บทที่ 2 การประยุกต์ 2

การป~ระ1ย~กุ ต์ 2

1.พำลินโดรม (palindrome)

XX((Monomial)

พำลินโดรม( palindrome) คือ คำหรอื วลีที่
สำมำรถเขียนตัวอกั ษรเรยี งย้อนกลับจำกหลังไปหน้ำ หรอื
จำกขวำไปซำ้ ย แล้วยงั คงอ่ำนออกเสยี งได้เหมือนเดิม เช่น
กก กนก ยำย นำน บวบ DAD MOM EYE เรยี กวำ่
พำลนิ โดรม คำวำ่ พำลนิ โดรมเป็นภำษำกรีก แปลวำ่
วง่ิ กลบั ไปทเ่ี ดมิ อกี (running back again)

เลขพำลนิ โดรม (palindromic number) คือ กำรดูตวั เลขจำกหลังไป
หน้ำกไ็ ด้เหมอื นเดิม ในทำงคณิตศำสตร์ พำลินโดรม เปน็ จำนวนนับท่ีเมื่อเขียน
เลขโดดเรียงย้อนกลบั จำกหลังไปหนำ้ หรือจำกขวำไปซ้ำย แล้วไดจ้ ำนวนเดมิ
เชน่ 5, 33, 101 และ 353

ใหน้ ักเรยี นทำกิจกรรมตอ่ ไปน้ี

กิจกรรมที่ 1: คำทเ่ี ปน็ พำลินโดรม
1.จงยกตวั อยำ่ งคำในภำษำไทยท่ีเป็นพำลินโดรมมำ 7 คำ

ตอบ

2.จงยกตวั อย่ำงคำในภำษำองั กฤษที่เปน็ พำลินโดรมมำ 7 คำ
ตอบ

J.Preechawipas

~2~

กิจกรรมท่ี 2: พำลนิ โดรมท่ีมีสำมหลัก
1.จงเติมตัวเลขพำลนิ โดรมท่ีมีสำมหลกั ให้ครบลงในช่องวำ่ งให้สมบูรณ์

2. ตัวเลขพำลินโดรมที่มีสำมหลกั มกี ี่จำนวน
ตอบ

3. นักเรียนสงั เกตเหน็ หรอื ไม่ว่ำ กำรเขยี นพำลินโดรมที่มสี ำมหลกั ขำ้ งตน้ มีแบบรูปของกำรเขียน
เปน็ อย่ำงไร

J.Preechawipas

~3~

ตกอิจบกรรมที่ 3: พำลนิ โดรมท่มี ีส่ีหลัก

1.ใหน้ กั เรียนเขยี นพำลินโดรมส่ีหลกั ใหค้ รบทกุ จำนวนอยำ่ งเปน็ ระบบลงในตำรำง

2. ตัวเลขพำลินโดรมทีม่ ีสห่ี ลักมกี จ่ี ำนวน
ตอบ

กจิ กรรมท่ี 4: เขียนจำนวนทเ่ี ปน็ พำลินโดรม

1. จงเขียนพำลนิ โดรมท่มี ี 5 หลกั มำ 3 จำนวน
ตอบ

2. จงเขียนพำลนิ โดรมทม่ี ี 6 หลัก มำ 3 จำนวน
ตอบ

3. พำลนิ โดรมที่มี 5 หลกั มีก่จี ำนวน
ตอบ

4. พำลนิ โดรมท่มี ี 6 หลกั มีกจ่ี ำนวน
ตอบ

J.Preechawipas

~4~

➢ กำรสร้ำงพำลินโดรม
วิธีสร้างพาลินโดรมทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันแพร่หลายคือ เม่ือนาจานวนนับที่มีสองหลักมา

บวกกบั จานวนทไ่ี ดจ้ ากการเขียนเลขโดดเรยี งย้อนกลับจากหลังไปหน้าของจานวนเดิมถ้าผลลัพธ์ยังไม่
เปน็ พาลินโดรม ใหน้ าผลลพั ธน์ นั้ ไปบวกกับจานวนทไี่ ดจ้ ากการเขียนเลขโดดเรยี งยอ้ นกลบั จากหลังไป
หนา้ ของผลลพั ธน์ ้นั อีก ทาเชน่ น้ีไปเร่อื ยๆ จนกว่าจะได้พาลินโดรม
ตัวอยำ่ งท่ี 1 จงสร้างพาลินโดรมจาก 14

คร้ังที่ 1 14 + 41 = 55 เปน็ พาลินโดรม

ตัวอยำ่ งท่ี 2 จงสรา้ งพาลนิ โดรมจาก 97
ครง้ั ท่ี 1 97 + 79 = 176 ไม่เป็นพาลนิ โดรม
ครัง้ ท่ี 2 176 + 671 = 847 ไม่เปน็ พาลินโดรม
ครั้งที่ 3 847 + 748 = 1595 ไม่เป็นพาลินโดรม
ครัง้ ท่ี 4 1595 + 5951 = 7546 ไมเ่ ป็นพาลินโดรม
ครั้งท่ี 5 7546 + 6457 = 14003 ไม่เปน็ พาลนิ โดรม
ครง้ั ที่ 6 14003 + 30041 = 44044 เปน็ พาลนิ โดรม

การสร้างพาลินโดรมนั้นสามารถทาได้ด้วยการบวกด้วยจานวนเดิมท่ีเขียนย้อนกลับได้ โดย
อาจจะบวกเพยี งคร้งั เดียว หรือหลายครง้ั และบางจานวนน้นั อาจจะบวกหลายครงั้ มากๆ เชน่ 89 ต้อง
บวกถงึ 24 ครงั้ จงึ จะได้ 8813200023188 ซึง่ เปน็ พาลนิ โดรม

นอกจากนี้การสร้างพาลินโดรม อาจจะใช้วิธีการนาจานวนท่ีเป็นพาลินโดรมอยู่แล้วมายก
กาลังสองกส็ ามารถไดพ้ าลนิ โดรมอื่นๆ
ตัวอย่ำงที่ 3 112 = 121

1012 = 10201
10012 = 1002001

ตัวอยำ่ งท่ี 4 222 = 484
2022 = 40804
20022 = 4008004

J.Preechawipas

~5~

ใบงานท่ี 1 เรอื่ งพาลนิ โดรม

1. จงวงกลมจานวนทเ่ี ปน็ พาลินโดรม

303 577 757 398 412 114

3393 3033 14241 3553 9888 4444

5995 5991 995 3974 2121 3878

4100 13931 2233 8800 676 4256

2. จงเตมิ คาตอบลงในชอ่ งว่างแลว้ สงั เกตผลลัพธ์ทไ่ี ดเ้ ป็นพาลินโดรมหรอื ไม่
1) 22 =…………………………………………………………………………………………………..……….
2) 32 =…………………………………………………………………………………………………..……….
3) 2022 =…………………………………………………………………………………………………..……….
4) 102 =…………………………………………………………………………………………………..……….
5) 1022 =…………………………………………………………………………………………………..……….
6) 3032 =…………………………………………………………………………………………………..……….
7) 1222 =…………………………………………………………………………………………………..……….
8) 112 =…………………………………………………………………………………………………..……….
9) 52 =…………………………………………………………………………………………………..……….
10) 4042 =…………………………………………………………………………………………………..……….

3. จงเขยี นพาลนิ โดรมท่มี ีสหี่ ลักต่อจากจานวนที่กาหนดให้ (เขียนมา 3 จานวน)
1111 …………………………………………………………………………………………………………………
2002 …………………………………………………………………………………………………………………
3223 …………………………………………………………………………………………………………………
7337 …………………………………………………………………………………………………………………

J.Preechawipas

~6~

4. ใหน้ กั เรยี นสร้ำงพำลนิ โดรมจำกตวั เลขทกี่ ำหนดให้ต่อไปน้ี
1) 31 2) 42

.......................................................................... ..........................................................................
.......................................................................... ..........................................................................
.......................................................................... ..........................................................................

3.).....7...1................................................................. 4) ..4...8.....................................................................
5........)........................................6................9................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 6) ................8........................2........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. .

7).....8...6................................................................. 8) 2..3...4....................................................................

. .
................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................
........................................................................... ...........................................................................
................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................
........................................................................... ...........................................................................

9....).........4.........7.......6................................................................................................................................................................................................. 10..)........9.........3......5.....................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................... ..........................................................................
.......................................................................... ..........................................................................
.......................................................................... ..........................................................................
.......................................................................... ..........................................................................
.......................................................................... ..........................................................................
.......................................................................... ..............................................J...P...r..e..e...c..h..a...w..i..p..a..s

~7~

2. ลำดบั ฟิโบนักชี (Fibonacci sequence)

ลีโอนำโด ฟโิ บนกั ซี (Leonado Fibonacci) อยู่ในประเทศอติ าลี ช่วง
ค.ศ. 1170 – 1240 เปน็ ผคู้ ิดคน้ ลาดบั ฟโิ ปนกั ชี เขาได้รับการศึกษาท่ีทางตอน
เหนอื ของแอฟริกาซ่งึ เป็นชว่ งท่ีเขาตดิ ตามบิดาซึ่งเปน็ พอ่ คา้ เดินทางไปทาการคา้
ฟิโบนักชีสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ เขาได้ทาการเขียนหนังสือและพิมพ์หนังสือคณิตศาสตร์ ซึ่งมี
เรื่องราวเกยี่ วกบั เรขาคณติ ซง่ึ มรี ากฐานมาจากยคู ลิด

ในปี คศ. 1202 เขาได้สนใจปัญหาท่ีน่าสนใจ และศึกษาความเป็นไปทางธรรมชาติ โดยต้ัง
โจทย์ปัญหาทส่ี มมติว่า มีกระต่ายท่ีเกิดใหม่หนง่ึ คู่ ตัวหนึ่งตัวผู้ อีกตัวหนึ่งตัวเมีย โดยนามาเลี้ยงไว้ใน
สนามท่ีมีร้ัวล้อมรอบ กระต่ายสามารถผสมพันธุ์และขยายพันธุ์หลังจากที่มีอายุได้หนึ่งเดือน เมื่อสิ้น
เดือนท่ีสอง กระต่ายตัวเมียให้ลูกออกมาหนงึ่ คู่ สมมุติว่ากระต่ายท่เี ลี้ยงไม่มกี ารตาย และกระต่ายตัว
เมียจะให้ลูกหน่ึงคู่ทุก ๆ เดือน โดยท่ีตัวหนึ่งเป็นตัวผู้อีกตัวหนึ่งเป็นตัวเมีย จะมีจานวนกระต่าย
ท้ังหมดกี่คู่ใน 1ปี และทุกๆเดือนจะมีกระต่ายเกิดข้ึนใหม่เท่ากับสองเดือนก่อนหน้านั้น เป็นเช่นน้ไี ป
เรอ่ื ยๆ

ผลลัพธ์
(1) เดือนที่ 1 มีกระตา่ ย 1 คู่
(2) เดอื นท่ี 2 มีกระตา่ ย 1 คู่
(3) เดือนท่ี 3 มีกระต่าย 2 คู่ (1+1)
(4) เดือนที่ 4 มีกระตา่ ย 3 คู่ (1+2)
(5) เดอื นที่ 5 มีกระต่าย 5 คู่ (2+3)
(6) เดือนที่ 6 มกี ระตา่ ย 8 คู่ (3+5)

ตัวเลขจานวนค่ขู องกระต่ายแต่ละเดือนเปน็ ดงั นี้
1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34,...
ลำดบั ตัวเลขดังกล่ำวเรยี กว่ำ “ลำดบั ฟโิ บนกั ชี”

J.Preechawipas

~8~

เมื่อพิจารณาจานวนท่ีเรยี งกนั ในลาดบั ฟิโบนกั ชี 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34,...
จะสงั เกตเหน็ แบบรปู ของจานวนได้ดังนี้

จานวนที่หน่ึง คือ 1
จานวนทส่ี อง คือ 1
จานวนทีส่ าม คือ 2 ซึ่งเทา่ กบั ผลบวกของจานวนทห่ี นง่ึ กบั จานวนท่สี อง
จานวนที่ส่ี คอื 3 ซงึ่ เทา่ กับผลบวกของจานวนทสี่ องกับจานวนทส่ี าม
จานวนทห่ี า้ คือ 5 ซง่ึ เทา่ กับผลบวกของจานวนทส่ี ามกับจานวนท่สี ี่
จานวนที่หก คอื 8 ซึ่งเทา่ กับผลบวกของจานวนที่ส่กี บั จานวนทหี่ า้
จานวนทเี่ จ็ด คือ 13 ซึ่งเท่ากับผลบวกของจานวนท่หี า้ กบั จานวนท่หี ก
นั่นคอื ถ้าให้ F(1) =1

F(2) =1
F(3) = F(1)+ F(2) = 1+1 =2
F(4) = F(2)+ F(3) = 1+2 =3
F(5) = F(3)+ F(4) = 2+3 =5
F(6) = F(4)+ F(5) = 3+5 =8
F(7) = F(5)+ F(6) = 5+8 =13
จานวนที่ n คอื ซึ่งเท่ากับผลบวกของจานวนท่ี n-2 กบั จานวนที่ n-1

ดงั นนั้ F(n)=F(n-2)+F(n-1)

ตวั อยำ่ ง ให้ F(n) เปน็ จำนวนที่ n ในลำดับฟิโบนกั ชี ให้ตอบคำถำมต่อไปน้ี

1. ถ้า F(12) = 144 และ F(13) = 233 จงหา F(14)
วิธีทา จาก F(14) = F(12)+ F(13)
= 144+233
= 377
ตอบ 377

2. ถ้า F32 = 2,178,309 และ F34 = 5,702,887 จงหา F33
วธิ ีทา จาก F34 = F32 + F33
F33 = F34 – F32
= 5,702,887 – 2,178,309
= 3,524,578
ตอบ 3,524,578

J.Preechawipas

~9~

ใบงานท่ี 2
เรอ่ื ง ลาดบั ฟโิ บนกั ชี

1. ใหน้ กั เรียนเขยี นลาดบั ฟิโบนกั ชี 20 จานวนตามลาดับ
ตอบ.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

2. ถา้ F(n) เปน็ จานวนท่ี n ในลาดับฟิโบนกั ชี ใหต้ อบคาถามตอ่ ไปน้ี
1) F(15) = 610 และ F(16) = 987 จงหา F(17)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
2) F(21) = 10,946 และ F(22) = 17,711 จงหา F(23)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
3) F(24) = 46,368 และ F(26) = 121,393 จงหา F(25)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
4) F(27) = 196,418 และ F(28) = 317,811 จงหา F(26)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
5) F(30) = 832,040 และ F(31) = 1,346,269 จงหา F(32)
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

J.Preechawipas

~ 10 ~

3. ให้ Fn แทนจานวนที่ n ในลาดบั ฟิโบนกั ชี
1) F8 =21, F9 =34 จงหา F10
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
2) F6 =8, F8 =21 จงหา F7
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
3) F11 =89, F12 =144 จงหา F9
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
4) F18 =2,584 F19 =4,181 จงหา F21
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
5) F22 =17,711, F23 =28,657 จงหา F20
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

4. ให้เติมรูปภาพต่อไปน้ีอกี 1รูป จากรูปทก่ี าหนดใหต้ ่อไปน้ี

J.Preechawipas

~ 11 ~

3. ข่ำยงำน (Network)

ขำ่ ยงำน คือ การลากเส้นเช่อื มระหว่างจุด โดยเมื่อลากเสน้ จากจุดหน่งึ ไปอีก
จุดหน่งึ แล้วจะลากเสน้ กลบั มาทบั เสน้ เดิมไม่ได้ แตส่ ามารถลากเส้นผา่ นจุดเดิมได้

พิจารณาลกั ษณะข่ายงานดังรปู

รปู ขา้ งต้นแสดงถึงขา่ ยงานอันหน่งึ ที่มีจดุ A , B , C และ D เปน็ จุดยอด (vertex) จุดยอด
เหล่านม้ี ีการเช่ือมระหว่างจุดด้วย เส้นเชอื่ ม (edge)

ในขา่ ยงานบางขา่ ยงาน เสน้ เชื่อมอาจเกดิ ทจ่ี ุดเดียวเรียกเส้นเชื่อมในลกั ษณะนีว้ า่ รูปบว่ ง
ตวั อยำ่ งรปู บว่ งท่ีจุด F

G

ในข่ายงานจะไมค่ านึงถงึ ระยะหา่ งระหว่างจุดยอด และเสน้ เชอ่ื มจะเปน็ เส้นแบบใดก็ได้ เรา
อาจเขยี นข่ายงานหนึ่งๆไดห้ ลายแบบ เช่น ขายงานท้ังส่ีเป็นข่ายงานเดยี วกัน

J.Preechawipas

~ 12 ~
ขา่ ยงานท่สี ามารถลากตามเส้นเชอื่ มทุกเสน้ ได้โดยตลอดอยา่ งตอ่ เนือ่ ง และไม่ซ้าเสน้ เดิม
เรยี กวา่ “ขา่ ยงานท่ผี ่านได้”
➢ ตัวอย่ำงข่ำยงำนทีผ่ ่ำนได้

รปู ก และ ข เปน็ ตัวอยา่ งข่ายงานท่ีผ่านได้ เพราะสามารถลากตามเสน้ เชอื่ มทุกเส้นไดโ้ ดย
ตลอดอยา่ งต่อเนอ่ื ง และไม่ซา้ เสน้ เดมิ
➢ ตัวอย่ำงข่ำยงำนที่ผ่ำนไม่ได้

รปู ค
รูป ค เปน็ ตวั อยา่ งข่ายงานท่ีผา่ นไมไ่ ด้ เพราะไม่สามารถลากตามเสน้ เชือ่ มทกุ เส้นไดโ้ ดยตลอด
อยา่ งตอ่ เน่ือง และไม่ซ้าเสน้ เดิม
การพิจารณาว่าขา่ ยงานท่กี าหนดให้เป็นขา่ ยงานท่ผี า่ นได้หรือไม่ นอกจากจะทาไดโ้ ดยการลอง
ลากเสน้ เชื่อมทุกเส้นตามเงื่อนไขแล้ว เพ่ือความสะดวกและรวดเร็ว เราสามารถพิจารณาจากจดุ ยอด
ของข่ายงานได้ด้วย

จดุ ยอดของขำ่ ยงำนมี 2 ชนิด คอื
1. จุดยอดค่ี หมายถึง จานวนเส้นเชอ่ื มทีม่ าพบกัน ณ จุดยอดนั้นเป็นจานวนคี่
2. จุดยอดคู่ หมายถึง จานวนเสน้ เช่ือมทมี่ าพบกัน ณ จุดยอดนั้นเปน็ จานวนคู่

ในกรณีทข่ี ่ายงานมีรูปบ่วง ให้นบั รูปบว่ งในแตล่ ะรปู เป็น 2 เส้นเชือ่ ม เชน่

ข่ายงานนี้มี 3 เสน้ เชื่อม
ดงั นั้น D เปน็ จุดยอดคี่

J.Preechawipas

~ 13 ~

ตวั อยำ่ ง รูปจดุ ยอดคี่

จุดยอด A เปน็ จดุ ยอดค่ี เพราะมีเส้นเชอ่ื ม จดุ ยอด B เป็นจดุ ยอดคี่ เพราะมีเสน้ เชื่อม
3 เส้น มาพบกันทจี่ ุดยอด A 3 เสน้ มาพบกนั ท่ีจุดยอด B

ตวั อย่ำง รปู จุดยอดคู่

จุดยอด C เป็นจุดยอดคู่ เพราะมีเส้นเช่ือม จุดยอด D เป็นจุดยอดค่ี เพราะมเี ส้นเชอ่ื ม
2 เส้น มาพบกันท่ีจดุ ยอด C 4 เสน้ มาพบกันทจี่ ดุ ยอด D

การพจิ ารณาว่าขา่ ยงานใดเป็นขา่ ยงานทผี่ ่านได้หรอื ไม่ ทาไดโ้ ดยการพจิ ารณาจุดยอดค่ีของข่ายงาน

ข่ำยงำน จะเปน็ ขำ่ ยงำนทผี่ ่ำนไดก้ ็ต่อเมอ่ื จำนวนของจดุ ยอดค่ใี นขำ่ ยงำนนั้นเป็น 0 หรือ 2

สะพำนท้งั เจ็ดแหง่ เมืองเคอนกิ ส์เบริ ก์
(Seven Bridges of Konigsberg)

ครสิ ต์ศตวรรษที่ 18 มีเมอื งๆหน่งึ ชื่อ เคอนิกส์เบริ ์ก ( Koningsberg ) ต้งั อยูบ่ นสองฝ่ังของแม่นา้
ปรีเกล ( Pregel ) ต่อมาเปล่ียนชื่อเป็นคาลินินกราด ( Kalininggrad ) อยู่ในสหภาพโซเวียต รัสเซีย
ทางด้านตะวันออก ปัจจุบันเมื่อสหภาพโซเวียตถูกแบ่งแยกแล้วเมืองนี้สังกัดอยู่กับสหพันธรัฐรัสเซีย
เมืองเคอนิกส์แบร์กประกอบด้วยเกาะ 2 เกาะ คือ เกาะ A และ เกาะ B ซึ่งเชื่อมระหว่างเกาะกับตัว
เมืองด้วยสะพาน 7 แหง่ เน่อื งจากชาวเมืองมีนิสยั ชอบเดินเลน่ จงึ ต้งั ปัญหาเกี่ยวกบั การเดนิ ข้นึ ว่า “
เป็นไปได้หรือไม่ที่คน คนหนึ่งจะเดินข้ามสะพานทั้ง 7 เพียงสะพานละหน่ึงคร้ัง โดยจะต้ังต้นที่ไหน
และจะส้นิ สุดทใี่ ดกไ็ ด้ ” นกั เรยี นคดิ วา่ ชาวเมืองชอื่ เคอนิกส์เบิร์กในอดีตสามารถเดนิ ทางผ่านสะพาน
ทัง้ เจด็ เพยี งสะพานละหนึง่ ครง้ั ได้หรอื ไม่

C

AB

D
J.Preechawipas

~ 14 ~
ใบงานที่ 3
เรอ่ื งขา่ ยงาน
จงตอบคำถำมตอ่ ไปน้ี
1. จงเขยี นขำ่ ยงำนทมี่ จี ุดยอด 2 จุดมำ 2 ข่ำยงำน

2. จงเขยี นขำ่ ยงำนที่มีจดุ ยอด 4 และ 5 จุดยอดมำอย่ำงละ 1 ข่ำยงำน

3. จงเขียนขำ่ ยงำนทร่ี ูปบ่วงในขำ่ ยงำนนน้ั มำ 1 ข่ำยงำน

J.Preechawipas

~ 15 ~ 3)
4. จงพจิ ำรณำจุดใดเปน็ จุดยอดค่ี และจดุ ใดเป็น จดุ ยอดคู่

1) 2)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

J.Preechawipas

~ 16 ~
5. จำกข่ำยงำนที่กำหนดใหใ้ ห้ตอบคำถำมตอ่ ไปน้ี
1)

จุดยอดค่ี ได้แก่จดุ …………………………………………
จุดยอดคู่ ได้แกจ่ ดุ ………………………………………….

2)
จุดยอดค่ี ได้แกจ่ ุด…………………………………………
จุดยอดคู่ ไดแ้ กจ่ ดุ ………………………………………….

3)
จดุ ยอดคี่ ไดแ้ ก่จดุ …………………………………………
จดุ ยอดคู่ ได้แกจ่ ุด………………………………………….

4)
จดุ ยอดคี่ ไดแ้ กจ่ ดุ …………………………………………
จุดยอดคู่ ไดแ้ ก่จุด………………………………………….

5)
จดุ ยอดค่ี ได้แก่จุด…………………………………………
จุดยอดคู่ ไดแ้ กจ่ ดุ ………………………………………….

J.Preechawipas

~ 17 ~

6. จงหำจำนวนจุดยอดคใ่ี นข่ำยงำน แล้วพจิ ำรณำวำ่ เป็นข่ำยงำนท่ผี ่ำนไดห้ รือไม่

ขำ่ ยงำน จำนวนจุดยอดค่ี ชนิดของข่ำยงำน

1)

2)

3)
4)

5)

J.Preechawipas

~ 18 ~

ขำ่ ยงำน จำนวนจุดยอดค่ี ชนิดของข่ำยงำน

6)

7)

8)

9)

J.Preechawipas

~ 19 ~

4. กำรประยุกต์ของเศษสว่ นและทศนิยม

ในเรอื่ งของการบวกและการลบเศษส่วนและทศนยิ ม เราสามารถนาความร้เู กี่ยวกับการใส่

วงเลบ็ และถอดวงล็บมาช่วยในการคานวณได้ ดงั ตัวอย่างตอ่ ไปนี้

➢ กำรใสว่ งเลบ็ เศษสว่ น 4 3 ถา้ มีเคร่ืองหมายลบอยหู่ นา้
7 7 วงเล็บให้เปล่ยี นเคร่อื งหมายที่
1. 1  5 4  3 = 1   5   อยู่ในวงเลบ็ เปน็ ตรงกนั ขา้ ม
4 7 7 = 4  

2. 1  5 4  3 1  5 4  3 
4 7 7 4  7 7 


3. 1  5 4  3 = 1   5 4  3 
4 7 7 4  7 7 
 

4. 1  5 4  3 = 1   5 4  3 
4 7 7 4  7 7 
 

➢ กำรถอดวงเล็บเศษสว่ น

1. 4   3 2 12  = 4  3 2  1 2
5 3 5  5 3 5
 

2. 4   3 2  12  = 4  3 2  1 2
5 3 5  5 3 5
 

3. 4   3 2  12  = 4  3 2  1 2
5  3 5  5 3 5
 

4. 4   3 2  12  = 4  3 2  1 2
5  3 5  5 3 5
 

➢ กำรใส่วงเล็บทศนิยม

1. 2.5 + 0.5 + 1.5 = 2.5 + (0.5 + 1.5)

2. 2.5 + 1.3 – 0.7 = 2.5 + (1.3 – 0.7)

3. 2.9 – 2.5 – 1.5 = 2.9 – (2.5 + 1.5)

4. 2.9 – 2.5 + 4.5 = 2.9 – (2.5 – 1.5)

➢ กำรถอดวงเล็บทศนิยม

1. 9.5 + (8.3 + 6.5) = 9.5 + 8.3 + 6.5

2. 9.5 + (8.3 – 6.5) = 9.5 + 8.3 – 6.5

3. 5.9 – (6.5 + 8.3) = 5.9 – 6.5 – 8.3

J.Preechawipas

~ 20 ~

4. 5.9 – (6.5 – 8.3) = 5.9 – 6.5 + 8.3

ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาผลลัพธ์   54 2   37 1
 3  6
 

วิธีทำ   54 2   37 1 =  54    2   37  1 
 3  6 3 6 
    



=  54 37    2   1
3 

6 

= (-17)   (-2)(2)  1


 6 
3
= (-17)    6 
 
1
= (-17)    2 
 
1
=  17 2

ตอบ  17 1
2

ตวั อยำ่ งที่ 2 จงหาผลลัพธ์  25 5  14   29 4
 7 25  5
 

วธิ ที ำ 25 5  14   29 4 = 25   5   14     29 4 
7 25  5 7 25   5 
     

=  25  14    5  14   ( 29)    4 
25  7 25 5
 


= 14  2   ( 29)    4 
5  5
 

= (14  29)   2  4 
 5 5 
2
= (15)    5 
 
2
=  15 5

J.Preechawipas

~ 21 ~

ตอบ  15 2
ตัวอยำ่ งที่ 5
3 จงหาผลลัพธ์ 48 x 7.5

วธิ ที ำ วิธที ่ี 1 48 x 7.5 = (24 x 2) x 7.5
= 24 x (2 x 7.5)
= 24 x 15
= 24 x (10 + 5)
= 240 + 120
= 360

ตอบ 360

วิธีทำ วธิ ที ่ี 2 48 x 7.5 = 48 x 71
ตอบ 360 2
= 1
48 x 7  2 
= 
=  1
= 2
(48 x 7) + 48  



336 + 24

360

******************************************************************************

J.Preechawipas

~ 22 ~

ตวั อย่ำงที่ 4 พลอยชมพูต้องกำรซือ้ ดินสอกด 18 แท่ง รำคำแท่งละ 27.50 บำท

และซ้อื สมดุ 36 เลม่ รำคำเลม่ ละ 24.50 บำท พลอยชมพตู ้องจ่ำยเงินเท่ำไร

วธิ ีที่ 1 พลอยชมพตู ้องการซ้ือดินสอกด 18 แท่ง ราคาแท่งละ 27.50 บาท

จะตอ้ งจ่ายเงนิ คา่ ดินสอกด 18 × 27.50 = (9 × 2) × 27.50

= 9 × (2 × 27.50)

= 9 × 55

= 9 × (50 + 5)

= 450 + 45

= 495 บาท

ซ้ือสมดุ 36 เล่ม ราคาเล่มละ 24.50 บาท

จะต้องจ่ายเงนิ คา่ สมุด 36 × 24.50 = (18 × 2) × 24.50

= 18 × (2 × 24.50)

= 18 × 49

= 18 × (40 + 9)

= 720 + 162

= 882 บาท

ดงั นน้ั พลอยชมพตู อ้ งจ่ายเงนิ 495 + 882 = 1,377 บาท

วิธีท่ี 2 พลอยชมพตู อ้ งการซ้ือดินสอกด 18 แทง่ ราคาแท่งละ 27.50 บาท
1
จะต้องจ่ายเงนิ คา่ ดินสอกด 18 × 27.50 = 18 × 27  2 

 1
2
= (18 × 27) + (18 × )

= 486 + 9

= 495 บาท

ซื้อสมุด 36 เลม่ ราคาเลม่ ละ 24.50 บาท 1
2
จะต้องจ่ายเงนิ คา่ สมุด 36 × 24.50 = 36 ×  24  

 1
2
= (36 × 24) + (36 × )

= 864 + 18

= 882 บาท

ดงั นน้ั พลอยชมพตู ้องจา่ ยเงิน 495 + 882 = 1,377 บาท

******************************************************************************

J.Preechawipas

~ 23 ~

ใบงานที่ 4
เรอ่ื งการประยกุ ตข์ องเศษสว่ นและทศนยิ ม

1. จงหำผลลัพธ์ต่อไปนี้

1) 16 4  51190 2)   27 3   13 9
5  7  14



……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
3……)…………1……9……12………………2……1……13………………2……5……41………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… …4…) …………2…3…17…0………3…6…15………2…0…21……………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

J.Preechawipas

~ 24 ~

5) 15 3  12   (19.75  26) 6) 3 2  7 1  8.5  4.25
5  5 2
 

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

7) 54.4  4    49.8  4  8)  49.3  2    45.8  2 
7   7  7 7
   
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

J.Preechawipas

~ 25 ~

9) 2 3  5 1  6.4  3.25 10) (24.25 x 0.46) + (2.25 x 0.46)
5 2
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

2) แมซ่ อ้ื ไขไ่ ก่ 24 ฟอง รำคำฟองละ 2.50 บำท ซื้อไข่เปด็ 36 ฟอง รำคำฟองละ 3.25 บำท
แม่ตอ้ งจำ่ ยเงนิ ค่ำไข่ไกท่ ้งั หมดเท่ำไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

J.Preechawipas

~ 26 ~

3) พลอยใสขับรถยนต์ไปหำเพื่อนท่บี ้ำน เขำเรม่ิ ออกเดนิ ทำงเมอ่ื เวลำ 9.15 น. หน้ำปดั แสดง
ระยะทำงในรถยนตป์ รำกฏตวั เลข 25,306.5 กโิ ลเมตร เขำขบั รถไปโดยไมไ่ ดแ้ วะที่ใดเลยและไปถงึ
บ้ำนของเพอื่ นเม่อื เวลำ 12.30 น. ตัวเลขแสดงระยะทำงที่หนำ้ ปดั ในรถยนตเ์ ปลยี่ นเปน็ 25,648.9
กิโลเมตร จงหำว่ำในกำรเดนิ ทำงคร้ังนี้ พลอยใสขับรถยนตโ์ ดยเฉล่ยี ชวั่ โมงละกกี่ ิโลเมตร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4) ทรำยขวัญซื้อปลำกระปอ๋ ง 9 กระปอ๋ ง กระปอ๋ งละ 12.50 บำท ซื้อนมขน้ หวำน 6 กระป๋อง
กระปอ๋ งละ 31.50 บำท ซ้ือผลไม้กระป๋อง 1 กระปอ๋ ง กระปอ๋ งละ 54 บำท ซอื้ น้ำตำลทรำย 5 ถงุ
ถุงละ 14.50 บำท และซอื้ น้ำหวำน 3 ขวด ขวดละ 28.50 บำท ทรำยขวัญมีเงินอยู่ 700 บำท
อยำกทรำบว่ำทรำยขวญั มีเงนิ พอท่จี ะจำ่ ยคำ่ สนิ ค้ำหรือไม่ ถำ้ มีเงนิ พอทรำยขวัญไดร้ ับเงินทอน
เท่ำไร ถ้ำมเี งนิ ไม่พอทรำยขวญั ยงั ขำดเงินอกี เทำ่ ไร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

J.Preechawipas

~ 27 ~

J.Preechawipas