หน่วยที่1..

หน่วยท่ี 1
ระบบจำนวน
สาระสำคัญ
มนุษย์มีแนวคิดเกี่ยวกับการใช้จำนวนและตัวเลขตั้งแต่สมัยโบราณ โดยเริ่ม
รู้จักการนับ (Counting) และพยายามคิดค้นเพื่อพัฒนาเครื่องมือที่ช่วยในการคิด
คำนวณเป็นลำดับเรื่อยมาตั้งแต่การใช้นิ้วมือ ก้อนหิน กิ่งไม้ รอยขีด เป็นต้น เมื่อ
สังคมได้พฒั นามากขึ้น มนุษย์รู้จักการเลี้ยงสัตว์ เพาะปลูก แลกเปลี่ยนสิง่ ของ และ
ค้าขาย การคำนวณยิ่งมีความสำคัญและความจำเป้นสำหรับการดำรงชีวิตเป็นลำ
กับ
สมรรถนะประจำหน่วย
แปลงเศษส่วนและทศนิยม , เลขมีหลัก และไม่มีหลัก , เลขฐานวิทยาศาสตร์
และสามารถประยุกต์ใชใ้ นการดำรงชีวิต
เรื่องทีจ่ ะศึกษา
1. ววิ ัฒนาการของระบบจำนวน
2. จำนวนและตวั เลข
3. โครงสรา้ งระบบจำนวน
4. เลขจำนวนเตม็
5. เศษสว่ นและทศนิยม
6. เลขมหี ลกั และไม่มหี ลกั
7. เลขฐานวทิ ยาศาสตร์

8. คุณสมบัตพิ ืน้ ฐานของระบบจำนวนจริง
9. ความสัมพนั ธใ์ นระบบจำนวนจรงิ
10. ช่วงของจำนวนจริง
จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
1. อธิบายววิ ัฒนาการของระบบจำนวนได้
2. เปรยี บเทียบจำนวนและตัวเลขได้
3. วเิ คราะหโ์ ครงสรา้ งระบบจำนวนได้
4. แยกแยะเลขจำนวนเต็มได้
5. จดจำความสมั พนั ธ์ของระบบจำนวนได้
6. แปลงเศษส่วนและทศนิยม , เลขมีหลักและไม่มีหลัก , เลขฐาน
วทิ ยาศาสตรไ์ ด้
7. นำระบบจำนวนไปประยุกต์ใชใ้ นการดำรงชวี ิตให้เหมาะสม
1. วิวัฒนาการของระบบจำนวน
1.1 ความคิดทางคณิตศาสตรย์ ุคบาบโิ ลเนยี

รูปท่ี 1.1 แสดงคณติ ศาสตร์ยุคบาบิโลเนีย

ชีวิตความเป็นอยู่ของมนุษย์อยู่กับธรรมชาติ เมื่อธรรมชาติเปลี่ยนแปลงไป
การเฝ้าสังเกตเห็นการเปลี่ยนแปลงตามหลักความจริงต่าง ๆ ทำให้เกิดความรู้ เช่น
เมื่อสังเกตเห็นดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศหนึ่งเป็นประจำทุกวัน และตกอีกด้านหน่ึง
สามารถกำหนดทิศเป็นทิศตะวันออก คือ ทิศที่ดวงอาทิตย์ขึ้น มีการกำหนดเปน็ ทิศ
เหนือ ใต้ และรับรู้เร่อื งเวลา โดยสงั เกตเวลาท่ดี วงอาทิตย์ขึ้น และเวยี นรอบครบอีก
หนึ่งครั้งโดยแบ่งเป็นวัน มีการแบ่งเวลาเป็นชั่วโมงและนาที ต่อมาเมื่อสังเกตต่อไป
นาน ๆ พบเรื่องราวฤดูกาล รู้ว่าสามารถแบ่งฤดูกาลแบ่งเป็นปี โดยสังเกตว่าการ
เปลย่ี นแปลงของฤดูกาลข้ึนกับธรรมชาติ โดยมดี วงอาทติ ย์เปลย่ี นตำแหน่งการข้ึนที่
ขอบฟ้าทีละนิด โดยเลื่อนไปทางตะวันออกเฉียงเหนือ จนถึงเดือนมิถุนายน
ประมาณวันที่ 21-22 มิถุนายน ดวงอาทิตย์ขึ้นเยื้ยงไปทางทิศเหนือมากสุด และ
เลื่อนกลับมาทางทิศตะวันออกเฉียงใต้ จนถึงประมาณวันที่ 21-22 ธันวาคม ดวง
อาทิตย์เลื่อนมาขึ้นทางทิศตะวันออกเฉียงใต้มากสุด และวนเวียนกลับไปมาจนทำ
ให้มนุษย์เข้าใจในเรื่องฤดูการและมีการแบ่งขอบเขตของเวลาเป็นปี มีการแบ่ง
หน่วยย่อยตามสภาพของเดือน ซึ่งถือเอาสภาพของดวงอาทิตย์อยู่ในตำแหน่งดาว
ตามจักรราศเี ปน็ เดอื นต่าง ๆ

จากหลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของอารยธรรมมนุษย์ใน ยุคบาบิ
โลน ซึ่งอยู่ในช่วงเวลาประมาณห้าพันปีทีแ่ ล้ว ชาวบาบิโลนมีอารยธรรมท่ีเก่าแก่อยู่
แถบลมุ่ แม่น้ำเฟรตสิ และยูเฟรตสิ ได้ใชต้ ัวเลขการนับด้วยฐานหกสิบ และแบง่ หนว่ ย
เวลาเปน็ นมาตรา 60 ดังทใ่ี ช้กนั มาในเรอื่ งเวลา และใชแ้ บ่งวงกลมเป็นองศาฟิลิปดา
เปน็ ตน้

ชาวบาบิโลนมีระบบการนับจำนวนที่ก้าวหน้าโดยไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ เพราะ
ตัวเลขฐานสิบมีการแบ่งจำนวนที่ลงตัวเพียง 2 กับ 5 แต่ชาวบาบิโลนใช้ตัวเลข 60
ซึ่งมีการแบ่งจำนวนลงตัวไดถ้ ึง 10 ตัวเลข ชาวบาบิโลนแบ่งเวลาในหนึ่งวันเป็น 24
ชั่วโมง ทุก ๆ ชัว่ โมง มี 60 นาที ทุก ๆ นาท่ีมี 60 วินาที ถ้าจะเขยี นตัวเลขแทนเวลา
จะเขยี นได้เป็น 5h 25' 30" มีความหมายวา่ 5 ช่วั โมง 25 นาที 30 วนิ าที หรือเขียน
ในฐาน 60 เป็น 5 25/60 30/3600 ซึ่งถ้าเขียนเป็นตัวเลขฐานสิบจะได้ 5 4/10
2/100 5/1000

ชีวิตความเป็นอยู่ของคนที่เกี่ยวข้องกับการนับและปริมาณ หน่วยนับจึงมี
ความสำคัญเพราะการสื่อสารเพื่อจะบอกปริมาณระหว่างกันจำเป็นต้องมีหน่วยนบั
ลองจินตนาการดูว่ามนุษย์ชาวบาบิโลนยังไม่รู้จักกับตัวเลขทศนิยม รู้จักแต่จำนวน
เตม็ และมีฐานหกสบิ หลกั ฐานที่สำคญั ทยี่ ืนยนั วา่ ชาวบาบิโลนใช้เลขฐานหกสิบ คือ
มีการค้นพบตารางคํานวณที่ลุ่มน้ำยูเฟรตสิ ในปี ค.ศ. 1854 ตารางที่พบเป็นตาราง
ตัวเลขยกกําลังสอง เชน่ 82 = 1 4 ซงึ่ มคี วามหมายเปน็ 82 = 1 4 = 1 * 60 + 4 =
64 หรือตัวอย่าง 592 = 58 1 ( =58 * 60 + 1 = 3481 ) สิ่งที่น่าประหลาดใจ คือ
ชาวบาบิโลนรู้จักวิธีการคูณและหารตัวเลขแล้ว แต่การคูณและหารตัวเลขยังมี
ลกั ษณะท่ีใชต้ ารางยกกําลังสองของตัวเลขทท่ี ำขึ้น โดยสมมุตวิ ่า ต้องการคูณตัวเลข
a และ b ซาวบาบิโลนใช้หลักการของการยกกําลังสองของตัวเลขที่ได้จากตาราง

โดยใช้หลักการ a + b ((a + b)2-a2b2)/2 จากหลักการนี้เขียนได้ คือ a ∎ b = (a
+ b)2 /4 – (a-b)2 /4

1.2 ความคิดทางคณติ ศาสตรย์ ุคสมัยอยี ปิ ต์และโรมนั

รูปท่ี 1.2 แสดงคณิตศาสตรย์ ุคสมยั อียิปตแ์ ละโรมัน
ความคดิ ทางคณิตศาสตร์ของคนในยุคตอ่ จากบาบิโลนมาเป็นอารยธรรมท่ีลุ่ม
แม่น้ำไนล์ในประเทศอียิปต์ สิ่งมหัศจรรย์ของโลกที่ยังหลงเหลืออยู่ คือ พีระมิด ที่
แสดง ความสามารถของคนในยุคนั้น ชาวอียิปต์โบราณให้ความสำคัญอย่างมากกบั
การจดบันทึก และการสือ่ สาร จึงได้ประดิษฐ์กระดาษปาปริ ุส (papyrus) ขึ้น ซึ่งทำ
มาจากต้นกกที่เติบโตอย่างแพร่หลายในแถบลุ่มแม่น้ำไนล์ ชาวอียิปต์โบราณสื่อ
ความหมายด้วยอักษรภาพที่เรียกว่า ไฮโรกลิฟ (Hieroglyph) ซึ่งรวมไปถึงตัวเลข
ดว้ ย อักษรภาพแทนตัวเลขตา่ ง ๆ มีดังน้ี

รปู ที่ 1.2 แสดงอักษรไฮโรกลิฟ
ในช่วงที่อียิปต์โบราณรุ่งเรือง 2,000 กว่าปีนั้น อักษรภาพไฮโรกลิฟ ได้ถูก
เปลี่ยนแปลงไปตามยุคตามสมยั ต่อมาชาวอยี ปิ ต์โบราณเหน็ วา่ การเขยี นแบบไฮโรก
ลิฟนั้นไม่กระชับ จึงพัฒนาสัญลักษณ์แบบ ไฮราติก (Hieratic) ขึ้นดังแสดงในรูปท่ี
1.4 ตัวเลขแบบไฮราติกนั้น ต้องใช้ความจํามากขึ้น เพราะมีสัญลักษณ์ทั้งหมด 36
ตัว (จากเดมิ ที่มีอักษรภาพ เพียง 7 ตัว) ข้อดี คือ เมื่อนําไปเขยี นเปน็ ตัวเลข วิธีใหม่
นี้สามารถลดจำนวนสัญลักษณ์ลง จากเดิมตัวเลข 9,999 ต้องใช้อักษรภาพ 36 ตัว
ก็เหลือใช้สัญลักษณ์แบบไฮราติกเพียง 4 ตัวเท่านั้น สำหรับข้อแตกต่างที่สำคัญ
ระหว่างสัญลักษณ์แบบไฮราติก และระบบจำนวนที่ใช้กันอยู่ในปัจจุบันนั้น คือ
ตำแหน่งของสัญลักษณ์แบบไฮราตกิ ไมม่ ผี ลต่อค่าของตัวเลข

รูปท่ี 1.4 แสดงอักษรภาพไฮราตกิ

สมัยกรกี
ในสมัย 2,600 ปีถึง 2,300 ปีที่แล้ว ชาวกรีกได้รับความรู้ทางคณิตศาสตร์

จากชาวอียิปต์และชาวบาบิโลน ชาวกรีกเป็นนักคิดชอบการใช้เหตุผล เห็นว่า
คณิตศาสตร์ไม่ใช่เพียงเกร็ดความรู้ที่ใช้ให้เป็นประโยชน์ได้เท่านั้น จึงได้วาง
กฎเกณฑ์ทำให้คณิตศาสตร์กลายเป็น วิชาที่มีเหตุผล มีการพิสูจน์ให้เห็นจริง เป็น
วชิ าที่น่ารไู้ วเ้ พ่มิ พนู สตปิ ัญญา นกั คณติ ศาสตรท์ ี่ สำคญั ในสมยั น้ี คือ

เธลีส (Thales ประมาณ 640-546 ปีก่อนคริสต์ ศักราช) เป็นนักปรัชญา นัก
คณิตศาสตร์ นักดาราศาสตรช์ าวกรีก เธลีสได้ทํานายว่าจะเกดิ สุริยคราสล่วงหน้าซ่ึง
ได้เกิดขึ้น ก่อนพุทธศักราช 42 ปี รู้จักพิสูจน์ทฤษฎี บททางเรขาคณิต เช่น
เส้นผ่าศนู ย์กลางจะแบ่งครง่ึ วงกลม มมุ ทฐี่ านของรูปสามเหล่ียม หนา้ จวั่ เท่ากัน และ
มุมในคร่ึงวงกลมเปน็ มมุ ฉาก เป็นต้น

รูปที่ 1.5 แสดงเธลสี

เธลสิ เป็นคนแรกทีค่ ำนวณหาความสูงของพรี ะมดิ ในอยี ิปต์โดยใชเ้ งา

ปีทาโกรัส (Pythagoras ประมาณ 580-496 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นัก
คณิตศาสตร์ชาวกรีกเป็นผู้ริเริ่มตั้ง โรงเรียนสอนวิชาคณิตศาสตร์และปรัชญา ปีทา
โกรัสและศิษย์ สนใจเรื่องราวของจำนวนกันมาก เพราะคิดว่าวิชาการต่าง ๆ และ
การงานแทบทุกชนิดของมนุษย์จะต้องมีจำนวนเข้ามา เกี่ยวข้องอยู่ด้วยเสมอ การ
เรยี นรเู้ รอื่ งของจำนวน คือ เรียนรู้ เรือ่ งราวตา่ ง ๆ ของธรรมชาติ

รปู ที่ 1.6 แสดงปที าโกรัส
อาร์คิมิดีส (Archimedes ประมาณ 287-212 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นัก
คณิตศาสตร์ นักฟิสกิ ส์ชาวกรีก สนใจการหาพืน้ ที่วงกลม ปริมาตรของทรงกระบอก
และกรวย นักคณิตศาสตร์ สมัยนี้รู้จักคำนวณอตรรกยะ เช่น พาย และสามารถ
คํานวณค่าโดยประมาณได้โดยใช้ภาพหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่กว่าอยู่ข้างนอก
วงกลม และรูปหลายเหลี่ยมขนาดเล็กกว่าอยู่ข้างในวงกลม ยิ่งจำนวนด้านของรูป
หลายเหลี่ยมเพิ่มข้ึน จะใกล้เคียงกับขอบของวงกลมมากยิง่ ขึ้น เมื่อรูปหลายเหลี่ยม
มีจำนวนด้านถงึ 96 ดา้ น อาร์คิมิดีสยงั พิสูจน์ด้วยวา่ พน้ื ที่ของวงกลมนนั้ เท่ากับ
คณู กบั ค่ากาํ ลงั สองของรัศมีของวงกลม

ค่า มคี า่ ประมาณเท่าไร ?
ตอบ ประมาณ 3.1429

สมยั กลาง
(ประมาณ พ.ศ. 1072-1979) อาณาจักรโรมันเสื่อมสลายลงในปี พ.ศ. 1019

ชาวอาหรับรับการถ่ายทอดความรู้ทางคณิตศาสตร์จากกรีก ได้รับความรู้เรื่อง
จำนวนศูนย์และวิธีเขียนตัวเลขแบบใหม่จากอินเดีย ตัวเลข 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
ที่ใช้กันทุกวันนี้ จึงมีชื่อว่า ฮินดูอารบิก ชาวอาหรับแปลตําราภาษากรีกออกเป็น
ภาษาอาหรับไวม้ ากมาย ทง้ั ทางดาราศาสตร์ คณิตศาสตร์และแพทยศาสตร์

สมัยฟื้นฟูศิลปวิทยา (ประมาณ พ.ศ. 1980-2143) สงครามครูเสดระหว่าง
ชาวยุโรปกับชาวอาหรับซึ่งกินเวลาร่วม 300 ปี สิ้นสุดลง ชาวยุโรปเริ่มฟื้นฟูทาง
การศึกษา และ มีการก่อตั้งมหาวิทยาลัยกันขึ้น ชาวยุโรปได้ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์
จากตําราของชาวอาหรับ ในปี พ.ศ. 1983 คนรู้จักวิธีพิมพ์หนังสือ ไม่ต้องคัดลอก
ดงั เชน่ แต่ก่อน ตําราคณติ ศาสตร์จึงแพร่หลายทั่วไป ชาวยโุ รปแล่นเรือมาค้าขายกับ
อาหรบั อินเดีย ชวา และไทยในปี พ.ศ. 2035 ครสิ โตเฟอร์ โคลมั บสั (Christopher
Columbus ประมาณ ค.ศ. 1451 - 1506) นักเดินเรือชาวอติ าเลียนแล่นเรือไปพบ
ทวีปอเมริกาใน พ.ศ. 2054 ชาวโปรตุเกสเข้ามาค้าขายในกรงุ ศรีอยุธยา การค้าขาย
เจริญรุ่งเรือง ชาวโลกสนใจคณิตศาสตร์มากขึ้นเพราะใช้เป็นประโยชน์ได้มากใน
การคา้ ขายและเดินเรอื พบตาํ ราคณติ ศาสตรภ์ าษาเยอรมนั พมิ พ์ใน พ.ศ. 2032

มีการใช้เครื่องหมาย + และ - ตําราคณิตศาสตร์ที่แพร่หลายมาก คือ ตํารา
เกี่ยวกับเรขาคณิตอธิบายวิธีบวก ลบ คูณ หารจำนวนโดยไม่ต้องใช้ลูกคิด การหาร
ยาวก็เริ่มต้นมาจากสมัยนี้ และยังคงใช้กันอยู่ตราบเท่าปัจจุบัน นักดาราศาสตร์ใช้

คณิตศาสตร์ในงานค้นคว้าเกี่ยวกับดวงดาวบนท้องฟ้า นิโคลัส คอเปอร์นิคัส
(Nicolas Copernicus ค.ศ. 1473-1543) นักดาราศาสตร์ผู้อ้างว่าโลกหมุนรอบ
ดวงอาทิตย์เกิดในสมยั น้ี

การเริ่มต้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ (ประมาณ พ.ศ. 2144-2343) เริ่มต้น
ประมาณแผ่นดินสมเด็จพระนเรศวรมหาราช แห่งกรุงศรีอยุธยาจนถึงแผ่นดิน
สมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช แห่งกรุงรัตนโกสินทร์ ในรอบสองร้อยปี
ต่อมาความเจริญทางด้านดาราศาสตร์ การเดินเรือ การค้า การก่อสร้าง ทำให้
จำเปน็ ตอ้ งคดิ เลขให้ได้เร็วและถกู ต้อง ในปี พ.ศ. 2157

รูปท่ี 1.7 แสดงคริสโตเฟอร์โคลัมบสั
เนเปอร์ จอห์น เนเปียร์ (Neper John Napier ค.ศ. 1550-1617) นัก
คณิตศาสตร์ชาวสก็อตได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับลอการิทึม ซึ่งเป็นวิธีคูณ หาร และ
การยกกําลงั จำนวนมาก ๆ ให้ไดผ้ ลลพั ธ์ถูกตอ้ งและรวดเรว็ ในที่สดุ ก็มีการประดิษฐ์
บรรทัดคํานวณขน้ึ โดยใชห้ ลกั เกณฑ์ของลอการิทึม นอกจากนยี้ ังมีนักคณิตศาสตร์ที่
สำคัญอกี คอื

รปู ท่ี 1.7 แสดงเนเปอร์ จอหน์ เนเปยี ร์
แบลส ปาสกาล (Blaise Pascal ค.ศ. 1623-1662) และปีแยร์ เดอ แฟร์
มาต์ (Pierre de Fermat ค.ศ. 1601-1665) พบวิชาความน่าจะเป็นทั้งสองท่านน้ี
เปน็ ชาวฝร่งั เศส ปาสกาลไดร้ ับการยกย่องวา่ เป็นคนแรกที่ประดษิ ฐ์เครื่องคิดเลข
เซอร์ไอแซก นิวตัน (Sir Isaac Newton ค.ศ 16421727) นักคณิตศาสตร์
นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ และกอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิตส์ (Gottfried
Wilhelm Leibnitz ค.ศ. 1646-1716 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน) พบวิชา
แคลคูลสั ซง่ึ เป็นวชิ าท่นี าํ ไปใช้ประโยชน์ไดอ้ ย่างกว้างขวาง การคน้ พบวชิ าแคลคูลัส
ในรัชสมัยสมเด็จพระนารายณ์มหาราช และการค้นพบ ค.ศ. 1646 - 1716 นัก
คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน พบวิชาแคลคูลัส ซึ่งเป็น วิชาที่นําไปใช้ประโยชน์ได้อย่าง
กว้างขวาง การค้นพบวิชา แคลคูลัสในรัชสมัยสมเด็จพระนารายณ์มหาราช และ
การค้นพบกฎทางวิทยาศาสตร์ของนิวตัน เช่น กฎของการเคลื่อนที่ทฤษฎีของ
การโน้มถ่วงของโลก เป็นต้น นับเป็นความก้าวหน้าของวิทยาการสมัยใหม่ ผลงาน

ของนกั คณิตศาสตร์และวทิ ยาศาสตร์ในสมัย 100 ปี ต่อมาม่งุ ไปในแนวใช้ แคลคูลัส
ให้เป็นประโยชนใ์ นการศึกษาคณติ ศาสตร์ และวิชาฟสิ ิกสแ์ ขนงต่าง ๆ

รูปที่ 1.9 แสดงเซอรไ์ อแซก นิวตัน
นกั คณติ ศาสตร์ท่านอ่ืน

นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากในสมัยนี้มี เลออนฮาร์ด ออยเลอร์
(Leonhard Euler ค.ศ. 1707-1783) ชาวสวิตเซอร์แลนด์ ผใู้ หก้ ำเนดิ ทฤษฎวี ่าด้วย
กราฟ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส โจแฮฟ ลุยส์ ลากรองจ์ (Joseph Louis
Lagrange ค.ศ. 1736-1813) ปีแยร์ ซิมง เดอ ลาปลาซ (Pierre Simon de
Laplace ค.ศ. 1749-1827) ใช้แคลคูลัสสร้างทฤษฎี ของกลศาสตร์ และกลศาสตร์
ฟากฟา้ ซึ่งเป็นพ้นื ฐานของวศิ วกรรมศาสตร์ และตาราศาสตร์
สมยั ปัจจบุ นั

(ประมาณ พ.ศ. 2344-ปัจจุบัน) เริ่มประมาณแผ่นดินพระบาทสมเด็จพระ
พุทธเลิศหล้านภาลัย นักคณิตศาสตร์ในสมัยนี้สนใจในเรื่องรากฐานของวิชา
คณิตศาสตร์ และตรรกศาสตร์ (วิชาว่าด้วยการใช้เหตุผล) นําผลงานของนัก

คณติ ศาสตรร์ นุ่ ก่อนมาวิเคราะห์ ใครค่ รวญ สง่ิ ใดที่นกั คณิตศาสตร์รุ่นก่อนเคยกล่าว
ว่าเป็นจริงแลว้ นักคณิตศาสตรร์ ่นุ นก้ี ็นาํ มาคิดหาทางพสิ ูจนใ์ หเ้ หน็ จริง ทำใหค้ วามรู้
ทางคณิตศาสตร์เดิมมีพื้นฐานมั่นคง มีหลักมีเกณฑ์ที่จะอธิบายให้เข้าใจได้ว่า การ
คิดคํานวณต่าง ๆ ต้องทำเชน่ นัน้ เชน่ น้เี พราะเหตุใด

ในขณะเดียวกันได้สร้างคณิตศาสตร์แขนงใหม่ ๆ ให้เกิดขึ้นเพื่อนำมาใช้ให้
เปน็ ประโยชน์ เหมาะสมกบั สภาพสงั คมปัจจุบัน จะขอกลา่ วถึงนกั คณิตศาสตร์ และ
แซหงใหมข่ องคณติ ศาสตร์ในสมยั นพี้ อสงั เขป

คาร์ล ฟรีดริค เกาส์ (Carl Friedrich Gauss ค.ศ. 1777-1855) นัก
คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มีผลงานดีเด่นทางคณิตศาสตร์มากมายหลายด้าน ได้แก่
พีชคณิต การวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวน การวิเคราะห์เชิงตัวเลข ความน่าจะเป็นและ
สถิตศิ าสตร์ รวมทัง้ ดาราศาสตรแ์ ละฟิสิกส์

รูปที่ 1.10 แสดงคารล์ ฟรดี รคิ เกาส์

นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเซฟสกี (Nikolai Iwanowich Lobacheviski ค.ศ.
1792-1856) นักคณิตศาสตร์ชาวรุสเซีย และ จาโนส โบลไย (Janos Bolyai ค.ศ.
1802-1860)

ใครเป็นผู้ไดร้ ับการยกย่องเป็นผูใ้ หก้ ำเนิดวิชาเรขาคณิตนอกระบบยคู ลิดใน
ส่วนเรขาคณิตแบบไฮเพอรอ์ โบลิก
ตอบ นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกี (Nikolai Iwanowich Lobacheviski)

นลี ส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel ค.ศ. 1802-1829) นักคณิตศาสตร์
ชาวนอร์เวย์ มีผลงานในด้านพีชคณิตและการวิเคราะห์ เมื่ออายุประมาณ 19 ปี
พิสูจน์ได้ว่าสมการกําลังหา้ ที่มีตัวแปรตัวเดียวในรูปทั่วไป (ax2 + bx4 + cx3 + dx2
+ ex + f = 0) จะไม่สามารถหาคําตอบโดยวิธีพีชคณิตได้เสมอไปเหมือนสมการทีม่ ี
กําลังต่ำกว่าห้า นอกจากนี้ยังมีผลงานอื่น ๆ ในด้านทฤษฎีของอนุกรม อนันต์
ฟงั กช์ นั อดิศยั กลุม่ จตุรงค์ และฟังก์ชนั เชงิ วงรี เซอร์ วิลเลียม โรแวน แฮมิลทนั (Sir
William Rowan Hamilton ค.ศ. 1805-1865)

นักคณิตศาสตร์ชาวไอริส มีผลงานในด้านพีชคณิต ตาราศาสตร์ และฟิสิกส์
ในปี ค.ศ. 1843 ได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน เป็นจำนวนท่ี
เขียนได้ในรูป a + bi + cj + dk โดยที่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง i2 = j2 =
k2 = ijk = -1 ควอเทอร์เนียน มีคุณสมบัติต่างไปจากจำนวนธรรมดาสามัญ

กล่าวคือ ไม่มีสมบัติการสลับที่เมื่อพูดถึงจำนวนคนมักจะคิดว่า จำนวนตัวหน้าคูณ
จำนวนตัวหลัง จะได้ผลลัพธ์เท่ากบั จำนวนตัวหลังคูณจำนวนตวั หน้า เขียนได้ในรปู
ab = ba แต่ควอเทอร์เนียนไม่เป็นเช่นนั้น ij = k แต่ ji = -k แสดงว่า ij > ji แฮมิล
ทันได้รับเกียรติว่าเป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเมทริกซ์ร่วมกับ เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเทอร์
(James Joseph Sylvester ค.ศ. 1814-1897) และอาร์เทอร์ เคเลย์ (Arthur
Cayley ค.ศ. 1821 - 1895) ท้ังสองท่านนี้เป็นนักคณติ ศาสตร์องั กฤษ

รูปที่ 1.11 แสดงเซอร์ วลิ เลียม โรแวน แฮมลิ ทนั
แบรน์ ฮารด์ รีมันน์ (Bernhard Riemann ค.ศ. 1826-1866) นกั คณติ ศาสตร์
ชาวเยอรมัน มีผลงานในด้านเรขาคณิต ทฤษฎีของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปรเป็น
จำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีศักย์ โทโปโลยี และวชิ าฟิสกิ สเ์ ชิงคณติ ศาสตร์
เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเรขาคณิตแบบรีมันน์ ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีสัมพันธภาพ
สมัยปัจจบุ นั
แ บร ์ น ฮาร์ ด ร ี ม ั น น์ (Bernhard Riemann A.ศ. 1826 - 1 866) นัก
คณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มีผลงานในต้านเรขาคณติ ทฤษฎีของฟงั ก์ชันวเิ คราะห์ที่มี
ตัวแปรเป็นจำนวนเชิงซ้อนทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีศักย์ โทโปโลยี และวิชาฟิสิกส์เชิง

คณิตศาสตร์ เป็นผู้ให้กำเนิดวิชาเรขาคณิตแบบรีมันน์ ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎี
สัมพันธภาพสมยั ปัจจบุ ัน

คารล์ ไวแยร์สตราสส์ (Kar Weierstrass ค.ศ. 1815-1897) นกั คณติ ศาสตร์
ชาวเยอรมัน มีผลงานในต้นการวิเคราะห์ เป็นผู้นิยามฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปร
เป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้อนุกรมกำลัง สร้างทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงวงรี และ
แคลลูลสั ของการแปรผนั

จอร์จ บลู (George Boole A.ศ. 1815-1864) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษมี
ผลงานในต้นตรรกศาสตร์พืชคณิต การวิเคราะห์ แคลลูลัสของการแปรผัน ทฤษฎี
ความนา่ จะเป็น เป็นผู้ให้กำเนิดวชิ าพืชคณิตแบบบลู

รปู ที่ 1.12 แสดงจอร์จ บลู
เกออร์จ คันเทอร์ (Georg Cantor ค.ศ. 1845-1917) นักคณิตศาสตร์ชาว
เยอรมัน เป็นผู้ริเร่ิมนำเซตมาใช้ในการอธิบายเรื่องราวทางคณิตศาสตร์ และได้รับ

ผลสำเร็จเป็นอย่างดีเป็นผู้ให้กำเนิดวิชาทฤษฎีเซต ความรู้เกี่ยวกับเซตทำให้ทราบ
เรื่องราวเกี่ยวกับจำนวนจริงและจำนวนอนันต์เพิ่มขึ้น ต่อมานักคณิตศาสตร์อีก
หลายท่านไดช้ ่วยกันปรับปรุงเรื่องเซตให้สมบูรณ์จนเป็นท่ียอมรับและนำไปใชอ้ ย่าง
กวา้ งขวางในวชิ าคณิตศาสตร์

โยเชียห์ วิลลาร์ด กิบส์ (Josiah Willard Gibbs) นักคณิตศาสตร์ชาว
อเมรกิ ัน มผี ลงานในต้านวชิ าฟสิ ิกส์เชิงคณติ ศาสตร์ และวชิ ากลศาสตรเ์ ชิงสถติ ิ เป็น
ผู้ใหก้ ำเนิดวิชาเวกเตอรว์ ิเคราะห์

รปู ที่ 1.13 แสดงโยเชยี ห์ วลิ ลาร์ด กิบส์
อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (Albert Einstein ค.ศ. 1879-1955) นักฟิสิกส์ชาว
เยอรมัน ใช้คณิตศาสตร์สร้างทฤษฎีสัมพันธภาพ เป็นเหตุให้ความคิดเห็นเกี่ยวกับ
เอกภพและสสารซึ่งเชื่อกันมาแต่เติมเปลี่ยนแปลงไป ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์สมัย
ปัจจุบัน เช่น แขนงอิเล็กทรอนิกส์ ฟิสิกส์นิวเคลียร์ และอวกาศต้องใช้ความรู้ทาง
คณติ ศาสตร์ประยกุ ตแ์ บบใหม่

จอห์น ฟอน นอยมันน์ (John Von Neumann ค.ศ. 1903- 1957) นัก
คณติ ศาสตร์ชาวฮงั การี มีผลงานทงั้ ในตนั คณิตศาสตร์บริสทุ ธิ์ คณิตศาสตร์ประยุกต์
และเศรษฐศาสตร์ เช่น ทฤษฎีควอนตัม ทฤษฎีคอมพิวเตอร์และการออกแบบ
คอมพิวเตอร์ กำหนดการเชิงเส้นกลุ่มจตุรงค์ต่อเนือ่ ง ตรรกศาสตร์ ความน่าจะเป็น
เปน็ ผ้ใู หก้ ำเนดิ ทฤษฎกี ารเส่ียง

คณิตศาสตร์แขนงใหม่ที่เกิดขึ้นในสมัยปัจจุบัน ได้แก่ ทฤษฎีเซต กำเนิดเมื่อ
พ.ศ.2435 โทโปโลยี กำเนิดเมอื่ พ.ศ. 2438 ทฤษฎีการเสี่ยง กำเนิดเมอื่ พ.ศ. 2474
และกำหนดการเช็งเสน้ กำเนดิ เมอื่ พ.ศ. 2490

คณิตศาสตร์เริ่มจากเป็นเกร็ดความรู้ที่มนุษย์นำมาใช้ให้เป็นประโยชน์ในการ
ดำรงชีวิตในสมยั สี่พันปีก่อนค่อย ๆ มีกฎเกณฑ์ทวีเพิม่ พูนขึ้นตลอดมา คณิตศาสตร์
เปรียบเหมือนต้นไม้ นับวันจะผลิดอกออกผลนำประโยชน์มาให้มนุษยชาติ มนุษย์
ทุกยุคทุกสมัยสนใจวิชาคณิตศาสตร์ การให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์แก่เยาวชนของ
ชาติ จึงมีความสำคญั อย่างมาก
2. จำนวนและตวั เลข

จำนวน (Number)หมายถึง ตัวบ่งชี้ปริมาณ ซึ่งเป็นผลมาจากตัวเลข
(Numeral) ประกอบกนั

ตัวเลข (Numeral) หมายถึง สื่อหรือสัญลักษณ์แทนการนับจำนวน ซ่ึง
สามารถบ่งช้ีปริมาณโดยตัวเลข ได้ถือกำเนิดมาเมื่อหลายพันปีก่อนโดยซาวอียิปต์
และเม่ือมกี ารติดตอ่ กบั อารยธรรมอื่น ๆ ไดเ้ กดิ วิวฒั นาการตัวเลขอ่ืน ๆ ตามมา เช่น
ตัวเลขบาบโิ ลน ตวั เลขโรมนั ตวั เลขจนี และอกี มากมายรวมทง้ั ตวั เลขไทย ซึ่งตวั เลข

ที่ได้รับความนิยมมากที่สุดไต้แก่ ตัวเลขฮินดูอารบิก ซึ่งประกอบไปด้วยตัวเลข 10
ตวั คอื 0, 1, 2, 3. 4. 5, 6. 7, 8 และ 9 ซง่ึ เม่ือคา่ ของจำนวนมีค่ามากกวา่ 9 ขึ้นไป
จะเกดิ การประกอบกนั ช้นื มาของตวั เลขท้งั 10

รูปที่ 1.14 แสดงตัวเลขฮินดูอารบิก
3. โครงสร้างระบบจำนวน

จำนวนจรงิ

จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ
จำนวนเศษส่วน จำนวนทศนิยม
จำนวนเต็ม ทศนิยมไม่ร้จู บ รากท่ถี อดไมไ่ ดล้ งตวั

จำนวนเตม็ ลบ จำนวนศูนย์ จำนวนเตม็ บวก

รปู ที่ 1.15 แสดงโครงสร้างระบบจำนวน

จากรปู ที่ 1.15 แบง่ โครงสรา้ งระบบจำนวนออกได้ดังต่อไปน้ี
จำนวนจริง (Real Number) คือ จำนวนทุกจำนวน ซึ่งอาจเป็นได้ท้ัง
จำนวนตรรกยะหรอื จำนวนอตรรกยะ
จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนแทน
เศษส่วนได้ โดยจะอยู่ในรปู *A* / *B* โดยท่ี B จะต้องไม่เท่ากบั ศูนย์
จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียน
แทนเปน็ เศษสว่ นได้

ทศนิยมไม่รจู้ บ รากทถ่ี อดไมล่ งตัว คอื จำนวนอตรรกยะ

4. เลขจำนวนเตม็
จำนวนเต็ม (Integer) คือ จำนวนที่เป็นเลขลงตัวไม่มีเศษ หรือมีค่าหลังจุด

ทศนิยมเป็นศูนย์ หมายถึง จำนวนเต็มบวก (Positive Integer) จำนวนเต็มศูนย์
(Zero Integer) และจำนวนเต็มลบ (Negative Integer) เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว
ไม่ได้มีแต่จำนวนเต็มบวกเท่านั้นที่ใช้บ่งชี้ปริมาณ เช่น อุณหภูมิของอากาศติดลบ
จำนวนเงนิ คงเหลอื ในบัญชขี องธนาคาร เปน็ ตน้

จำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มลบ จำนวนเตม็ บวก

-3 -2 -1 0 2 3 4

รปู ท่ี 1.16 แสดงเลขจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มบวก (Positive Integer) คือ จำนวนนับที่มีค่าเริ่มตันที่ 1 และ
มีค่าเพ่มิ ขนึ้ ไดเ้ ร่อื ย ๆ เพราะจำนวนนับไมม่ คี ่าสน้ิ สดุ
จำนวนเต็มศูนย์ (Zero Integer) คือ จำนวนที่ไม่ถือเป็นจำนวนนับ โดย
การเริ่มตันนับค่าจะเริ่มตันที่ 1 เช่น เด็กคนที่ 1, 2, 3…. ไปเรื่อย ๆ แต่ไม่นิยมบอก
วา่ มเี ดก็ 0 คน แต่อาจบอกแทนได้วา่ ไม่มเี ด็ก จำนวนศูนย์ อาจแทนความหมายว่า
ไม่มี แต่บางครั้งก็ใช้เลข 0 เพื่อบ่งชี้ปริมาณได้เช่น ผลการแช่งขันฟุตบอล 0 ประตู
ต่อ 0 หรอื ขณะนอี้ ุณหภูมิ 0 องศาเซลเชยี ส เปน็ ตนั
จำนวนเต็มลบ (Negative Integer) คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 0 โดยมี
เครื่องหมายลบกำกับอยู่หน้าตัวเลขจำนวนนั้น เช่น -3 อ่านว่า ลบสาม และมีคำ
นอ้ ยลง ถา้ ตัวเลขเพม่ิ ขนึ้ ไปเร่อื ย ๆ เพราะจำนวนนบั ไม่มคี า่ สนิ้ สดุ

5. เศษส่วนและทศนิยม
เศษส่วน (Fraction) หมายถึง จำนวนที่เขียนอยู่ในรูป A โดยที่ A เป็น

B

จำนวนเตม็ บวกหรอื ศนู ย์ และ B จะต้องไม่เทา่ กบั ศูนย์ เชน่ 3 เป็นตัน

2

ทศนิยม (Decimal) หมายถึง ตัวเลขเพื่อแทนจำนวนที่ไม่สามารถเขียนใน
รูปจำนวนเต็ม ซึ่งอาจเป็นทศนิยมลัวน เช่น 0.5 หรือ 0.75 โดยทศนิยมอาจมี
จำนวนเตม็ อยดู่ ้วยเช่น 2.5 หรือ 4.725 เป็นตน้

จำนวนนับหรือจำนวนเต็ม สามารถบอกปริมาณได้ แต่ไม่สามารถบอก
ปริมาณบางอย่างได้ เช่น มีลูกอม 3 เม็ด แบ่งให้เด็ก 2 คน จะได้คนละเท่าใด
คำตอบ คือ 3 หารด้วย 2 จะได้ 0.5 หรือ 1.5 เม็ด โดยพบวา่ ทศนิยม คือ เศษสว่ น

1

ที่มตี ัวหาร หรอื เลขของส่วนเปน็ 1 จงึ ไม่ค่อยนิยมนำมาเขยี น เช่น

รูปท่ี 1.17 แสดงลกู อม
เศษสว่ น สามารถเปลยี่ นเปน็ ทศนยิ มด้วยการหาร ทนิยมทไี่ ด้จากเศษส่วน
มี 2 แบบ คือ ทศนิยมท่ีหารลงตวั และทศนิยมทหี่ ารไมล่ งตัว หรือทศนยิ มซ้ำ เชน่
1 = 0.333 (เลขทีซ่ ำ้ คือ 3) สามารถเขียนใหม่ ดังนี้ 1 = 0.3

33

ตวั อยา่ ง การเขยี นทศนยิ มซ้ำ เชน่ เขียนแทนดว้ ย 0.12*
4 = 0.121212...

33

19 = 1.727272... เขียนแทนดว้ ย 0.72*

11

3 = 1.5000... เขยี นแทนด้วย 0.50*

2

ในกรณีที่ซำ้ ดว้ ยเลข 0 จะไมน่ ิยมเขยี นสว่ นทซี่ ำ้ เช่น
3 มกั จะเขียนแทน ดังน้ี = 1.5

2

มักจะเขียนแทน ดังน้ี = 0.4



การปัดเศษทศนยิ มให้เปน็ จำนวนเต็ม
การปัดเศษส่วนให้เป็นจำนวนเต็ม เช่น 45.7 สามารถปัดให้เป็น 46 ได้

เพราะมีค่าใกล้เคียงกับ 46 มากกว่า 45 โดยการปัดทศนิยม ถ้าตัวเลขน้อยกว่า 5
ให้ปัดทิ้ง แต่ถ้าตัวเลขที่ปัดมีค่ามากกว่า 5ให้ปัดขึ้น ในกรณีที่ค่าทศนิยมเท่ากับ 5
ซึ่งแต่เต็มจะปัดทั้งทั้งหมด จะทำให้เกิดผลคลาดเคลื่อน เมื่อมีการนำทศนิยมมา
รวมกัน จงึ มีหลักการปดั ทศนยิ มเมอ่ื มีคา่ เท่ากบั 5

ดังนี้
ถ้า 5 ตามหลงั ทศนยิ มที่เปน็ เลขคู่ จะใชท้ ศนิยมเดมิ
ถา้ 5 ตามหลงั ทศนิยมที่เปน็ เลขค่ี จะปดั ข้ึน

เช่น 25.425 ทศนยิ ม 2 ตำแหน่งปัด เป็น 25.42
25.475 ทศนยิ ม 2 ตำแหนง่ ปดั เป็น 25.48

6. เลขมหี ลักและไม่มีหลัก
เลขมหี ลกั
คือ การนำตัวเลขมารวมกลุ่มกัน เพื่อให้ค่าและบ่งชี้ปริมาณ โดยอาศัยวิธกี าร

กำหนด หลักของตัวเลข (Position Notation) ในการพิจารณาค่าของตัวเลขจะ
พิจารณาค่า 2 ค่า คือ

1. คา่ ประจำตวั ของตัวเลขแตล่ ะตัว
2. คาหลักในตำแหน่งท่ีตัวเลขน้นั ปรากฏ

คำถาม ตวั เลขทีอ่ ยดู่ ้านขวาสดุ แตกต่างกบั ตัวเลขที่อย่ดู ้านซ้ายสุดอยา่ งไร
ตอบ ตัวเลขทอี่ ยูต่ ำแหนง่ ขวาสุดจะมีคำหลักท่ีนอ้ ยทีส่ ดุ และตวั เลขทีอ่ ย่ทู างซ้ายสดุ
จะมคี ่ามากที่สุด เชน่ 845 ตวั เลข 4 ไมไ่ ดม้ ีคำเทา่ กับ 4 แต่มคี ำเท่ากับตวั เลขดูณ
ด้วยค่าประจำหลกั คือ หลกั สิบ ซึ่งจะเทา่ กับ 40

ตวั อยา่ ง 1.1 จงตอบคำถามตอ่ ไปน้ี
25412 เลข 5 มคี ่าเท่าใด
ตอบ 5 * 1,000 = 5,000
7850 เลข 5 มีค่าเท่าใด
ตอบ 5 * 10 = 50
หรอื 0 * 100 = 0
5 * 101 = 50
8 * 102 = 800
7 * 103 = 7000

เลขไมม่ ีหลกั
คือ ระบบตัวเลขแต่ละตัวไม่ว่าจะอยู่ที่ใดก็จะมีค่าคงที่เสมอ เช่น ระบบเลข

โรมัน ซึง่ ใช้สญั ลักษณแ์ ทนคา่ ตอ่ ไปนี้
I=1
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000

รูปท่ี 1.18 แสดงการใชเ้ ลขโรมันในการบอกเวลา
ในส่วนจำนวนที่มีค่าตั้งแต่ 4,000 ขึ้นไป แทนสัญลักษณ์ด้วยบาร์ (-) ไว้
ดา้ นบนของตัวอักษรแทนการคณู และการหารด้วย 1,000 เชน่ VI มีค่าเท่ากับ 6 x
1,000 = 6,000
ข้อเสียของการใช้ระบบเลขฐานนี้ คือ ไม่สะดวกในการคำนวณเกี่ยวกับการ
บวก การลบ การคูณ และการหาร เหมือนกับการใช้ระบบเลขที่หลัก แต่อย่างไรก็
ตามสามารถหาผลลัพธ์จากการคำนวณดังกล่าวได้ จำนวนที่เขียนแทนด้วย
สญั ลักษณห์ ลายตัว ถ้าเขียนสัญลักษณท์ ่ีมีคา่ น้อยกว่าไวด้ ้านช้ายมือของสญั ลกั ษณ์ท่ี
มีค่ามากกว่า ค่าของจำนวนที่ได้จะมีค่าเท่ากับจำนวนที่มีค่ามากลบด้วยจำนวนที่มี
คา่ น้อย เชน่
IX มคี า่ เทา่ กบั 10-1 = 9
VL มคี ่าเท่ากับ 50-5 = 45

ในกรณที เี่ ขยี นสัญลกั ษณ์ทมี่ ีค่านอ้ ยกว่าได้ไว้ด้านขวามือของสัญลักษณ์ที่มีค่า
มากกว่าค่าของจำนวนที่ได้ จะมีค่าเท่ากับจำนวนที่มีค่ามากกว่า บวกด้วยค่าของ
จำนวนทมี่ คี า่ น้อยกว่า เช่น

VI มีคา่ เท่ากับ 5+ 1 = 6
LV มคี า่ เท่ากบั 50 + 5 = 55
ตวั อยา่ ง 1.2 การแทนค่าด้วยเลขโรมนั

1234567

I II III IV V VI VII

8 9 10

VIII IX X

100 200 300 400 500 600 700

C CC CCC CD D DC DCC

800 900 1000

DCCC CM M

2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

MM MMM IV V VI VII VIII

9000 10000

IX X

ตัวอย่าง 1.3 จงตอบคำถามต่อไปนี้
VII เลข V มคี า่ เท่าใด ตอบ 5
MCV เลข M มคี า่ เท่าใด ตอบ 1000
XI เลข X มีค่าเทา่ ใด ตอบ 10

ตัวอยา่ ง 1.4 จงเขยี นเลขตอ่ ไปน้ใี หอ้ ย่ใู นรปู เลขโรมนั
1) 105
2) 620
3) 3560

วธิ ีทำ
105 = 100 + 5
= CV
620 = 600 + 20
= DCXX
3560 = MMMDLX

ตัวอยา่ ง 1.5 จงเขยี นเลขตอ่ ไปนี้ ใหอ้ ยูใ่ นรูปเลขอารบกิ
1) XL
2) CMXX
3) MMCCL

วิธีทำ
XL = 50 – 10
= 40
CMXX = 1000 – 100 + 10 + 10
= 920
MMCCL = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 50
= 2250

7. เลขฐานวิทยาศาสตร์
ตัวเลขที่ใช้ในชีวิตประจำวันส่วนใหญ่มักไม่มีความชับซ้อน หรือมีจำนวนของ

ตัวเลขท่ีไม่มาก แตส่ ำหรับในหอ้ งปฏิบัติการทตี่ ้องการความแมน่ ยำจากการคำนวณ
สงู ตัวเลขในการคำนวณตา่ ง ๆ จะมีจำนวนท่ลี ะเอียด และมจี ำนวนมาก หากใช้การ
เขียนตัวเลขในรูปแบบปกติจะทำให้การเขียนแทนจำนวนต่าง ๆ ต้องใช้การเขียนที่
ยาวและอ่านได้ลำบาก เช่น การเขียนเลข 1760000000000 หรือเลขทศนิยม
0.0000000000564

จากตัวเลขตังกล่าว จะเห็นได้ว่าไม่สะดวกต่อการใช้งาน และอาจทำให้อ่าน
ค่าผิดพลาดได้ง่าย ดังนั้น จึงมักจะใช้การเขียนเลขทางวิทยาศาสตร์ ( Scientific
Notation ) แทนการใช้ตัวเลขปกติเพื่อแสดงค่าของจำนวนที่มีปริมาณมากและส่ือ
ให้เช้าตรงกนั โดยนิยมเขยี นใหอ้ ยูใ่ นรูปของเลขฐาน 10 ที่ยกกำลงั แทน ดังตัวอย่าง
การเขยี นดา้ นลา่ ง

รปู ท่ี 1.19 แสดงการทดลองทางวิทยาศาสตร์

100 = 1 10-1 = 0.1

101 = 10 10-2 = 0.01

102 = 100 10-3 = 0.001

103 = 1000 10-4 = 0.0001

104 = 10000 10-5 = 0.00001

105 = 100000 10-6 = 0.000001

ตัวอยา่ ง 1.6 จงแปลคา่ ของตัวเลขต่อไปนีใ้ ห้อยูใ่ นรูปทางวิทยาศาสตร์

วธิ ที ำ 98700 = 9.87 * 10000

= 9.87 * 104

548 = 5.48 * 100

= 5.48 * 102

0.0287 = 2.78 * 0.01

= 2.78 * 10-2

0.00004578 = 4.578 * 10-5
ตวั อยา่ ง 1.6 จงแปลงเลขทางวิทยาศาสตรต์ อ่ ไปนีใ้ ห้อยูใ่ นรูปเลขปกติ
วธิ ีทำ

4 * 101 = 4 * 10
= 40

4.5 * 102 = 4.5 * 100
= 450

4.56 * 10-7 = 0.000000456
8. คุณสมบตั ิพ้ืนฐานของระบบจำนวนจริง

จำนวนจรงิ

จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ
จำนวนเตม็ จำนวนเศษสว่ น จำนวนทศนยิ ม
ทศนยิ มไม่รจู้ บ รากท่ีถอดไมไ่ ด้ลงตวั

จำนวนเตม็ ลบ จำนวนศนู ย์ จำนวนเต็มบวก

รูปที่ 1.20 แสดงระบบจำนวนจริง

คณุ สมบัตเิ ก่ยี วกับการบวก
1.คุณสมบัติปิดของการบวก คือ ผลบวกของจำนวนจริง 2 จำนวน ผลลัพธ์

ที่ได้ย่อมจะต้องเป็นจำนวนจริงด้วย เช่น กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริง
ดงั น้นั a + b จะไดผ้ ลลัพธเ์ ปน็ จำนวนจริงด้วย

2. คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก การบวกเลขจำนวนจริง สามารถสลับ
ทก่ี นั ไดร้ ะหวา่ งตัวตัง้ และตวั กระทำคือ a + b = b + a เช่น 2 + 5 = 5 + 2

3. คุณสมบัติการจัดหมู่ของการบวก การบวกสามารถจัดกลุ่มการบวกได้
ใหม่มีรูปแบบ คือ (a + b) + c = a + (b + c) จากตัวอย่างจะเห็นไดว้ ่าสามารถจดั
หมู่ โดยการนำ a + b ก่อนแล้วจึงนำมาบวกกับ c หรือจะนำ b + c ก่อนแล้วจึง
บวก a กไ็ ด้ เช่น (2 + 5) + 3 = 2 + (5 + 3)

4. เอกลกั ษณข์ องการบวก คอื 0 เป็นเอกลกั ษณข์ องการบวก เมอื่ บวก
จำนวนจรงิ ใดๆ กบั 0จะได้ผลลัพธ์เทา่ กบั จำนวนจริงนน้ั เช่น a +0 = a

5. อินเวอร์สการบวก คอื เลขทีร่ วมกับจำนวนจริงใดแล้วไดผ้ ลลพั ธข์ องการ
บวกเปน็ ศนู ย์ a + (-a) = (-a) + a = 0 เมื่อ -a เปน็ อินเวอร์สการบวกของ a

a เปน็ อินเวอรส์ การบวกของ -a
อินเวอร์สการบวกของเลขจำนวนจริงใด ๆ จะมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น เช่น อิน
เวอร์สของเลขจำนวนจรงิ 2 คอื -2 เทา่ น้นั

คุณสมบัตเิ ก่ียวกบั การคณู

1. คณุ สมบัตปิ ดิ ของการคูณ ผลลัพธข์ องการนำเลขจำนวนจรงิ 2 จำนวนมา
คูณกันจะได้เลขจำนวนจริงขึ้นมาใหม่ 1 จำนวน เช่น a และ b เป็นเลขจำนวนจริง
ผลลพั ธข์ อง a x b จะเป็นเลขจำนวนจรงิ ด้วย

2. คุณสมบตั กิ ารสลับที่ของการคูณ การคูณกนั ของเลขจำนวนจรงิ สามารถ
จดั กลุม่ ของการคณู ใหมไ่ ด้ เช่น

axb=bxa
2x5=5x2
3. คุณสมบตั กิ ารจัดกลุ่มของการคณู การคูณกนั ของเลขจำนวนจรงิ สามารถ
จัดกล่มุ ของการคณู ใหมไ่ ด้ เชน่
(a x b) x c = a x (b x c)
(2 x 5) x 3 = 2 x (5 x 3)
นอกจากนี้ อาจเขียนการคูณกนั ของจำนวนจรงิ โดยละเครื่องหมายคณู และ
วงเล็บได้ เชน่
abcd=axbxcxd

(a x b x c) x d
4. เอกลักษณ์ของการคณู คอื 1 เป็นเอกลกั ษณข์ องการคูณของเลขจำนวน
จรงิ เมอื่ คูณจำนวนจริงใดๆ ดว้ ย 1 ผลลัพธท์ ไี่ ด้ คอื เลขจำนวนจรงิ ตังกล่าว เชน่ a
x1=a
5. อินเวอร์สของการคูณ คือ เลขจำนวนจริงที่นำไปคูณกับเลขจำนวนจริง
หน่งึ ๆ แลว้ ใหผ้ ลลพั ธจ์ ากการคูณเท่ากับ 1 เชน่

A x a-1 = a-1 x a = 1
เมือ่ a-1 เป็นอนิ เวอร์สการคณู ของ a

a เป็นอนิ เวอรส์ การคูณของ a-1
นอกจากคุณสมบัติการบวก และการคูณของเลขจำนวนจริงแล้ว ยังมี
คุณสมบัติที่เกี่ยวกับทั้งการบวกและการคูณ คือ คุณสมบัติการกระจายของเลข
จำนวนจริง เช่น

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
2 x (5 + 3) = (2 x 5) + (2 x 3)
คุณสมบัตเิ กี่ยวกับการลบและการหาร
การลบ คอื การบวกด้วยค่าอินเวอรส์ ของตัวลบ เชน่ a - b = a + ( -b )
โดยเครื่องหมายลบ ( - ) ใช้แทนความหมาย 3 ประการ คอื
1. ใช้แทนเลขจำนวนลบ เชน่ -2
2. ใชแ้ ทนการกระทำการลบ
3. ใช้แทนอนิ เวอร์สของการบวก เช่น -2 เป็นอนิ เวอร์สของการบวก
ของ 2

การหาร คือ การคูณด้วยอนิ เวอร์ของการหาร เชน่
= ab-1 (b ≠ 0)



กรณถี ้า คา่ a = 0 ผลลพั ธข์ องการหาร มคี า่ เทา่ กบั ศนู ย์
คุณสมบตั ิเก่ยี วกบั การยกกำลงั และการหาราก

นิยามของเลขยกกำลงั
การยกกำลังของเลขจำนวนจริงใด ๆ มีค่าเท่ากับการคูณของเสขจำนวนจริง
น้ัน ฯ ตามจำนวนของเลขทย่ี กกำลงั เชน่

23 = 2 x 2 x 2 (2 คณู กนั 3 ครงั้ โดยท่เี ลขยกกำลงั เป็นจำนวนนับ)

นยิ ามการหาราก

การหารากในกรณีที่เป็นรากที่ 2 สามารถเขียนแทนด้วย เมื่อ√ ไม่เป็น
นิยามการหาราก การหารากที่ ก เขียนแทนด้วย √ก เมอ่ื ก เปน็ จำนวนนับท่ีไม่ใช่
1 และ 2
คณุ สมบตั ทิ ่เี กี่ยวข้องกบั การยกกำลังและการหาราก มดี ังน้ี

1. เลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันคูณกัน มีค่าเท่ากับฐานยกกำลังด้วยค่าเลข
ยกกำลังบวกกนั

∎ = +
2. เลขยกกำลังที่ถูกยกกำลังอีกครั้งหนึ่ง มีค่าเท่ากับฐานยกกำลังด้วยค่าเลข
ยกกำลังคูณกนั

( )n = ∎

3. ผลคูณของเลข ab ทง้ั หมดยกกำลัง n มคี ่าเท่ากบั an คูณกบั am

( )ก = ก ∎ ก

4. ผลหารของเลข ( )n =


5. เลขจำนวนจรงิ ใด ๆ ยกกำลงั ศูนย์ มคี ่าเท่ากับ 1

0 = 1

6. เลขยกกำลังจริงที่มีกำลังเป็นค่าเศษส่วน มีค่าเท่ากับรากที่ n ของจำนวน

จริง

1 = √ก
ก

7. เลขที่มีคา่ เลขยกกำลังเป็นลบ มีค่าเท่ากับเศษ 1 ส่วนด้วยเลขดังกล่าว ยก

กำลังบวก

−ก = 1
ก
8. เลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันหารกัน มีค่าเท่ากับเลขฐานนั้น ยกกำลัง

ดว้ ยคา่ เลขกำลังลบกนั

= −

9. ความสัมพันธ์ในระบบจำนวนจริง

เกี่ยวกบั เทา่ กนั

นิยาม a = b ต่อเมื่อ a และ b ใช้แทนจำนวนจริงเดียวกัน ซึ่งคุณสมบัติของ

การเท่ากันมีดังนี้

1. คุณสมบัตกิ ารสะทอ้ น a = a

2. คณุ สมบัตกิ ารสมมาตรคือ ถ้า a = b แลว้

จะได้ b = a ด้วย

3. คุณสมบัตกิ ารถ่ายทอด ถ้า a = b

และ b = c แล้ว
จะได้ a = c ด้วย
4. คณุ สมบตั ิการเพิ่มข้ึนเท่ากัน ถา้ a = b แลว้
จะได้ a + c = b + c
5. คุณสมบัติการตดั ออกของการบวก ถ้า a + c = b + c แล้ว
จะได้ a = b
6. คณุ สมบัตกิ ารเพมิ่ ข้ึนเท่ากัน ถา้ a = b แลว้
จะได้ a * c = b * c
7. คุณสมบัตกิ ารตดั ออกของการคูณ ถ้า a * c = b * c แล้ว
จะได้ a = b

เกย่ี วกบั การไมเ่ ทา่ กนั
คุณสมบตั ิเกี่ยวกบั การไมเ่ ท่ากัน มดี ังนี้
1. คุณสมบตั กิ ารถา่ ยทอด

ถ้า a < b = b < c แล้ว
จะได้ a < c ดว้ ย
2. คุณสมบตั กิ ารบวกเพ่มิ ดว้ ยจำนวนเดยี วกนั
ถา้ a < c แล้ว
a + c < b + c ดว้ ย (c จะเป็นคา่ บวก หรือลบกไ็ ด้)
3. คุณสมบตั กิ ารคณู เพิม่ ดว้ ยจำนวนบวก

ถ้า a < b แลว้
a * c < b * c ด้วย (c จะต้องเปน็ ค่าบวก)
4. การคณู จำนวนท่ีมีค่าลบ เชน่
4.1 ถา้ a < b แล้ว
a*c<b*c
4.2 ถา้ a < 0 และ b < 0 แลว้
a*b>0
4.3 ถ้า a > 0
a*b<0
5. การหารดว้ ยจำนวนบวก
ถา้ a < b แล้ว

<



6. การหารดว้ ยจำนวนลบ
ถ้า a < b แล้ว
<



เมอ่ื c เปน็ ค่าลบ เครอ่ื งหมายจะถกู กลับข้าง จากมากวา่ เปน็ น้อยกวา่
หรอื นอ้ ยกวา่ เปน็ มากกวา่

7. a2 < 0 เสมอ และ a2 = 0 ถา้ a = 0

10. ชว่ งของจำนวนจรงิ
ช่วง (Interval) หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่แสดงอยู่ในรูปของเส้นจำนวน

และสามารถกำหนดเป็นช่วงของจำนวนได้ โดยทุก ๆ จำนวนจะมีจุดอยู่บนเส้น
จำนวนได้เพียงจดุ เดยี วเทา่ นั้น ตวั อยา่ งเช่น

-3 -2 -1 0 1 23

และตอ่ ไปนค้ี อื ชว่ งของจำนวนจรงิ ในรูปแบบต่าง ๆ พรอ้ มตวั อยา่ งที่แสดงอยู่

บนเสน้ จำนวน กำหนดให้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ โดยที่ a < b

1. ช่วงเปิด (a , b)

(a , b) = { x a < x < b } a b

(-4 , 5) = { x - 4 < x < 5 } 5
-4

2. ชว่ งปดิ [a , b] b
[a , b] = { x a < x < b } a

[1 , 10] = { x a < x < 10 } 10
1

3. ช่วงกง่ึ เปิด / ก่งึ ปิด

• ชว่ งกงึ่ เปิด / กึ่งปิด (a , b) b
(a , b] = { x a < x < b } a 10

[-5 , 10] = { x -5 < x < 10 } b
-5 -1
• ชว่ งกึ่งปดิ / กึง่ เปดิ [a , b)
a
[a , b) = { x a < x < b } a

[-5 , -1) = { x -5 < x < -1 }
-5

4. ชว่ งอนันต์ a

• ช่วง (a , ∞ )
(a , b] = { x a < x < b }

[1 ,∞) = { x x > 1 } 1
• ชว่ ง (a , ∞ ) a

(a , b] = { { x x > a }

[1 , ∞) = { x x > 1 } 1
• ชว่ ง ( −∞ , )

(−∞ , a) = { x x < a }

[−∞ , a) = { x x < -5 } -5

[−∞ , ∞) = { x x เป็นจำนวนจริง} a
• ช่วง ( −∞ , ] 0

(−∞ , a] = { x x < a }

(−∞ , 0] = { x x < 0 }