ดอกเบี้ย

เรื่องดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน เสนอ คุณครูทิพวรรณ แซ่ขอ นางสาววรรษชล แสงเพชรดำ เลขที่ 21 ม.5/7 นางสาวประภารัตรัน์ ใบหยา เลขที่ 23 ม.5/7 นางสาวพัณณิตา ผาพันธ์ เลขที่ 27 ม.5/7 นางสาวกมลพร สังข์บุญญลือ เลขที่ 28 ม.5/7 นางสาวณฤณาฎ ศรีจัรีจันทร์ เลขที่ 31 ม.5/7 นางสาวอภิสรา สืบเสน เลขที่ 33 ม.5/7 รายงานเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ ภาคเรียรีนที่ 2 ปีการศึกษา 2565 โรงเรียรีนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จพระศรีนรีครินริทร์ ภูเก็ต ในพระราชูปถัมภ์สมเด็จพระเทพรัตรันราชสุดาสยามบรมราชกุมารี

วิชาคณิตศาสตร์เ ร์ป็นวิชาที่สำ คัญยิ่งวิชาหนึ่ง ที่พัฒนาเยาวชนให้ เป็นผู้มีความคิดอย่างเป็นระบบ ช่างเสริมริความคิดในเชิงเหตุผล มีความคิดริเริริ่มสร้าร้งสรรค์ เป็นบุคคลที่มีเหตุผลสามารถคิด สังเคราะห์และแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆได้อย่างเหมาะสม เอกสารการเรียรีนการสอนเรื่อง ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน เล่มนี้ ได้จัดทำ ขึ้นเล่มนี้ได้จัดทำ ขึ้นเพื่อใช้ในการประกอบการเรียรีนการ สอนในเนื้อหารายวิชาคณิตศาสตร์พื้ ร์ พื้นฐาน โดยเนื้อหาตรงตาม สาระและมาตรฐานการเรียรีนรู้ขรู้องกลุ่มสาระการเรียรีนรู้ คณิตศาสตร์ ในหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับรั ปรุงพ.ศ. 2560) อันหนึ่งในเอกสารประกอบการเรียรีน การสอนนี้ยัง เพียบพร้อร้มด้วยเนื้อหา โจทย์ตัวอย่าง สำ ห สำ หรับรั ใช้ในการเรียรีนการสอนเพื่อให้มีความคิดรวมยอดที่ถูก ต้องและสามารถนำ ไปใช้เป็นพื้นฐานในการเรียรีนระดับที่สูงขึ้น ไป ผู้จัดทำ หวังผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่าเอกสารประกอบการ เรียรีนการสอนเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้ศึกษาโดย ถ้ามีข้อผิด พลาดประการใดขออภัย ณ ที่ด้วย คำ นำ คณะผู้จัดทำ นางสาววรรษชล แสงเพชรดำ นางสาวประภารัตรัน์ ใบหยา นางสาวพัณณิตา ผาพันธ์ นางสาวกมลพร สังข์บุญญลือ นางสาวณฤณาฎ ศรีจัรีจันทร์ นางสาวอภิสรา สืบเสน

สารบัญ เรื่อง หน้า ดอกเบี้ยและเงินรายงวด ดอกเบี้ยอย่างง่าย ดอกเบี้ยทบต้นและการผ่อนจ่าย กองทุนรวม 1 2-6 6-12 12-18

ดอกเบี้ยและ เงินรายงวด การคิดดอกเบี้ย (Interest) จะเกิดขึ้นเมื่อเราทำ ธุรกิจการเงินอาจเป็นการฝาก หรือ รื การกู้เงิน โดยการคิดดอกเบี้ยจะมี 2 ประเภทหลักคือ 1) ดอกเบี้ยอย่างง่ายโดยคิดจากสัดส่วนของมูลค่า เงินในปัจจุบัน P (Present value) ในที่นี้คือเงิน ฝากเริ่มต้นหรือ รื เงินกู้เริ่มต้น และ 2) ดอกเบี้ย ทบต้นซึ่งจะคิดดอกเบี้ยจากสัดส่วนของมูลค่า เงินในงวดปัจจุบัน ซึ่งดอกเบี้ยทบต้นจะมี ลักษณะเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิด ในส่วนนี้ จะเป็นการศึกษาดอกเบี้ยอย่างง่าย การผ่อน ชำ ระรายงวด นอกจากนี้ตัวอย่างแต่ละตัวอย่าง จะแสดงให้เห็นถึงการวิเคราะห์การลงทุนผ่าน การกู้เงิน และการฝากเงิน ตลอดจนการ วางแผนเพื่อให้ได้ผลตอบแทนที่ต้องการ

ดอกเบี้ยอย่างง่าย ให้ P เป็นมูลค่าเงินปัจจุบันจากการลงทุน มีอัตรา ดอกเบี้ย r ต่อปี ถ้าลงทุน t ปีดอกเบี้ยอย่างง่าย I คำ นวณได้จาก I = Prt มูลค่าเงินในอนาคต หมายถึงเงินปัจจุบันรวมกับเงินได้ ในอนาคตที่นื้คือดอกเบื้ยดังนั้นมูลค่าในอนาคต (Future value) F F = P + I = P + Prt = P(1 + rt) การผ่อนจ่าย โดยทั่วไปเมื่อเราทำ การกู้เงินที่คิดจาก มูลค่าในปัจจุบันเมื่อรวมกับดอกเบี้ยเราจะทราบยอดที่ ต้องชำ ระทั้งหมดซึ่งก็คือมูลค่าเงินในอนาคต หาก ทำ การผ่อนจ่ายรายงวดจำ นวน n จำ นวนเงินที่จะต้อง ชำ ระในแต่ละงวดคำ นวณได้จาก pay = F / n

ตัวอย่างที่ 1 ทำ การกู้เงินมาลงทุนจากสถาบันทางการเงินจำ นวน 200,000 บาท สถาบันการเงินคิดดอกเบี้ย 2% ต่อปีโดย ทำ สัญญากู้เงินผ่อนจ่ายรายเดือนเป็นเวลา 3 ปี จง คำ นวณหาอัตราดอกเบี้ย ยอดกู้ที่ต้องชำ ระ และ เงินผ่อนรายเดือน วิธีทำ ทำ การกู้เงินมูลค่า P = 200,000 บาท ใน อัตราดอกเบี้ย 2 % ต่อปี จำ นวน 3 ปี ดอกเบี้ย I = Prt = 200,000 x 0.02 x 3 = 12,000 มูลค่าเงินในอนาคต F = P + I = 212,000 เงินผ่อน ทำ การผ่านจ่ายรายเดือน 12 งวดต่อปีจำ นวน 3 ปีจะได้ n = 12 x 3 = 36 งวด pay = 212,000 / 36 = 5888.89 สรุปได้ว่า ถ้าทำ การกู้เงินจำ นวน 200,000 บาท ด้วยอัตราดอกเบี้ย 2% ต่อปีจำ นวน 3 ปี จะมีดอกเบี้ย 12,000 บาท และยอดที่ต้องชำ ระรวม 212,000 บาท ถ้า ผ่อนจ่ายรายเดือนจะต้องชำ ระเดือนละ 5888.89 บาท

นำ เงินไปฝากธนาคารจำ นวน 200,000 บาท โดยไม่มี การฝากเงินเพิ่ม ถ้าธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย 1.5 % ต่อปี ถ้าต้องการมูลค่าเงินฝากในอนาคตไม่ต่ำ กว่า 210,000 บาทตอนสิ้นปีเป็นไปได้หรือ รื ไม่ วิธีทำ ยอดบัญชีปัจจุบัน P = 200,000 อัตราดอกเบี้ย r = 1.5% = 0.015 ยอดบัญชีอนาคต F = 210,000 สามารถหาเวลา t ได้จากการพิจารณา F = P(1 + rt) จะได้ t = (F / P – 1) / r = (210000 / 200000 – 1) / 0.015 = 3.33 ปี จะเห็นว่าต้องฝากอย่างน้อย 4 ปีซึ่งเป็นไปไม่ได้

ถ้าต้องการดอกเบี้ย 10,000 บาท จากการฝาก ธนาคารในระยะเวลา 1 ปีโดยธนาคารให้ดอกเบี้ย ร้อ ร้ ยละ 1.5 ต่อปีจะต้องมีเงินฝากเริ่มต้นจำ นวนเท่า ไหร่โร่ ดยที่ไม่ฝากเงินเพิ่มในบัญชีตลอดปี วิธีทำ มูลค่าดอกเบี้ย = 10,000 อัตราดอกเบี้ย r = 0.015 และ ระยะเวลาฝาก 1 ปี จากสูตร I = Prt สามารถหาเงินลงทุนปัจจุบัน P ได้จาก P = I / (rt) = 10000 / (0.015 x 1) = 666,667 บาท สรุปได้ว่าหากต้องการผลตอบแทนดอกเบี้ย จากการลงทุนโดยการฝากเงินกับธนาคารในอัตรา ดอกเบี้ย 1.5 % ต่อปีเป็นเวลา 1 ปีจะต้องมีเงินฝาก เริ่มต้นประมาณ 666,667 บาท

ถ้าต้องการวางแผนการลงทุนโดยกู้เงินจากกองทุน โดยสามารถจ่ายเข้ากองทุนได้เดือนละ 5,000 บาท และผ่อนหมดภายในเวลา 2 ปี ถ้าอัตราดอกเบื้ยอยู่ ที่ร้อ ร้ ยละ 20 ต่อปี จะสามารถกู้เงินได้เท่าไหร่ วิธีทำ เงินงวดละ pay = 5000 ต่อเดือน จำ นวน งวดคิดเป็น 12 งวดต่อปี ระยะเวลา t = 2 ปี จะได้ n = 24 โดยมีอัตราดอกเบี้ย 20 % r = 0.2 จาก pay = F / n จะได้ n x pay = P(1 + rt) ดังนั้น P = (n x pay) / (1 + rt) = (5000 x 24) / (1 + 0.2 x 2) = 85,715 สรุปได้ว่าสามารถกู้เงินจำ นวน 85,715 ในอัตรา ดอกเบื้ยร้อ ร้ ยละ 20 ต่อปีระยะเวลาการผ่อนอยู่ที่ 2 ปี ผ่อนเดือนละ 5,000 บาท

ในการลงทุนถ้าการคิดดอกเบี้ยเป็นแบบดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายงวด มูลค่าเงินในแต่ละงวดจะเปลี่ยนไปตามเวลา หากพิจารณาความ สัมพันธ์เชิงคณิตศาสตร์จ ร์ ะเป็นความสัมพันธ์แบบเวียนบังเกิด กำ หนด ให้ P เป็นมูลค่าเงินปัจจุบัน และ r เป็นผลตอบแทนหรือรือัตรา ดอกเบี้ย และให้ i เป็นสถานะของเงินในแต่ละงวด กำ หนดให้ P(0) เป็นมูลค่าเงินปัจจุบันในสถานะเริ่มต้น P(1) จะเป็นมูลค่าของเงินใน สถานะงวดที่ 1 P(1) = P(0) + rP(0) = (1 + r)P(0) P(2) = P(1) + rP(1) = (1 + r)P(1) …. อุปนัย P(i) = P(i – 1) + rP(i – 1) = (1 + r)P(i – 1) สำ หรับรั i = 1, 2, 3, … รูปแบบความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถหาคำ ตอบทั่วไปได้โดยวิธี การทำ ซ้ำ จาก P(1) = (1 + r)P(0) P(2) = (1 + r)P(1) = (1 + r)(1 + r)P(0) = (1 + r)2P(0) P(3) = (1 + r)P(2) = (1 + r)(1 + r)2P(0) = (1 + r)3P(0) … อุปนัย P(i) = (1 + r)iP(0) ดอกเบี้ยทบต้น และการผ่อนจ่าย

นำ เงินไปฝากธนาคารจำ นวน 100,000 บาท โดย ธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย 1.3 %ต่อปี ถ้าปล่อย บัญชีทิ้งไว้อย่างน้อย 5 ปีจะมียอดเงินในบัญชี อย่างน้อยเท่าไหร่ วิธีทำ มูลค่าเงินปัจจุบัน P(0) = 100,000 อัตรา ดอกเบี้ย r = 0.013 ฝากจำ นวน 5 ปีให้อัตรา ดอกเบี้ย 1 งวดต่อปีจะได้จำ นวนงวด i = 5 มูลค่า เงินในงวดที่ 5 ประมาณ P(5) = (1 + 0.013)5 x (100,000) = 106671 สรุปได้ว่าการฝากเงิน 100,000 บาทกับ ธนาคารที่ให้อัตราดอกเบี้ยร้อร้ยละ 1.3 อย่างน้อย 5 ปีโดยไม่มีการฝากเพิ่ม จะมีเงินในบัญชีในอนาคตอย่างน้อย 106,671 บาท

วางแผนการออมเงินเดือนละ 1,000 บาทโดยได้ผลตอบแทนเป็น ดอกเบี้ยในอัตราร้อ ร้ ยละ 1.5 ต่อปีโดยให้ดอกเบี้ยทบต้นทุก ๆ 6 เดือน ถ้าออมเงินจำ นวน 5 ปีจะมีผลตอบแทนเท่าใด วิธีทำ ทำ การฝากเงินเดือนละ 1000 บาทต่อเดือนเท่ากับ ฝาก d = 6,000 บาท ต่องวด ในอัตราดอกเบี้ย 1.5 %/ ต่อปี r = 0.75 % ต่องวด ฝากเงินระยะเวลา 5 ปี N = 10 งวด จากสูตร A(N) = (d / r)[(1 + r)N – 1] = (6000/0.0075)[(1 + 0.0075)10 – 1] = 62,066.03 บาท ในกรณีของการชำ ระหนี้สมมติให้ สถานะที่ 0 ของบัญชีคือยอด เงินกู้ A(0) เมื่อผ่อนชำ ระไป N งวดยอดคงเหลือเท่ากับศูนย์บาท A(N) = 0 สามารถหายอดที่ต้องผ่อนชำ ระต่อเดือน d ได้จาก A(N) = (1 + r)N A(0) + d((1 + r)N – 1) / (1 + r – 1) 0 = r(1 + r)NA(0) + d((1 + r)N – 1) d = r(1 + r)NA(0) / [(1 + r) N – 1] = -rA(0) / [1 – (1+r)-N]

กู้เงินมาจำ นวน 1,000,000 บาทในอัตรา ดอกเบี้ยร้อ ร้ ยละ 8 ต่อปี กำ หนดการผ่อน ชำ ระจำ นวน 10ปี จะต้องผ่อนชำ ระเดือนละกี่ บาท วิธีทำ อัตราดอกเบี้ยร้อ ร้ ยละ 8 ต่อปี ผ่านชำ ระเป็นเวลา 10 ปี คิดเป็นจำ นวนงวด N = 120 งวดจะได้ดอกเบี้ยร้อ ร้ ยละ r = 8 x 10 / 120 = 0.67 ต่องวด ยอดเงินกู้ A(0) =1,000,000 บาท d = -0.0067(1,000,000) / [1 – (1+0.0067)-120] = -12,154 ดังนั้นจะต้องผ่อนจ่ายรายเดือนเดือนละ 12,154 บาท

ธนาคารแห่งหนึ่งอนุมัติเงินกู้โดยคิดอัตราดอกเบี้ยทบต้น 28 % ต่อปีโดยคิดดอกเบี้ยรายวัน จงหา effective rate ที่เกิด ขึ้นใน 30 วัน วิธีทำ อัตราดอกเบี้ยต่องวดร้อร้ยละ r = 28 / 365 จาก Y = (1 + r)n* – 1 = (1 + 28/36500)30 – 1 = 0.0233 จะเห็นว่า อัตราดอกเบี้ยทบต้น 28 % ต่อปีจากการกู้เงิน 30 วันทำ ให้ เกิดดอกเบี้ยประมาณ 2.33 % เงินผ่อนหรือรืเงินสะสมรายเดือน สถานะการเงินปัจจุบัน = สถานะการเงินก่อนหน้า + ดอกเบี้ย + เงินฝาก A(n) = A(n – 1) + rA(n – 1) + d = (1 + r)A(n – 1) + d หารูปแบบทั่วไปโดยการทำ ซ้ำ A(1) = (1 + r) A(0) + d A(2) =(1 + r)A(1) + d = (1 + r)2A(0) + (1 + r + 1)d A(3) = (1 + r)A(2) + d = (1 + r)3A(0) + [(1+r)2 + (1+r) + 1]d A(4) = (1 + r)A(3) + d = (1 + r)4A(0) + [(1 + r)3 + (1+r)2 + (1+r) + 1] d ….. อุปนัย A(N) = (1 + r)N A(0) + d((1 + r)N – 1) / (1 + r – 1) สมมติให้สถานะที่ 0 มีเงิน 0 บาทนั้นคือ A(0) = 0 A(N) = (d / r)[(1 + r)N – 1]

ธนาคารแห่งหนึ่งอนุมัติเงินกู้โดยคิดอัตรา ดอกเบี้ยทบต้น 28 % ต่อปีโดยคิดดอกเบี้ย รายวัน จงหา effective rate ที่เกิดขึ้นใน 30 วัน วิธีทำ อัตราดอกเบี้ยต่องวดร้อ ร้ ยละ r = 28 / 365 จาก Y = (1 + r)n* – 1 = (1 + 28/36500)30 – 1 = 0.0233 จะเห็นว่า อัตราดอกเบี้ยทบต้น 28 % ต่อปีจากการกู้ เงิน 30 วัน ทำ ให้เกิดดอกเบี้ยประมาณ 2.33 %

กองทุนรวม กองทุนรวม (Mutual Funds) ซึ่ง เป็นการระดมทุนจากบุคคลทั่วไป นิติบุคคล หรือ รื สถาบันต่าง ๆไปลงทุนต่อ ในตลาดหลักทรัพ รั ย์ โดยมีผู้จัดการ กองทุนเป็นผู้ควบคุมดูแลผลประโยชน์ ให้เป็นไปตามวัตถุประสงค์ นโยบาย ตามที่สำ นักงานคณะกรรมการหลักทรัพ รั ย์ และตลาดหลักทรัพ รั ย์อนุมัติ

กองทุนรวมจะมีการคำ นวณราคาและมูลค่า ทรัพ รั ย์สินทุกวันทำ การ มูลค่าทรัพ รั ย์สินสุทธิ Net Asset Value (NAV) คำ นวณได้จาก NAV = Market Value of Assets - Liabilities Market Value of Asset คือมูลค่าทรัพ รั ย์สินตาม ตลาด ผลตอบแทนสะสม และ เงินสด Liabilities คือ ค่าใช้จ่ายของกองทุน และหนี้สิน NAVต่อหน่วย = NAV / Number of Shares Outstanding เป็นค่าที่เอาคำ นวณในการซื้อขายกองทุน

ตัวอย่างที่ 1 ต้องการลงทุนในกองทุน A ซึ่งมีงบลงทุน 10,000 บาท ถ้ากองทุนกำ หนดราคาขาย หน่วยละ 10 บาท จะสามารถซื้อหน่วยลงได้ 10,000 / 10 = 1,000 หน่วยลงทุน แต่อย่างไรก็ตามแต่ละกองทุนจะมีการ อัตราค่าธรรมเนียมในการซื้อ ขาย หรือ รื ค่าใช้ จ่ายการแลกเปลี่ยนสกุลเงินในกองทุนที่ ลงทุนในต่างประเทศซึ่งจะมีการชี้แจงใน หนังสือชี้ชวน และที่สำ คัญในการซื้อ ขาย กองทุน เราจะไม่ทราบราคาปิดครั้งสุดท้าย ทำ ให้การซื้อขายเนื่องจาก NAV จะถูก ประกาศ ณ สิ้นวันทำ การ

ตัวอย่างที่ 2 ในการลงทุนซื้อกองทุนมีค่า NAV เริ่มต้น NAVi = 5.48 บาท และ NAV สิ้นสุด NAVf = 5.52 ได้รับ รั เงินปันผล 0.4 บาทต่อหน่วยลงทุนจะได้อัตราผล ตอบแทนจากการลงทุนในกองทุนเท่าใด วิธีทำ รายได้จากการปันผล = 0.4 บาท หากทำ การขาย ราคาซื้อ = 5.48 และราคาขาย = 5.52 จะได้อัตราผลตอบแทนจากการลงทุนใน กองทุน [0.4 + (5.52 – 5.48)] / 5.48 = 0.08 = 8% อย่างไรก็ตามหากเราลงทุนในหลายกองทุน การเปรีย รี บเทียบอัตราผลตอบแทนควรพิจารณา จากอัตราผลตอบแทนต่อปีคำ นวณได้จาก (1+HPR)1/t – 1

ตัวอย่างที่ 3 ถ้าถือครองกองทุนเป็นเวลา 5 ปี ได้ปันผล รวม 2.0 บาทต่อหน่วยลงทุน ต้นทุนหน่วย ลงทุนละ 5. 48 ราคาขายอยู่ที่ 5.21 อัตรา ผลตอบแทนต่อปีมีค่าเท่าใด วิธีทำ ค่า HPR = [2.0 + (5.21 – 5.48)] / 5.48 = 0.3156 = 31.56% ถือหน่วยลงทุน เป็นเวลา t = 5 ปี ดังนั้นอัตราผล ตอบแทนต่อปีเท่ากับ (1 + 0.3156)1/5 – 1= 0.0563 = 5.63 %

ประเภท กองทุนรวม ประเภทกองทุนรวม กองทุนรวมตราสารทุน (equity fund) ลงทุนในตราสารทุน ไม่ต่ำ กว่า 65% ของทรัพรัย์สินสุทธิของกองทุน กองทุนรวมตราสารหนี้ (fixed income fund) ลงทุนในเงิน ฝาก ตราสารหนี้ การหาดอกผลหลักทรัพรัย์หรือรื สินทรัพรัย์ กองทุนรวมผสม (mixed fund) ลงทุนตามนโยบายของบริษัริ ษัท จัดการกองทุน อาจกำ หนดสัดส่วนตราสารทุนต่ำ กว่า 65% ของทรัพรัย์สินสุทธิ หรือรือาจจัดการสัดส่วนตามความเหมาะ สมของสถานการณ์ กองทุนรวมที่ลงทุนในต่างประเทศ (foreign investment fund) เป็นกองทุนที่ขายหน่วยลงทุนในประเทศเพื่อไปลงทุน ในต่างประเทศ กองทุนรวมเพื่อการเลี้ยงชีพ (Retirement Mutual Fund) ส่ง เสริมริการออกระยะยาวเพื่อการเลี้ยงชีพของผู้ถือหน่วยลงทุน กองทุนเพื่อการออม (Super Save Fund) เป็นกองทุนเพื่อส่ง เสริมริการออมระยะยาวรองรับรั สังคมผู้สูงอายุที่จะเกิดขึ้นใน อนาคต กองทุนสำ รองเลี้ยงชีพ เป็นเงินทุนสะสมของพนักงานและ นายจ้าง ที่ลูกจ้างจะได้รับรัเมื่อไม่มีงานทำ และไม่มีเงินเดือน