E-MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI ii

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI ii KATA PENGANTAR Puji syukur kita panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat rahmat dan hidayah-Nya, penulis telah berhasil menyusun Modul Pembelajaran Grafik Fungsi Kuadrat dengan baik. Tujuan disusunnya Modul Pembelajaran ini adalah sebagai salah satu bentuk penyediaan bahan belajar peserta didik SMA/MA agar proses pembelajarannya lebih terarah, terencana, variatif, dan bermakna. Dengan demikian, tujuan memberikan fasilitas SMA/MA yang bermutu bagi peserta didik SMA/MA dapat terwujud. Modul Pembelajaran SMA/MA kelas X yang telah disusun ini disajikan dalam bentuk materi, contoh soal, latihan soal, dan soal tes formatif. Dengan adanya modul pembelajaran Grafik Fungsi Kuadrat SMA/MA kelas X ini, kami berharap, peserta didik dapat memperoleh kemudahan dan kebermaknaan dalam menjalankan kegiatan pembelajaran mandiri dan terstrukturnya. Selain itu, Guru Pamong dan Guru Bina pun dapat merancang, mengarahkan, dan mengevaluasi proses pembelajaran dengan lebih baik sebagai bagian dari proses peningkatan mutu Pendidikan bagi SMA/MA. Dengan kualitas Pendidikan SMA/MA yang bermutu, peserta didik akan merasakan manfaatnya dan termotivasi untuk mencapai cita-citanya menuju kehidupan yang lebih baik. Modul Pembelajaran Grafik Fungsi Kuadrat untuk SMA/MA kelas X ini masih jauh dari sempurna, untuk itu kami berharap dapat memperoleh kritik, saran, rekomendasi, evaluasi, dan kontribusi nyata dari berbagai pihak untuk kesempurnaan modul ini. Apabila terdapat kekurangan atau kekeliruan, maka dengan segala kerendahan hati akan kami perbaiki sesuai dengan ketentuan yang berlaku di masa yang akan datang. Yogyakarta, 11 Juni 2024 Penulis

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI iii DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................II DAFTAR ISI.............................................................................................................III PENDAHULUAN........................................................................................................1 A. IDENTITAS MODUL..........................................................................................1 B. KOMPETENSI DASAR.......................................................................................1 C. DESKRIPSI SINGKAT MATERI........................................................................1 D. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL..............................................................1 E. MATERI PEMBELAJARAN...............................................................................1 PETA KONSEP ..........................................................................................................2 GRAFIK FUNGSI KUADRAT .................................................................................3 A. TUJUAN PEMBELAJARAN...........................................................................3 B. MATERI GRAFIK FUNGSI KUADRAT........................................................3 C. CONTOH SOAL...............................................................................................8 D. LATIHAN SOAL............................................................................................11 E. RANGKUMAN ..............................................................................................11 F. SOAL TES FORMATIF .................................................................................13 DAFTAR ISI..............................................................................................................14

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 1 PENDAHULUAN A. Identitas Modul Mata Pelajaran : Matematika Umum Kelas : XI Alokasi Waktu : 3 x 45 menit (3 JP) Judul Modul : Grafik Fungsi Kuadrat B. Kompetensi Dasar Menganalisis karakteristik masing-masing grafik (titik potong dengan sumbu, titik puncak, asimtot) dan perubahan grafik fungsinya akibar transformasi C. Deskripsi Singkat Materi Pada pertandingan bola basket para pemain menngunakan bola dengan cara meneribell setelah itu memasukkan bola kedalam ring basket, pada saat pemain melempar bola pada ring basket gerakan pemain dan bola itu membentuk lintasan lengkungan seperti grafik atau lengkungan yang berbentuk parabola. Pada meteri ini kita dapa mempelajari titik potong sumbu x dan y berserta penyelesaiannya? Agar anda dapat mengetahui jawabannya, pelajarilah materi berikut dengan rajin dan semangat. D. Petunjuk Penggunaan Modul Anak-anakku sekalian, modul ini dirancang untuk memfasilitasi kalian dalam melakukan kegiatan belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut. 1. Berdoalah sebelum mempelajari modul ini. 2. Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secaraberurutan. 3. Perhatikan contoh-contoh soal yang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali. 4. Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasan pada modul ini. 5. Jika kalian menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untukmelihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada. 6. Di bagian akhir modul disediakan soal tes formatif, silahkan mengerjakan soal tes formatif tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini. 7. Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri. E. Materi Pembelajaran 1. Grafik Fungsi Kuadrat

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 2 PETA KONSEP

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 3 GRAFIK FUNGSI KUADRAT A. Tujuan Pembelajaran 1. Menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa fungsi kuadrat. 2. Menggambar dan membuat sketsa grafik fungsi kuadrat dari masalah nyata berdasarkan data yang ditentukan dan menafsirkan karakteristiknya. B. Materi Grafik Fungsi Kuadrat Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa grafik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya dan beberapa pertanyaan berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan grafik fungsi kuadrat? Grafik fungsi kuadrat adalah representasi grafis dari fungsi kuadrat yang berbentuk () = ' + + , di mana , , dan adalah bilangan real, dan ≠ 0. Grafik dari fungsi ini adalah sebuah kurva berbentuk parabola. Parabola ini bisa terbuka ke atas jika > 0 atau terbuka ke bawah jika < 0. Grafik fungsi kuadrat memiliki beberapa karakteristik penting, seperti titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong dengan sumbu dan . 2. Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetri grafik fungsi kuadrat? Persamaan garis sumbu simetri grafik fungsi kuadrat adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Untuk fungsi kuadrat () = ' + + , sumbu simetri ini dapat ditemukan dengan menggunakan formula: Diberikan fungsi kuadrat () = ' + + , dengan , , dan adalah bilangan real dan ≠ 0. 1. Temukan persamaan garis simetri (sumbu simetri) dan titik puncak grafik fungsi kuadrat tersebut. 2. Temukan grafik fungsi kuadrat () = ' + + , dengan , , dan adalah bilangan real dan ≠ 0 dari grafik fungsi kuadrat () = ', ∈ , ≠ 0. 3. Temukan titik potong grafik dengan sumbu dan sumbu . 4. Temukan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat () = ' + + , dengan , , dan adalah bilangan real dan ≠ 0 terkait nilai koefisien dan titik puncak parabola. MASALAH 1

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 4 = − 2 Garis ini adalah garis vertikal yang melalui titik puncak parabola dan merupakan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat. 3. Apa yang dimaksud dengan titik puncak grafik fungsi kuadrat? Titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah titik tertinggi atau terendah dari parabola, tergantung pada apakah parabola terbuka ke atas atau ke bawah. Titik ini merupakan titik di mana fungsi kuadrat mencapai nilai maksimum (jika parabola terbuka ke bawah) atau minimum (jika parabola terbuka ke atas). Koordinat titik puncak untuk fungsi kuadrat () = ' + + dapat ditemukan sebagai berikut: 6− 7 '8 , :− 7 '8 ;< Atau 6 >7 '8 , : >? '8;< Di mana: 6− 2 < = 4 − ' 4 4. Bagaimana menemukan aturan penentuan persamaan garis simetri dan titik puncak grafik fungsi kuadrat? Untuk menentukan persamaan garis simetri dan titik puncak grafik fungsi kuadrat () = ' + + Persamaan Garis Simetri: = − 2 Titik Puncak: Koordinat titik puncak = − 7 '8 Koordinat titik puncak = :− 7 '8 ; = A8B>7C A8 Jadi, titik puncak adalah: D− 2, 4 − ' 4 E 5. Apa yang dimaksud dengan transformasi geser? Transformasi geser (juga dikenal sebagai translasi) adalah jenis transformasi geometris yang memindahkan setiap titik suatu bentuk dengan jarak yang sama dalam arah yang sama. Dalam konteks grafik fungsi, transformasi geser dapat memindahkan grafik ke atas, ke bawah, ke kiri, atau ke kanan. Misalnya:

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 5 • Geser ke atas atau ke bawah: Menambahkan atau mengurangi nilai konstanta pada fungsi (). • Geser ke kiri atau ke kanan: Mengubah variabel menjadi ± ℎ. 6. Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang Grafik Fungsi Kuadrat dari Grafik Fungsi Kuadrat () = ? Transformasi geser digunakan untuk mengubah grafik dasar () = ' menjadi bentuk umum () = ' + + . Berikut adalah cara transformasi tersebut diterapkan: Translasi Horizontal • Menggeser grafik () = ' ke kiri atau kanan sebesar − 7 '8 . Ini membuat sumbu simetri dari grafik () = ' + + berada pada = − 7 '8 Translasi Vertikal • Menggeser grafik ke atas atau ke bawah sebesar nilai titik puncak :− 7 '8 ;. Ini memastikan bahwa titik puncak grafik () = ' + + berada pada posisi yang benar di sepanjang sumbu y. Dengan menggunakan kedua transformasi ini, kita dapat memindahkan grafik dasar parabola () = ' sehingga sesuai dengan bentuk grafik () = ' + + . Transformasi geser memungkinkan kita untuk mengatur posisi puncak parabola dan sumbu simetri sesuai dengan koefisien dan . 7. Temukan arah pergeseran grafik fungsi kuadrat () = , ∈ untuk mendapatkan grafik fungsi () = : − > ; + : > ; dan syarat-syarat yang diperlukan! () = ' + + , ≠ 0 ⇔ () = 6' + + < , ≠ 0 ⇔ () = D' + + ' 4' −' 4' + E , ≠ 0 ⇔ () = R6 + 2 < ' − D ' − 4 4' ES, ≠ 0 ⇔ () = 6 + 2 < ' − D ' − 4 4 E , ≠ 0 ⇔ () = T − 6 − 2<U ' + 6 4 < , ≠ 0 Misalkan

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 6 () = 6 − : >7 '8;< ' + : ? A8 ; , ≠ 0 dan () = ', ∈ , ≠ 0 Maka fungsinya () = : − >7 '8 ; + : >? A8; Untuk mengubah grafik () = ' menjadi grafik () = ' + + , kita menggunakan dua jenis transformasi geser: Translasi Horizontal • Grafik () = ' digeser ke kanan atau ke kiri sebesar − 7 '8 . Jika positif, grafik digeser ke kiri, dan jika negatif, grafik digeser ke kanan. 6 − 2 < Translasi Vertikal • Setelah digeser horizontal, grafik () juga digeser vertikal sebesar >? A8 , di mana adalah diskriminan dari persamaan kuadrat ' + + , yaitu = ' − 4. () = 6 − − 2< + 6 − 4 < 8. Sifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan dari grafik fungsi kuadrat () = : − > ; + : > ; dengan , , adalah bilangan real dan ≠ berkaitan dengan nilai koefisien dan titik puncak grafik fungsi? Grafik fungsi kuadrat yang diberikan dapat dianalisis untuk memahami sifatsifat berikut: Koefisien • Jika > , parabola terbuka ke atas. • Jika < , parabola terbuka ke bawah. Sumbu Simetri • Sumbu simetri dari parabola adalah garis vertikal = − 7 '8 . Titik Puncak • Titik puncak dari parabola berada di : >7 '8 , >? A8;. • Jika > , maka grafik fungsi kuadrat () = ' + + , dengan , , dan bilangan real ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki tiitk balik minimum : >7 '8 , >? A8 ;.

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 7 • Jika < , maka grafik fungsi kuadrat () = ' + + , dengan , , dan bilangan real ≠ 0 terbuka ke bawah dan memiliki tiitk puncak maksimum : >7 '8 , >? A8;. Diskriminan D • Diskriminan = ' − 4 menentukan jumlah dan jenis akar dari persamaan kuadrat ' + + . • Jika > , maka grafik = () parabola memotong sumbu- di dua titik berbeda. • Jika = , maka grafik = () parabola menyinggung sumbu- di satu titik (akar ganda). • Jika < , maka grafik = () parabola tidak memotong sumbu- . 9. Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan gambaran grafik fungsi kuadrat terkait nilai koefisien , nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu- , nilai fungsinya? Beberapa kemungkinan gambaran grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai koefisien , nilai diskriminan , dan titik potong terhadap sumbu- adalah: > dan > : < dan > : o Parabola terbuka ke atas. o Memiliki dua titik potong dengan sumbu- . o Contoh: () = ' − 5 + 6 dengan = −5' − 4(1)(6) = 1 Grafik memotong sumbu , pada titik, > 0, > 0, dan (\) = (') = 0 o Parabola terbuka ke bawah. o Memiliki dua titik potong dengan sumbu- . o Contoh: () = −' + 5 − 6 dengan = 5' − 4(−1)(−6) = 1. Grafik menyinggung sumbu , pada dua titik, < 0, > 0, dan (\) = (') = 0 > dan = : < dan = : o Parabola terbuka ke atas. o Memiliki satu titik potong dengan sumbu- (akar ganda). o Parabola terbuka ke bawah. o Memiliki satu titik potong dengan sumbu- (akar ganda). y x x1 x2 = (), ∈ y x x1 x2 = (), ∈

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 8 o Contoh: () = ' − 4 + 4 dengan = −4' − 4(1)(4) = 0 Grafik menyinggung Sb-x, a > 0, D = 0, dan f(x) ≥ 0, x∈R o Contoh: () = −' + 4 − 4 dengan = 4' − 4(−1)(−4) = 0 Grafik menyinggung Sb-x, a < 0, D = 0, dan f(x) ≤ 0, x∈R > dan < : < dan < : o Parabola terbuka ke atas. o Tidak memiliki titik potong dengan sumbu- . o Contoh: () = ' + 4 + 5 dengan = 4' − 4(1)(5) = −4 Grafik tidak memotong sumbu , > 0, < 0, dan () > 0, ∀ ∈ o Parabola terbuka ke bawah. o Tidak memiliki titik potong dengan sumbu- . o Contoh: () = −' − 4 − 5 dengan = −4' − 4(−1)(−5) = −4 Grafik tidak memotong sumbu , < 0, < 0, dan () < 0, ∀ ∈ _ C. Contoh Soal 1. Gambarlah grafik fungsi () = ' + 4 − 12 pada himpunan bilangan nyata! Penyelesaian: a. Menentukan titik potong dengan sumbu ; = () = 0 () = ' + 4 − 12 = 0 ⟺ ( + 6)( − 2) = 0 ⟺ + 6 = 0 atau − 2 = 0 y x x1 = x2 = (), ∈ y x = (), ∈ x y x1 = (), ∈ x y = (), ∈

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 9 ⟺ = −6 atau = 2 Jadi, titik potong dari sumbu adalah A(-6, 0) dan B(2, 0) b. Menentukan titik potong dengan sumbu ; = 0 atau (0) () = ' + 4 − 12 = 0 ⟺ (0) = 0' + 4(0) − 12 ⟺ (0) = 0 + 0 − 12 ⟺ = −12 Jadi, titik potong dari sumbu adalah C(0, -12) c. Menentukan Pasangan Koordinat titik balik (e, e) Cara 1 e = −6 + 2 2 = − 4 2 = −2 e = (−2) ⟺ (−2)' + 4(−2) − 12 ⟺ 4 − 8 − 12 = −16 Jadi, titik balik P(-2,-16) Cara 2 e = −4 2.1 = −4 2 = −2 e = − 4= −h(4)' − 4(1). (−12)i 4.1 ⟺ −(16 + 48) 4 = −64 4 = −16 Jadi, titik balik P(-2,-16) d. Gambar grafiknya 2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat () = ' + 2 − 3! Penyelesaian: a. Menentukan titik potong dengan sumbu ; = () = 0 () = ' + 2 − 3 = 0 ⟺ ( + 3)( − 1) = 0 ⟺ + 3 = 0 atau − 1 = 0 ⟺ = −3 atau = 1

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 10 Jadi, titik potong dari sumbu adalah A(-3, 0) dan B(1, 0) b. Menentukan titik potong dengan sumbu ; = 0 atau (0) () = ' + 2 − 3 = 0 ⟺ (0) = 0' + 2(0) − 3 ⟺ (0) = 0 + 0 − 3 ⟺ = −3 Jadi, titik potong dari sumbu adalah C(0, -3) c. Menentukan Pasangan Koordinat titik balik (e, e) e = − 2= −2 2.1 = − 2 2 = −1 e = − 4= −h(2)' − 4(1). (−3)i 4.1 ⟺ −(4 + 12) 4 = −16 4 = −4 Jadi, titik balik P(-1,-4) d. Gambar grafiknya 3. Gambarlah grafik fungsi kuadrat () = ' − 4 − 5! Penyelesaian: a. Menentukan titik potong dengan sumbu ; = () = 0 () = ' − 4 − 5 = 0 ⟺ ( + 1)( − 5) = 0 ⟺ + 1 = 0 atau − 5 = 0 ⟺ = −1 atau = 5 Jadi, titik potong dari sumbu adalah A(-1, 0) dan B(5, 0) b. Menentukan titik potong dengan sumbu ; = 0 atau (0) () = ' − 4 − 5 = 0 ⟺ (0) = 0' + 2(0) − 5 ⟺ (0) = 0 + 0 − 5

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 11 ⟺ = −5 Jadi, titik potong dari sumbu adalah C(0, -5) c. Menentukan Pasangan Koordinat titik balik (e, e) e = − 2= −(−4) 2.1 = 4 2 = 2 e = − 4= −h(−4)' − 4(1). (−5)i 4.1 ⟺ −(16 + 20) 4 = −36 4 = −9 Jadi, titik balik P(2,-9) d. Gambar grafiknya D. Latihan Soal 1. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 pada saat x = 2, sedangkan untuk x = - 2 fungsi bernilai -11. Tentukan rumus fungsi kuadrat tersebut ! 2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x) = 4x2 – 8x + 3 dari grafik fungsi kuadrat g(x) = 4x2! 3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat di bawah ini.(untuk setiap x bilangan real) untuk f(x) = 3x2+5x-4, x ∈ R ! 4. Gambarkan grafik fungsi kuadrat di bawah ini.(untuk setiap x bilangan real) untuk f(x) =-2x2–3x+7, x ∈ R ! E. Rangkuman 1. Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum dengan , , ∈ R dan ≠ 0 . Dari bentuk aljabar tersebut, grafik fungsi kuadrat dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut. SCAN QR-CODE BERIKUT VIDEO PEMBELAJARAN https://bit.ly/3L 3cl3p

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 12 a. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas. b. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah. c. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. d. Jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu x. e. Jika D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik. 2. Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx adalah sebagai berikut a. Menentukan titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika y = 0. b. Menentukan titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0. c. Menentukan persamaan sumbu simetri = − 7 '8 . d. Menentukan nilai ekstrim grafik = ? >A8 . e. Koordinat titik balik sebuah grafik fungsi kuadrat adalah − 7 '8 , − ? A8 .

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 13 F. Soal Tes Formatif 1. Koordinat titik balik grafik fungsi () = ' − 6 + 8 adalah … 2. Nilai maksimum dari fungsi kuadrat () = −' + 2 + 15 adalah … 3. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu pada titik (2, 0) dan (4, 0) serta melalui tiitk (0, -8), maka persamaan fungsi kuadratnya adalah … 4. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di bawah ini adalah … 5. Grafik fungsi kuadrat () = 2' + 11 − 6 untuk ∈ R adalah …

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 14 Daftar Isi Matematika/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014.

MODUL GRAFIK FUNGSI KUADRAT-AMIMA WULANDARI 15 Kunci Jawaban Latihan Soal 1. () = −' + 4 + 9 2. 3. 4. Soal Tes Formatif 1. (3, -1) 2. 16 3. = −' + 6 − 8 4. = −' + 2 + 3 5.