47 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Vektor dalam R2 y u2 U (u1,u2) u1 x inisial point dipusat koordinat O(0,0) dan terminal point di U(u1,u2) U UO Komponen vektor = (u1,u2) Vektor-vektor ekuivalen ↔ panjang dan arahnya sama. Dua buah vektor u dan v ekuvalen bila diletakkan sehingga initial pointnya berada pada pusat koordinat atau titik asal (0,0) maka pash terminal poitnya berimpit → u dan v memiliki komponen komponen yang sama. Dua buah vektor u dan v memiliki panjang dan arah yang sama U= (u1,u2) v= (v1,v2) U ekuivalen dengan v ↔ u1=v1 dan u2=v2 Juga memenuhi : U+v = (u1+v1, u2+v2) u-v = (u1-v1, u2-v2) Ku = K(U1,U2)= (ku1,ku2) 3.2 Norm Vektor dan Aritmatika Vektor Sifat-sifat vektor pada R2 dan R3 diuraikan dalam teorema berikut : Jika U, V, dan W adalah vektor-vektor pada R2 atau R3 , k dan l adalah scalar, maka memenuhi hubungan- hubungan berikut : a) u + v = v + u b) (u+v) + w = u + (v+w)
48 ALJABAR LINEAR ELEMENTER c) u + 0 = 0 + u = u d) u + (-u) = 0 e) k(lu) = (kl)u f) k(u+v) = ku + lu g) (k+l)u = ku + kl h) 1u = u Pembuktian : a) u + v = v + u = (v1 + v2 + v3) + (u1 + u2 + u3) = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) = u + v b) (u + v) + w = u + ( v + w) = (u1,u2,u3) + [(v1,v2,v3) +(w1,w2,w3)] = (u1,u2,u3) + (v1+w1,v2+w2,v3+w3) = [(u1+v1) + w1, (u2+v2)+w2, (u3+v3)+w3] = (u1+v1, u2+v2,u3+v3) + (w1,w2,w3) = (u+v) + w c) u + 0 = 0 + u = u = (0,0,0) + (u1,u2,u3) = (u1,u2,u3) = u d) u + (-u) = 0 = (u1,u2,u3) + (-u1,-u2,-u3) = (u1-u1, u2-u2, u3-u3) = 0 e) (kl)u = k(lu) = k [ l(u1,u2,u3)] = k ( lu1, lu2,lu3) = (klu1, klu2, klu3) = kl ( u1, u2, u3) = kl(u)
49 ALJABAR LINEAR ELEMENTER f) k(u+v) = ku + kv = k(u1,u2,u3) + k(v1,v2,v3) = (ku1,ku2,ku3) + (kv1,kv2,kv3) = (ku1+kv1, ku2+kv2, ku3+kv3) = k (u1+v1, u2+v2, u3+ v3) = k (u+v) g) (k+l)u = ku + lu = k(u1,u2,u3) + l(u1,u2,u3) = (ku1,ku2,ku3) + (lu1,lu2,lu3) = (ku1 + ku1, ku2 + lu2, ku3 + lu3) = (k+l)u h) 1u = u = 1(u1,u2,u3) = u1,u2,u3 = u Panjang vektor ( Norm Vektor ) u dinotasikan sbg ║u║ y (u1,u2) Jadi, ║u║ = √1 2 + 2 2 u1 u2 z P(u1,u2,u3) S y Q R Jadi, ║u║= √1 2 + 2 2 + 3 2 Suatu vector yang mempunyai panjang 1 disebut vector satuan ( Unit Vektor ) Demikian juga, jika P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) adalah titik-titik dalam ruang berdimensi-2, maka jarak antara kedua titik tersebut diberikan oleh: ║u║ x O x ║u║ ║u║2= (OR)2 + (RP)2 = (OQ)2 + (OS)2 + (RP)2 = u12 + u22 +u32
50 ALJABAR LINEAR ELEMENTER P2(x2,y2,z2) d= z P1(x1,y1,z1) y x Jarak antara P1 dan P2 adalah norma vektor PP1 2 Contoh : a Bila u = (4,3,5) , ║u║= …. Jawab : ║u║= √16 + 9 + 25 = √50 = 5√2 b Bila koordinat titik P(2,4) dan Q(6,1) , PQ = ? Jawab : PQ = (6,-1) – (2,4) = (4,-5) PQ = √16 + 25 = √41 x p1(x1,y1,z1) p(a,b,c) c v y x a v = OP = (a,b,c) = [ ] P2(x2,y2,z3) o b
51 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Sumbu – Sumbu Translasi p Sistem koordinat –xy ditranslasi ke system koordinat –x’y’, dimana titik asal O’ pada system koordinat –xy mempunyai koordinat O’(k,l) titik P € 2 memiliki koordinat (x,y) dan (x’,y’). Untuk melihat hubungan keduanya, diperhatikan vector O’P. → Pada system koordinat –xy, inisial point O’(k,l) dan terminal point P(x,y) sehingga komponen O'P = (x-k, y-l) → Pada system koordinat –x’y’, inisial point O’(0,0) dan terminal point P(x’,y’) sehingga komponen OP =(x’,y’) Diperoleh persamaan translasi : 3.3 Hasil Kali Silang Jika U = (1,2,3 ) dan V= (V1, V2, V3 ) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3,maka hasil kali silang U×V adalah vector yang didefinisikan sebagai U×V= (2 3 − 3 2,3 1 − 1 3,12 − 2 1 ) Atau dalam notasi determinan × = (| 2 3 2 3 | , − | 1 3 1 3 | , | 1 2 1 2 | ) k O’(k,l) x’ x’ O (0,0) x x Y ’ y Y ’ x’= x – k; y’=y-l x=x’ + k ; y + y’ + l
52 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh: Cari × , di mana = (1,2, −2) dan = (3,0,1) Penyelesaian: [ 1 2 −2 3 0 1 ] × = (| 2 −2 0 1 | , − | 1 −2 3 1 | , | 1 2 3 0 |) = (2, −7, −6) Teorema. Jika U, V dan W adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka: a. . ( × ) = 0 (U×V orthogonal terhadap U) b. . ( × ) = 0 (U×V orthogonal terhadap V) c. ‖ × ‖ 2 = ‖‖ 2‖‖ 2 − (. ) 2 (identitas lagrange) d. × ( × ) = (. ) − (. ) (hubungan antara hasil kali silang dan hasil kali titik) e. ( × ) = (. ) − (. ) (hubungan antara hasil kali silang dan hasil kali titik) Contoh: Tinjau vektor-vektor = (1,2, −2) dan = (3,0,1) Pada contoh di atas kita telah menunjukan bahwa × = (2, −7, −6) Karena . ( × ) = (1)(2) + (2)(−7) + (−2)(−6) = 0 Vektor satuan standar Setiap vektor = (1,2, 3 ) dalam ruang berdimensi 3 dapat dinyatakan dalam bentuk I, j dan k karena kia bisa menuliskan = (1, 2,3 ) = 1 + 2 + 3
53 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Misalnya (2, −3,4) = 2 − 3 + 4 Z (, , ) k j i (, , ) Y (, , ) X × = × = × = × = × = × = × = − × = − × = − Identitas lagrange ‖ × ‖ 2 = ‖‖ 2‖‖ 2 − (. ) 2 = ‖‖ 2‖‖ 2 − (‖‖‖‖ cos ) 2 = ‖‖ 2‖‖ 2 − ‖‖ 2‖‖ 22 = ‖‖ 2‖‖ 2 (1 − 2) = ‖‖ 2‖‖ 22 Karena 0 ≤ ≤ , maka ≥ 0, sehingga ini bias ditulis sebagai ‖ × ‖ = ‖‖‖‖ sin Luas jajaran genjang A= ()() = ‖‖‖‖ sin = ‖ × ‖ 3.4 Dot Product ( Hasil Kali Titik/Skalar) u u u ● v θ v θ v u v θ
54 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Bila u dan v R 2 , R3 ; diasumsikan bahwa initial point kedua vector berimpit dengan sudut antara kedua vector sebesar θ ; 0≤ θ ≤ . Dot poduct atau Euclidean Inner Product ∘ didefinisikan sebagai: ∥ ∥ ∥ ∥ cos θ ; ≠ 0 ≠ 0 ⋅ = 0 ; = 0 = 0 12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − P1 P2 u θ v Hukum atau Aturan kosinus: ∥ − ∥ 2=∥ ∥ 2+∥ ∥ 2− 2 ∥ ∥∥ ∥ cos ∈ 2 dengan = (1, 2 ) = (1,2 ) maka diperoleh: ∥ ∥ 2= 1 2 + 2 2 ∥ ∥ 2= 1 2 + 2 2 ∥ − ∥ 2=∥ (1 − 1 ,2 − 2) ∥ 2 = (1 − 1 ) 2 + (2 − 2) 2 = 1 2 − 211 + 1 2 + 2 2 − 222 + 2 2 ∥ − ∥ 2=∥ ∥ 2+∥ ∥ 2− 2 ∥ ∥∥ ∥ cos ∥ − ∥ 2=∥ ∥ 2+∥ ∥ 2− 2 ⋅ ∘ = 1 2 [‖‖ 2 + ‖‖ 2 − ‖ − ‖ 2 ] ⋅ = 1 2 [1 2 + 2 2 + 1 2 + 2 2 − (1 2 + 1 2 − 211 + 2 22 2 − 222)]
55 ALJABAR LINEAR ELEMENTER = 1 2 [211 + 222 ] ⋅ = 11 + 22 Bila , 3 dengan = (1, 2, 3 ) = (1,2,3 ), maka: ⋅ = 11 + 22 + 33 ⋅ = ‖‖‖‖ cos cos = ⋅ ‖‖‖‖ Teorema Dot Product: a) ⋅ = ‖‖ 2 ⟹ ‖‖=( ⋅ ) 1 2 b) vektor - vector tak nol , dan θ sudut antara kedua vector , maka: i. θ mirip sudut lancip jika dan hanya jika ⋅ > 0 ii. θ mirip sudut tumpul jika dan hanya jik iii. θ= 2 = 90°( − ) jika dan hanya jika ⋅ = 0 Teorema Jika , adalah vector pada 2 atau 3 , suatu scalar maka: a. ⋅ = ⋅ b. ⋅ ( + ) = ⋅ + ⋅ c. ( ⋅ ) = () ⋅ = ⋅ () d. ⋅ > 0 ℎ ≠ 0 ⋅ = 0 = 0 3.5 Vektor - Vektor Ortogonal Vektor tegak lurus disebut juga vektor orthogonal. Dua vektor tak nol dimana ⊥ jika dan hanya jika ⋅ = 0 y a P1(x1,y1) P2(x2,y2) x b ax+by+c=0
56 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Akan dibuktikan ⊥ 12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Dimana P1 dan P2 berada pada garis ax+by+c=0 Vektor n = (a,b) vector normal garis Maka : P1(x1,y1) ax1+by1+c=0…………(1) P2(x2,y2) ax2+by2+c=0…………(2) Persamaan 2 dan1 di eliminasi sehingga memperoleh a(x2-x1)+b(y2-y1)=0………..(3) n = (a,b) 12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (x2-x1, y2-y1) ⋅ 12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (, ) ⋅ (2 − 1, 2 − 1) = (2 − 1 ) + (2 − 1) = 0 (terbukti) 3.6 Proyeksi Ortogonal W2 W2 W2 U Q U U Q W1 a a W1 W1 Q W1+ W2 = W1 +( U- W1) = U W1 // a dan W2 a W1= proyeksi ortoganal dari U pada a atau komponen vector U sepanjang / sejajar a dinotasikan sebagai ProyaU W1= ProyaU W2= komponen vektor U yang orthogonal terhadap a W2= U- W1=U- ProyaU Teorema Jika adalah vector - vector dalam ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 jika ≠ 0 maka:
57 ALJABAR LINEAR ELEMENTER = ⋅ ‖‖2 ∙ − = − ⋅ ‖‖2 ∙ Contoh : = (2, −1,3) = (4. −1,2) = 8 + 1 + 6 21 ⋅ (4. −1,2) = 15 21 ⋅ (4. −1,2) = ( 20 7 , − 3 7 , 10 7 ) − = (2, −1,3) − ( 20 7 , − 3 7 , 10 7 ) = (− 6 7 , − 2 7 , 11 7 ) Untuk panjang komponen vektor ∥ : ‖‖ = ‖ ⋅ ‖‖2 ∙ ‖ = | ⋅ ‖‖2 | ‖‖ = | ⋅ | ‖‖2 ‖‖ = | ⋅ | ‖‖ = ‖‖‖‖|cos | ‖‖ = ‖‖|cos | Jarak dari suatu titik pada bidang ke suatu garis. y D Q(X1,Y1) Po(Xo,Yo) D=? ax+by+c=0 x
58 ALJABAR LINEAR ELEMENTER jarak D = panjang proyeksi orthogonal dari = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = | 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ‖‖ | 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0 − 1, 0 − 1 ) 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ = (, )(0 − 1, 0 − 1 ) = (0 − 1) + (0 − 1) ‖‖ = √ 2 + 2 = | 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ ‖‖ | = |(0 − 1) + (0 − 1)| √ 2 + 2 = (0 − 1 + 0 − 1 ) √ 2 + 2 (1, 1 ) + + = 0 Maka = − − Diperoleh = |0 + 0 + | √ 2 + 2 Contoh : Jarak titik (-1,2) ke garis 4x+3y-6=0 = |4. −1 + 3.2 − 6| √4 2 + 3 2 = 4 5 3.7 Jarak Antara Titik Dan Garis X Y D n = (a, b) P0(x0, y0) D ax + by + c = 0 Q(x1, y1)
59 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Misalkan Q(x1, y1) adalah titik sebarang pada garis dan tempatkan vector n = (a, b) sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpitan dengan Q. Jarak D sebanding dengan panjang dari proyeksi orthogonal QP0 pada n, sehingga : projn D = n QP n 0 QP0 proj tetapi QP x x y y 0 1 0 1 0 , QP n ax x by y 0 1 0 1 0 n a b 2 2 sehingga D = a b a x x b y y 2 2 0 1 0 1 ……………..persamaan 1 Karena titik Q(x1, y1) terletak pada garis tersebut, koordinatnya memenuhi persamaan garis tersebut sehingga : ax1 + by1 + c = 0 atau c = - ax1 – by1, substitusikan pernyataan tersebut ke dalam persamaan 1, maka menghasilkan : D = a b a x b y c 2 2 0 0 3.8 Hasilkali Silang (Cross Product) Definisi : jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vector- vector pada ruang berdimensi 3, maka cross product u x v adalah vector yang didefinisikan sebagai : (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) Atau dalam notasi determinan : v v u u v v u u v v u u u v 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 , , Teorema : Hubungan Hasilkali Silang dengan Hasilkali Titik a) u (u x v) = 0 b) v (u x v) = 0 c) uv u v uv 2 2 2 2 d) u x (v x w) = (u w)v – (u v)w
60 ALJABAR LINEAR ELEMENTER e) (u x v) x w = (u w)v – (v w)u Teorema : Sifat – sifat Hasilkali Silang a) u x v = - (v x u) b) u x (v + w) = (u x v) + (u x w) c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) d) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) e) u x 0 = 0 x u = 0 f) u x u = 0 3.9 Vektor Pada Garis Dan Bidang Dalam Ruang Tiga Dimensi P0(x0, y0, z0) P(x, y, z) x y z l V = (a, b, c) Persamaan dari bidang yang melewati titik P0 (x0, y0, z0) dan memiliki vector taknol n = (a, b, c) sebagai normalnya, dimana bidang tersebut terdiri dari tepat titik P(x, y, z) dengan vector P P0 adalah orthogonal terhadap n, yaitu : 0 0 n P P , karena ( , , ) 0 0 P0 x0 y z P x y z , maka persamaan di atas dapat ditulis kembali sebagai a(x - x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 (disebut sebagai bentuk normal – titik dari persamaan suatu bidang). l adalah garis pada ruang berdimensi 3 yang melalui P0(x0, y0, z0) dan P(x, y, z), dimana P P0 parallel v, maka dapat dinyatakan :
61 ALJABAR LINEAR ELEMENTER P P tv 0 , dimana t adalah suatu scalar (x – x0, y – y0, z – z0) = (ta, tb, tc) x - x0 = ta y - y0 = tb persamaan parametric garis z – z0 = tc Teorema : Jarak antara Suatu Titik dan Suatu Bidang Jarak D antara titik P0(x0, y0, z0) dan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah D = a b c x y z a b c d 2 2 2 0 0 0 contoh 1 : jika v = ( 1,-3,2) dan w =(4,2,1) maka : v+w = (5,-1,3) 2v = (2,-6,4) jika titik pangkal suatu vektor tidak berada pada titik asal misalkan p1= ( x1, y1, z1) dan titik ujungnya misalkan p2=(x2, y2, z2) maka vektor v = p1 p2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) contoh 2 : komponen vektor v = p1 p2 dengan titik pangkal p1 (2,-1,4) dan titik ujung p2 = (7,5,-8) adalah : v = (7 - 2, 5- ( - 1), (- 8) – 4) = ( 5, 6, - 12) Latihan Bab III 1. Tentukan x dan y yang memenuhi : a. (x, y+1) = (y-2, 6) b. (4, y) = x(2, 3) c. x(2,y) = y(1, -2) 2. Tentukan nilai x, y, z dimana (x, y+1,y+z) = (2x+y,4,3z) 3. Nyatakan vektor v = (1, -2, 5) sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor u1 = (1,1,1) ; u2 = (1,2,3); dan u3 = (2,-1,1) sehingga dapat dinyatakan sebagai : v = k1 u1 + k2 u2 + k3 u3 Tentukan nilai ki , i=1,2,3 4. Nyatakan vektor 16 3 9 v sebagai kombinasi linear dari ui, i = 1,2,3 dengan
62 ALJABAR LINEAR ELEMENTER 3 3 1 1 u , 1 5 2 2 u dan 3 2 4 3 u 5. Tentukan nilai k sehingga vektor u dan v saling ortogonal: a. u = (3, k, -2) dan v = (6, -4, -3) b. u = (5, k, -4, 2) dan v = (1, -3, 2, 2k) c. u = (1, 7, k+2, -2) dan v = (3, k,-3, k) 6. Jika diketahui u = 3i – 4j + 2k , v = 2i + 5j – 3k, w = 4i + 7j + 2k Tentukan : a. u x v b. u x w c. v x w d. v x u e. w x v 7. Tentukan vektor satuan u yang ortogonal terhadap : a. v = (1, 2, 3) dan w = (1, -1, 2) b. v = 3i – j + 2k dan w = 4i – 2j – k 8. Untuk vektor-vektor seperti soal no 6, tunjukkan bahwa : a. (u + v) w = u w + vw b. w (u + v) = w u + w v 9. Tentukan titik potong bidang 3x – 2y + 2 = 44 dan garis dengan persamaan parametrik x = 3 + 2t, y = 1 – 2y, z = 5 + 4t
63 ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAB IV RUANG VEKTOR EUCLIDEAN 4.1 Ruang Berdimensi-n Euclidean Beberapa definisi vektor dalam Rn. Dua buah vektor, u=(u1, u2, u3, …, un) dan v=(v1, v2, v3, …, vn) dalam R n disebut sama jika: u1=v1, u2=v2, u3=v3, …, un=vn Jumlah u+v didefinisikan sebagai: u+v= (u1+v1, u2+v2, u3+v3, …, un+vn) Jika k adalah sembarang skalar, perkalian skalar ku didefinisikan sebagai: ku= (ku1, ku2, ku3, …, kun) Jika u= (u1, u2, u3, …, un) adalah sembarang vektor dalam Rn , maka negatif (atau invers aditif) dari u dinyatakan dengan –u dan didefinisikan sebagai: -u = (-u1, -u2, -u3, …, -un) Selisih vektor- vektor dalam Rn v-u= (v1-u1, v2-u2, v3-u3, …, vn-un) Dalam bentuk komponen-komponen: u-v= (u1-v1, u2-v2, u3-v3, …, un+vn) u, v adalah vektor- vektor dalam Rn , hasil kali dalam Eucliden u₀v didefinisikan sebagai: u₀v = u1v1+u2v2+u3v3+…+unvn Jika dua vektor u, v adalah vektor-vektor dalam Rn maka u dan v saling orthogonal bila u₀v = 0 Sifat-sifat operasi vektor dalam ruang Berdimensi-n (R n ) Teorema 4.1 jika u, v, w adalah vektor-vektor dalam Rn ;dan k, l adalah skalar, maka: a. u+v = v+u b. u+(v+w) = (u+v)+w
64 ALJABAR LINEAR ELEMENTER c. u+0 = 0+u = u d. u+ (-u) = 0, sehinnga u-u=0 e. k(lu) = kl (u) f. k(u+v) = ku + kv g. (k+l)u =ku + lu h. lu=u; l=1 Teorema 4.2 : jika u, v, w Rn dan k sembarang skalar maka: a. u∙v = v∙u b. (u+v).w = u.w + v.w = w.u + w.v = w. (u+v) c. (ku).v =k(u.v) d. v.v≥0 ; v.v=0 jika hanya jika v=0 Contoh pembuktian : (u+v).w = (u1+v1, u2+v2, u3+v3, …, un+vn).(w1, w2, w3, … , wn) = (u1+v1)w1 + (u2+v2)w2 + (u3+v3)w3+ … +(un+vn)wn = [(u1w1 + v1w1), (u2w2 + v2w2), (u3w3 + v3w3), … ,(unwn + vnwn)] = (u1w1, u2w2, u3w3, …, unwn) + (v1w1, v2w2, v3w3, …, vnwn) = u.w + v.w = w.u + w.v Jika u, v, w Rn dan k sembarang skalar maka: a. u∙v = v∙u b. (u+v).w = u.w + v.w = w.u + w.v = w. (u+v) c. (ku).v =k(u.v)
65 ALJABAR LINEAR ELEMENTER d. v.v≥0 ; v.v=0 jika hanya jika v=0 Contoh pembuktian : (u+v).w = (u1+v1, u2+v2, u3+v3, …, un+vn).(w1, w2, w3, … , wn) = (u1+v1)w1 + (u2+v2)w2 + (u3+v3)w3+ … +(un+vn)wn = [(u1w1 + v1w1), (u2w2 + v2w2), (u3w3 + v3w3), … ,(unwn + vnwn)] = (u1w1, u2w2, u3w3, …, unwn) + (v1w1, v2w2, v3w3, …, vnwn) = u.w + v.w = w.u + w.v Contoh soal: 1. Anggap u=(1, 2, 3, 4), v=(-3, 2, 3, 4), dan w=( 1, 1, 2, 0), carilah: a. (3v+w).(2u+v) b. 2(u-v) Jawab: 1.a. (3v+w).(2v+w) =(3v).(2v+w) + (w).(2v+w) =[(3(-3,2,3,4)).(2(-3,2,3,4)+(1,1,2,0)]+ [(1,1,2,0).(2(-3,2,3,4)+(1,1,2,0)] =[(9,6,9,12).(6,4,6,8)+(1,1,2,0)]+[(1,1,2,0).(6,4,6,8)+(1,1,2,0)] =[(-54,24,54,96)+ (1,1,2,0)]+[(6,4,12,0)+(1,1,2,0)] =(-53,25,56,96)+(7,5,14,0) =(-46,30,70,96) b. 2(u-v) = 2 [(1, 2, 3, 4) - (-3, 2, 3, 4)] = 2(4, 0, 0, 0) = (8, 0, 0, 0)
66 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Teorema 4.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam Rn ) Jika u, v, Є-R n : v = (u1,u2,…un) dan v= (v1,v2,…,vn) adalah vektor-vektor dalam R n , maka : |u.v| ≤ ║u║║v║ atau dinyatakan dalam bentuk komponen-komponennya |u1v1+u2v2+….+unvn| ≤ (1 2 + 2 2 + ⋯ + 2 ) 1/2 (1 2+2 2 + ⋯ + 2 ) 1/2 Dari rumus tersebut, jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dalam R2 atau R3 , maka |u.v| = |║u║║v║cos θ| = ║u║║v║|cosθ| ≤ ║u║║v║ dan Jika u=0 dan v=0, maka kedua ruas dari (3) adalah nol, sehingga ketaksamaan tersebut juga berlaku utuk kasus ini. Teorema 4.4 Dimana kita akan membuktikan teorema 4.4 dengan mencoba salah satunya dengan membuktikan (d) Bukti (d). ||U+V||2 = (U+V).(U+V)=(U.U)+2(U.V)+(V.V) = ||U||2+2(U.V)+||V||2 ||U||2+2|U.V|+||V||2 sifat nilai mutlak ||U||2+2||U|| ||V||+||V||2 ketaksamaan Cauchy-Schwarz (||U||+||V||)2 () ℎ ℎ ℎ Jika U, V € Rn dan k adalah sembarang skalar, maka a) ||U||≥0 b) ||U||=0 jika dan hanya jika u=0 c) ||kU||=|k||U|| d) ||U+V||≤||U||+||V|| (ketaksamaan segitiga)
67 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Dengan gambar: U+V V U Teorema 4.5 Dimana kita akan membuktikan teorema 4.5 dengan mencoba salah satunya dengan membuktikan (d) Bukti (d). d(U,V)=||U-V||=||(U-W)+(W-V)|| ||U-W||+||W-V||= d(U,W)+ d(W,V) Teorema 4.6 Bukti ||U+V||2=(U+V). (U+V)=||U||2+2(U.V)+||V||2 |U-V||2=(U-V). (U-V)=||U||2 -2(U.V)+||V||2 4.2 Ortogonalitas ( Ketegaklurusan ) Definisi: Dua vektor dan dalam disebut ortogonal jika . = 0. ||U+V|| ||U||+||V|| Jika U, V, dan W adalah vektor-vektor dalam Rn dan k adalah sembarang sekalar, maka: a) d(U,V) 0 b) d(U,V)=0 jika dan hanya jika U=V c) d(U,V)= d(U,V) d) d(U,V) ≤d(U,W)+ d(W,V) (ketaksamaan segitiga) Jika U dan V adalah vektor-vektor dalam Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka U.V= 2 2 || || 4 1 || || 4 1 U V U V
68 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh: Dalam ruang Euclidean R4 vektor – vektor u=(-2,3,1,4); v=(1,2,0,-1) adalah orthogonal karena u.v= (-2)(1)+(3)(2)+(1)(0)=0 Bila tegak lurus maka: ‖ + ‖ 2 = ‖‖ 2 + ‖‖ 2 jika vektor dan dinyatakan dalam matriks = [ 1 2 ⋮ ] ; = [ 1 2 ⋮ ] . = = [1 2 … ] [ 1 2 ⋮ ] = 11 + 22 + ⋯ + Karena . = . → = Jika A suatu matriks × , maka: . = () = ( ) = ( ) T u = . . = () T u = = ( ) = . Contoh: = [ 1 −2 1 2 1 0 −1 1 1 ] = [ 1 2 3 ] = [ 1 0 −1 ] . = [ 1 2 3 ] .[ 1 −2 1 2 1 0 −1 1 1 ] [ 1 0 −1 ]
69 ALJABAR LINEAR ELEMENTER = [ 1 2 3 ] .[ 0 2 −2 ] = 0 + 4 − 6 = −2 . = [ 1 2 −1 −2 1 1 1 0 1 ] [ 1 2 3 ] .[ 1 0 −1 ] = [ 2 3 4 ] .[ 1 0 −1 ] = 2 + 0 − 4 = −2 ∴ . = . Pandangan hasil kali titik mengenai perkalian matriks = [] ; = [] × = 1, … , × = 1, … , = 1, … , = 1, … , ()ij = 11 + 22 + ⋯ + ≈ Unsur ke- ij dari AB = [1 2 … ] [ 1 2 ⋮ ] = Baris ke- i matriks A . kolom ke- j matriks B = [ 1 2 ⋮ ] ; = [1 2 … ] × × = [ 1. 1 1. 2 … 1. 2. 1 2. 2 … 2. ⋮ . 1 ⋮ . 2 ⋮ … . ]
70 ALJABAR LINEAR ELEMENTER : = × × 1 × 1 [ 111 + 122 + ⋯ 1 211 + 222 + ⋯ 2 ⋮ 11 + 22 + ⋯ ] = [ 1 2 ⋮ ] [ (11,12,…,1) . (1,2,…,) (21,22,…,2) . (1,2,…,) ⋮ (1,2,…,) . ⋮ (1,2,…,)] = [ 1 2 ⋮ ] [ 1 . 2 . ⋮ . ] = [ 1 2 ⋮ ] Contoh soal: Berikut ini adalah contoh suatu system linear yang dinyatakan dalam bentuk hasil kali titik: 3x1 – 4x2 + x3 = 1 2x1 – 7x2 – 4x3 =5 x1 + 5x2 – 8x3 = 0 [ (3, −4,1) (1 , 2 , 3) (2, −7, −4) (1 , 2, 3) (1,5, −8) (1, 2, 3) ] = [ 1 5 0 ] [ 1. 2. 3. ] = [ 1 2 3 ] 4.3 Transformasi Linear Dari Rn Ke Rm Fungsi – fungsi dari Rn ke R A B A B a b f
71 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Fungsi adalah suatu aturan f yang menghubungkan setiap unsure dalam A ke satu dan hanya satu unsur dalm B Jika f menghubungkan unsur b dengan unsur a, maka ditulis b = f(a), dikatakan : (-) b adalah bayangan dari a dibawah f (-) f (a) adalah nilai f di a Himpunan A disebut daerah asal (Dominan) : himpunan unsur yang akan dipetakan Himpunan B disebut daerah kawan (kodanain) : himpunan unsur yang dipadankan dari unsur – unsur pada A Daerah hasil (Range) adalah himpunan bagian dari B yang terdiri dari semua nilai yang mungkin untuk f ketika nilai a berubah – ubah dalam A. Dua buah fungsi dikatakan sama, f1 = f2 jika kedua fungsi memiliki dominant yang sama dan f1 (a) = f2 (a) suatu fungsi f : Rn → R, ditulis sebagai : w = f (x1, x2, …., xn) Contoh : f(x) = x2 => f : R → R f(x,y) = 2x – 4y => f : R2 → R f (x,y,z) = x + 2y –z => f : R3 → R Transformasi Linear Dari Rn Ke Rm - Transformasi linear adalah transformasi yang dituliskan sebagai T : Rn → Rm dan didefinisikan oleh persamaan – persamaan linear - Jika m = n maka transformasi linear dikatakan sebagai operator linear - Definisi transformasi linear T : Rn → Rm dalam SPL : w1 = a11x1 + a12x2 + ……+a1nxn w2 = am1x1 + am2x2 + ……+amnxn dalam notasi matriks : w1 a11 a12 … a1n x1 w2 = a21 a22 … a2n x2 wn am1 am2 … amn xn w = Ax Matriks A = [aij] disebut matriks standar untuk transformasi linear T
72 ALJABAR LINEAR ELEMENTER T disebut perkalian dengan A Contoh T : R3 → R2 yang didefinisikan oleh persamaan w1 = 2x1 – x2 + 3x3 = w1 = 2 -1 3 x1 w2 = x1 + x2 – x3 w2 1 1 -1 x2 x3 maka bayangan dari titik (1,2,-1) adalah ….. w1 = 2 -1 3 1 -3 w2 1 1 -1 2 = 4 -1 Beberapa maslah notasi : Jika T : Rn → Rm dengan A adalah matriks standar untu T, maka transformasi linear T : Rn → Rm dinyatakan dengan TA : Rn → Rm Ta (x) = Ax : kadang – kadang matriks standar untuk T dinyatakan dengan [T] T(x) = [T]x Kadang kedua penulisan matriks standar dicampur, dengan hubungan : [Ta] = A
73 ALJABAR LINEAR ELEMENTER 4.4 Geometri Transformasi Linear T memetakan titik ke titik T memetakan vector ke vector Jika O matriks nol berukuran m x n dan O vektor nol dalam Rn , untuk setiap vektor x dalam Rn berlaku : To9x) = OX = o : To transformasi nol dari rn ke Rm Jika I matriks identitas berukuran n x n, maka untuk setiap vektor x dalam Rn : TI(x) = Ix = x; TI operator identitas pada Rn Operator Pencerminan x T (x) T (x) x y w = T(x) x x (-x,y) (x,y) (x,y,z) z y x Pencerminan terhadap sumbu y w 1= -x w2 = y w = -1 0 x 0 1 y Pencerminan terhadap bidang -x y w 1= -x w2 = y w3 = -z w = 1 0 0 x 0 1 0 y 0 0 -1 z
74 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Operator Proyeksi Operator Rotasi w1 = r [cosα . cosθ – sinα sinθ] = cosα . cosθ – sinα sinθ w1 = x cos θ – y sin θ w2 = r [sinα cosθ + cosα sinθ] x y x x,y w x,0 Proyeksi orthogonal pada sumbu –x w1 = x 1 0 x w2 = 0 W = 0 0 y z (x,y,z) y x (x,y,o) Proyeksi orthogonal pada sumbu –xy w1 = x 1 0 0 x w2 = y 0 0 0 y w3= 0 0 0 0 z W = x Y r y r α θ (x,y) w (w1,w2) x = r cosα y = r sin α w1 = r cos (α+θ) w2 = r sin (α+θ)
75 ALJABAR LINEAR ELEMENTER = r sinα cosθ + r cos α sinθ = Y cosθ + x sin θ w1 = x cosθ – y sin θ cosθ – sinθ x w2 = x sin θ + y cos θ sinθ cosθ y ≈ Pelebaran ≈ Penyempitan w = k o x o k y (k) ≥ 1 → Pelebaran w = k o o x o k o y d ≤ | k | < 1 → Penyempitan o o k z 4.5 Sifat- sifat transformasi linear dari Rn → Rm Definisi: suatu transformasi linear T : Rn → Rm disebut satu-satu jika T memetakan vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda pada R n ke vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda pada Rm. Teorema 4.7 Jika A adalah suatu matrik n x n dan TA : Rn → Rn adalah perkalian dengan A, maka pernyataan berikut equivalen. a. A dapat dibalik b. Daerah hasil dari TA adalah Rn c. TA adalah satu-satu Invers dari sebuah operator linear satu-satu. Jika TA : Rn → Rn adalah suatu operator linear satu-satu maka matriks A dapat dibalik jadi TA : Rn → Rn adalah sebuah operator linear ; disebut invers dari TA T T x A Ax Ix x T T x AA x Ix x A A A A 1 1 1 1 W =
76 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Secara equivalen A A A I A A AA I T T T A T T T T T 1 1 1 1 Masalah notasi. Jika operator linear satu-satu pada Rn dituliskan sebagai T : Rn → Rn (dan bukannya TA ), maka invers dari operator T dinyatakan dengan 1 T (bukan 1 A T ). 1 1 T T A Sifat-sifat kelinearan Suatu transformasi T : Rn → Rm adalah linear jika dan hanya jika hubungan berikut ini berlaku untuk semua vector u dan v pada Rn dan setiap sekalar c a. T(u+v)=T(u)+T(v) b. T(cu)=cT(u) Bukti: Misalnya T adalah transformasi linear: A matriks standar u/T T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v) T(cu)=A(cu)=c(Au)=cT(u) Jika T : Rn → Rm adalah suatu operator linear, maka suatu saklar disebut nilai eigen dari T jika ada suatu x tak nol pada Rn sedemikian sehingga T x x Vektor-vektor tak nol x memenuhi pesamaan ini disebut vektor eigen dari T yang berpadanan dengan Ringkasan : teorema 4.9 Jika A adalah suatu matriks n x n, dan jika TA : Rn → Rn adalah perkalian dengan A, maka pernyataan-pernyataan berikut ini equivalen a. A bisa dibalik b. Ax=0 hanya mempunyai solusi trivial c. Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I d. A dapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali matriks-matriks dasar
77 ALJABAR LINEAR ELEMENTER e. Ax=b konsisten untuk setiap matriks b(n x 1) f. Ax=b tepat punya satu solusi untuk setiap b(n x 1) g. Det(A) 0 h. Daerah hasil TA adalah Rn i. TA adalah satu-satu Latihan Bab IV 1. Uraikan bentuk berikut berkaitan dengan ruang Hasilkali dalam: a. 1 2 6 1 7 2 5u 8u , v v b. 2 2u 3v 2. Bila ruang hasilkali dalam didefinisikan sebagai 1 1 3 2 2 u,v u v u v maka untuk u = ( 2, 1) dan v = (1,-1) , tentukan : a. u,v b. || u|| c. Cosinus sudut antara u dan v 3. Ingat bahwa suatu transformasi T : V W (V, W suatu ruang vektor) disebut sebagai transformasi linear jika : i. Untuk sembarang vektor v1 dan v2 di V berlaku T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) ii. Untuk sembarang bilangan real k dan v di V berlaku T(kv) = k T(v) Bila didefinisikan T(x,y) = A(x,y) dengan A = 1 2 0 2 1 1 , dengan menggunakan sifat-sifat di atas, apakah T merupakan transformasi linear? 4. Bila u, v, w R 4 dengan u=(1,1,-1,1), v=(2,1,1,1), w=(3,1,4,1). Selidiki apakah ketiga vektor tersebut bebas linear atau terpaut linear?. Jika ketiga vektor tersebut terpaut linear, tuliskan hubungan diantara ketiga vektor tersebut! 5. Tentukan matriks standar untuk komposisi operator-operator linear pada R3 : Rotasi berlawanan arah dengan jarum jam 2700 terhadap sumbu-x, diikuti dengan rotasi berlawanan arah dengan jarum jam 900 terhadap sumbu-y, diikuti dengan pencerminan terhadap bidang-xy, kemudian diikuti dengan pelebaran dengan faktor skala k = 2. 6. Tentukan dua buah unit vektor yang ortogonal terhadap ketiga vektor u = (2,1,- 4,0), v = (-1,-1,2,2), dan w = (3,2,5,4)
78 ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAB V RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 5.1 Aksioma Ruang Vektor Definisi Anggap V adalah sebarang himpunan tak-kosong dari objek di mana dua operasi didefinisikan yaitu penjumlahan dan perkalian dengan scalar ( bilangan ).Yang kami maksud dengan penjumlahan adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek u dan v dalam V dengan suatu objek u + v, yang disebut sebagai jumlah u dan v, yang dimaksud dengan perkalian skalar adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap scalar k dan setiap objek u dalam V dengan objek ku, yang disebut perkalian skalar dari u dengan k. Jika aksioma berikut ini dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam V dan semua skala k dan l, maka disebut V sebagai ruang vektor dan disebut objek dalam V sebagai vektor. 1) Jika u dan v adalah ojek – objek dalam V, maka u + v berada dalam V. 2) u + v = v + u 3) u + (v + w) = (u + v) + w 4) Ada suatu objek 0 dan V, yang disebut suatu vector nol untuk V, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V. 5) Untuk setiap u dalam V, ada suatu objek –u daam V, yang disebut negatif dari u, sedemikian sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V, maka ku ada dalam V. 7) k(u + v) = ku + kv 8) (k + l)u = ku + lu 9) k(lu) = (kl)u 10) lu = u Ruang – ruang vektor dimana skalarnya berupa bilangan kompleks disebut Ruang Vektor Kompleks, sedang apabila scalar merupakan bilangan real disebut ruang Vektor Real.
79 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Ruang Vektor dapat berupa vektor, matriks, fungsi dan bidang. Contoh : Himpunan semua matriks 2x2 dalam bentuk [ 0 0 ] adalah ruang vektor ;km: u = [ 1 0 0 2 ] ε V ; v = [ 1 0 0 2 ] ε V u + v = [ 1 + 1 0 0 2 + 2 ] juga dalam V dank u = [ 1 0 0 2 ] ε V. Himpunan semua bilangan real positif dengan operasi + = dan kx = xk adalah suatu ruang vector bila u, v ε V dengan = + = − Maka + = ( + )( − ) = ( + ) Himpunan pasangan bilangan real (x , y) dengan operasi ( , ) + ( 1 , 1 ) = ( + 1 , + 1 ) dan ( , ) = (2 , 2) bukan merupakan ruang vector, karena tidak memenuhi aksioma : 1u = u ; dalam definisi operasi diatas ( , ) = (2 , 2) maka 1(, ) = (2, 2) ≠ juga : (ℓ(x, y)) = (2ℓx, 2ℓy) = (4kℓ, 4ℓy) ≠ (kℓ) Himpunan semua matriks 2x2 berbentuk [ 1 1 ] bukan suatu ruang vector karena : u = [ 1 1 1 2 ] + = [ 1 + 1 2 2 2 + 2 ] = [ 1 1 1 2 ] = [ 1 2 ] ε V ; ≠ 1 Beberapa Sifat Vektor Anggap V adalah suatu ruang vektor u suatu vektor dalam V, dan k suatu skalar; maka: a) 0u = 0 b) K0 = 0
80 ALJABAR LINEAR ELEMENTER c) (-1)u = -u d) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0 Dapat dibuktikan bagian a) dan c) dan meninggalkan bukti lainnya Bukti : a). Dapat dituliskan 0u + 0u = (0 + 0)u [Aksioma 8] = 0u [siat bilangan 0] Berdasarkan aksioma 5 vektor 0u mempunyai suatu negatif, -0u. Menjumlahkan negatif ini pada kedua ruas di atas akan menghasilkan [0u + 0u] + (-0u) = 0u + (-0u) [aksioma 3] 0u + 0 = 0 [aksioma 5] 0u = 0 [aksioma 4] Bukti c). Untuk menunukkan (-1)u= -u, kita harus menunjukkan bahwa u + (-1)u= 0. Untuk melihat ini, amati bahwa u + (-1)u= lu + (-1)u [aksioma 10] = (1 + (-1))u [aksioma 8] = 0u [sifat bilangan] = 0 [Bagian a) di atas] 5.2 Subruang (Subspace) Definisi suatu himpunan bagian w dari suatu ruang vektor V disebut suatu sub-ruang dari V jika W sendiri adalah suatu ruang vector dibawah penjumlahan dan perkalian scalar yang didefinisikan pada V. Teorema Jika W adalah suatu himpunan satu atau lebih vector dari ruang vector V, maka W adalah suatu sub-ruang dari V jika dan hanya jika syarat syarat berikut ini terpenuhi. a) Jika u dan v adalah vector – vector dalam W, maka u + v ada dalam V. b) Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang vektor dalam W, maka ku ada dalam W. Ruang – ruang Penyelesaian untuk system – system Homogen Teorema:
81 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Jika Ax= 0 Adalah suatu system linear homogen dari m persamaan dalam n peubah, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah suatu sub-ruang dari Rn . Bukti: Anggap W adalah himpunan vektor penyelesaian. Paling tidak ada satu vector dalam W, yaitu 0. Untuk menunjukkan bahwa W tertututp terhadap penjumlahan dan perkalian scalar, kita harus menunjukkan bahwa jika x dan x adalah sebarang vektor – vektor penyelesaian dan k adalah sebarang skalar, maka x + x dan k x juga merupakan vektor – vektor penyelesaian. Tetapi jika x dan x adalah vektor – vektor penyelesaian, maka Ax = 0 dan Ax’=0 Didapatkan bahwa: A(x + x’) = Ax +Ax’ = 0 + 0 = 0 dan A(kx) = kAx = k0 = 0 Yang membuktikan bahwa x + x’ dan kx dan vektor – vektor penyelesaian. 5.3 Kombinasi Linear Definisi Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari vector-vektor v1,v2…,v,jika bisa dinyatakan dalam bentuk w=k1v1 + k2v2 + ….+ krvr dengan k1,k2,…,kr adalah skalar. Jika r=1, maka persamaan dalam definisi di atas menjadi w= k1v1; yaitu,w adalah suatu, w adalah suatu kombinasi linear dari suatu vektor tunggal v1 jika w adalah suatu pengandaan skala dari v1. Contoh : w = (a, b, c) ε R 3 merupakan kombinasi linear dari i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1), w= ai + bj + ck P1 = 2 + x + 4x2 P2 = 1 – x + 3x2 P3 = 3 + 2x + 5x2 Bila P= 6 +11x + 6x2 dapat dinyatakan sebagai :
82 ALJABAR LINEAR ELEMENTER [ 6 11 6 ] = 1 [ 2 1 4 ] + 2 [ 1 −1 3 ] + 3 [ 3 2 5 ]; ki real maka P adalah kombinasi linear dari P1,P2,P3 5.4 Rentang Jika v1,v2…,v, adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V, maka secara umum beberapa vektor dalam V mungkin merupakan kombinasi linear dari v1,v2…,v, dan yang lainnya mungkin tidak. Teorema berikut ini menunjukkan bahwa jika menyusun suatu himpunan W yang terdiri dari suatu vektor-vektor yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari v1,v2…,v, itu, maka W membentuk suatu sub-ruang dari V. Teorema Jika v1,v2…,v, adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vector V, maka (a) Himpunan W semua kombinasi linear dari v1,v2…,v, merupakan suatu sub-ruang dari v1,v2…,v,. (b) W adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi v1,v2…,v, dalam pengertian bahwa setiap sub-ruang lain dari V yang berisi v1,v2…,v, pasti mengandung W. Bukti (a). Untuk menentukkan bahwa W adalah suatu sub-ruang dari V, kita harus membuktikan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar paling tidak ada suatu vektor dalam W, yaitu, 0, karena 0= 0v1,0v2…,0vr jika u dan v adalah vectorvektor dalam W maka u= cv1,cv2…,cvr v= k1v1 + k2v2 + ….+ krvr dengan c1,c2,…,cr,k1,k2,…,k2adalah skalar. Oleh karena itu, u + v = (c1 + k1)v1+(c2 + k2)v2 + (cr, + kr)vr. dan untuk sebarang skalar k, ku=(c1k1)v1+(c2k2)v2 + (cr,kr)vr jadi, u + v dank u adlah kombinasi linear dari v1,v2…,vr oleh Karena itu terletak dalam W. Dengan demilian, W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Bukti (b). Setiap vektor vi adalah suatu kombinasi linear dari v1,v2…,vr karena bisa dituliskan vi = 0v1+ 0v2+…+ 1vi+…0vr
83 ALJABAR LINEAR ELEMENTER oleh karena itu, sub-ruang W mengandung masing-masing vector v1,v2…,vr angga W’ adalah sebarang sub-ruang lainnya yang mengandung v1,v2…,vr karena W’ tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar, maka W’ pasti mengandung setiap vector dari W. Merentang Definisi : jika S={v1,v2,....,vr} sejumlah vektor pada ruang vektor V, maka subruang W dari V mengandung semua kombinasi linier vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang (ruang yang dibangun) oleh v1,v2,...,vr dan kita katakan bahwa vektorvektor v1,v2,...,vr adalah rentang W. Untuk menunjukkan bahwa W adalah ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S={v1,v2,...,vr} ditulis : W = rent (S) atau W = rent {v1,v2,...,vr} Contoh : Tentukan apakah v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1) dan v3 = (2,1,3) merentang ruang vektor R3 . Penyelesaian : Kita harus menentukan apakah sembarang vektor b = (b1,b2,b3) dalam R3 bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari v1, v2, dan v3 sebagai berikut : b = k1v1+k2v2+k3v3 Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen akan didapatkan : (b1,b2,b3) = k1(1,1,2)+k2(1,0,1)+k3(2,1,3) (b1,b2,b3)=(k1+k2+2k3,k1+k3,2k1+k2+3k3) k1+k2+2k3 = b1 k1+ k3 = b2 2k1+k2+3k3 = b3 Dalam matriks : [ 1 1 2 b1 1 0 1 b2 2 1 3 b3 ] lalu kita cek apakah v1,v2,v3 merentangkan ruang vektor R 3 dengan cara [ 1 1 2 b1 1 0 1 b2 2 1 3 b3 ]B31(-2) [ 1 1 2 b1 1 0 1 b2 0 −1 −1 b3 − 2b1 ] B21(-1) [ 1 1 2 b1 0 −1 −1 b2 − b1 0 −1 −1 b3 − 2b1 ]
84 ALJABAR LINEAR ELEMENTER B3-B2 [ 1 1 2 b1 1 −1 −1 b2 − b1 0 0 0 b3 − b2 − b1 ] dari hasil di atas kita asumsikan b3 − b2 − b1 ≠ 0 sehingga dari hasil di atas dapat kita lihat bahwa spl tidak konsisten sehingga v1,v2,v3 tidak merentang R 3 . 5.5 Bebas Linear Definisi : Jika S={v1,v2,...,vr} adalah himpunan vektor tak nol, maka : k1v1 + k2v2 + ….+ krvr = 0 hanya mempunyai satu solusi yaitu k1 = 0 , k2 = 0, ... , kr = 0 (SPL homogen tersebut memiliki solusi trivial), maka S disebut himpunan yang bebas linear. Bila ada solusi lain, dinamakan himpunan bergantung linear. Contoh : Buktikan jika v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1), v3=(7,-1,5,8) maka himpunan vektor-vektor S = {v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena 3v1+v2-v3=0 Penyelesian : [ 2 1 7 0 −1 2 −1 0 0 5 5 0 3 −1 8 0 ]B42(3) [ 2 1 7 0 −1 2 −1 0 0 5 5 0 0 5 5 0 ]B43(- 1) [ 2 1 7 0 −1 2 −1 0 0 5 5 0 0 0 0 0 ]B12(2) [ 0 5 5 0 −1 2 −1 0 0 5 5 0 0 0 0 0 ]B31(-1) [ 0 5 5 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]B1(1/5) [ 0 1 1 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]B21(-2) [ 0 1 1 0 −1 0 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
85 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Maka : k2+k3=0 , k2 = - k3 -k1-3k3=0 , -k1=3k3, k1= -3k3 Sehingga : -3k3v1 – k3v2 + k3v3 = 0 (dikali -1/k3) 3v1+v2-v3 = 0 Jadi terbukti, v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1), v3=(7,-1,5,8) maka himpunan vektor-vektor S = {v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena 3v1+v2-v3=0 atau SPL Homogen k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 memiliki solusi tidak trivial. 5.6 Basis dan Dimensi 5.6.1 Basis untuk sebuah ruang vektor Definisi: Jika adalah sembarang ruang vektor dan = {1, 2, … , } adalah suatu himpunan vektor – vektor dalam , maka disebut suatu basis untuk , jika dua syarat berikut ini dipenuhi: bebas secara linier merentang Teorema: Jika = {1, 2, … , } adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor , maka setiap vektor dalam bisa dinyatakan dalam bentuk = 11 + 22 + ⋯ + dalam tepat satu cara. 5.6.2 Koodinat – Koordinat Relatif Terhadap Sebuah Basis Jika = {1, 2, … , } adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor dan vektor – vektor dalam dapat dinyatakan dengan = 11 + 22 + ⋯ + Dimana = 11 + 22 + ⋯ + adalah ekspresi untuk suatu vektor dalam bentuk basis , maka skalar 1, 2, … , disebut koordinat relatif terhadap basis . Vektor (1, 2, … , ) dalam yang tersusun dari koordinat – koordinat ini disebut koordinat vektor relatif terhadap dinyatakan dengan: () = (1, 2, … , )
86 ALJABAR LINEAR ELEMENTER 5.6.3 Basis Standar Untuk Contoh: Jika 1 = (1, 0, 0, … , 0), 2 = (0, 1, 0, … , 0), … , = (0, 0, 0, … , 1) maka = {1,2, … , } adalah himpunan yang bebas secara linier dalam . Himpunan ini juga merentangkan karena sebarang vector = (1, 2, … , ) dalam bisa dituliskan sebagai: = 11 + 22 + ⋯ + Jadi, adalah basis untuk , ini disebut basis standar untuk . Dari = 11 + 22 + ⋯ + kita dapatkan bahwa koordinat = (1, 2, … , ) relatif terhadap basis standar adalah 1, 2, … , sehingga () = (1, 2, … , ) = () Sehingga suatu vektor dan vektor koordinatnya relative terhadap basis standar untuk adalah sama. Contoh : Anggap 1 = (1, 2, 1), 2 = (2, 9, 0), 3 = (3, 3, 4) tunjukkan bahwa himpunan = {1, 2, 3 } adalah suatu basis untuk 3 . Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa himpunan merentang 3 kita harus menunjukkan bahwa sembarang vektor = (1, 2, 3 ) bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier: = 11 + 22 + 33 Dari vektor – vektor dalam . Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen – komponen, kita akan mendapatkan: (1, 2, 3 ) = 1 (1, 2, 1) + 2 (2, 9, 0) + 3 (3, 3, 4) (1, 2, 3 ) = (1 + 22 + 33, 21 + 92 + 33, 1 + 43 ) Atau dengan menyamakan komponen – komponen yang berpadanan 1 + 22 + 33 = 1 21 + 92 + 33 = 2 1 + 43 = 3
87 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Jadi, untuk menunjukkan bahwa merentang 3 , kita harus menunjukkan bahwa sistem persamaan diatas mempunyai suatu penyelesaian untuk semua pilihan = (1, 2, 3 ) Jika persamaan diatas kita ubah ke dalam bentuk matriks dan digandengkan dengan hasilnya lalu kita umpamakan dengan nama maka akan menjadi: [ 1 2 2 1 9 0 3 1 3 4 2 3 ] 21(−2) 31(−1) [ 1 2 0 0 5 −2 3 1 −3 1` −21 + 2 −1 + 3 ] 2( 1 5 ) [ 1 2 0 0 1 −2 3 1 −3⁄5 1` −21 + 2⁄5 −1 + 3 ] 12(−2) 32(2) [ 1 0 0 0 1 0 21⁄5 91 − 22⁄5 −3⁄5 −1⁄5 −21 + 2⁄5 −91 + 22 + 53⁄5 ]3(−5) [ 1 0 0 0 1 0 21⁄5 91 − 22⁄5 −3⁄5 1 −21 + 2⁄5 91 − 22 − 53 ] 13(− 21 5 ) 23( 3 5 ) [ 1 0 0 0 1 0 0 (−21⁄5 )(91 − 22 − 53) + 91 − 22⁄5 0 1 3⁄5 (91 − 22 − 53) −21 + 2⁄5 91 − 22 − 53 ] dari hasil reduksi matriks di atas kita lihat bahwa sistem persamaan linier tersebut memiliki suatu penyelesaian untuk semua b = (1, 2, 3 ) Untuk membuktikan bahwa bebas secara linier kita harus menunjukkan bahwa satu-satunya penyelesaian dari: 11 + 22 + 33 = 0 adalah 1 = 2 = 3 = 0 jika kita nyatakan dalam bentuk komponen – komponen, pembuktian kebebasan berubah menjadi menunjukkan bahwa sistem homogen. 1 + 22 + 33 = 0 21 + 92 + 33 = 0 1 + 43 = 0 Hanya mempunyai penyelesaian trivial. Untuk membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang 3 dengan menunjukkan bahwa matriks koefisien = [ 1 2 2 1 9 0 3 3 4 ] mempunyai determinan tak nol. Akan tetapi, setelah kita mencari determinan A hasilnya adalah
88 ALJABAR LINEAR ELEMENTER () = | 1 2 2 1 9 0 3 3 4 | = −1 Sehingga S adalah suatu basis untuk 3 Latihan Bab V 1. Diketahui v1, v2 dan v3 vektor-vektor dalam R3 yang titik pangkalnya di titik asal. Tentukan apakah ketiga vektor berada pada bidang yang sama? v1 = (2, -2, 0) v2 = (6, 1, 4) v3 = (2, 0, -4) 2. Diketahui v1, v2 dan v3 vektor-vektor dalam R3 yang titik pangkalnya di titik asal. Tentukan apakah ketiga vektor terletak pada garis yang sama? a. v1 = (-1, 2, 3), v2 = (2, -4, -6), v3 = (-3, 6, 0) b. v1 = (4, 6, 8), v2 = (2, 3, 4), v3 = (-2, -3, -4) 3. Bila u, v, w R 4 dengan u=(1,1,-1,1), v=(2,1,1,1), w=(3,1,4,1). Selidiki apakah ketiga vektor tersebut bebas linear atau terpaut linear?. Jika ketiga vektor tersebut terpaut linear, tuliskan hubungan diantara ketiga vektor tersebut! 4. Tentukan dua buah unit vektor yang ortogonal terhadap ketiga vektor u = (2,1,- 4,0), v = (-1,-1,2,2), dan w = (3,2,5,4) 5. Bila P2 menyatakan polinomial berorde dua, tentukan apakah himpunan vektorvektor dalam P2 berikut bebas linear? S={1 + 3x + 3x2 , x + 4x2 , 5 + 6x + 3x2 , 7+ 2x - x 2 } 6. Tentukan apakah S={u1, u2, u3} merupakan basis di R3 dengan u1=(3, -1, 2) , u2=(6, -2, 4), dan u3=(5, 3, -1)! Note : Ketiga vektor berada pada bidang yang sama jhj : v1 (v2 x v3) = 0 Ketiga vektor berada pada garis yang sama jhj : (v2 – v1) = k (v3 – v2)
89 ALJABAR LINEAR ELEMENTER 7. Tentukan koordinat vektor v relatif terhadap basis S = {v1, v2, v3} a. v = (2, -1, 3) , v1=(1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 3) b. v = 4 – 3x + x2 , v1 = 1, v2 = x, v3 = x2 8. Cari suatu basis untuk sub-ruang dari R4 yang terentang oleh vektor-vektor v1=(1, 1, -4,- 3), v2 = (2, 0, 2, -2), v3 = (2, -1, 3, 2) 9. Tentukan basis ruang baris, basis ruang kolom, dan basis ruang kosong dari A, dengan A = 2 9 2 4 5 3 6 0 6 5 2 3 2 4 4 0 3 6 0 3 1 3 2 2 1 10. Tunjukkan bahwa rank(A) = rank (AT ) untuk A berikut : A = 2 3 5 7 8 1 0 1 2 1 3 2 1 4 1 1 4 5 6 9 Koordinat vektor v relatif terhadap basis S = {v1, v2, v3} adalah (k1, k2, k3) yang memenuhi : v = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3
90 ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAB VI HASIL KALI DALAM 6.1 Hasil Kali Dalam Hasil kali dalam dua buah vektor u dan v dengan notasi u,v (pada bab IV), dan dalam bab VI ini Hasil Kali Dalam dinotasikan dalam 〈, 〉 Definisi I : Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real 〈, 〉 dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V sedemikian hingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi oleh semua vektor u, v dan w dalam V serta semua skalar k : 1. Aksioma kesimetrisan : 〈, 〉 = 〈, 〉 2. Aksioma penjumlahan : 〈 + , 〉 = 〈, 〉 + 〈, 〉 3. Aksioma kehomogenan : 〈, 〉 = 〈, 〉 4. Aksioma kepositifan : 〈, 〉 ≥ 0 dengan 〈, 〉 = 0 jika u =0 Suatu ruang vektor real dengan suatu hasil kali dalam disebut suatu ruang hasil kali dalam real. 6.1.1 Ruang Hasil Kali Dalam Euclidean Ruang hasil kali dalam Euclidean terboboti dengan bobot w1,w2,…,wn untuk vektor u dan v R n didefinisikan sebagai : 〈, 〉 = w1 u1v1 + w2 u2v2 + … + wn unvn Contoh 1 : Data (X) x1 x2 … xn Total = ΣX Frekuensi f1 f2 … fn Σ fi=m Rataan : = ∑ =1 ∑ =1 Bila w1= w2=…= wn = 1 , maka dapat dinyatakan :
91 ALJABAR LINEAR ELEMENTER = 〈, 〉 = w1 f1x1 + w2 f2x2 + … + wn fnxn 6.1.2 Panjang dan Jarak dalam Ruang Hasil Kali Dalam Definisi II : Jika V suatu ruang hasil kali dalam, maka norma (panjang) suatu vektor u dalam V dinyatakan sebagai ‖‖ dengan definisi : ‖‖ = 〈, 〉 1 2 Jarak antar 2 vektor u dan v dinyatakan dengan d〈, 〉 dengan definisi : d〈, 〉 = ‖ − ‖ = ‖ − ‖ Sifat-sifat Hasil kali Dalam a. 〈0, 〉 = 〈, 0〉 = 0 b. 〈, + 〉 = 〈, 〉 + 〈, 〉 c. 〈, 〉 = 〈, 〉 d. 〈 − , 〉 = 〈, 〉 − 〈, 〉 e. 〈, − 〉 = 〈, 〉 − 〈, 〉 Contoh 2 : u =(3,-2), v =(4,5), w=(-1,6) (i) Bila didefinisikan hasil kali dalam 〈, 〉 sama dengan hasil kali dalam Euclidean u.v maka : 〈, + 〉 = 〈, 〉 + 〈, 〉 = u.v + u.w = (12-10)+(-3-12) = 2-15 =-13 ‖‖ = √16 + 25 = √41 (ii) Bila didefinisikan untuk hasil kali dalam Euclidean terboboti sebagai berikut : 〈, 〉 = 4u1v1 + 5u2v2 maka : 〈, 〉 = 4v1w1+ 5v2w2 = 4(-4) + 5(30) = -16 + 150 = 134
92 ALJABAR LINEAR ELEMENTER ‖‖ = √4(16) + 5(25) = √64 + 125 = √189 = √9 × 21 = 3√21 Contoh 3 : Jika U = [ 1 2 3 4 ] dan V = [ 1 2 3 4 ] dan didefinisikan hasil kali dalam pada M22 sebagaimana berikut: 〈, 〉 = 11 + 2 22 + 3 33 + 4 44 Hitung nilai 〈, 〉 jika U = [ 3 −2 4 8 ] dan V = [ −1 3 1 1 ] Penyelesaian : 〈, 〉 = 11 + 2 22 + 3 33 + 4 44 = 3 (-1) + 2 ((-2)3) + 3 (4.1) + 4 (8.1) = -3 – 12 + 12 + 32 = 29 Contoh 4 : Jika p dan q suatu polinomial dan didefinisikan 〈, 〉 = 00 + 11 + 22 Tentukan 〈, 〉 jika p = -2 + x +3x2 dan q = 4 −7x2 Penyelesaian : 〈, 〉 = 00 + 11 + 22 = (-2) 4 + 1(0) +3 (-7) = -8 + 0 – 21 = -29 Bila u dan v suatu vector dalam Rn (u, vє Rn ) dan A adalah matriks berukuran n x n yang invertible, jika u.v adalah hasil kali dalam Euclidean pada Rn maka : 〈, 〉 = . = () () = Contoh 5 : Tentukan 〈, 〉 suatu hasil kali dalam pada R2 yang dibangkitkan oleh matriks A dengan A = [ 2 1 −1 3 ], = (0, −3) dan = (6,2)
93 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Penyelesaian : 〈, 〉 = . = = (6 2) [ 2 −1 1 3 ][ 2 1 −1 3 ] ( 0 −3 ) = (14 0) ( −3 −9 ) = -52 Sifat-sifat Panjang dan Jarak dalam Ruang Hasil Kali Dalam Jika u dan v suatu vector dalm ruang hasil kali dalam V, dan jika k suatu konstanta, maka : a. ‖‖ ≥ 0 b. ‖‖ = 0 jika dan hanya jika u = 0 c. ‖‖ = || ‖‖ d. ‖ + ‖ ≤ ‖‖ + ‖‖ (ketaksamaa segitiga) Jika u, v, dan w suatu vector dalam ruang hasil kali dalam V, dan jika k suatu konstanta, maka : a. d〈, 〉 ≥ 0 b. d〈, 〉 = 0 jika dan hanya jika u=v c. d〈, 〉 = d 〈, 〉 d. d〈, 〉 = d〈, 〉 + d〈, 〉 (ketaksamaan segitiga) 6.2 Sudut dan Keortogonalan dalam Ruang Hasil Kali Dalam Definisi III : Jika θ sudut antara u dan v maka : Cos θ = 〈,〉 ‖‖ ‖‖ (u v) u dan v saling orthogonal jika 〈, 〉 = 0 Contoh 6 : Bila u dan v suatu vector dalam R2 dengan definisi 〈, 〉 = 11 + 222, tentukan cosinus sudut yang diapit oleh u dan v, ntuk u = (2,3) dan v = (1,2) Penyelesaian : 〈, 〉 = 11 + 222 = 2.1 + 2(3.2)
94 ALJABAR LINEAR ELEMENTER = 2 + 12 =14 ‖‖ = √2 2 + 2(3 2) = √4 + 18 = √22 ‖‖ = √1 2 + 2(2 2) = √1 + 8 = √9 = 3 Cos θ = 〈,〉 ‖‖ ‖‖ = 14 3√22 = 14 66 √22 = 7 33 √22 6.3 Komplemen-komplemen Ortogonal Definisi IV : Anggap W adalah suatu sub-ruang dari suatu ruang hasil kali dalam V. Suatu vektor u dalam V disebut ortogonal terhadap W jika u ortogonal terhadap setiap vektor dalam W, dan himpunan semua vektor dalam V yang ortogonal terhadap W disebut komplemen-komplemen ortogonal dari W. Teorema IV.1 Jika W adalah suatu sub-ruang dari suatu ruang hasil kali dalam berdimensi terhingga V, maka : a. ⊥ adalah sub-ruang dari V b. Satu-satunya vektor dimana W dan ⊥ sama adalah 0 c. Komplemen ortogonal dari ⊥ adalah ≡ ((⊥) ⊥) = ) Bukti : a) Untuk menunjukkan ⊥ adalah sub-ruang dari V, anggap bahwa u dan v sembarang vektor dalam ⊥, dan k suatu skalar. Anggap w sembarang vector dalam W, menurut definisi IV diperoleh 〈, 〉 = 0 dan 〈, 〉 = 0. Dengan sifat dasar dari hasil kali dalam diperoleh : 〈 + , 〉 = 〈, 〉 + 〈, 〉 = 0 + 0 = 0 〈, 〉 = 〈, 〉 = (0) = 0 b) Telah ditetapkan bahwa sembarang vektor dalam W dan sembarang vektor dalam ⊥ saling ortogonal, misalkan vektor yang sama tersebut adalah x, berarti harus terpenuhi 〈, 〉 = 0 dan itu hanya dipenuhi oleh x = 0. c) Sudah jelas
95 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Contoh 6.a Bila p(x) dan q(x) adalah polinom berderajat dua dan didefinisikan : 〈, 〉 = 00 + 11 + 33 Tunjukkan bahwa p = 1-x+2x2 dan q = 2x+x2 saling ortogonal. Penyelesaian : Berdasarkan definisi di atas, p dan q saling ortogonal berkenaan dengan hasil kali dalam Euclidean jika dan hanya jika 〈, 〉 = 0 〈, 〉 = 1.0 + (−1). 2 + 2.1 = 0 – 2 + 2 = 0 Terbukti bahwa p dan q ortogonal. Teorema IV.2 Jika A matriks berukuran m x n, maka : a. Ruang kosong dari A dan ruang baris dari A adalah komplemen-komplemen ortogonal dalam Rn berkenaan dengan hasil kali dalam Euclidean. b. Ruang kosong dari A T dan ruang kolom dari A T adalah komplemen-komplemen ortogonal dalam Rm berkenaan dengan hasil kali dalam Euclidean. Bukti : a) Jika suatu vektor v ortogonal terhadap setiap vektor dalam ruang baris A maka Av=0 dan sebaliknya jika Av=0, maka v ortogonal terhadap setiap vektor dalam ruang baris. Anggap v ortogonal terhadap setiap vektor dalam ruang baris A, atau secara khusus v ortogonal terhadap vektor-vektor r1, r2, …,rn dari A, dapat dinyatakan sebagai : r1 . v = r2 . v = … = rn. v = 0 v merupakan penyelesaian dan terletak pada ruang kosong dari A. Sebaliknya, anggap v suatu vektor dalam ruang kosong A sehingga Av = 0, hingga diperoleh : r1 . v = r2 . v = … = rn . v = 0 Bila r adalah sembarang vektor dalam ruang baris dari A, maka r dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A, misalkan : r = c1 r1 + c2 r2 + … + cn rn
96 ALJABAR LINEAR ELEMENTER Sehingga : r.v = (c1 r1 + c2 r2 + … + cn rn) . v = c1 (r1.v) + c2 (r2 .v) + … + cn (rn .v) = 0 + 0 + … + 0 = 0 Menunjukkan bahwa v ortogonal terhadap setiap vektor dalam ruang baris dari A. Contoh 6b: Tentukan suatu basis untuk komplemen ortogonal dari sub-ruang R5 yang terlentang oleh vektor – vektor : v1=(1,4,5,6,9), v2=(3,-21,4,-1),v3=(-1,0,-1,-2,-1),v4=(2,3,5,7,8) Penyelesaian : Basis untuk komplemen ortogonal dari sub-ruang R5 yang terlentang oleh v1,v2,v3 dan v4 merupakan basis ruang kosong dari SPL homogen : Ax = 0, dengan v1, v2, v3 dan v4 merupakan baris-baris dari matriks A. Basis Ruang kosong dari A adalah : [ 1 4 5 6 9 3 −2 1 4 −1 −1 0 −1 −2 −1 2 3 5 7 8 ] 21(−3) 31(1) 21(−2) [ 1 4 5 6 9 0 −14 −14 −14 −28 0 4 4 4 8 0 −5 −5 −5 −10] 2(− 1 14 ) 3( 1 4 ) 4(− 1 5 ) [ 1 4 5 6 9 0 1 1 1 2 0 1 1 1 2 0 1 1 1 2 ] 12(−4) 32(−1) 42(−1) [ 1 4 5 6 9 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] Dari bentuk eselon baris tereduksi matriks A diperoleh : X1=-x3 – 2x4 – x5 dan x2= - x3 – x4 – 2x5 = [ −1 −1 1 0 0 ] + [ −2 −1 0 1 0 ] + [ −1 −2 0 0 1 ] Sehingga basis ruang kosong dari A yang merupakan basis komplementer ortogonal dari A : { [ −1 −1 1 0 0 ] , [ −2 −1 0 1 0 ] , [ −1 −2 0 0 1 ] }