BAB 7 KEL 7

MEKANIKA
MATERI BENDA TEGAR

Dosen Pengampuh :
Drs. Bambang S., M.Sc., M.C.E.
Lailatul N, S.Pd., M.Pd., CInR., M.C.E.

Disusun oleh

1. Mila Nurfaniyah (210210102061)

2. Febi Navila Ella F. (210210102071)

3. Salsabila Ariyanto (210210102072)

4. Siska Rima Sabila B. (210210102079)

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDKAN
PRODI PENDIDIKAN FISIKA
UNIVERSITAS JEMBER
2022

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah
melimpahkan rahmat, taufik, hidayah serta inayah-Nya, sehingga kami menyelesaikan tugas
Mekanika yang berjudul Bahan Ajar Mekanika Benda Tegar ini tepat pada waktunya.

Sholawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan kita Nabi besar
Muhammad SAW yang telah membimbing kita dari zaman jahiliyah menuju jalan yang terang
benderang yang diridhoi oleh allah SWT. Tidak lupa pula ucapan terima kasih kepada dosen
pengampu mata kuliah mekanika yang telah membimbing kami serta teman-teman yang telah
ikut bekerja sama dalam menyelesaikan bahan ajar ini dengan sebaik-baiknya.

Kami menyadari bahwa bahan ajar ini masih jauh dari kesempurnaan. Kami telah
berusaha semaksimal mungkin dalam menyusun tugas makalah yang sangat sederhana ini. Oleh
karena itu, kami sangat mengharapkan kritik, saran dan nasehat yang baik demi perbaikan tugas
bahan ajar ini kedepannya. Semoga makalah ini dapat berguna dan bermafaat untuk kita semua.

Jember, 24 November 2022

Penyusun

1

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ......................................................................................................................... 1
Daftar Isi.................................................................................................................................... 2
Momen Inersia .......................................................................................................................... 3

Momen Inersia Partikel........................................................................................................... 3
Momen Inersia Benda Tegar................................................................................................... 4
Momen Inersia Benda-Benda yang Bentuknya Beraturan...................................................... 4
Contoh Soal............................................................................................................................. 5
Momentum Sudut ..................................................................................................................... 6
Hukum Kekekalan Sudut ........................................................................................................ 7
Hukum Kekekalan Momentum............................................................................................... 7
Fektor Momentum Sudut ........................................................................................................ 7
Contoh Soal............................................................................................................................. 8
Teori Sumbu Sejajar ................................................................................................................ 8
Contoh Soal........................................................................................................................... 10
Persamaan Gerak Benda Tegar ............................................................................................ 10
Contoh Soal........................................................................................................................... 13
Persamaan Euler .................................................................................................................... 13
Contoh Soal......................................................................................................................14-16

2

1. MOMEN INERSIA
Pada gerak lurus pengaruh massa terhadap gerakan benda. Kemampuan suatu

benda mempertahankan kecepatannya disebut dengan massa. Pada gerak rotasi, massa
benda tegar sering disebut dengan momen inersia. Momen inersia pada gerak rotasi
artinya ukuran dari benda untuk mempertahankan kecepatan sudut. Benda yang
mempunyai momen inersia semakin besar maka benda akan berotasi, sedangkan benda
yang berotasi akan sulit untuk berhenti saat momen inersia didalamnya besar.

Momen Inersia Partikel

Gambar 1.1 Sebuah partikel yang memerlukan gerak rotasi

Sebuah partikel bermassa m yang dikenai gaya F maka akan melakukan gerak
rotasi terhadap sumbu O. Jarak antara O dengan m merupakan r. Awalnya partikel
diam atau kecepatannya sama dengan 0, namun setelah diberi gaya F maka partikel
akan bergerak dengan kecepatan linear tertentu. Pada hal ini benda mengalami sebuah
percepatan tangensial. Percepatan tangensial merupakan percepatan linear partikel saat
berotasi. Hubungan antara F, m, dan percepatan tangensial (at) dengan persamaan
Hukum II Newton adalah

=
Persamaan hubungan antara atan dengan percepatan sudut :

= .
Memasukkan persamaan dalam persamaan pertama :

=

Dikalikan antara ruas kiri dan kanan dengan r :

= ( )

= ²

rF = τ, jadi persamaannya :

= ²

3

Jadi momen inersia adalah hasil kali dari massa partikel (m) dengan r². Maka
secara umum dapat dituliskan :

= ²

Momen Inersia Benda Tegar
Momen inesia pada setiap benda tegar dapat dinyatakan sebagai persamaan

berikut :
I = ∑ mr²

I = mr12 + mr22 + mr32 + ⋯ mrn²
∑ = jumlah

Momen Inersia Benda-Benda yang Bentuknya Bearturan

Momen inersia pada lingkaran tipis yang berotasi dapat diturukan menjadi :
= (r12 + r22 + r32 + ⋯ + rn2

Jumlah massa partikel (m) = massa benda (M)
Pada setiap partikel di lingkaran tipis berada di jarak r dari sumbu rotasi, maka :

r1= r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = R
I = MR²

4

Contoh Soal :
Terdapat 4 partikel yang masing-masingnya mempunyai massa 4 kg dihubungkan
dengan batang kayu dan berbentuk segi empat. Tentukan momen inersia gabungan 4
partikel, apabila berotasi terhadap sumbu seperti gambar (massa kayu diabaikan).

Jawab:
Masing-masing partikel dari sumbu mempunyai rotasi yang sama (rA= rB = rC = rD = 1
meter) dan jarak AC = BD = 4 meter.

5

I = mr²
I = (4 kg)(1 m)²
I = 4 kg. m²
IA= IB = IC = ID = I, maka momen inersia total :
I = 4(I)
I = 4(2 kg. m²)
I = 8 kg. m²

2. MOMENTUM SUDUT

Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu tetap adalah

hasil kali dari momen inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi

tersebut.

⃗ = I ⃗

dengan: I = momen inersia (kgm2)

= kecepatan sudut (rad/s)

L = momentum sudut (kgm2/s)

Demikian juga dengan torsi (Hk.II Newton untuk gerak rotasi) :

= ⃗ = ( ⃗⃗⃗ ) = I ⃗⃗ ⃗ = I∝⃗⃗


L = I

• Jika ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan kekal
Untuk gerak linear sistem partikel berlaku

= Momentum kekal jika
= 0

Bagaimana dengan gerak rotasi ?

Untuk rotasi, analog gaya F adalah torsi = ×

Analog momentum p adalah L=r×p

6

Hukum Kekekalan Momentum Sudut

= dimana L = r × p dan = ×


• Jika torsi resultan = nol, maka = = 0


Hukum kekekalam momentum sudut

I1 = I2

Hukum Kekekalan Momentum
Linear :

o Jika ∑F = 0, maka p konstan
Rotasi :

o Jika ∑ = 0, maka L konstan

Vektor Momentum Sudut
▪ Momentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu tetap didefinisikan
sebagai berikut:
⃗ = ⃗ × ⃗ = m( ⃗ × ⃗ )

▪ Perubahan momentu sudut terhadap waktu diberikan oleh:
= (r × p)



7

(r × p) = ( × p) + (r × )


= ( V × Mv)
= 0
Jadi = r × ingat =

= r × = r ×



Akhirnya diperoleh: =


Analog dengan =


Contoh soal:
Sebuah partikel bermassa 0,2 gram bergerak melingkar dengan kecepatan sudut tetap
10 rad/s. Jika jari-jari lintasan partikel 3 cm, momentum sudut partikel itu
adalah....(massa partikel 200 gr)
Jawab:
Diketahui: m = 2.10-4 kg

= 10 rad/s
= 3.10-2 m
Ditanya: L
Penyelesaian:
L = I
= mr2
= (2.10-4)(9.10-4)10
= 18.10-8.10 = 18.10-7= 1,8.10-6 kgm2/s

3. TEORI SUMBU SEJAJAR
Jika sumbu putar tidak terletak pada pusat massa, tapi sejajar dengan sumbu

melalui pusat massa, maka momen inersia terhadap sumbu tersebut dapat dihitung.
Dengan memisalkan Titik 0 adalah pusat massa dan P adalah titik yang berjarak a dari
pusat massa. Buat sumbu putar melalui P dan sejajar dengan sumbu putar melalui O.

8

pilih dm yang berjarak R dari pusat massa O dan r dari P maka :
2 = 2 + 2
= ∫ 2.

= ∫ . ( 2 + 2 − 2 )

= ∫ 2 + ∫ 2 − ∫ 2

= + . 2 − ∫ 2
jika O memounyai koordinat (0,0,0) maka R cos θ adalah absis dari dm, jika OP = sumbu X ,
maka :

∫ 2 = 2 ∫ .
= 0


= ∫ ∫ = 0
Maka :
∫ = 0
Sehingga :
2 = 0
Momen inersianya :
= + . 2
Keterangan :
= momen inersia pada sumbu rotasi yang baru (kg 2)
= momen inersia yang sumbu rotasinya di pusat massa (kg 2)
m = massa benda (kg)
a = jarak dari pusat massa ke sumbu rotasi yang baru (m)

9

Contoh soal :

1. Batang silinder yang memiliki massa M dn panjang L diputar melalui sumbu pusat massa.

Inersia batang silinder dipusat massa adalah 1/12 ML2, jika sumbu putar diubah ke jarak ¼

L dari titik tepi. Tentukan momen inersia akhir dari batang silinder tersebut!

Penyelesaian :

Deketahui :

= 1/12 ML2

d=¼L

Ditanya :

I=?

Jawab :

Menggunakan persamaan

= + 2
= 1/12 2 + 2

= 1/12 2 + (1/4 )2

= 1/12 2 + 1/16 2

= 7/48 2

4. PERSAMAAN GERAK BENDA TEGAR

Partikel bermassa mk yang berada di Rk (Xk, Yk, Zk) terhadap titik asal, bergerak

dengan kecepatan vk dan kecepata anguler . Lintasan gerak partikel berbentuk
lingkaran jari-jari rk = (Xk2+yk2)1/2 yang pusatnya berada pada sumbu Z seperti pada

gambar dibawah ini

(a) terlihat dari samping (b) terlihat dari atas

10

.Untuk benda tegar, Ψ adalah konstan jadi ϕ = + Ψ dan
̇ = ̇ =

Sedangkan

Vk = rk

Atau dalam notasi vector

vk = ω rk

berdasarkan persamaan diatas, maka

ẋDk = k sin = -ω k………..(3)
ẏk = νk cos = ω xk

Żk = 0

Dan

k = rk ω = ( 2 + 2 )½

Untuk perhitungan selanjutnya, dapat digunakan koordinat kartesien ( , , ) atau
koordinat silinder ( , , ). Energy kinetic K karena adanya gerak rotasi disekitar sumbu
Z adalah

K = ∑ 1 k 2 =12 ∑ k 2 2
2

Atau

K = 1 IZ 2= 1 IZ ²̇
2 2

Dengan

I2 =∑ k 2 = ∑ k ( 2 + 2 )

11

Kuantitas I2 adalah konstan untuk setiap benda tegar yang berotasi di sekitar sumbu
putar dan dinamakan dengan momen inersia. Benda tegar dalam keadaan continue
sehingga tanda sumasi dapat diganti dengan tanda integral;

I2 = ∭ 2 = ∭ 2⍴

Momentum anguler disekitar sumbu Z adalah

L=∑ k (mk+ k) = (∑ 2 )

Atau

L= I = I ̇

Perubahan momentum angular total terhadap waktu suatu system sama dengan torka
eksternal total (momen gaya total) yang disimpulkan dengan . Jadi untuk benda teger
yang berotasi disekitarsumbu Z dengan torka I konstan ;

τz = = I = I ̈


Persamaan diatas merupakan persamaan gerak rotasi benda disekitar sumbu putar dan
bentuknya identic dengan persamaan gerak translasi suatu partikel yang bergerak di
sepanjang garis lurus (Hk. Newton II). Aanlogi antara gerak rotasi dengan gerak rotasi
selengkapnya dapat dilihat pada tabel dibawah ini

12

Contoh soal :
1. Salah satu ujung sebuah jungkat-jungkit dinaiki anak yang beratnya 25 kg. Ujung

satunya dinaiki anak yang beratnya 30 kg. Jarak masing-masing anak dari titik tumpu
adalah 1 m dan 0,5 m. Berapa torsi masing masing, dan berapa torsi totalnya? Ke
mana arah putaran batang ?

Penyelesaian
Arah gaya dan sumbu rotasi membentuk sudut siku-siku (900), sehingga nilai sin θ = sin
900 = 1. Jika kita misalkan massa 25 kg mengakibatkan torsi 1 dan massa 30 kg
menyebabkan torsi 2 maka:
τ1 = r1.F1.sin θ

= r1.(m1.g).1
= (1 m)(25 kg)(9,8 m/det2)
= 245Nm
τ2 = r2.F2.sin θ
= r2.(m2.g).1
= (0,5 m)(30 kg)(9,8 m/det2)
=147Nm
Torsi satu membuat jungkat jungkit bergerak searah arah jarum jam, torsi kedua
membuat jungkat jungkit bergerak berlawanan arah jarum jam. Besar torsi total adalah:
τ1– τ2 =245 – 147

13

= 98 Nm, arah putaran searah jarum jam

5. PERSAMAAN EULER

I = x2 F(x, y, y′)dx, dengan y′ = dy
dx
∫

x1

Menentukan y(x) agar I stationer (ekstrem, mminimum, atau maksimum). Definisi dari
Y(x) :

( ) = ( )+ ∈ ( )

Dengan y(x) merupakan nilai ekstrem yang dicari, merupakan sebuah parameter dan
( ) sebagai fungsi dari x, nilai nol pada x1 dan x2 , diperoleh :

′( ) = ′( )+ ∈ ′( )

Apabila = 0, maka Y(x) = y(x) dan persamaannya menjadi :

x2

I(ϵ) = ∫ F(x, Y, Y′)dx

x1

I(ϵ) minimum apabila = 0 atau ditulis :

( )
= 0

Mengingat bahwa Y dan ′ sebagai fungsi dari , diferensial I(ϵ) terhadap ϵ yaitu :

x2 ′
= ∫ ( + ′ ) dx

x1

Substitusi Y dan Y’ diperoleh :

x2
( ) =0 = ∫ ( − ′) ( ) = 0

x1

Karena ( ) sembarang maka pernyataan ( − ′) harus sama dengan nol.



Atau


′ − = 0

Contoh Soal :

1. Tuliskan dan pecahkan persamaan Euler yang membuat integral berikut

14

2

∫ √1 + ′²

1

Jawab :

Menyederhanakan

2

∫ √1 + ′²

1

= √1 + ′², maka

= ′ dan
′ √1+ ′²


= 0

Persamaan Euler


( ′ − = 0)

memberikan

′
( ) = 0
√1 + ′²

Integrasi terhadap x, maka :

′
=0

√1 + ′²

atau ′ = konstan.

Jadi y(x) adalah konstan sehingga y(x) adalah berupa sebuah garis lurus sebagaimana
yang diinginkan.

2. Tentukan lintasan yang diikuti oleh seberkas cahaya jika indeks biasnya (dalam
koordinat polar) sebanding dengan r-2

Jawab :

∫ −2 = ∫ −2√ 2 + 2 2 = ∫ −2√1 + 2 ′2 dr.

= r-2√1 + 2 ′2 , maka

1 2(1 + 2 ′2)−21(2 2 2) = −2 2 ′ ′
′ = 2 = √1 + 2 ′2

√1 + 2 ′2

dan

15


= 0

Persamaan Euler


( ′) − = 0

diperoleh

′
( ) = 0
√1 + 2 ′2

atau
′
= =

√1 + 2 ′2
Pemecahan untuk ′dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan, diperoleh

′ = 2(1 + 2 ′2) = 2 + 2 2 ′2 sehingga ′(1 − 2 2) = 2

′ =
= √1 − 2 2

Integrasi terhadap r diperoleh

= sin +

16