กรุปของจำนวนเต็มมอดุโล n

กรุปของจำนวนเตม็
มอดุโล n

กรุปของจำนวนเต็มมอดุโล n

คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นเซต ซ่ึงแต่ละเซ็ตท่ีเป็นสมาชิกน้นั มีสมาชิก
ประกอบดว้ ยจานวนเตม็ ท่ีมีเศษเหลือจากการหารดว้ ย เท่ากนั กล่าวคือ ถา้
ให้ มีสมาชิก ตวั และสมาชิกแตล่ ะตวั ของ เป็นเซ็ตท่ีมีสมาชิก
ประกอบดว้ ยจานวนเตม็ ท่ีมีเศษเหลือจากการหารดว้ ย เท่ากบั 0, 1, 2,....,
- 1 เขียนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ไดด้ งั น้ี

= ሼ ሾ0ሿ, ሾ1ሿ, ሾ2ሿ, … , ሾ − 1ሿ ሽ

ในท่ีน้ีถา้ [a] เป็นสมาชิกของ แสดงวา่ [a] เป็นเซตท่ีมีสมาชิก
ประกอบดว้ ยจานวนเตม็ ท่ีมีเศษเหลือจากการหารดว้ ย n เทา่ กบั a

นน่ั คือ [a] = ሼ ǀ ≡ ( )ሽ
= ሼ + ǀ ሽ
= ሼ , ± , ± 2 , ± 3 ሽ

ทฤษฎีบท 3.3 ถา้ เป็นเซ็ตของจานวนเตม็ มอดุโล n และ + เป็นการ
บวก บน จะไดว้ า่ ระบบ ( , +)เป็นกรุป

ตัวอย่ำง
จงแสดงว่ำระบบ ( , +)เป็ นกรุป
วิธีทา เพราะวา่ 3เป็นเซตของจานอนเตม็ มอดุโล 3 และ +

เป็นการบวกบน 3 ให้ [a] 3
จะไดว้ า่ [a] = ሼ ǀ ≡ ( 3)ሽ

= ሼ ǀ 3ǀ( − )ሽ
= ሼ ǀ − = 3 ; ሽ
= ሼ3 + ǀ ሽ
จะได้ [0] = ሼ… , −3,0,3, … ሽ
[1] = ሼ… , −2,1,4, … ሽ
[2] = ሼ… , −1,2,5, … ሽ

ดงั น้นั 3= ሼሾ0ሿ, ሾ1ሿ, ሾ2ሿሽ

สามารถแสดงผลบวกบน 3 ดว้ ยตารางเคยเ์ ลยด์ งั น้ี

ถา้ ( 3 , +)เป็นกรุป พิจารณาจากสมบตั ิ 4 ประการดังนี้
1.สมบัติปิ ด
จากตารางเคยเ์ ลย์ จะไดว้ า่ ถา้ [a],[b] 3 แลว้
[a]+[b]=[a+b] 3
ดงั น้นั ระบบ ( 3 , +) มีสมบตั ิปิ ด

2.สมบัติกำรเปลย่ี นหมู่
ให้ [a],[b] และ [c] 3
จะไดว้ า่ [a]+([b]+[c]) = [a]+[b+c]

= [a+(b+c)]
= [(a+b)+c]
= [a+b]+[c]
= ([a]+[b])+[c]
ดงั น้นั ระบบ ( 3 , +) มีสมบตั ิการเปลี่ยนหมู่

3.สมบตั ิกำรมีเอกลกั ษณ์
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[0]+[0]=[0]
[0]+[1]=[1]=[1]+[0]
[0]+[2]=[2]=[2]+[0]
จะไดว้ า่ มี [0] 3 สาหรับทุกสมาชิก [0] 3 ที่

ทาให้ [0]+[a]=[a]=[a]+[0]
แสดงวา่ [0] เป็นเอกลกั ษณ์ของการบวกใน 3
ดงั น้นั ระบบ ( 3 , +) มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์

4.สมบัตกิ ำรมตี วั ผกผนั
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[0]+[0]=[0]
[1]+[2]=[0] = [2]+[1]
แสดงวา่ [0]และ[1] เป็นตวั ผกผนั การบวกของ[0]และ[2]

ตามลาดบั
ดงั น้นั ระบบ ( 3 , +) มีสมบตั ิการมีตวั ผกผนั

จาก 1., 2., 3.และ4.
เพราะฉะน้นั ระบบ ( 3 , +) เป็นกรุป

ทฤษฎีบทที่ 3.4 ถา้ p เป็นจานวนเฉพาะและ ∗ = -ሼሾ0ሿሽ
แลว้ จะไดร้ ะบบ ሾ ∗ , ×ሿ เป็นกรุป

ตวั อยา่ ง
จงแสดงว่ำระบบ ( ∗ , ×)เป็ นกรุป

วิธีทา เพราะวา่ 5∗ เป็นเซตของจานอนเตม็ มอดุโล 5 และ ×
เป็นการคูณบน 5∗ ให้ [a] 5∗

จะไดว้ า่ [a] = ሼ ǀ ≡ ( 5)ሽ
= ሼ ǀ 5ǀ( − )ሽ
= ሼ ǀ − = 5 ; ሽ
= ሼ5 + ǀ ሽ

จะได้ [1] = ሼ… , −4,6,11, … ሽ
[2] = ሼ… , −3,7,12, … ሽ
[3] = ሼ… , −2,8,13, … ሽ
[4] = ሼ… , −1,9,14, … ሽ
ดงั น้นั 5∗ = ሼሾ1ሿ, ሾ2ሿ, ሾ3ሿ, ሾ4ሿሽ

สามารถแสดงผลบวกบน 5∗ ดว้ ยตารางเคยเ์ ลยด์ งั นี้

× [1] [2] [3] [4]
[1] [1] [2] [3] [4]
[2] [2] [4] [1] [3]
[3] [3] [1] [4] [2]
[4] [4] [3] [2] [1]

ถา้ ( 5∗ , ×)เป็นกรุป พจิ ารณาจากสมบตั ิ 4 ประการดงั นี้
1.สมบัติปิ ด
จากตารางเคยเ์ ลย์ จะไดว้ า่ ถา้ [a],[b] 3
แลว้ [a]+[b]=[a+b] 3
ดงั น้นั ระบบ ( 5∗ , ×) มีสมบตั ิปิ ด

2.สมบัติกำรเปลยี่ นหมู่
ให้ [a],[b] และ [c] 5∗
จะไดว้ า่ [a]+([b]+[c]) = [a]+[b+c]

= [a+(b+c)]
= [(a+b)+c]
= [a+b]+[c]
= ([a]+[b])+[c]
ดงั น้นั ระบบ ( 5∗ , ×) มีสมบตั ิการเปลี่ยนหมู่
3.สมบัติกำรมีเอกลกั ษณ์
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[1]×[1]=[1]
[1]×[2]=[2]=[2]×[1]
[1]×[3]=[3]=[3]×[1]
[1]×[4]=[4]=[4]×[1]
จะไดว้ า่ มี [1] 3 สาหรับทุกสมาชิก [0] 5∗ ท่ี

ทาให้ [0]×[a]=[a]=[a]×[0]
แสดงวา่ [0] เป็นเอกลกั ษณ์ของการคูณใน 5∗
ดงั น้นั ระบบ ( 5∗ , ×) มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์

4.สมบตั ิกำรมีตัวผกผนั
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[1]×[1]=[1]
[2]×[3]=[1] = [3]×[2]
[4]×[4]=[1]
แสดงวา่ [1], [2]และ[4] เป็นตวั ผกผนั การการคูณของ
[1], [3]และ[4] ตามลาดบั
ดงั น้นั ระบบ ( 5∗ , ×) มีสมบตั ิการมีตวั ผกผนั
จำก 1., 2., 3.และ4.
เพราะฉะน้นั ระบบ ( 5∗ , ×) เป็นกรุป

แบบฝึ กหัด

1. จงแสดงวา่ ระบบ ( 6 , +) เป็นกรุป
2. จงแสดงวา่ ระบบ ( 4 , +) เป็นกรุป
3. จงแสดงวา่ ระบบ ( 7∗ , ×) เป็นกรุป
4. จงแสดงวา่ ระบบ ( 1∗1 , ×) เป็นกรุป

เฉลย

1.จงแสดงว่ำระบบ ( , +) เป็ นกรุป
วธิ ีทา เพราะวา่ 4เป็นเซตของจานอนเตม็ มอดุโล 4 และ +

เป็นการบวกบน 4 ให้ [a] 4
จะไดว้ า่ [a] = ሼ ǀ ≡ ( 4)ሽ

= ሼ ǀ 4ǀ( − )ሽ
= ሼ ǀ − = 4 ; ሽ
= ሼ4 + ǀ ሽ
จะได้ [0] = ሼ… , −4,0,4, … ሽ
[1] = ሼ… , −3,1,5, … ሽ
[2] = ሼ… , −2,2,6, … ሽ
[3] = ሼ… , −1,3,7, … ሽ

ดงั น้นั 3= ሼሾ0ሿ, ሾ1ሿ, ሾ2ሿ,[3]ሽ

สามารถแสดงผลบวกบน 4 ดว้ ยตารางเคยเ์ ลยด์ งั น้ี

+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3]
[1] [1] [2] [3] [0]
[2] [2] [3] [0] [1]
[3] [3] [0] [1] [2]

ถา้ ( 4 , +)เป็นกรุป พิจารณาจากสมบตั ิ 4 ประการดงั นี้
1.สมบัตปิ ิ ด
จากตารางเคยเ์ ลย์ จะไดว้ า่ ถา้ [a],[b] 4
แลว้ [a]+[b]=[a+b] 4
ดงั น้นั ระบบ ( 4 , +) มีสมบตั ิปิ ด

2.สมบตั ิกำรเปลยี่ นหมู่
ให้ [a],[b] และ [c] 4
จะไดว้ า่ [a]+([b]+[c]) = [a]+[b+c]

= [a+(b+c)]
= [(a+b)+c]
= [a+b]+[c]
= ([a]+[b])+[c]
ดงั น้นั ระบบ ( 4 , +) มีสมบตั ิการเปลี่ยนหมู่

3.สมบัตกิ ำรมเี อกลกั ษณ์
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[0]+[0]=[0]
[0]+[1]=[1]=[1]+[0]
[0]+[2]=[2]=[2]+[0]
[0]+[3]=[3]=[3]+[0]
จะไดว้ า่ มี [0] 4 สาหรับทุกสมาชิก [0] 4 ที่

ทาให้ [0]+[a]=[a]=[a]+[0]
แสดงวา่ [0] เป็นเอกลกั ษณ์ของการบวกใน 4
ดงั น้นั ระบบ ( 4 , +) มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์

4.สมบัติกำรมีตวั ผกผนั
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[0]+[0]=[0]
[1]+[3]=[0] = [3]+[1]
[2]+[2]=[0] = [2]+[2]
แสดงวา่ [0], [1] และ[2] เป็นตวั ผกผนั การบวกของ
[0], [3] และ[2] ตามลาดบั
ดงั น้นั ระบบ ( 3 , +) มีสมบตั ิการมีตวั ผกผนั
จำก 1., 2., 3.และ4.
เพรำะฉะน้ันระบบ ( , +) เป็ นกรุป

2.จงแสดงว่ำระบบ ( , +) เป็ นกรุป
วิธีทา เพราะวา่ 6เป็นเซตของจานอนเตม็ มอดุโล 6 และ +

เป็นการบวกบน 6 ให้ [a] 6
จะไดว้ า่ [a] = ሼ ǀ ≡ ( 6)ሽ

= ሼ ǀ 6ǀ( − )ሽ
= ሼ ǀ − = 6 ; ሽ

= ሼ6 + ǀ ሽ
จะได้ [0] = ሼ… , −12, −6,0,6,12, … ሽ

[1] = ሼ… , −11, −5,1,7,13, … ሽ
[2] = ሼ… , −10, −4,2,8,14, … ሽ
[3] = ሼ… , −9, −3,3,9,15, … ሽ
[4] = ሼ… , −8, −2,4,10,16, … ሽ
[5] = ሼ… , −7, −1,5,11,17, … ሽ
[6] = ሼ… , −6,0,6,12,18, … ሽ

ดงั นนั้ 6= ሼሾ0ሿ, ሾ1ሿ, ሾ2ሿ,[3], ሾ4ሿ, ሾ5ሿሽ [5]
สามารถแสดงผลบวกบน 6 ดว้ ยตารางเคยเ์ ลยด์ งั น้ี

+ [0] [1] [2] [3] [4]

[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5]

[1] [1] [2] [3] [4] [5] [0]

[2] [2] [3] [4] [5] [0] [1]

[3] [3] [4] [5] [0] [1] [2]

[4] [4] [5] [0] [1] [2] [3]

[5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]

ถา้ ( 6 , +)เป็นกรุป พจิ ารณาจากสมบตั ิ 4 ประการดงั นี้

1.สมบตั ิปิ ด
จากตารางเคยเ์ ลย์ จะไดว้ า่ ถา้ [a],[b] 6
แลว้ [a]+[b]=[a+b] 6
ดงั น้นั ระบบ ( 6 , +) มีสมบตั ิปิ ด

2.สมบตั ิกำรเปลย่ี นหมู่
ให้ [a],[b] และ [c] 6
จะไดว้ า่ [a]+([b]+[c]) = [a]+[b+c]

= [a+(b+c)]
= [(a+b)+c]
= [a+b]+[c]
= ([a]+[b])+[c]
ดงั น้นั ระบบ ( 6 , +) มีสมบตั ิการเปลี่ยนหมู่
3.สมบัตกิ ำรมเี อกลกั ษณ์
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[0]+[0]=[0]
[0]+[1]=[1]=[1]+[0]
[0]+[2]=[2]=[2]+[0]
[0]+[3]=[3]=[3]+[0]
[0]+[4]=[4]=[4]+[0]
[0]+[5]=[5]=[5]+[0]
จะไดว้ า่ มี [0] 6 สาหรับทุกสมาชิก [0] 6 ที่

ทาให้ [0]+[a]=[a]=[a]+[0]

แสดงวา่ [0] เป็นเอกลกั ษณ์ของการบวกใน 6
ดงั น้นั ระบบ ( 6 , +) มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์

4.สมบตั ิกำรมตี วั ผกผนั
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[0]+[0]=[0]
[1]+[5]=[0] = [5]+[1]
[2]+[4]=[0] = [4]+[2]
[3]+[3]=[0] = [3]+[3]
แสดงวา่ [0] และ [3] เป็นตวั ผกผนั ของตวั มนั เอง

[1] และ[2] เป็นตวั ผกผนั การบวกของ
[5]และ[4] ตามลาดบั
ดงั น้นั ระบบ ( 6 , +) มีสมบตั ิการมีตวั ผกผนั

จำก 1., 2., 3.และ 4.
เพรำะฉะน้ัน ระบบ ( , +) เป็ นกรุป

3.จงแสดงว่ำระบบ ( ∗ , ×) เป็ นกรุป
วิธีทา เพราะวา่ 7∗ เป็นเซตของจานอนเตม็ มอดุโล 7 และ ×

เป็นการคูณบน 7∗ ให้ [a] 7∗
จะไดว้ า่ [a] = ሼ ǀ ≡ ( 7)ሽ

= ሼ ǀ7ǀ( − )ሽ
= ሼ ǀ − = 7 ; ሽ
= ሼ7 + ǀ ሽ
จะได้ [1] = ሼ… , −6,1,8, … ሽ
[2] = ሼ… , −5,2,9, … ሽ
[3] = ሼ… , −4,3,10, … ሽ
[4] = ሼ… , −3,4,11, … ሽ
[5] = ሼ… , −2,5,12, … ሽ
[6] = ሼ… , −1,6,13, … ሽ

ดงั น้นั 7∗= ሼሾ1ሿ, ሾ2ሿ,[3],ሾ4ሿ, ሾ5ሿ,[6]ሽ
สามารถแสดงผลคูณบน 7∗ ดว้ ยตารางเคยเ์ ลยด์ งั น้ี

× [1] [2] [3] [4] [5] [6]
[1] [1] [2] [3] [4] [5] [6]
[2] [2] [4] [6] [1] [3] [5]
[3] [3] [6] [2] [5] [1] [4]
[4] [4] [1] [5] [2] [6] [3]
[5] [5] [3] [1] [6] [4] [2]
[6] [6] [5] [4] [3] [2] [1]

ถา้ ( 7∗, ×) เป็นกรุป พจิ ารณาจากสมบตั ิ 4 ประการดงั นี้
1.สมบัติปิ ด
จากตารางเคยเ์ ลย์ จะไดว้ า่ ถา้ [a],[b] 7∗
แลว้ [a]×[b]=[a×b] 7∗
ดงั น้นั ระบบ ( 7∗,×) มีสมบตั ิปิ ด

2.สมบตั กิ ำรเปลย่ี นหมู่
ให้ [a],[b] และ [c] 7∗
จะไดว้ า่ [a] ×([b] ×[c]) = [a] ×[b×c]

= [a× (b×c)]
= [(a×b) ×c]
= [a×b] ×[c]
= ([a] ×[b]) ×[c]
ดงั น้นั ระบบ ( 7∗,×) มีสมบตั ิการเปลี่ยนหมู่

3.สมบตั กิ ำรมเี อกลกั ษณ์
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[1]×[1]=[1]
[1]×[2]=[2]=[2]×[1]
[1]×[3]=[3]=[3]×[1]
[1]×[4]=[4]=[4]×[1]
[1]×[5]=[5]=[5]×[1]
[1]×[6]=[6]=[6]×[1]

จะไดว้ า่ มี [1] 7∗ สาหรับทุกสมาชิก [1] 7∗ที่
ทาให้ [1]×[a]=[a]=[a]×[1]

แสดงวา่ [1] เป็นเอกลกั ษณ์ของการคูณใน 7∗
ดงั น้นั ระบบ ( 7∗,×) มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์

4.สมบัติกำรมีตัวผกผนั
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[1]×[1]=[1]
[2]×[4]=[1] = [4]×[2]
[3]×[5]=[1] = [5]×[3]
[6]×[6]=[1] = [6]×[6]
แสดงวา่ [1],[6] เป็นตวั ผกผนั การคูณของตวั มนั เอง และ
[2],[3] เป็นตวั ผกผนั การคูณของ [4], [5]
ตามลาดบั
ดงั น้นั ระบบ ( 7∗, ×) มีสมบตั ิการมีตวั ผกผนั

จำก 1,2,3 และ4
เพรำะฉะน้ันระบบ ( ∗ , ×) เป็ นกรุป

4.จงแสดงว่ำระบบ ( ∗ , ×) เป็ นกรุป
วิธีทา เพราะวา่ 1∗1 เป็นเซตของจานอนเตม็ มอดุโล 11

และ ×เป็นการคูณบน 1∗1 ให้ [a] 1∗1
จะไดว้ า่ [a] = ሼ ǀ ≡ ( 11)ሽ

= ሼ ǀ11ǀ( − )ሽ
= ሼ ǀ − = 11 ; ሽ
= ሼ11 + ǀ ሽ
จะได้ [1] = ሼ… , −10,1,12, … ሽ

[2] = ሼ… , −9,2,13, … ሽ
[3] = ሼ… , −8,3,14, … ሽ
[4] = ሼ… , −7,4,15, … ሽ
[5] = ሼ… , −6,5,16, … ሽ
[6] = ሼ… , −5,6,18, … ሽ
[7] = ሼ… , −4,7,19, … ሽ
[8] = ሼ… , −3,8,20, … ሽ
[9] = ሼ… , −2,9,21, … ሽ
[10] = ሼ… , −1,10,22, … ሽ

ดงั น้นั 1∗1= ሼሾ1ሿ, ሾ2ሿ,[3],ሾ4ሿ, ሾ5ሿ,[6],ሾ7ሿ, ሾ8ሿ,[9],ሾ10ሿሽ
สามารถแสดงผลคูณบน 1∗1 ดว้ ยตารางเคยเ์ ลยด์ งั น้ี

× [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
[1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
[2] [2] [4] [6] [8] [10] [1] [3] [5] [7] [9]
[3] [3] [6] [9] [1] [4] [7] [10] [2] [5] [8]
[4] [4] [8] [1] [5] [9] [2] [6] [10] [3] [7]
[5] [5] [10] [4] [9] [3] [8] [2] [7] [1] [6]
[6] [6] [1] [7] [2] [8] [3] [9] [4] [10] [5]
[7] [7] [3] [10] [6] [2] [9] [5] [1] [8] [4]
[8] [8] [5] [2] [10] [7] [4] [1] [9] [6] [3]
[9] [9] [7] [5] [3] [1] [10] [8] [6] [4] [2]
[10] [10] [9] [8] [7] [6] [5] [4] [3] [2] [1]

ถา้ ( 1∗1,×) เป็นกรุป พจิ ารณาจากสมบตั ิ 4 ประการดงั น้ี

1.สมบตั ปิ ิ ด
จากตารางเคยเ์ ลย์ จะไดว้ า่ ถา้ [a],[b] 1∗1
แลว้ [a]×[b]=[a×b] 1∗1
ดงั น้นั ระบบ ( 1∗1,×) มีสมบตั ิปิ ด

2.สมบัตกิ ำรเปลยี่ นหมู่
ให้ [a],[b] และ [c] 1∗1
จะไดว้ า่ [a] ×([b] ×[c]) = [a] ×[b×c]

= [a× (b×c)]
= [(a×b) ×c]
= [a×b] ×[c]
= ([a] ×[b]) ×[c]
ดงั น้นั ระบบ ( 1∗1,×) มีสมบตั ิการเปล่ียนหมู่

3.สมบัตกิ ำรมีเอกลกั ษณ์
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[1]×[1]=[1]
[1]×[2]=[2]=[2]×[1]
[1]×[3]=[3]=[3]×[1]
[1]×[4]=[4]=[4]×[1]
[1]×[5]=[5]=[5]×[1]
[1]×[6]=[6]=[6]×[1]
[1]×[7]=[7]=[7]×[1]
[1]×[8]=[8]=[8]×[1]
[1]×[9]=[9]=[9]×[1]
[1]×[10]=[10]=[10]×[1]
จะไดว้ า่ มี [1] 1∗1สาหรับทุกสมาชิก [1] 1∗1ท่ี

ทาให้ [1]×[a]=[a]=[a]×[1]
แสดงวา่ [1] เป็นเอกลกั ษณ์ของการคูณใน 1∗1
ดงั น้นั ระบบ ( 1∗1,×) มีสมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์

4.สมบตั กิ ำรมีตวั ผกผนั
จากตารางเคยเ์ ลย์ พบวา่

[1]×[1]=[1]
[2]×[6]=[1] = [6]×[2]
[3]×[4]=[1] = [4]×[3]
[5]×[9]=[1] = [9]×[5]
[7]×[8]=[1] = [8]×[7]
[10]×[10]=[1]
แสดงวา่ [1], [2], [3], [5], [7]และ[10] เป็นตวั ผกผนั
การการคูณของ
[1], [6], [4], [9], [8]และ[10] ตามลาดบั
ดงั น้นั ระบบ ( 1∗1, ×) มีสมบตั ิการมีตวั ผกผนั

จำก 1,2,3 และ4
เพรำะฉะน้ันระบบ ( ∗ , ×) เป็ นกรุป