บทที่ 1 การประยุกต์ 1

~1~

การประยุกต์ 1

รูปเรขาคณิต

1. ความยาวของด้านของรปู สามเหลี่ยม

รปู เรขาคณติ เป็นรูปที่ประกอบด้วย จดุ เสน้ ตรง เส้นโค้ง ระนาบ ฯลฯ ตวั อย่างของรปู
เรขาคณติ ได้แก่ รูปสามเหล่ียม รูปสเ่ี หล่ยี ม รูปวงกลม ทรงสเี่ หลย่ี ม ทรงกระบอก ฯลฯ

รูปสามเหลย่ี ม เป็นรูปปดิ ที่ประกอบด้วยด้านสามด้าน
ความยาวรอบรปู สามเหล่ียม คอื ผลบวกของความยาวของด้านทกุ ด้านของรูปสามเหลยี่ ม
การจะสรา้ งรูปสามเหลย่ี มใดๆ ความยาวของด้านทง้ั สามจะต้องสัมพันธ์กนั โดยผลบวก
ของด้านทส่ี ้นั สองด้านจะตอ้ งมีค่ามากกวา่ ด้านที่ยาวทส่ี ุด

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงสร้างรูปสามเหลี่ยม ให้มดี ้านทงั้ สามยาวเทา่ กบั 3, 5 และ 7 เซนติเมตร

35

7
ดงั น้นั จะได้รปู สามเหลย่ี มท่ีมีดา้ นทัง้ สามยาวดา้ นละ 3, 5 และ 7 เซนติเมตร

ตวั อยา่ งที่ 2 จงสร้างรูปสามเหลย่ี ม ให้มีด้านทั้งสามยาวเท่ากบั 2, 3 และ 8 เซนติเมตร

2 3
8

ดงั นั้น ไมส่ ามารถสร้างรปู สามเหล่ยี มได้

J.Preechawipas

~2~
ชอื่ ...............................................นามสกุล.........................................ชัน้ ...............เลขที.่ ...........
************************************************************************************

ใบงานที่ 1/1
เร่อื ง การสร้างรปู สามเหลี่ยม
1. ใหน้ าความยาวท่ีกาหนดใหไ้ ปสร้างรปู สามเหล่ยี ม (หน่วยเป็นเซนตเิ มตร)
1) 1.5, 2 และ 4.5

2) 5, 6 และ 10

3) 3.5, 4.2 และ 5.5

4) 6, 8 และ 10

J.Preechawipas

~3~

5. 2.3, 3.2 และ 6

6. 4.5, 5 และ 5.5

7. 5.2, 3 และ 4.2

8. 4, 2 และ 8

2. ความยาวของดา้ นทง้ั สามในขอ้ ใดบ้างที่สรา้ งเปน็ รูปสามเหล่ียมได้ เพราะเหตุใด
ตอบ

3. ความยาวของด้านทั้งสามในข้อใดบ้างท่ีสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยมไมไ่ ด้ เพราะเหตุใด
ตอบ

J.Preechawipas

~4~

2. จดุ ภายในและจุดภายนอก

รปู เรขาคณติ ท่ีเกิดจากเสน้ โค้ง นอกจาก วงกลม วงรี แล้วเราสามารถสร้างรูปจากเส้นโคง้
ได้มากมาย เช่น

จากรูปขา้ งบน เราเรียกว่า รูปเส้นโค้งปดิ เชิงเดียว จะเป็นรูปเสน้ โคง้ ปิดทเ่ี สน้ รอบรปู ไม่ตัดกัน
เส้นโค้งปิดเชิงเดียว จะมีเส้นรอบรูปเป็นเส้นแบ่งเขตระหว่างส่วนท่ีอยู่ภายในกับส่วนที่อยู่
ภายนอก โดยจะเรียกจุดที่อยู่ข้างในรูปปิดว่า จุดภายใน และเรียกจุดที่อยู่ข้างนอกรูปปิดว่า จุด
ภายนอก

จากรูป A เปน็ จดุ ภายใน และ B เปน็ จดุ ภายนอก

ถา้ ในกรณีที่เป็นรูปซับซ้อน เราอาจจะบอกไม่ได้ในทันทีวา่ จุดใดเป็นจุดภายในหรือจุดภายนอก
ต้องใช้การลากเส้นเข้ามาช่วย โดยลากเส้นจากจุดนั้น ถ้าสามารถลากแล้วออกมาข้างนอกได้ โดยไม่
ตดั เสน้ รอบรปู ก็แสดงว่าเปน็ จุดภายนอก แต่ถ้าลากแล้วตัดเสน้ รอบรปู กแ็ สดงวา่ เป็นจุดภายใน

จากรูป A เป็นจดุ ภายใน
และ B เปน็ จุดภายนอก

J.Preechawipas

~5~
จากรูปเส้นโค้งปิดเชิงเดียว จะเห็นว่ากว่าท่ีเราจะหาได้ว่าจุดใดเป็นจุดข้างใน จุดใดเป็นจุด
ข้างนอกต้องเสียเวลาค่อนข้างมาก แต่ถ้าเราใช้ทฤษฎีบทของชอร์ดอง (Jordan’s Theorem) ใน
การหาจดุ ข้างในและจดุ ขา้ งนอกอาจจะช่วยใหเ้ รว็ ขนึ้
ทฤษฎบี ทของชอร์ดอง กล่าวว่า ถา้ ลากส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งจากจดุ นน้ั ออกมาขา้ งนอก
รปู ทางใดทางหนึ่ง แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นตัดเส้นรอบรูปได้จานวนจุดตัดเป็นจานวนคี่ จุดนั้นจะเป็น
จดุ ภายใน แตถ่ า้ ได้จานวนจดุ ตดั เปน็ จานวนคู่ จุดนัน้ จะเปน็ จุดภายนอก
ตวั อย่าง

จดุ u …………………………
จดุ v …………………………
จดุ w ………………………...
จุด x …………………………
จุด y …………………………
จดุ z …………………………

J.Preechawipas

~6~
ชื่อ...............................................นามสกุล.........................................ชน้ั ...............เลขท.่ี ...........
*************************************************************************************

ใบงานที่ 1/2
เรอื่ ง จุดภายใน-จุดภายนอก
ให้นกั เรยี นสารวจจุด A, จดุ B, จดุ C และจุด D วา่ จุดใดเปน็ จุดภายใน และจดุ ใดเปน็ จุดภายนอก
1.

จดุ A…………………………….
จุด B…………………………….
จดุ C…………………………….
จุด D…………………………….

2.
จดุ A…………………………….
จดุ B…………………………….
จดุ C…………………………….
จดุ D…………………………….

3.

จุด A…………………………….
จดุ B…………………………….
จุด C…………………………….
จดุ D…………………………….

J.Preechawipas

~7~
4. จุด A…………………………….

จดุ B…………………………….
จดุ C…………………………….
จดุ D…………………………….

5.
จุด A…………………………….
จุด B…………………………….
จดุ C…………………………….
จดุ D…………………………….

6.
จุด A…………………………….
จุด B…………………………….
จดุ C…………………………….
จดุ D…………………………….

J.Preechawipas

~8~
3. แทนแกรม

แทนแกรม เป็นแผน่ ตวั ตอ่ ปริศนามี 7 แผ่น ซง่ึ สามารถนามาประกอบเป็นรูปร่างต่างๆ โดย
มีรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากเล็ก 2 ชน้ิ รปู สามเหล่ียม ขนาดกลาง 1 ชนิ้ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากขนาดใหญ่
2 ชน้ิ รูปส่เี หลย่ี มจตั รุ ัส 1 ชน้ิ และรปู สี่เหลยี่ มด้านขนานอกี 1 ช้นิ ซ่ึงรูปสามเหลี่ยมขนาดกลาง รปู
สเ่ี หลยี่ มจตั รุ ัส และรปู สเี่ หล่ียมดา้ นขนาน ล้วนแล้วแตม่ พี น้ื ท่ีเปน็ สองเท่าของสามเหลย่ี มมมุ ฉากเลก็
สามเหลี่ยมมมุ ฉากขนาดใหญ่ แต่ละชิน้ มพี ืน้ ที่เปน็ 4 เท่าของสามเหลี่ยมมมุ ฉากเลก็ 1 ช้นิ และมุมท่ี
เกดิ ข้นึ ในช้ินสว่ นทัง้ 7 ชิ้น มอี ย่เู พยี ง 3 แบบ คือ มุมฉาก มุม 45 องศา และ มมุ 135 องศา

\\\\\\\\\\\\\

เราสามารถนาช้นิ ส่วนทัง้ 7 มาประกอบเปน็ รูปตา่ งๆ เช่น คน สตั ว์ สง่ิ ของ ตัวเลข
ตวั อักษร โดยไม่เหลื่อมซอ้ นกนั โดยใช้ทกั ษะการเลอ่ื น พลิก และหมุน เปน็ การสรา้ งจินตนาการแบบ
ไม่สน้ิ สดุ และช่วยพฒั นามิติสัมพันธใ์ หด้ ขี ้ึน

ตวั อย่าง

J.Preechawipas

~9~
ใบงานท่ี 1/3
เร่อื ง แทนแกรม
คาส่งั ใหน้ กั เรียนออกแบบแทนแกรมสรา้ งสรรค์เป็นรูปตา่ งๆตามแนวคดิ ของนักเรยี นแลว้ ต้ังชอ่ื ภาพ

ภาพ.......................................................................

J.Preechawipas

~ 10 ~

จานวนเฉพาะ

จานวนนับท่ีมากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัวคือ 1 และตัวเอง เรียกว่า จานวนเฉพาะ

เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

นักคณิตศาสตรช์ าวกรกี ช่อื เอราทอสเทนีส แหง่ ไชรนี ี (Eratosthenes of Cyrene) ได้คิดวธิ ีหา
จานวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1 กบั จานวนนบั ที่กาหนดให้ โดยตัดจานวนทไี่ ม่ใช่จานวนเฉพาะทิ้ง เรยี ก
วธิ นี ี้ว่า ตะแกรงของเอราทอสเทนีส (The Sieve of Eratosthenes)

☺ พิจารณาการหาจานวนเฉพาะระหว่าง 1 – 50 โดยใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนีส
ดาเนนิ การ ดังนี้
1) 1 ไมเ่ ป็นจานวนเฉพาะ ตดั 1 ทิ้ง
2) 2 เป็นจานวนเฉพาะให้วงไว้ นบั ต่อไปอกี ครงั้ ละสอง

จานวนแล้วตัดทิง้ จนถึงตวั สดุ ทา้ ย
3) 3 เป็นจานวนเฉพาะให้วงไว้ นบั ตอ่ ไปอีกครงั้ ละสาม

จานวนแลว้ ตัดทง้ิ จนถงึ ตวั สุดทา้ ย (นบั ตัวที่ตัดท้งิ แล้ว
ดว้ ยนะ)
4) 5 เป็นจานวนเฉพาะให้วงไว้ นบั ต่อไปอกี ครง้ั ละห้า
จานวนแลว้ ตดั ทิ้งจนถงึ ตัวสุดท้าย
5) 7 เป็นจานวนเฉพาะให้วงไว้ นับต่อไปอกี ครง้ั ละเจ็ด
จานวนแลว้ ตดั ทิ้งจนถึงตวั สดุ ทา้ ย
6) สาหรับ 11, 13,… ทาเชน่ เดียวกับที่ทาในข้อ (5)
7) จานวนท่เี หลือจากการตัดท้ิงจะเป็นจานวนเฉพาะ
จากตารางจะไดจ้ านวนเฉพาะคอื 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 และ 47

การใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนสี เพอ่ื ใช้หาจานวนเฉพาะ อาจจะไม่เหมาะสมในการ
ตรวจสอบจานวนมาก ๆ แต่เราอาจนาแนวคิดเดียวกันมาตรวจสอบได้ ดังนี้

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงตรวจสอบวา่ 83 เป็นจานวนเฉพาะหรอื ไม่

แนวคิด ขน้ั ที่ 1 หาจานวนเฉพาะทุกจานวนท่ีเม่ือคูณตัวเองแลว้ ผลคูณไมเ่ กนิ 83
จานวนเฉพาะเหล่านน้ั คือ 2, 3, 5 และ 7

ขั้นท่ี 2 นาจานวนเฉพาะทไ่ี ดใ้ นขั้นท่ี 1 คือ 2, 3, 5 และ 7 ไปหาร 83 เพอ่ื ดวู ่า ลง
ตัวหรือไม่ ถ้ามจี านวนใด ในสจ่ี านวนน้หี าร 83 ลงตวั 83 จะไม่เป็นจานวน
เฉพาะ แต่ถ้าจานวนทัง้ สี่หารไม่ลงตัว 83 จะเป็นจานวนเฉพาะ

ดังนนั้ 83 เป็นจานวนเฉพาะ เพราะ 2, 3, 5 และ 7 หาร 83 ไม่ลงตัว

J.Preechawipas

~ 11 ~

ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบวา่ 413 เปน็ จานวนเฉพาะหรือไม่

แนวคดิ ขั้นท่ี 1 จานวนเฉพาะทุกจานวนท่ีคณู ตวั เองแลว้ ผลคณู ไม่เกนิ 413 คือ
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 และ 19

ข้นั ท่ี 2 นา 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 และ 19 ไปหาร 413
เน่ืองจาก 7 หาร 413 ลงตวั ดังนนั้ 413 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ

ใบงานที่1/4
เรอ่ื ง จานวนเฉพาะ
ใหน้ ักเรยี นตรวจสอบจานวนนบั ต่อไปนว้ี า่ เปน็ จานวนเฉพาะหรอื ไม่

1. 97
ข้นั ที่ 1............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
ขน้ั ที่ 2............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

2. 113
ขั้นที่ 1............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
ขั้นท่ี 2............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

3. 217
ขั้นท่ี 1............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
ขัน้ ท่ี 2............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 12 ~

4. 349
ขัน้ ท่ี 1............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
ขน้ั ที่ 2............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

5. 521
ขน้ั ท่ี 1............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
ขั้นท่ี 2............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

6. 943
ขั้นท่ี 1............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
ขัน้ ที่ 2............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

7. 1,219
ขั้นท่ี 1............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
ขั้นที่ 2............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

8. 2,011
ข้ันที่ 1............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
ขั้นที่ 2............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 13 ~

รอ้ ยละในชวี ติ ประจาวัน

ในชวี ติ ประจาวนั นกั เรยี นไดพ้ บเห็นคาวา่ “รอ้ ยละ” อยู่เสมอๆ เชน่ ปา้ ยราคาสินคา้ ใน
หา้ งสรรพสนิ ค้า อตั ราดอกเบี้ยเงนิ ฝากของธนาคาร การซือ้ ของเงนิ ผอ่ น หรือแมก้ ระทัง่ ค่าสถติ ติ ่างๆ
เป็นตน้ ดังนนั้ เราจึงตอ้ งเข้าใจถงึ ความสาคัญของคาวา่ “ร้อยละ” หรือ “เปอรเ์ ซน็ ต์”

รอ้ ยละของจานวน

ร้อยละหรือเปอรเ์ ซน็ ต์ หมายถึง การเปรยี บเทียบอัตราส่วนโดยทจี่ านวนหลงั ของอตั ราส่วน

น้ันเปน็ 100 เสมอ

ในการกลา่ วถึงรอ้ ยละจะตอ้ งระบุให้ชดั เจนว่าเป็นร้อยละของจานวนใด เชน่
20
รอ้ ยละ 20 ของ 400 จะมีคา่ เป็น 100  400  80 หรอื

ร้อยละ 20 ของ 800 จะมคี า่ เปน็ 20 800  160 เป็นตน้
100 
จะพบว่า ค่าของร้อยละจะเปล่ยี นไปตามจานวนท่ีระบไุ ว้ ดงั น้นั ในการกลา่ วถงึ ร้อยละจึง

ตอ้ งให้ความสาคญั ในการกล่าวถึงร้อยละว่า ร้อยละของจานวนใด น่ันเอง เพราะว่าร้อยละเดียวกนั

แตถ่ า้ จานวนทีไ่ ม่เท่ากนั กจ็ ะได้ค่าทีแ่ ตกต่างกัน

ทำไดไ้ หม..

ให้เตมิ คาว่า มากกว่า น้อยกวา่ หรอื เท่ากับ ในช่องว่าง 8% ของ 200
1. 7% ของ 210 …………………………………….. 10% ของ 650
2. 15% ของ 400 …………………………………….. 7% ของ 749
3. 13% ของ 395 …………………………………….. 50% ของ 500
4. 25% ของ 1,000 …………………………………….. 5% ของ 880
5. 8% ของ 550 …………………………………….. 20% ของ 250
6. 17% ของ 450 …………………………………….. 18% ของ 420
7. 30% ของ 240 …………………………………….. 15% ของ 250
8. 9% ของ 360 …………………………………….. 14% ของ 350
9. 12% ของ 480 …………………………………….. 17% ของ 400
10. 19% ของ 320 ……………………………………..

J.Preechawipas

~ 14 ~

ตวั อย่างท่ี 1 รปู สเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัสมีด้านยาวดา้ นละ 40 เซนติเมตร ถ้าลดความยาวแต่ละดา้ นลง

20% รปู ส่เี หล่ียมจตั รุ สั รปู ใหมจ่ ะมดี ้านแต่ละด้านยาวกเี่ ซนติเมตร และมพี ้นื ที่

ลดลงก่ีเปอร์เซน็ ต์ 40 – 8

40

รปู เดมิ 40 40 รูปใหม่ 40 – 8

40

วธิ ีทา ดา้ นแตล่ ะด้านลดลง 20% 20
100
ดา้ นแตล่ ะด้านลดลง  40 = 8 เซนติเมตร

สเ่ี หลี่ยมจัตุรัสรูปใหม่จะมีด้านยาวด้านละ 40 – 8 = 32 เซนตเิ มตร

พ้นื ท่ีรปู สเ่ี หล่ยี มจตั รุ สั รูปเดมิ เปน็ 40 x 40 = 1,600 ตารางเซนติเมตร

พนื้ ทรี่ ูปสเี่ หลยี่ มจัตุรสั รปู ใหม่เปน็ 32 x 32 = 1,024 ตารางเซนติเมตร

พื้นทล่ี ดลง 1,600 – 1,024 = 576 ตารางเซนติเมตร

พน้ื ท่ีรปู เดิม 1,600 ตารางเซนตเิ มตร ลดลง 576 ตารางเซนตเิ มตร
576 100
ถา้ พ้นื ท่รี ูปเดิม 100 ตารางเซนตเิ มตร จะลดลง 1600 = 36 ตารางเซนติเมตร

ดงั นั้น พน้ื ที่รูปสเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั ลดลง 36 เปอรเ์ ซน็ ต์

ตอบ รูปสีเ่ หลีย่ มจตั รุ ัสยาวดา้ นละ 32 เซนติเมตร พืน้ ทล่ี ดลง 36 เปอร์เซน็ ต์

ตวั อยา่ งที่ 2 นกั เรยี นช้ัน ม.1 ของโรงเรียนแห่งหน่ึงสอบได้ 84% มนี กั เรยี นสอบได้มากกว่า
สอบตก 663 คน อยากทราบวา่ นกั เรียนช้ัน ม.1 ของโรงเรยี นแห่งนมี้ ีก่คี น

วิธที า นกั เรยี นชัน้ ม.1 สอบได้ 84% หมายความว่า

ถ้ามนี กั เรียนชนั้ ม.1 100 คน จะมนี กั เรียนสอบได้ 84 คน

และมนี ักเรียนสอบตก 100 – 84 = 16 คน

ดงั น้นั จึงมีนักเรยี นสอบได้มากกว่าสอบตก 84 – 16 = 68 คน

มีนกั เรียนสอบไดม้ ากกวา่ สอบตก 68 คน จากนักเรียนทัง้ หมด 100 คน
663  100
ถา้ มีนกั เรยี นสอบได้มากกวา่ สอบตก 663 คน จะมนี กั เรยี นทงั้ หมด 68

= 975 คน

ดังน้นั นักเรียนชนั้ ม.1 ของโรงเรียนแห่งนมี้ ี 975 คน

ตอบ 975 คน

J.Preechawipas

~ 15 ~

ใบงานท่ี 1/5
เรือ่ ง รอ้ ยละของจานวน
จงแสดงวิธีทา
1. คุณแม่มคี า่ ขนมให้ลูก 3 คน ตอ่ 1 วนั เปน็ เงิน 240 บาท ถา้ คณุ แม่แบง่ ใหล้ ูกคนโต 45% ให้
ลูกคนกลาง 30% และท่ีเหลือให้ลกู คนเล็ก อยากทราบว่าลกู แต่ละคนจะได้เงนิ คา่ ขนมคนละ
กีบ่ าท
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

2. ลุงปลกู มะม่วงชนดิ แรก 120 ตน้ ปลูกมะมว่ งชนิดทีส่ อง 75% ของมะม่วงชนิดแรก ลุงปลกู
มะม่วงทง้ั หมดกีต่ ้น
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 16 ~

3. สุดสวยมีกระดาษรปู สเ่ี หล่ียมผืนผ้าขนาดกว้าง 120 เซนตเิ มตร ยาว 250 เซนติเมตร จะนาไปทา
เปน็ กล่องกระดาษ แต่คานวณดูแล้วขนาดเท่าน้ที ากล่องไมไ่ ด้ ตอ้ งเพม่ิ ด้านกว้างอกี 30% และ
ดา้ นยาวอกี 32% อยากทราบว่ากระดาษรูปสเี่ หลยี่ มผนื ผ้าแผน่ ใหมม่ ีขนาดกว้างและยาวก่ี
เซนติเมตร
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

4. เกง่ กาจทาขอ้ สอบ คณติ ศาสตรไ์ ด้ 74 เปอร์เซ็นต์ ภาษาองั กฤษได้ 15 คะแนน จากคะแนนเตม็
20 คะแนน วิทยาศาสตรไ์ ด้ 38 คะแนน จากคะแนนเต็ม 50 คะแนน ภาษาไทยได้ 18 คะแนน
จากคะแนนเต็ม 25 คะแนน เก่งกาจทาคะแนนสอบวชิ าใดได้ดที ี่สดุ
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 17 ~

โจทย์ปัญหาร้อยละกบั การซอื้ ขาย

การซอื้ – การขายสินค้า ตอ้ งมกี ารลงทนุ และผลทตี่ ามมาก็อาจจะมีทงั้ กาไรและขาดทุน มี
สิ่งที่ต้องการทราบและเข้าใจความหมายดังนี้

1. ราคาทนุ คือ ราคาทซ่ี ื้อมา
2. ราคาขาย คอื ราคาทข่ี ายไป ซ่ึงอาจจะมากกวา่ หรอื น้อยกว่าราคาทนุ
3. กาไร คือ ราคาขาย – ราคาทุน (ราคาขายมากกวา่ ต้นทุน สว่ นตา่ งจะเรยี กว่า กาไร)
4. ขาดทุน คือ ราคาทนุ – ราคาขาย (ราคาขายน้อยกวา่ ตน้ ทุนสว่ นต่างจะเรียกวา่

ขาดทนุ )

ตวั อยา่ งท่ี 3 นารซี อื้ เส้ือมาราคา 500 บาท นาไปขายตอ่ ให้มนี าในราคา 650 บาท นารจี ะไดก้ าไร
ก่ีเปอรเ์ ซน็ ต์

วธิ ีทา ตน้ ทนุ 500 บาท ขายไดก้ าไร 650 – 500 = 150 บาท
100 x 150
ถ้าตน้ ทนุ 100 บาท จะขายได้กาไร 500 = 30 บาท

ดังนน้ั นารไี ด้กาไร 30%

ตอบ นารีไดก้ าไร 30%

ตวั อยา่ งท่ี 4 นารีซ้ือเส้อื มาราคา 500 บาท นาไปขายตอ่ ใหม้ ีนาในราคา 450 บาท นารจี ะขาดทุน
ก่เี ปอร์เซน็ ต์

วิธีทา ต้นทนุ 500 บาท ขายไปขาดทนุ 500 – 450 = 50 บาท
100 x 50
ถ้าตน้ ทุน 100 บาท จะขาดทุน 500 = 10 บาท

ดังน้นั นารขี าดทนุ 30%

ตอบ นารขี าดทนุ 30%

J.Preechawipas

~ 18 ~

ใบงานที่ 1/6
เร่ือง ร้อยละกับการซอ้ื -ขาย
จงแสดงวธิ ที า
1. น้าฝนซ้ือกระโปรงมาราคา 400 บาท ขายให้ชมพูไ่ ดก้ าไร 5% ชมพู่นาไปขายต่อให้เพ่ือน
ขาดทนุ 10% ชมพูข่ ายกระโปรงไปราคาเทา่ ไร
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

2. นิดาซอื้ กระเปา๋ สะพายราคา 330 บาท ขายต่อใหเ้ พือ่ น 270 บาท นดิ าขายขาดทนุ คิดเปน็
รอ้ ยละเท่าไร
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 19 ~

3. ร้านคา้ ติดราคาขายชดุ รับแขก 42,000 บาท ขายจริง 36,120 บาท รา้ นคา้ แห่งน้ีลดราคากี่
เปอรเ์ ซ็นต์
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

4. ราคาทนุ ของโทรศัพท์มือถือราคา 5,500 บาท พ่อคา้ ตดิ ราคาขายใหไ้ ดก้ าไร 30% แตล่ ดราคา
10% จากราคาทีต่ ิดไว้ พ่อคา้ ยังคงไดก้ าไรเท่าไร
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 20 ~

โจทยป์ ญั หาร้อยละกับการลดราคา

ลดราคา คอื การลดราคาสนิ ค้าจากราคาที่ติดไว้ ไมใ่ ช่ลดราคาจากราคาทุน การลดราคา
อาจจะไม่ขาดทุน แต่ผู้ขายต้องการขายสินค้าโดยยอมลดใหม้ กี าไรน้อยลง หรอื บางกรณีอาจขาดทุนก็
ได้ ซ่ึงราคาขายหาได้จาก

ราคาขาย = ราคาทตี่ ดิ ไว้ – ราคาท่ลี ดให้

ตัวอยา่ งท่ี 5 รองเท้าหนังจระเข้ราคา 2,500 บาท วางขายไว้ 2 เดอื นแล้ว ก็ยงั ไม่มีผู้ซื้อ ทางร้าน
จึงปิดราคาลดลง 20% เวลาผ่านไป 1 เดือนก็ยงั ขายไม่ออก คราวนที้ างร้านปดิ
ราคาลดลงอีก 30% จากท่ลี ดไปแล้วจงึ ขายออก อยากทราบว่าผซู้ ือ้ ซ้อื รองเท้าไป
ราคาเทา่ ใด

วธิ ที า รองเทา้ ราคา 2,500 บาท ลดราคาครั้งแรก 20%

ต้นทนุ 100 บาท ลดราคาลง 20 บาท
2,500  20
ถ้าต้นทนุ 2,500 บาท จะลดราคาลง 100 = 500 บาท

ลดราคาลง 500 บาท จะเป็นราคารองเท้าที่ลดแล้ว 2,000 บาท

รองเทา้ ราคา 2,000 บาท ลดราคาคร้ังที่สองอีก 30%

ต้นทุน 100 บาท ลดราคาลง 30 บาท
2,000 30
ถา้ ตน้ ทุน 2,000 บาท จะลดราคาลง 100 = 600 บาท

ลดราคาลง 600 บาท จะเป็นราคารองเท้าท่ีลดแล้ว 1,400 บาท

ดังน้นั ผ้ซู ้อื ซ้อื รองเท้าไปราคา 1,400 บาท

ตอบ 30%

J.Preechawipas

~ 21 ~

ใบงานท่ี 1/7
เรอ่ื ง ร้อยละกบั การลดราคา(ลดแล้ว-ลดอีก)
จงแสดงวิธที า
1. นา้ ฝนซ้ือกระโปรงมาราคา 400 บาท ขายให้ชมพู่ไดก้ าไร 5% ชมพู่นาไปขายต่อให้เพือ่ น
ขาดทุน 10% ชมพูข่ ายกระโปรงไปราคาเท่าไร
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

2. นิดาซอื้ กระเป๋าสะพายราคา 330 บาท ขายต่อให้เพอื่ น 270 บาท นดิ าขายขาดทุนคดิ เปน็
รอ้ ยละเท่าไร
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 22 ~

3. รา้ นคา้ ติดราคาขายชุดรับแขก 42,000 บาท ขายจรงิ 36,120 บาท ร้านคา้ แห่งน้ีลดราคาก่ี
เปอรเ์ ซ็นต์
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

4. ราคาทุนของโทรศัพทม์ อื ถือราคา 5,500 บาท พ่อคา้ ตดิ ราคาขายใหไ้ ด้กาไร 30% แต่ลดราคา
10% จากราคาทตี่ ดิ ไว้ พ่อค้ายังคงไดก้ าไรเทา่ ไร
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 23 ~

ดอกเบย้ี

ดอกเบย้ี คอื จานวนเงินที่ได้รบั เป็นคา่ ตอบแทนจากการนาเงนิ ไปใช้ใหเ้ กิดประโยนต์ าม
ระยะเวลาทตี่ กลงกนั อาจไดม้ าจากการนาเงินไปฝากธนาคาร หรือจากการกู้ยืม

การฝากเงินกบั ธนาคารจะมีการฝาก 2 แบบ คอื
1. ฝากแบบออมทรพั ย์ การฝากแบบนจี้ ะสามารถถอนเงินเมื่อไหรก่ ไ็ ด้ ธนาคารจะคดิ ดอกเบ้ีย
ตามจานวนวนั ทฝ่ี ากในอัตราทธ่ี นาคารกาหนด
2. ฝากแบบประจา การฝากแบบนี้จะใหเ้ ลือกหลายแบบ มฝี ากประจา 3 เดือน 6 เดอื น 12
เดือน 2 ปี หรอื มากกวา่ 2 ปี การฝากแบบนจี้ ะไดร้ บั ดอกเบ้ียกต็ อ่ เมื่อฝากครบตามเงื่อนไข
เช่น ฝากประจา 3 เดือน ถ้าถอนเงินกอ่ นครบ 3 เดือน ธนาคารกจ็ ะไมค่ ดิ ดอกเบีย้ ให้ ดอกเบย้ี ทีไ่ ดร้ บั
จากกการฝากประจาจะต้องถกู หกั ภาษีร้อยละ 15 เพอื่ นาสง่ เปน็ รายไดข้ องรัฐ

ตัวอย่างท่ี 6 นธิ ไิ ดร้ บั เงนิ รางวลั จากการซื้อลอตเตอร่ี เป็นเงนิ 50,000 บาท จงึ นาเงินไปฝาก

ธนาคาร นิธเิ ลือกฝากแบบประจา 6 เดือน ไดอ้ ัตราดอกเบีย้ 2% ต่อปี โดยฝากไว้ 1 ปี

นิธจิ งึ ไปถอนเงินออกมา อยากทราบว่าเม่ือครบ 1 ปี นิธิจะได้รับเงนิ ทั้งหมดเท่าใด

วธิ ที า ฝากแบบประจา 6 เดอื น ไดร้ ับอัตราดอกเบ้ยี 2% ตอ่ ปี

การคิดดอกเบยี้ ต้องคิด 2 ช่วง คือ 6 เดอื นแรกและ 6 เดอื นหลัง
2 6
ฝากเงิน 6 เดอื นแรก นิธิไดร้ ับดอกเบี้ย 50,000 × 100 × 12 = 500 บาท

การฝากประจาต้องเสยี ภาษี 15% ของดอกเบีย้ ทไ่ี ดร้ ับ
15
นิธถิ กู หักภาษีดอกเบย้ี 500 × 100 = 75 บาท

6 เดือนแรก นิธมิ เี งนิ ท้งั สิ้น 50,000 + (500 – 75) = 50,425 บาท
2 6
ฝากเงิน 6 เดอื นหลัง นิธไิ ดร้ ับดอกเบย้ี 50,425 × 100 × 12 = 504.25 บาท

นิธถิ กู หักภาษีดอกเบี้ย 504.25 × 15 = 75.64 บาท
100
ครบ 1 ปี นิธมิ เี งนิ รวมท้งั สิน้ 50,425 + (504.25 – 75.64) = 50,853.61 บาท

ดงั นน้ั เมอื่ ครบ 1 ปี นิธิจะไดร้ ับเงนิ ทั้งหมด 50,853.61 บาท

ตอบ 50,853.61 บาท

J.Preechawipas

ตัวอยา่ งที่ 7 ~ 24 ~

แนนกเู้ งินจากธนาคาร 20,000 บาท เพือ่ นาไปเป็นทนุ เปดิ ร้านขายของ ธนาคารคิด
ดอกเบ้ียเงนิ กู้ 6% ต่อปี ต้องจา่ ยเงนิ คืนงวดละ 4,000 บาท พร้อมดอกเบ้ียทกุ เดอื น
อยากทราบวา่ แนนตอ้ งจา่ ยเงินใหธ้ นาคารแตล่ ะงวดเปน็ เงนิ เท่าใด และตอ้ งจ่าย
ทง้ั หมดกงี่ วด เม่อื จา่ ยครบทกุ งวดแล้วรวมเป็นเงินกีบ่ าท

วธิ ีทา แนนตอ้ งจ่ายเงนิ คืนธนาคาร 20,000 ÷ 4,000 = 5 งวด

งวดท่ี 1 จ่ายเงนิ  20,000 x 6 x 1  + 4,000 = 100 + 4,000 = 4,100 บาท
100 12

งวดท่ี 2 จ่ายเงิน 16,000 x 6 x 1  + 4,000 = 80 + 4,000 = 4,080 บาท
100 12

งวดที่ 3 จ่ายเงนิ 12,000 x 6 x 1  + 4,000 = 60 + 4,000 = 4,060 บาท
100 12

งวดที่ 4 จ่ายเงิน  8,000 x 6 x 1  + 4,000 = 40 + 4,000 = 4,040 บาท
100 12

งวดท่ี 5 จ่ายเงิน  4,000 x 6 x 1  + 4,000 = 20 + 4,000 = 4,020 บาท
100 12

ดงั น้ัน เมื่อจา่ ยครบทุกงวดรวมเป็นเงิน 4,100 + 4,080 + 4,060 + 4,040 + 4,020

= 20,300 บาท

ตอบ 20,300 บาท

J.Preechawipas

~ 25 ~

ใบงานท่ี 1/8
เรอื่ ง ดอกเบ้ยี
จงแสดงวิธที า
1. กวนิ ฝากเงนิ ไว้กับธนาคาร 40,000 บาท ฝากออมทรพั ย์ ธนาคารคดิ อัตราดอกเบยี้ 3% ตอ่ ปี
ครบ 3 ปี จงึ ไปถอนเงนิ คนื กวินจะได้รับเงินท้ังหมดเทา่ ใด
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

2. จริ นนั ท์ฝากเงินไวจ้ านวนหน่งึ ฝากแบบออมทรพั ยธ์ นาคารคดิ อตั ราดอกเบย้ี 1.75% ครบ 1 ปี
จริ นันท์ไดด้ อกเบ้ยี 875 บาท อยากทราบวา่ จิรนันทฝ์ ากเงินไว้เท่าไร
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 26 ~

3. ชาวนาคนหน่งึ กเู้ งนิ มาลงทนุ ทานา 200,000 บาท เสียดอกเบีย้ ร้อยละ 8 ตอ่ ปี เป็นเวลา 2 ปี
หลังจากเก็บข้าวและขายข้าวแลว้ ไดเ้ งนิ ท้งั ส้ิน 350,000 บาท จงึ นาเงินไปชาระเงนิ กู้พร้อม
ดอกเบย้ี ธนาคารคิดดอกเบยี้ ทบตน้ เขาจะเหลอื เงนิ อยเู่ ท่าใด
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

4. สุดหล่อให้เพอ่ื นกู้เงินไป 50,000 บาท คิดอัตราดอกเบย้ี 3% ตอ่ เดอื น เพอ่ื นขอผ่อนงวดละ
5,000 บาท พร้อมดอกเบ้ยี ทุกเดือน เมื่อเพื่อนผอ่ นครบทกุ งวดแลว้ สุดหล่อจะได้เงินรวมเท่าใด
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 27 ~

คำถำมชวนคดิ

แพรวไดร้ ับเงนิ เป็นของขวัญวันเกดิ 10,000 บาท แพรวอยากรู้วา่ ถา้ แพรวนาเงนิ ไปฝาก
ออมทรพั ย์กับฝากประจาแบบ 3 เดือน แบบไหนแพรวจะได้รับดอกเบ้ยี มากกว่ากนั ถา้ ฝาก
ออมทรพั ย์ไดอ้ ตั ราดอกเบย้ี 1.75% ต่อปี และฝากประจาแบบ 3 เดอื น ได้อตั ราดอกเบี้ย
2% ตอ่ ปี โดยฝากเพยี ง 1 ปีเทา่ นัน้
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 28 ~

J.Preechawipas