1
2 A. PENGERTIAN MATRIKS Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom.Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks. Bentuk umum : A = m m m m n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a .1 .2 .3 . 3.1 3.2 3.3 3. 2.1 2.2 2.3 2. 1.1 1.2 1.3 1. ... : : : ... : ... ... ... a1.1 elemen matriks pada baris 1, kolom 1 a1.2 elemen matriks pada baris 1, kolom 2 a1.3 elemen matriks pada baris 1, kolom 3 am.n elemen matriks pada baris m, kolom n Contoh : B = 1 6 7 2 5 4 Ordo matriks B adalah B2 x 3 a1.3 - 4 a2.2 6 B. JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris Contoh : A = [ 2 3 0 7 ] 2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom Contoh : C = 7 0 1 2 3. Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Contoh : A = 7 3 5 10 5 9 0 6 1 8 6 4 2 0 5 3 Diagonal samping Diagonal utama 4. Matriks Identitas adalah matriks persegi yang elemenelemen pada diagonal utamanya 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol. Contoh : A = 0 1 1 0 B = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol. Contoh : A = 0 0 5 0 1 4 2 3 1 6. Matriks segitga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol. Contoh : B = 3 2 5 9 1 0 2 0 0 7. Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh : C = 0 0 0 0 0 0
3 C. TRANSPOSE MATRIKS adalah perubahan bentuk matriks dimana elemen pada baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya. Contoh : A = 3 5 0 2 4 1 A t = AT = A = 1 0 4 5 2 3 D. KESAMAAN MATRIKS Dua matriks dikatakan sama jika, keduanya mempunyai ordo yang sama dan elemenelemen yang seletak juga sama. Contoh : A = B 5 4 2 3 = 5 4 3 9 3 6 Contoh : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut a. 9 5 12 4 2 5 3 4 b a 3a = -12 a = -12/3 a = -4 2b = 9 b = 9/2 b = 4,5 b 2 3 1 3 2 4 5 3 1 6 1 a b a a 4a + 5 = 2a 4a – 2a = -5 2a = -5 a = -5/2 6a – 1 = 3b + 2 6(-5/2) – 1 = 3b + 2 -15 – 1 = 3b + 2 -16 = 3b + 2 3b = 18 b = 6 E. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS 1. PENJUMLAHAN MATRIKS Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo sama, dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak. Contoh : 2 11 3 0 5 6 1 4 3 5 2 4 2. PENGURANGAN MATRIKS Dua matriks dapat dikurangkan, jika keduanya beorodo sama, dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Contoh : 5 10 2 3 4 1 2 4 7 1 3 5 3 6 5 2 7 4 F. PERKALIAN MATRIKS 1. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL Suatu matriks dikalikan dengan bilangan real k, maka setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan k. Contoh : 2 8 12 6 10 4 6 3 5 2. PERKALIAN DUA MATRIKS Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks sebelah kiri sama dengan banyaknya matriks sebelah kanan. Am x n . Bp x q = Cm x q n = p Contoh : 1 . 1 20 5 15 ( 3) 4 0 20 2 ( 3) 0 ( 15) 3.( 1) 4.1 3.0 4.5 2.( 1) ( 3).1 2.0 ( 3).5 1 5 1 0 . 3 4 2 3
4 2. 8 17 8 0 2 15 4.2 0.3 1.2 5.3 3 2 . 4 0 1 5 3. 1 4 5 3 11 13 0 1 1 3 2 3 0 3 2 9 4 9 1 3 3 0 1 2 . 1 1 2 3 4. 6 12 4 8 2 4 . 2 4 3 2 1 G. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2X2 Jika matriks A = c d a b , determinan dari matriks A dinotasikan det A atau |A| = ad - bc Invers matriks A dinyatakan dengan notasi A -1 = c a d b ad bc 1 Jika ad – bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Jika ad – bc 0, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non singular. Contoh : Diketahui A = 1 3 2 5 , Tentukan determinan dan invers matriks A. Det A = ad – bc = 2.3 – 5.1 = 6 – 5 = 1 A -1 = c a d b ad bc 1 A -1 = 1 2 3 5 1 1 = 1 2 3 5 H. PERSAMAAN MATRIKS 1. A.X = B A -1 .A.X = A-1 .B I.X = A-1 .B X = A-1 .B Jadi jika A.X = B, maka X = A-1 .B 1. X.A = B X.A.A-1 = B.A-1 X.I = B.A-1 X = B.A-1 Jadi jika X.A = B, maka X = B.A-1 Contoh : Tentukan matriks X nya 1. 0 10 5 15 . 1 2 3 1 X 0 10 5 15 . 1 2 3 1 1 X 0 10 5 15 . 1 3 2 1 6 1 1 5 45 10 40 5 1 1 9 2 8 2. 2 4 6 4 1 4 1 2 X. 1 1 4 1 2 . 2 4 6 4 X 1 1 4 2 4 2 1 . 2 4 6 4 X 1 1 4 2 . 2 4 6 4 . 2 1 X 12 8 28 16 . 2 1 X 6 4 14 8 X
5 I. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3 A = ( 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ) Determinan dari Matriks diatas adalah |A| = | 11 12 13 21 22 23 31 32 33 | Untuk menentukan Determinan Matriks ordo 3x3,dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu: b.1) Metode Sarrus b.2) Metode Minor-Kofaktor b.1) Metode Sarrus Determinan ordo 3 juga dapat diselesaikan dengan cara SARRUS : = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 b.2) Metode Minor-Kofaktor Sebelum menjelaskan cara menentukan determinan dengan metode minor-kofaktor, maka perlu dipahami cara menentukan Minor dan Kofaktor Minor dan kofaktor Perhatikan matriks persegi |A| = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1) MINOR Cara menentukan MINOR (symbol Mij) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a M11 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 32 33 22 23 a a a a = a22. a33 – a23.a32 M12 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 31 33 21 23 a a a a = a21. a33 – a23.a31 M13 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 31 32 21 22 a a a a = a21. a32 – a22.a31 M21 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 32 33 12 13 a a a a = a12. a33 – a13.a32
6 M22 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 31 33 11 13 a a a a = a11. a33 – a13.a31 M23 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 31 32 11 12 a a a a = a11. a32 – a12.a31 M31 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 22 23 12 13 a a a a = a12. a23 – a13.a22 M32 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 21 23 11 13 a a a a = a11. a23 – a13.a21 M33 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 21 22 11 12 a a a a = a11. a22 – a12.a21 2) KOFAKTOR Rumus: Kij = (-1)i+j . Mij Untuk (-1)i+j akan membentuk pola sbb: Sekarang mari menentukan determinan dari |A| = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a Determinan ordo 3x3 dapat dilakukan dengan penentuan baris ke-1. Sehingga diperoleh K11, K12, K13 K11 = M11 = a22. a33 – a23.a32 K12 = – M12 = a21. a33 – a23.a31 K13 = M13 = a21. a32 – a22.a31 Determinan dari A adalah a11. K11 + a12. K12 + a13. K13 Contoh soal : Hitunglah a. |A| b. |B| Penyelesaian :
7 a. = 2 ( 1 – (-2)) + (-2 – (-1) + 3(4 – (-1)) = 2(3) + (-1) + 3(5) = 6 – 1 + 15 = 20 b. Dengan cara sarrus |B| ordo 3 dapat = (-1)(5)(1) + (2)(-1)(-2) + (3)(4)(0) – (3)(5)(-2) – (-1)(-1)(0) – (2)(4)(1) = -5 + 4 + 0 + 30 – 0 – 8 = 21 c. Penggunaan Determinan Tingkat Tiga untuk Sistem Persamaan Linier Aturan cramer untuk sistem persamaan linier dua persamaan dengan dua variabel dapat diperumum untuk tiga persamaan dengan dengan tiga variabel. Proses penyelesaiannya dengan determinan tingkat tiga. Untuk persamaan linier a11 + a12y + a13z = b1 a21 + a22y + a23z = b2 a31 + a32y + a33z = b3 jika D = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a , dan D ≠ 0 maka sistemnya mempunyai solusi tunggal yang ditentukan oleh x = , y = dan z = Seperti pada sistem persamaan linier dua veriabel, D dinamakan determinan matriks koefisien sedangkan Dx , Dy dan Dz dinamakan determinan untuk mencari x , y dan z. Contoh soal : Tentukan solusi dari sistem persamaan linier : 2x – 3y – z = 5 x + 2y + 2z = 4 x + y + 3z = 7 penyelesaian : Determinan matriks koefisiennya adalah D = | 2 −3 −1 1 2 2 1 1 3 | = 2| 2 2 1 3 | + 3| 1 2 1 3 | - | 1 2 1 1 | = 2.4+3.1 – 1.(-1) = 8+ 3+ 1=12 Hitunglah determinan Dx , Dy dan Dz (kerjakan rinciannya), diperoleh Dx = | 5 −3 −1 4 2 2 7 1 3 | = 24, Dy = | 2 5 −1 1 4 2 1 7 3 | = -12 , Dz = | 2 −3 5 1 2 4 1 1 7 |=24 Jadi, solusi persamaan liniernya adalah x = = 24 12 = 2 , y = = −12 12 = −1 dan z = = 24 12 = 2
8 J. ADJOINT MATRIKS Adjoint dari matriks persegi ordo 3x3 Jika A = (aij) adalah suatu matriks persegi ordo 3 dengan elemen-elemen aij adalah kofaktor aij, maka didefinisikan adjoint A adalah : adj A = | 11 21 31 12 22 32 13 23 33 | contoh soal : Tentukan adjoin matriks A =[ 4 2 1 10 6 3 3 2 2 ] Solusi : |11| = | 6 3 2 2 | = 12 − 6 = 6 ⇒∝11= (−1) 1+1 . 6 = 6 |12| = | 10 3 3 2 | = 20 − 9 = 11 ⇒∝12= (−1) 1+2 . 11 = −11 |13| = | 10 6 3 2 | = 20 − 18 = 2 ⇒∝13= (−1) 1+3 . 2 = 2 |21| = | 2 1 2 2 | = 4 − 2 = 2 ⇒∝21= (−1) 2+1 . 2 = −2 |22| = | 4 1 3 2 | = 8 − 3 = 5 ⇒∝22= (−1) 2+2 . 5 = 5 |23| = | 4 2 3 2 | = 8 − 6 = 2 ⇒∝23= (−1) 2+3 . 2 = −2 |31| = | 2 1 6 3 | = 6 − 6 = 0 ⇒∝31= (−1) 3+1 . 0 = 0 |32| = | 4 1 10 3 | = 12 − 10 = 2 ⇒∝32= (−1) 3+2 . 2 = −2 |33| = | 4 2 10 6 | = 24 − 20 = 4 ⇒∝33= (−1) 3+3 . 4 = 4 Jadi ,adj A = | a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 | = | 6 −2 0 −11 5 −2 2 −2 4 | K. INVERS MATRIKS BERORDO 3X3 jika A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 , maka invers dari matriks A dinyatakan dengan contoh : Tentukan invers matriks A =[ 4 2 1 10 6 3 3 2 2 ] Solusi : determinan dari matriks A (metode sarrus) |A| = | 4 2 1 10 6 3 3 2 2 | 4 2 10 6 3 2 = (4.6.2) + (2.3.3) + (1.10.2) − (3.6.1) − (2.3.4) − (2.10.2) = 48 + 18 + 20 − 18 − 24 − 40 = 4 adjoin matriks A adj A = | 6 −2 0 −11 5 −2 2 −2 4 | invers matriks A −1 = 1 ↔ −1 = 1 4 | 6 −2 0 −11 5 −2 2 −2 4 | = | | 3 2 − 1 2 0 − 11 4 5 4 − 1 2 1 2 − 1 2 1 | |
9 jadi , invers dari A = [ 4 2 1 10 6 3 3 2 2 ] adalah A −1 = | | 3 2 − 1 2 0 − 11 4 5 4 − 1 2 1 2 − 1 2 1 | | L. SIFAT-SIFAT INVERS MATRIKS: 1. Jika A dan B adalah matriks yang memenuhi AB = BA = I, maka matriks A dan B dikatakan sebagai matriks yang saling invers karena A = B−1 dan B = A−1 2. Jika matriks A mempunyai invers, maka inversnya tunggal 3. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai invers dan ordonya sama maka : a). AB mempunyai invers b). (AB) −1= B −1 A −1 c). (A −1) −1= A d). (kA) −1= k 1 A −1, k ≠ 0 Bila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) = 0 maka matriks A tidak mempunyai invers. Suatu matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Bila det(A) ≠ 0, maka matriks A pasti mempunyai invers. Suatu matriks persegi yang mempunyai invers disebut matriks non singular.