................................................ รูป
รูปสามเหลย่ี ม.............................................รปู

210

บทที่ 7
สถติ ิและความนาจะเปน เบ้ืองตน

สาระสําคัญ

1. ขอมูล หมายถงึ ขอเท็จจรงิ ทอ่ี าจเปนตวั เลขหรอื ขอ ความทใี่ ชเปน หลักในการคํานวณ
เปรียบเทยี บ หรอื คาดคะเน

2. การเกบ็ รวบรวมขอ มูลอาจใชวิธสี งั เกต สอบถาม สัมภาษณ ทดลอง หรือรวบรวมจาก
ทะเบียน

3. การนาํ เสนอขอ มลู อาจใชต าราง แผนภูมริ ปู ภาพ แผนภมู ิแทง แผนภมู ิรูปวงกลม และกราฟ
เสน

4. ขอมลู ของสิ่งเดียวกนั และมีลกั ษณะเหมือนกันตัง้ แตสองชดุ ข้นึ ไป อาจแสดงการเปรียบเทยี บ
โดยใชแผนภมู แิ ทง เปรยี บเทยี บ

5. กราฟเสน เปน วิธกี ารนาํ เสนอขอ มลู โดยใชจ ดุ และสว นของเสน ตรงท่ีลากเช่ือมตอจดุ ซงึ่ จุดแต
ละจุดจะบอกจํานวนหรอื ปริมาณของขอมลู แตล ะรายการนยิ มใชกราฟเสน กับขอ มูลทีแ่ สดง
การเปล่ยี นแปลงอยา งตอเนอ่ื งตามลําดับกอ นหลงั ของเวลา

6. การแสดงความสัมพันธระหวางขอ มูล อาจแสดงโดยใชก ราฟเสน
7. แผนภูมิรปู วงกลม เปน การนําเสนอขอ มลู โดยใชพืน้ ทภ่ี ายในรูปวงกลมแทนจาํ นวนหรอื

ปริมาณของขอ มลู แตล ะรายการ
8. ความนา จะเปน หมายถงึ โอกาสท่เี หตกุ ารณหน่ึง ๆ จะเกดิ ขน้ึ ซึง่ เหตกุ ารณน น้ั อาจจะ

เกดิ ขนึ้ อยา งแนนอน อาจจะเกิดขึน้ หรือไมก ไ็ ด หรอื ไมเกดิ ขน้ึ อยา งแนน อน

ผลการเรยี นรูที่คาดหวัง

1. เมอ่ื กาํ หนดประเดน็ ตา ง ๆ ใหสามารถเก็บรวบรวมขอ มูลได
2. เม่อื กําหนดแผนภมู ิแทงเปรียบเทียบให สามารถอานขอ มลู และอภปิ รายประเดน็ ตา ง ๆ

ได
3. เม่อื กาํ หนดขอ มูลให สามารถเขียนแผนภูมิแทง เปรยี บเทยี บได
4. เมื่อกาํ หนดกราฟเสน ให สามารถอานขอมูลและอภิปรายประเด็นตาง ๆ ได
5. เมอ่ื กาํ หนดขอมลู ให สามารถเขยี นกราฟเสนได
6. เมื่อกาํ หนดแผนภมู วิ งกลมให สามารถอา นขอมูลและอภปิ รายประเด็นตาง ๆ ได

211

7. เมอ่ื กาํ หนดสถานการณให สามารถอภปิ รายเหตกุ ารณเ พอื่ สรา งความคนุ เคยกบั คําทม่ี ี
ความหมายเชน เดยี วกับคําวา “แนน อน” อาจจะใชห รอื ไมใ ช” “เปนไปไมได” และใชค าํ
เหลา น้ไี ด

ขอบขายเนอ้ื หา

เรอ่ื งที่ 1 สถิติเบ้ืองตน
เร่ืองที่ 2 ความนาจะเปน เบอื้ งตน

212

เรือ่ งที่ 1 สถิตเิ บือ้ งตน

ขอมูล หมายถึง ขอเท็จจรงิ หรอื รายละเอียดของสิง่ ทน่ี า สนใจ อาจเปน ตวั เลขในการคํานวณ
เปรียบเทยี บ หรอื คาดคะเนเพ่ือหาความจรงิ ซ่ึงนํามาประกอบการตดั สนิ ใจ หรอื แกป ญ หาตาง ๆ

ขอ มูลของสงิ่ ท่เี ราสนใจ อาจรวบรวมไดจ ากการสังเกต สมั ภาษณ ทดลอง สอบถาม หรอื
รวบรวมจากทะเบียนตาง ๆ

1.1 การอาน การเขียน เปรียบเทยี บแผนภูมิรูปภาพ และแผนภูมแิ ทง
การเขยี นแผนภูมิแทง
การเขียนแผนภูมแิ ทง เปน การนาํ ขอ มูลที่ไดจากการเกบ็ รวบรวมขอ มูลมานาํ เสนอในรูปของ

แผนภูมแิ ทง
การเขียนแผนภูมแิ ทง มสี ว นประกอบดังตอ ไปนี้
1. แผนภมู ิแทงเปรียบเทยี บเปนการนําเสนอขอมูล โดยใชร ปู สีเ่ หลยี่ มมุมฉากแสดงการ
เปรยี บเทียบจาํ นวนหรือปรมิ าณสง่ิ ของตางๆ ของขอ มูลตัง้ แตส องชุดขึน้ ไป
2. มีช่ือแผนภูมกิ ํากับอยูดานบนเพ่อื บอกใหรวู า เปน ขอ มูลเกีย่ วกับอะไร
3. มสี วนของเสนตรงสองเสนต้ังฉากกนั เสน หน่ึง อยใู นแนวตัง้ และอีกเสน อยใู น
แนวนอน เสน ท่ีแสดงจํานวนหรือปรมิ าณของขอมูลแตล ะรายการจะมหี ัวลกู ศรอยทู ่ี
ปลายขางหนงึ่
4. รปู สี่เหล่ยี มมุมฉากทใ่ี ชแสดงจํานวนหรือปริมาณของขอ มลู แตล ะรายการ ตองมีความ
กวา งเทา กนั และเรมิ่ ตน เขยี นจากระดบั เดียวกนั ถาเขียนในแนวตั้งในเรม่ิ จากดา นลา งข้นึ
ดานบน ถาเขยี นในแนวนอนใหเ ร่มิ จากดา นซา ยไปดานขวา
5. ใชค วามสงู หรอื ความยาวของรปู ส่ีเหล่ียมมมุ ฉากแสดงจาํ นวนหรอื ปรมิ าณแตล ะรายการ
6. ระบายสรี ปู สเี่ หลีย่ มมมุ ฉากหรอื ใชสัญลกั ษณแสดงใหเ ห็นความแตกตางของขอมลู แตละ
ชดุ โดยขอมลู ชุดเดียวกันใหใชส ีหรอื สญั ลักษณอ ยา งเดยี วกนั พรอมท้งั เขยี นรปู และ
คาํ อธิบายไว
7. ถา ขอมลู แตละรายการมจี าํ นวนหรอื ปรมิ าณมากหรอื ใกลเคยี งกันควรยน ระยะบนแกนท่ี
แสดงจํานวน
8. เพื่อใหอานขอมลู ไดถูกตอง ควรเขยี นตัวเลขกาํ กบั ไวท่ีปลายสดุ ของรูปส่ีเหลยี่ มแตล ะรูป
9. ถา ขอ มลู เปน ขอ มลู จริงและมีแหลง ที่มาใหระบแุ หลง ที่มาของขอ มลู ไวใตแ ผนภูมิ

213

ตวั อยา งแผนภูมแิ ทง

แผนภมู ิแทงแสดงอณุ หภมู ิของอากาศต้งั แตเวลา 13.00 น. – 18.00 น.

การอานและเปรยี บเทยี บแผนภูมิแทง
ขอมลู ของส่งิ เดียวกัน และมลี กั ษณะเหมอื นกนั ตัง้ แตสองชดุ ขน้ึ ไป อาจแสดงการ

เปรียบเทยี บโดยใหแ ผนภูมิแทง เปรียบเทียบ ดังรูปแสดงใหเห็นการเปรียบเทียบจาํ นวนผูเ สยี ชีวิตจาก
อบุ ัตเิ หตจุ ราจรในชวงเทศการสงกรานต ระหวา งวนั ท่ี 11 – 17 เมษายน พ.ศ.2545 และ พ.ศ. 2546

214

แผนภมู แิ ทงเปรียบเทยี บดังกลาวทาํ ใหสะดวกในการเปรยี บเทยี บขอมลู ของสง่ิ เดยี วกนั
แผนภูมิแทง เปรยี บเทยี บใชแ สดงการเปรยี บเทยี บขอมลู ของส่ิงเดยี วกนั ต้งั แตสองชุดขึ้นไป จงึ
ตองมสี ัญลกั ษณร ะบุวา เปนขอ มลู ชดุ ใด
จากขอ มลู แทง เปรยี บเทียบเราสามารถแปลความหมายไดด งั น้ี
1. แผนภูมชิ ุดนแี้ สดงจํานวนผเู สยี ชวี ิตจากอุบัตเิ หตจุ ราจรในชวงเทศการสงกรานต ระหวา ง
วันที่ 11 – 17 เมษายน พ.ศ.2545 และ พ.ศ. 2546
2. ใน พ.ศ. 2545 วนั ที่มผี ูเ สยี ชีวิตมากทีส่ ุด คอื วนั ที่ 13 เมษายน 2545
3. ใน พ.ศ. 2545 และ พ.ศ. 2546 วนั ท่ี 15 เมษายน มผี ูเ สียชวี ติ เทา กนั
4. วันท่ี 13 เมษายน พ.ศ. 2546 มผี เู สยี ชีวติ มากที่สดุ
5. วันที่ 17 เมษายน พ.ศ. 2546 มผี ูเ สียชีวติ นอยทสี่ ุด

215

แบบฝก หดั ที่ 1

1) นมชนิดใดมีโปรตีนมากทส่ี ดุ และมีกกี่ รัม
2) นมชนดิ ใดมีโปรตีนเทากบั ไขมนั และมกี ก่ี รมั
3) นมขนหวานและนมขน ไมหวาน นมชนิดใดมโี ปรตีนมากกวา และมากกวา กันกก่ี รมั
4) นมชนิดใดมีไขมันนอยที่สุด และมีกก่ี รัม
5) นมสดและหางนม นมชนิดใดมไี ขมนั นอยกวา และนอ ยกวา กันกี่กรมั

216
1.2 การอานกราฟเสน

การวิธอี า นกราฟเสน ใหดวู า ตําแหนงของจดุ บนกราฟตรงกบั คา ใดบนแกนต้ังและ
แกนนอน เชน จดุ แรกแสดงวา เวลา 13.00 น. อณุ หภูมิ 32 องศาเซลเซยี ส

ใหผ เู รียนดกู ราฟเสน แลว ตอบคาํ ถามตอไปน้ี
1. กราฟเสนแสดงขอ มูลเก่ยี วกับสิ่งใด
2. กราฟเสนแสดงอุณหภูมใิ นชว งเวลาใด
3. อณุ หภูมิสูงสุดเปน เทาใด
4. อณุ หภูมติ ํา่ สดุ เปน เทา ใด
5. เริ่มบนั ทึกขอ มลู ณ เวลาใด
6. อุณหภูมิสูงสดุ และตํา่ สดุ ตา งกันเทาใด

แผนภมู ิแสดงอณุ หภมู ิของอากาศตง้ั แตเวลา 13.00 น. - 18.00 น.
สรปุ กราฟเสนเปนวิธกี ารนาํ เสนอขอ มูล โดยใชจดุ และสว นของเสนตรงทล่ี าก
เช่อื มตอ จดุ ซึ่งจุดแตล ะจดุ จะบอกจํานวนหรอื ปรมิ าณของขอ มลู แตล ะรายการ กราฟเสน
นยิ มใชก บั ขอมูลทแี่ สดงการเปลยี่ นแปลงอยา งตอเนอ่ื งตามลาํ ดับเวลากอนหลงั

217
การเขียนกราฟเสน

สวนประกอบของกราฟเสน มดี งั นี้
1. มชี ่ือกราฟเสนอยดู านบน
2. มสี ว นของเสนตรงสองเสน ต้งั ฉากกนั โดยสว นของเสน ตรงทอ่ี ยใู นแนวต้งั

แสดงจํานวนหรือปรมิ าณของขอ มลู แตละรายการ สวนของเสน ตรงท่อี ยใู น
แนวนอนจะแสดงรายการของขอมูล เชน ชว งเวลาในหนงึ่ วัน ชว งเวลาใน
สัปดาห ฯลฯ
3. การสรา งกราฟเสน เร่มิ ดวยจุดซึง่ ใชแสดงจาํ นวนหรอื ปรมิ าณของขอมลู แตละ
รายการ และสวนของเสน ตรงจะเชอ่ื มตอจดุ จากจุดแรกไปยงั จุดถดั ๆ ไปจนถงึ
จดุ สดุ ทาย
ตวั อยา ง ขนั้ ตอนการสรางกราฟเสนมดี งั นี้

ข้ันที่ 1 เขียนชอื่ กราฟเสน
ขัน้ ท่ี 2 เขยี นสว นของเสนตรงสองเสน ใหต้ังฉากกนั สวนของเสนตรงในแนวนอนแสดงชอ่ื
เดือน และสวนของเสน ตรงในแนวต้ังแสดงนาํ้ หนกั

1. ถาขอ มูลแตละรายการมีจํานวนหรอื ปริมาณมากหรือใกลเ คยี งกนั ควรยนระยะ
บนแกนท่ีแสดงจาํ นวนดังนี้

218

ข้ันท่ี 3 เขียนจดุ แสดงนา้ํ หนกั แตล ะเดือน จดุ เกดิ จากสวนของเสน ตรงทแ่ี สดงชอื่ เดอื นตดั กบั
สว นของเสน ตรงท่ีแสดงนํา้ หนกั

ขั้นท่ี 4 เขียนสว นของเสน ตรงตอ จดุ จากจดุ แรกไปยงั จดุ ถดั ไปจนถึงจุดสุดทาย ดังนี้

219

แบบฝกหดั ท่ี 2
ใหน ักศกึ ษาตอบคําถามตอไปนี้

1) บริษัทสง สนิ คาไปจาํ หนา ยตา งประเทศมีมูลคา มากทสี่ ุด ในเดือนใด และมลู คา เทาไร

2) บรษิ ทั สงสนิ คาไปจําหนายตางประเทศมมี ลู คาเทากันในเดอื นใด และมมี ูลคา เทา ไร

3) บรษิ ัทสง สินคาไปจาํ หนา ยตางประเทศมีมูลคานอยที่สดุ ในเดือนใด และมีมูลคา เทา ไร

4) ตั้งแตเดือนมกราคม ถงึ เดอื นสิงหาคม บรษิ ัทสง สินคาไปจาํ หนายตา งประเทศมีมูลคา รวมกนั

กี่ลานบาท

1.3 การอานแผนภูมวิ งกลม
การอา นแผนภูมวิ งกลม มลี กั ษณะเดียวกบั การอานแผนภูมปิ ระเภทอ่ืน ๆ
แผนภมู ิรปู วงกลมเปน รปู แบบของการนําเสนอขอ มลู โดยใชพน้ื ท่ีภายในรปู วงกลมแทน

จาํ นวนหรือปรมิ าณของขอมลู ทง้ั หมด และแบงรูปวงกลมจากจดุ ศูนยก ลางโดยแบงออกเปน สวน ๆ
ตามจํานวนรายการของขอมลู สวนแบงของพ้นื ทีภ่ ายในรูปวงกลม 1 สว น แทนจํานวนหรือปริมาณ
ของขอมูล 1 รายการ

แผนภูมิวงกลมแสดงจํานวนแสตมปป ระเทศตา ง ๆ ที่ ด.ญ. ธิดารัตนสะสม

220

ขอ มูล 1 รายการ เชน ด.ญ. ธดิ ารตั น มีแสตมป 5 ประเทศ พื้นทรี่ ปู วงกลมจึงถกู แบง เปน 5 สวน
สว นละ 1 ประเทศ ซงึ่ สวนแบง ของรปู วงกลมจะมพี ้ืนท่ีมากหรือนอยขน้ึ อยกู บั จาํ นวนหรือปริมาณ
ของขอมลู แตล ะรายการ สว นแบง ทม่ี ีพ้ืนทม่ี ากกวา จะแทนจํานวนหรอื ปรมิ าณมากกวา

ดงั นัน้ จากตวั อยางแผนภูมิรูปวงกลมนี้ จงึ อา นแผนภมู ไิ ดด งั น้ี
1. แสตมปไทยมีมากทีส่ ดุ
2. แสตมปจีนมีนอยที่สดุ
3. แสตมปญ ่ีปนุ มีนอยกวา แสตมปไทยและสหรฐั อเมรกิ า ฯลฯ

แบบฝก หดั ท่ี 3
จงใชแ ผนภมู วิ งกลมตอบคําถามตอ ไปน้ี

1) ถาโรงเรียนน้มี คี รูและนักเรยี นทง้ั หมด 1,200 คน จะเปน นกั เรียนหญงิ กค่ี น
2) ถาโรงเรยี นนี้มีครูและนักเรียนทั้งหมด 1,200 คน จะเปน นกั เรียนชายกคี่ น
3) ถานักเรียนชายมากกวา นกั เรียนหญิง 80 คน โรงเรียนน้ีมคี รูและนกั เรยี นทงั้ หมดกคี่ น

221

4) ถา มนี กั เรียนชาย 100 คน จะมีครกู ค่ี น
5) ถา โรงเรยี นนี้มีครู 30 คน จะมีนกั เรียนก่คี น

แบบฝกหดั ที่ 4

1. จงสรางแผนภมู ริ ปู ภาพ แสดงจาํ นวนสม สายนํา้ ผึง้ ที่เกบ็ ขายไดจ ากไรสมแหง หน่งึ

ต้งั แต

เดอื น มกราคม – มนี าคม ดังนี้

เดอื นมกราคม 7,000 กิโลกรัม

เดือนกมุ ภาพนั ธ 6,000 กิโลกรัม

เดอื นมีนาคม 6,500 กิโลกรัม

เดือนเมษายน 6,500 กิโลกรัม

เดอื นพฤษภาคม 5,000 กโิ ลกรัม

เดอื นมิถุนายน 5,500 กโิ ลกรัม

(กาํ หนดใหจ ํานวนสมสายนาํ้ ผ้ึง 1 ผล แทน 1,000 กิโลกรมั )

2. จงสรา งแผนภูมิแทงแสดงคาใชจ า ยของครอบครวั หนง่ึ ในเดือนมกราคม จากขอมูลทีส่ ํารวจ

ไดด งั น้ี

คา อาหาร 6,000 บาท

คา เส้ือผา 2,500 บาท

คาใชจ ายของบตุ ร 2 คน 5,000 บาท

คาเคร่ืองใช/ อุปกรณ 3,000 บาท

คา งานสงั คม 2,000 บาท

คา ใชจ า ยเบด็ เตลด็ 4,500 บาท

222

เรอื่ งท่ี 2 ความนา จะเปนเบ้ืองตน

พจิ ารณาสถานการณตอ ไปนี้ และอภปิ รายรว มกนั
กลอ งใบหน่งึ มีลูกปง ปองสขี าว 2 ลกู สเี หลอื ง 1 ลกู สมจิตรตอ งการหยิบลูกปง ปองใน
กลอ งโดยไมมอง หรือท่ีเราเรยี กวา เปน การสุมหยบิ โอกาสของเหตุการณท ี่จะเกิดขนึ้ จากการสุมหยิบ
ลกู ปง ปองจะเปนดงั นี้

สขี าว
สเี หลือง

1. หยิบลกู ปง ปองขึน้ มา 1 ลกู
1) หยบิ แลวไดลูกปงปอง เหตุการณนี้เกดิ ขึ้นอยา งแนนอน
2) หยิบแลว ไดล กู ปงปองสขี าว เหตกุ ารณนอ้ี าจจะเกดิ ขน้ึ หรอื ไมก ไ็ ด
3) หยบิ แลวไดลกู ปง ปองสเี หลือง เหตุการณน ี้อาจจะเกิดขน้ึ หรอื ไมก ไ็ ด
4) หยบิ แลวไดล กู ปง ปองสีแดง เหตกุ ารณน ไ้ี มเกดิ ขน้ึ อยา งแนนอน

2. หยิบลูกปงปองข้นึ มา 2 ลูกพรอ มกนั
1) หยบิ แลวไดส เี หลืองทง้ั สองลูก เหตกุ ารณน้ีไมเกิดขน้ึ อยางแนนอน
2) หยิบแลวไดส ีขาวทั้งสองลกู เหตุการณน ี้อาจจะเกดิ ขน้ึ หรอื ไมก ็ได
3) หยิบแลว ไดสีขาวหนงึ่ ลกู เหตกุ ารณน ้ีเกดิ ขน้ึ อยางแนนอน

ความนาจะเปน เบอ้ื งตน หมายถงึ โอกาสที่เหตกุ ารณห นึ่ง ๆ จะเกิดขน้ึ ซงึ่ เหตุการณน ้ัน
อาจจะเกดิ ข้ึนอยางแนน อน อาจจะเกิดขน้ึ หรือไมก็ได หรอื ไมเ กิดข้นึ อยางแนน อน

223

แบบฝกหดั ที่ 5
จงตอบคาํ ถามจากสถานการณทกี่ าํ หนดใหต อ ไปน้ี
1. ถงุ ใบหน่ึงมสี มเขยี วหวานสเี หลือง 1 ผล และสีเขยี ว 3 ผล ถาสุม หยบิ สมเขยี วหวานในถงุ ขนึ้ มา 1
ผล

(1) โอกาสที่จะหยิบไดส มแนนอนใชห รอื ไม เพราะเหตใุ ด
(2) โอกาสท่จี ะหยบิ ไดสม สีเขียวอยางแนน อนใชหรือไม เพราะเหตใุ ด
(3) โอกาสทจ่ี ะหยิบไดส ม สีเหลอื งอยา งแนน อนใชหรือไม เพราะเหตใุ ด
(4) โอกาสทจ่ี ะหยบิ ไดสม สีใด มากกวา เพราะเหตใุ ด
(5) โอกาสท่จี ะหยบิ ไดผ ลไมช นดิ อ่ืนเปน ไปไดห รอื ไม เพราะเหตใุ ด
2. ใสลูกคดิ สีแดง 3 เม็ด สีนํ้าเงนิ 3 เมด็ ลงในกลองกระดาษถาสุมหยิบลูกคดิ ในกลองขน้ึ มา 1
เมด็
(1) โอกาสทจ่ี ะหยบิ ไดล ูกคดิ สใี ดบาง เพราะเหตใุ ด
(2) โอกาสท่จี ะหยิบไดล ูกคดิ สใี ด มากกวา เพราะเหตุใด
(3) โอกาสทจี่ ะหยิบไดลกู คิดสีเขียวมหี รอื ไม เพราะเหตุใด
3. ในกลอ งมีบัตรตัวอักษร ก 1 ใบ บตั รตวั อกั ษร ข 5 ใบ และบัตรตัวอักษร ค 2 ใบ ถา
สุมหยิบบตั รตวั อกั ษรขนึ้ มา 1 ใบ
(1) โอกาสทีจ่ ะหยิบไดบ ตั รตวั อกั ษรใดบา ง เพราะเหตใุ ด
(2) โอกาสท่ีจะหยบิ ไดบ ัตรตวั อกั ษรใดมากท่ีสุด
(3) โอกาสท่ีจะหยิบไดบตั รตัวอกั ษรใดนอ ยทส่ี ดุ
(4) โอกาสทจ่ี ะหยบิ ไดบ ัตรตัวอกั ษร จ เปนไปไดหรอื ไม เพราะเหตใุ ด

224

2.1 ความหมายของความนา จะเปน

ความนา จะเปน คือจํานวนที่แสดงใหท ราบวา เหตกุ ารณใ ดเหตกุ ารณหนึง่ มโี อกาสเกดิ ขึ้นมาก

หรอื นอยเพียงใด โดยพิจารณาจากเหตกุ ารณท ีเ่ กดิ ข้นึ ดงั ตัวอยาง เชน

เหตุการณ โอกาสทเี่ กดิ ขนึ้ ได

1. การโยนเหรียญสบิ บาท 1 อัน 1 ครงั้ มี 2 เหตุการณที่เปน ไปได คือ เกดิ หัวหรือกอย

2. การทอดลกู เตา 1 ลกู 1 คร้ัง มี 6 เหตุการณท ีเ่ ปนไปได คือ เกดิ แตม 1, 2, 3, 4, 5

3. การโยนเหรียญบาท 2 อนั 1 ครงั้ พรอ ม หรือ 6

กนั มี 4 เหตกุ ารณท ่ีเปนไปได คือ 1 หัวและกอย

2. หวั และหัว 3. กอ ยและหัว 4. กอ ยและกอย

2.2 การคาดเดาความเปน ไปไดของเหตุการณต า ง ๆ

ตัวอยา งที่ 1 ภายในกลอ งใบหนึ่งมีลูกแกว สีขาว 4 ลูก และสเี หลือง 2 ลกู ความนา จะเปนทจ่ี ะหยบิ

ลูกแกว 1 ลูก ใหไดสดี ังนี้

1. สีขาว 2. สีเหลอื ง 3. สแี ดง

วิธีคิด 1. ความนา จะเปน หรอื ความเปนไปไดจ ะหยบิ ลูกแกว สขี าว จงึ มคี วามนา จะเปน ไป

ไดม าก

เพราะมีลกู แกวสขี าว 4 ลูก

2. ความนาจะเปน หรอื ความเปน ไปไดจ ะหยบิ ลูกแกวสเี หลือง จึงมคี วามนา จะเปนไปได

นอ ย

เพราะมลี กู แกว สเี หลืองเพียง 2 ลูก

3. ความนา จะเปน หรอื ความเปนไปไดจ ะหยบิ ลูกแกวสีแดง จงึ มคี วามนาจะเปนไปไมไ ด

แนน อน เพราะไมม ีลกู แกว สีแดงอยใู นกลอ ง

ตัวอยางท่ี 2 จงหาโอกาสหรือความนา จะเปน ทจี่ ะเกดิ ขนึ้ ในการโยนเหรียญสบิ บาท 1 อัน และลูกเตา

1 ลูก พรอ มกนั โดยพิจารณาผลทเี่ กดิ ข้นึ ในแตล ะเหตกุ ารณ ดังน้ี

1. เหตกุ ารณทีเ่ หรียญจะออกหวั (H) มกี เี่ หตุการณ

2. เหตุการณท่ีเหรยี ญจะออกกอย (T) มีกีเ่ หตกุ ารณ

3. เหตกุ ารณท ีเ่ หรยี ญจะออกหัวและกอย (H และ T) มกี เี่ หตกุ ารณ

4. เหตกุ ารณท่ลี ูกเตา จะออกแตมมากกวา 5 มกี ่ีเหตกุ ารณ

วิธคี ดิ 1. โอกาสท่จี ะเกดิ เหตุการณทเ่ี หรียญจะออกหัว (H) เม่อื โยนเหรยี ญบาท 1 อนั

และลกู เตา 1 ลกู พรอ มกัน คือ

(H, แตม 1) , (H, แตม 2), (H, แตม 3), (H, แตม 4), (H, แตม 5), (H, แตม 6) = 6

225

เหตกุ ารณ 2. โอกาสที่จะเกิดเหตกุ ารณท ่เี หรยี ญจะออกกอย (T) เม่อื โยนเหรียญบาท 1 อัน
เหตกุ ารณ และลกู เตา 1 ลกู พรอมกัน คอื

(T, แตม 1) , (T, แตม 2), (T, แตม 3), (T, แตม 4), (T, แตม 5), (T, แตม 6) = 6

3. โอกาสที่จะเกิดเหตกุ ารณทีเ่ หรียญจะออกหัว และกอ ยนั้นไมเ กิดขน้ึ แนน อน
เพราะเหรียญจะออกหัวและกอยพรอ มกนั ไมได

4. โอกาสทจ่ี ะเกิดเหตกุ ารณทีล่ กู เตา ออกแตม มากกวา 5 เพยี ง 2 เหตกุ ารณ คอื
(H, แตม 6) , (T, แตม 6)

แบบฝกหดั ที่ 6

จงเติมคําตอบ
ก. ในถงุ ใบหน่ึงบรรจุลกู ปงปองสีน้ําเงิน 4 ลูก ลกู ปงปองสเี หลอื ง 1 ลูก จงพจิ ารณาความนา จะเปน ไป
ไดว า มากหรอื นอ ยหรอื ไมไดแนนอน ในการหยิบลกู ปงปอง 1 ลกู ดังนี้

(1) หยิบลกู ปงปองไดส นี ํา้ เงนิ
มีความเปนไปได ___________________ (มาก, นอย, ไมไ ดแนน อน)

(2) หยิบลูกปง ปองไดสเี หลอื ง
มคี วามเปนไปได ___________________ (มาก, นอ ย, ไมไดแนนอน)

(3) หยิบลกู ปงปองไดส ีขาว
มคี วามเปน ไปได ___________________ (มาก, นอ ย, ไมไ ดแ นน อน)

ข. ในกระเปาใบหน่งึ ใสเสอ้ื ไว 6 ตัว และกางเกงขาส้นั 2 ตวั จงพจิ ารณาความนาจะเปน ไปไดว ามาก
หรือ นอ ยหรือเปนไปไมไดแ นน อน ในการหยบิ 1 คร้ัง 1 ตวั ดงั น้ี

(1) โอกาสท่จี ะหยิบเสอ้ื ได
มีความเปนไปได ___________________ (มาก, นอย, ไมไดแนน อน)

(2) โอกาสท่ีจะหยบิ กางเกงขาส้นั ได
มคี วามเปน ไปได ___________________ (มาก, นอ ย, ไมไดแนนอน)

(3) โอกาสที่จะหยิบกางกางขายาวได
มีความเปนไปได ___________________ (มาก, นอ ย, ไมไดแ นนอน)

226

ค. จงหาโอกาสหรือความนา จะเปน ที่จะเกดิ เหตุการณขนึ้ ในการทอดลกู เตา 2 ลกู พรอมกนั
จงพิจารณาวามีโอกาสเกดิ ขน้ึ กเี่ หตกุ ารณ
(1) ลูกเตา แตมรวมกนั แลวตํ่ากวา 5 แตม ม_ี ___________________ เหตุการณ
(2) ลูกเตา แตมรวมกนั แลวมากกวา 10 แตม ม_ี ___________________ เหตกุ ารณ
(3) ลกู เตา แตมรวมกนั แลว มากกวา 12 แตม ม_ี ___________________ เหตกุ ารณ

227

เฉลยแบบฝก หดั
บทท่ี 1 จาํ นวนและการดาํ เนนิ การ

แบบฝกหัดท่ี 1 (ก)
1. 5 และ ๕
2. 7 และ ๗
3. 9 และ ๙
4. 4 และ ๔
5. 8 และ ๘

แบบฝกหดั ที่ 1 (ข)
1234567890
๑ ๒๓๔๕๖ ๗๘๙ ๐

แบบฝกหัดที่ 2 (ก)
1. 19 และ ๑๙
2. 22 และ ๒๒
3. 37 และ ๓๗
4. 45 และ ๔๕
5. 68 และ ๖๘

แบบฝกหดั ท่ี 2 (ข) ๒๘ ๓๗ ๔๖ ๕๐
๑๑ ๑๙ 28 34 46 50
11 19

แบบฝก หดั ที่ 2 (ค)
๑๐ ๑๑ ๑๒ ๑๓ ๑๔ ๑๕ ๑๖ ๑๗ ๑๘ ๑๙
๒๐ ๒๑ ๒๒ ๒๓ ๒๔ ๒๕ ๒๖ ๒๗ ๒๘ ๒๙ ๓๐

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
42 43 44 45 46 47 48 49 50

แบบฝกหัดท่ี 2 (ง) 2. 65 228
1. 38 5. 96
4. 81 3. 77
2. หาสบิ สาม 6. 99
แบบฝก หัดที่ 2 (จ) 5. เจ็ดสิบเกา
1. สามสิบหา 3. หกสิบแปด
4. แปดสบิ หก 6. เกาสบิ เจด็

แบบฝก หัดที่ 3
1. สามรอยสี่สบิ หา
2. แปดพันสิบเจด็
3. สองหม่ืนแปดรอ ยเกา สบิ เจด็
4. สามแสนสองพันสร่ี อยหกสิบหก
5. หน่งึ ลา นสามแสนหกหม่นื เจ็ดพนั หา รอยแปดสบิ เกา
6. เจ็ดรอ ยสามลานเกา แสนเจด็ หมืน่ หารอ ย

แบบฝก หัดท่ี 4 2. 5 อยูใ นหลักพัน มคี า หาพนั
1. 1 อยูใ นหลกั หมืน่ มคี า หนง่ึ หมน่ื 4. 1 อยใู นหลักสบิ ลาน มคี า สิบลาน
3. 9 อยใู นหลักลาน มคี า เกา ลาน
5. 4 อยใู นหลักรอ ยลา น มคี า สรี่ อยลา น

แบบฝกหดั ท่ี 5
1. 500,000 + 4,000 + 100 + 20
2. 400,000 + 60,000 + 8,000 + 700 + 90 + 3
3. 10,000,000 + 9,000,000 + 700,000 + 50,000 + 4,000 + 800 + 30
4. 500,000,000 + 60,000,000 + 2,000,000 + 800,000 + 40,000 + 9,000 + 300 + 20 + 1

แบบฝก หดั 6 69,945 659,024 956,420 965,204
1. 69,594 10,500 110,001 111,100 1,001,001
2. 10,050 769,386 893,013 972,142 1,001,900
3. 100,119 2,403,107 2,460,710 2,471,613 2,498,789
4. 999,991

229

แบบฝกหัดท่ี 7 2. 
1.  4. 
3.  6. 
5.  8. 
7. = 10. 
9. =
6. 720
แบบฝกหดั ท่ี 8 (ก) 7. 900
1. 50 8. 920
2. 130 9. 1,050
3. 380 10. 2,660
4. 560
5. 680 6. 1,000
7. 2,500
แบบฝก หดั ท่ี 8 (ข) 8. 5,100
1. 100 9. 14,300
2. 200 10. 203,100
3. 300
4. 600 2. 55,200,000
5. 600 4. 1,004,000,000

แบบฝก หดั ที่ 8 (ค) 2. =
1. 118,500,000 4. 
3. 688,600,000
5. 279,900,000,000 2. 77
4. 626
แบบฝกหัดที่ 9 (ก)
1. 
3. 

แบบฝกหัดท่ี 9 (ข)
1. 68
3. 3,337
5. 5,859

230

แบบฝก หดั ที่ 10 (ก) ตอบ 263
1. 100 +40 + 0
100 + 20 + 3
200 + 60 + 3

2. 200 + 10 + 0 ตอบ 577
300 + 0 + 4
60 + 3
500 + 70 + 7

3. 10,000 + 1,000 + 200 + 0 + 0 ตอบ 37,887
3,000 + 500 + 0 + 4

20,000 + 3,000 + 100 + 80 + 3
30,000 + 7,000 + 800 + 80 + 7

4. 200,000 + 10,000 + 0 + 200 + 50 + 0 ตอบ 697,495
400,000 + 50,000 + 4,000 + 100 + 0 + 4
30,000 + 3,000 + 100 + 40 + 1
600,000 + 90,000 + 7,000 + 400 + 90 + 5

แบบฝก หดั ที่ 10 (ข) 121
1. 100 + 20 + 1 47
40 + 7 168
100 + 60 + 8
ตอบ 168

2. 100 + 30 + 2 132
300 + 20 + 5 325
400 + 50 + 7 457

ตอบ 457

231

3. 10,000 + 2,000 + 100 12,100
400,000 + 50,000 + 4,000 + 100 + 0 + 4 454,104
30,000 + 3,000 + 100 + 40 + 1 33,141
400,000 + 90,000 + 9,000 + 300 + 40 + 5 599,345

ตอบ 599,345

4. 1,000,000 + 100,000 + 50,000 + 2,000 + 100 + 10 + 3 1,152,113
2,000,000 + 100,000 + 10,000 + 2,000 + 400 + 20 + 1 2,112,421
1,000,000 + 300,000 + 20,000 + 0 + 200 + 60 + 0 1,320,260
3,000,000 + 500,000 + 80,000 + 4,000 + 700 + 90 + 4 4,584,794

ตอบ 4,584,794

แบบฝก หดั ที่ 11 (ก)
1. 50,000 + 4,000 + 600 + 20 + 3 + 90,000 + 3,000 + 500 + 40 + 5
= 100,000 +40,000 + 8,000 + 100 + 60 + 8
= 148,168
2. (800,000 + 70,000 + 1,000 + 400 + 90 + 6 ) + ( 200,000 + 40,000 + 7,000 + 300 + 8)
= 1,000,000 + 100,000 + 10,000 + 8,000 + 800 + 4
= 1,118,804

แบบฝก หัดท่ี 11 (ข) 3,486,801
1. 3,000,000 + 400,000 + 80,000 + 6,000 + 800 + 0 +1 1,670,528
1,000,000 + 600,000 + 70,000 + 0 + 500 + 20 + 8 5,157,329
5,000,000 + 100,000 + 50,000 + 7,000 + 300 + 20 + 9
ตอบ 5,157,329 584,169
2. 500,000 +80,000 + 4,000 + 100 +60 + 9 958,782
900,000+50,000 + 8,000 + 700 + 80 + 2 321,456
300,000+20,000 + 1,000 + 400 + 50 + 6 1,864,407
1,000,000 + 800,000 + 60,000 + 4,000 + 400 + 0 + 7
ตอบ 1,864,407

232

แบบฝกหัดที่ 12
1. 15,348
2. 47,847
3. 482,496
4. 6,500

แบบฝกหดั ที่ 13 2. 161
1. 500 4. 38
3. 5,010 6. 17,842
5. 6,207 8. 31,230
7. 2,113

แบบฝก หัดท่ี 14
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

X3 4 5 6 7
13 4 5 6 7
2 6 8 10 12 14
3 9 12 15 18 21
4 12 16 20 24 28
5 15 20 25 30 35

X 9 10 11 12
6 54 60 66 72
7 63 70 77 84
8 72 80 88 96
9 81 90 99 108
10 90 100 110 120

233

แบบฝกหดั ท่ี 15 (ก) 3. 40 + 7 4. 100 , 3
1. 7 2. 3
5. 40 , 9

แบบฝกหัดท่ี 15 (ข) 3. 448 4. 720
1. 84 2. 312
5. 2,624

แบบฝก หดั ท่ี 16 (ก) 3. 2,200 4. 2,370
1. 612 2. 990
5. 2,583

แบบฝกหัดที่ 16 (ข) 2. 1,323 3. 3,696 4. 18,656
1. 1,080 3. 46,200 4. 79,920
3. 93,132 4. 375,124
แบบฝกหัดที่ 16 (ค) 2. 7,056 3. 210,960 4. 293,440
1. 4,680

แบบฝก หัดท่ี 17 (ก) 2. 45,375
1. 15,096

แบบฝกหดั ท่ี 17 (ข) 2. 74,880
1. 49,400

แบบฝก หัดท่ี 18
1. 150 บาท
2. 72 คน
3. 334 ตน
4. 195 คน
5. 193,500 บาท

แบบฝก หดั ที่ 19 234
1. 0
3. 1 2. 4
5. 8 4. 0
7. 210 6. 0
9. 7 8. 50
11. 5,040 10. 69

แบบฝกหดั ที่ 20 (ก)
1. 20 16 12 8 4 0
2. 24 18 12 6 0
3. 35 28 21 14 7 0
4. 3 ตะกรา
5. 9 ทอ น

แบบฝก หัดท่ี 20 (ข) 2. 3 3. 6 4. 7
1. 3 6. 9 7. 8 8. 49
5. 5
9. 80

แบบฝก หัดที่ 20 (ค)
1. 21 2. 112 3. 200 4. 1,150
5. 30,796

แบบฝก หดั ที่ 20 (ง) 2. 11 3. 121 4. 121
1. 16
5. 8

235

แบบฝกหัดท่ี 21 (ก) 2. 5 เศษ 0
1. 4 เศษ 1 4. 11 เศษ 1
3. 10 เศษ 5 6. 70 ตวั เหลือเปด 5 ตวั
5. 2 กิโลกรมั
2. 8 เศษ 3
แบบฝกหดั ท่ี 21 (ข) 4. 12 เศษ 6
1. 6 เศษ 2 6. 193 เศษ 38
3. 41
5. 20 เศษ 11

แบบฝกหดั ที่ 22
1. 64,802 บาท
2. 45 บาท
3. 24,434,000 บาท
4. 90,500 บาท
5. 84 บาท

แบบฝก หัดที่ 23
1. เปน เพราะ 4 หาร 20 ลงตัว
2. เปน เพราะ 3 หาร 18 ลงตวั
3. ไมเปน เพราะ 7 หาร 37 ไมลงตวั
4. เปน เพราะ 9 หาร 45 ลงตวั
5. 2, 8, 12, 14
6. 3, 6, 15, 24
7. 25, 30, 35
8. 18, 24, 30, 36

236

แบบฝก หัดท่ี 24
1. 1, 2, 3, 4, 6, 12
2. 1, 2, 3, 4, 6, 12
3. 1, 2, 3, 6, 9, 18
4. 1, 2, 3, 6, 9, 18

แบบฝก หดั ท่ี 25
1. เปน เพราะ ไมมีเลขใดหาร 13 ลง ตวั นอกจาก 1 และ 13
2. ไมเ ปน เพราะ 15 มี ( 1, 3, 5 ,15 ) มากกวา 2 ตวั
3. 23, 29
4. 51, 53, 57, 59
5. 91, 93, 97

แบบฝกหัดที่ 26 ตวั ประกอบเฉพาะคือ 3
1. 1, 3, 9 ตวั ประกอบเฉพาะคอื 2, 11
2. 1, 2, 11, 22 ตัวประกอบเฉพาะคือ 2, 3
3. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ตัวประกอบเฉพาะคอื 2, 5
4. 1, 2, 5, 10 ,25 , 50
5. 37

แบบฝกหัดท่ี 27 (ก) 2. 6 x 4 3. 2 x 14 4. 6 x 6
1. 7 x 3 6. 17 x 3 7. 9 x 7 8. 9 x 9
5. 7 x 7 10. 9 x 10
9. 9 x 8

แบบฝกหดั ที่ 27 (ข)
ตอบ ไมได เพราะจํานวนทใี่ หมาเปนจาํ นวนเฉพาะ ซึ่งจํานวนเฉพาะจะไมมจี าํ นวนใดหารลง

ตวั นอกจาก 1 และตวั มันเอง

แบบฝก หัดท่ี 28 2. 4,416 237
1. 2 x 3 5. 2,950
2. 2 x 7 3. 5,670
3. 2 x 14 2. 8 6. 8,192
4. 7 x 5 5. 2 3. 9
5. 6 x 6 6. 5
6. 26 x 2
7. 9 x 5
8. 10 x 6
9. 9 x 8
10. 10 x 10

แบบฝก หัดที่ 29
1. 3 x 3 x 3
2. 3 x 13
3. 2 x 3 x 7
4. 2 x 2 x 2 x 7
5. 2 x 2 x 7
6. 3x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
7. 5 x 5 x 5 x 2
8. 2 x 2 x 2 x 27

แบบฝก หัดที่ 30
1. 1,656
4. 6,104

แบบฝกหดั ที่ 31
1. 6
4. 3

แบบฝก หดั ที่ 32 238
1. 2
4. 1 2. 3 3. 14
7. 2 5. 4 6. 6
8. 10 9. 9
แบบฝกหัดท่ี 33
1. 4 2. 5 3. 2
4. 1 5. 7 6. 2
7. 7 8. 15 9. 9

แบบฝกหัดที่ 34 2. 4 3. 3
1. 1 5. 2 6. 5
4. 5
2. 4 3. 18
แบบฝก หดั ท่ี 35 5. 24 6. 40
1. 30
4. 30 2. 150 3. 90
5. 60 6. 45
แบบฝก หัดที่ 36 8. 240
1. 30
4. 60 2. 45 3. 72
7. 112 5. 140 6. 240
8. 396
แบบฝก หัดท่ี 37
1. 48
4. 96
7. 196

แบบฝก หัดท่ี 1 เฉลยแบบฝกหดั 239
บทที่ 2 เศษสวน
ก. (5) 2
(3) 4 (4) 4
(1) 1 (2) 2 3
86
2 4 3. เศษเจ็ดสว นเกา
2. เศษสี่สวนแปด
ข. 5. เศษหกสว นเจด็ 5. 3

1. เศษหา สว นหก 3. 7 4. 6 5

4. เศษหน่งึ สวนเจด็ 97 4. 
8. 
ค. 12. 
16. 
1. 5 2. 2 20. 

83 4. 5

แบบฝก หัดท่ี 2 7
1.  2.  3. 
5.  6.  7.  8. 0
9.  10.  11.  12. 0
13.  14.  15. 
17.  18.  19.  4. 16

แบบฝกหดั ท่ี 3 2. 9 3. 7 21
1. 5
5 8
7
6. 1 7. 7
5. 1
9 9
10
10. 0 11. 1
9. 3
2. 10 3. 23
7
12 40
แบบฝก หัดท่ี 4
1. 9 6. 47

10 156

5. 13

20

240

แบบฝก หดั ท่ี 5 2. 19 3. 2 4. 25

1. 5 27 5 29

9 6. 19

5. 11 87

23

แบบฝก หัดท่ี 6 2. 3 3. 2 4. 3
1. 2
7 94
5

แบบฝก หัดที่ 7

1. 8 ของถงุ

9

2. 5 ลติ ร

7

3. 5 ถว ยตวง

6

4. 4 แปลง

5

5. 4 ของกระถาง

5

แบบฝกหัดท่ี 8

1. 6 กระสอบ

13

2. สดุ าปลูกไดมากกวา 3 ของแปลง

11

3. 6 ของกลอง

12

4. 1 กิโลเมตร

15

5. 2 กโิ ลเมตร

7

แบบฝกหัดท่ี 9 2. 16 3. 9 11 4. 7 5
6. 815
1. 11 4 12 14
18
15

5. 78 7

10

แบบฝก หัดท่ี 10 2. 6 3. 14 241
1. 16 4. 11
5 45
21 30
2. 4 1 3. 2 4
5. 5 4. 5 5
11 7
9 6
6. 2 1 7. 4 1
แบบฝก หัดท่ี 11 8. 412
1. 5 1 5 3
17
4

5. 3 9

13

แบบฝก หดั ที่ 12
1. 250 ตารางวา
2. 900 คน
3. 40 เมตร
4. 10 ตัว
5. 25 ตน

แบบฝกหัดท่ี 13 7. 18
ตอนท่ี 1
25
1. 16
8. 8
2. 7
3. 1 9. 14  2 4
55
9
10. 9
4. 2 62

15 11. 45
58
5. 1
12. 7 2
6. 1 1

55

242

ตอนที่ 2

1. 18

11

2. 6 1 กระสอบ

8

3. 1 ของบอ

6

4. 3 กระปอง

แบบฝก หดั ที่ 14
ตอนที่ 1

1. 39

64

2. 7

4

3. 5

49

4. 11 1
7

5. 3

11

6. 12

35

7. 1 26
45
17
8. 27 27

ตอนที่ 2

1. 3 1 กิโลกรมั

12

2. 38 1 เมตร

3

3. 4 ช่ัวโมง
4. 40 แปลง
5. 30 กิโลเมตร
6. 3,000 บาท

243

แบบฝก หัดที่ 1 เฉลยแบบฝก หัด 4. 0.4
ก. บทท่ี 3 ทศนิยม

1. 0.2 2. 0.5 3. 0.3

ข. 2. ศูนยจ ดุ แปดศนู ย
1. ศูนยจ ดุ หกสี่ 4. ศนู ยจ ุดแปดสอง
3. ศนู ยจ ุดศนู ยเ กา
5. ศูนยจดุ สเี่ กา 2. 0.70 3. 0.02
5. 0.95 6. 0.88
ค.
1. 0.89
4. 0.48

แบบฝกหดั ที่ 2 2. 0.7 3. 0.04
ก. 5. 0.6
3. 0.65
1. 0.03 2. 0.31 6. 0.48
4. 0.06 5. 0.12
ข.
1. 0.84
4. 0.29

แบบฝกหดั ที่ 3 2.  3. 
1.  5.  6. 
4. 

แบบฝกหัดที่ 4
1. > 2. > 3. > 4. > 5. <