7.Μεθοδολογία_kinimatiki

KINHMATIKH

Ταξινόμηση των ασκήσεων – Κυριότερες κατηγορίες

1) Ασκήσεις εφαρμογής των εξισώσεων κίνησης

α) Προσδιορίζουμε το είδος της κίνησης από την εκφώνηση του προβλήματος και εφαρμόζουμε τις
αντίστοιχες εξισώσεις της θεωρίας, όπου αντικαθιστούμε τα δεδομένα και βρίσκουμε τα ζητούμενα,
π.χ. να βρούμε την ταχύτητα (υ), την θέση ( x ), το διάστημα (s) ενός κινητού ή την χρονική στιγμή (t)
που τα μεγέθη αυτά παίρνουν κάποιες συγκεκριμένες τιμές.
Πάντα κατασκευάζουμε ένα σχήμα όπου απεικονίζονται οι κινήσεις που περιγράφονται στο πρόβλημα
και σημειώνουμε σε αυτό, με σύμβολα, όλα τα μεγέθη που δίνονται ή ζητούνται.
β) Πολλές φορές μας δίνουν μια εξίσωση και μας ζητούν να βγάλουμε συμπεράσματα για το είδος της
κίνησης ή
γ) μας ζητούν να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα διαγράμματα της κάθε κίνησης.

1ο παράδειγμα

Η θέση ενός σώματος, που κινείται ευθύγραμμα, δίνεται σε κάθε χρονική στιγμή από την εξίσωση
x=10 + 5t (x σε m & t σε sec με t0 = 0).
α) Τι είδους κίνηση εκτελεί το σώμα;
β) Ποια είναι η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος;
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t1 = 2 s.
δ) Να γίνει το διάγραμμα της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο (x-t).
Λύση:

α) Συγκρίνοντας την εξίσωση x=10 + 5t με την αντίστοιχη της θεωρίας: x = x0 + υt προκύπτει ότι η
κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη ομαλή με υ = 5 m/s = σταθερή και αρχική θέση x0 = 10m.
β) Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος είναι υ = +5 m/s > 0, δηλαδή το σώμα κινείται προς
τα θετικά του άξονα.
γ) x=10 + 5t1  x = 10 +5·2  x = 20 m.
δ) To ζητούμενο διάγραμμα x – t είναι το παρακάτω:

x (m)
20

10

0 2 t (s)

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 1 http://vmarousis.blogspot.com

2) Ασκήσεις με διαγράμματα (γραφικές παραστάσεις)

α) Στις περιπτώσεις αυτές μας ζητούν από ένα διάγραμμα (x-t) να κατασκευάσουμε το αντίστοιχο
διάγραμμα (υ-t) και το αντίστροφο, ή από ένα διάγραμμα (α-t) να κατασκευάσουμε τα προηγούμενα
διαγράμματα.
β) Μας δίνουν κάποιο διάγραμμα και μας ζητούν να βρούμε τα είδη των κινήσεων.
γ) Μας δίνουν τα διαγράμματα δύο κινητών και μας ζητούν τα είδη των κινήσεων, ή τη χρονική
στιγμή που συναντιούνται τα δύο κινητά και άλλα ζητούμενα.
Προσοχή στην περίπτωση αυτή (Νο 2) αλλά και στην παρακάτω (Νο 3) επειδή έχουμε διαδοχικές
κινήσεις καλό είναι στους τύπους της θεωρίας να βάζουμε στη θέση του t το Δt δηλαδή τη
χρονική διάρκεια της κάθε κίνησης ξεχωριστά !!!!

2ο παράδειγμα

Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ταχύτητα ενός κινητού σε συνάρτηση με το
χρόνο.
α. Να προσδιοριστούν οι κινήσεις.
β. Να βρεθεί η επιτάχυνση και η μετατόπιση σε κάθε κίνηση.
γ. Να γίνουν τα διαγράμματα α-t, x-t.

Λύση:

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 2 http://vmarousis.blogspot.com

3) Ασκήσεις όπου ένα κινητό εκτελεί διαδοχικά, δύο ή περισσότερα είδη κινήσεων

3ο παράδειγμα
Ένα κινητό ξεκινάει απ’ την ηρεμία την t0 = 2s και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση
α = 3m/s2 μέχρις ότου αποκτήσει ταχύτητα υ = 30m/s. Στη συνέχεια εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή
κίνηση. Να βρεθούν:
α. Σε πόσο χρόνο θα καλύψει απόσταση 350m;
β. Να γίνουν τα διαγράμματα α-t, υ-t, x-t αν την t0 = 2s είναι x0 = 0m.
Λύση:

Κάνουμε το κατάλληλο σχήμα όπου σημειώνουμε
στις θέσεις όπου αλλάζει το είδος της κίνησης, τις
ταχύτητες, τις επιταχύνσεις και τις μετατοπίσεις.
Για κάθε είδος κίνησης γράφουμε τις εξισώσεις της
θεωρίας και προχωράμε στα ερωτήματα.

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 3 http://vmarousis.blogspot.com

Προσέξτε ότι όλες οι γραφικές παραστάσεις ξεκινούν από την t0 = 2s και μετά και σε κάθε κίνηση
προσθέτουμε τη χρονική της διάρκεια Δt !!!

4ο παράδειγμα

Ένα κινητό ξεκινάει απ’ την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση α1 = 4m/s2 για χρόνο 10s. Στη
συνέχεια κάνει επιβραδυνόμενη κίνηση με σταθερή επιβράδυνση α2 = 5m/s2.
Να βρεθούν:
α. ο ολικός χρόνος της κίνησης.
β. η συνολική μετατόπιση.
γ. η μέση ταχύτητα σ’ όλη τη διάρκεια της κίνησής του.
δ. να γίνουν τα διαγράμματα α-t, υ-t, x-t.

Λύση:

Κάνουμε το κατάλληλο σχήμα όπου σημειώνουμε
στις θέσεις που αλλάζει το είδος της κίνησης τις
ταχύτητες, τις επιταχύνσεις και τις μετατοπίσεις. Για
κάθε είδος κίνησης γράφουμε τις εξισώσεις της
θεωρίας και προχωράμε στα ερωτήματα.

Έτσι έχουμε:

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 4 http://vmarousis.blogspot.com

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 5 http://vmarousis.blogspot.com

4) Ασκήσεις όπου δύο κινητά εκτελούν το ίδιο ή διαφορετικά είδη κίνησης – συνάντηση δύο κινητών.

5ο παράδειγμα
Δύο αυτοκίνητα ξεκινάνε ταυτόχρονα (t=0) από τα σημεία A και B μιας ευθύγραμμης διαδρομής
κινούμενα αντίθετα με σταθερές ταχύτητες υ1 = 36 km/h και υ2 = 54 km/h αντίστοιχα.
α. Να βρεθεί μετά από πόσο χρόνο και σε ποιο σημείο θα συναντηθούν τα αυτοκίνητα, αν είναι
AB = 1 km.
β. Να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας χρόνου και διαστήματος χρόνου και για τα δύο κινητά σε
κοινά συστήματα αξόνων.
γ. Να γίνουν τα διαγράμματα μετατόπισης χρόνου και θέσης χρόνου, για τα δύο κινητά σε κοινά
συστήματα αξόνων, θεωρώντας ότι το σημείο Α βρίσκεται στην αρχή των αξόνων.
Λύση:

α. Πρόκειται για μία άσκηση συνάντησης, δηλαδή θα πρέπει τα δύο κινητά να βρεθούν στο ίδιο
σημείο την ίδια χρονική στιγμή.
Μπορούμε την άσκηση να την λύσουμε με διαστήματα και με εξισώσεις κίνησης.
1oς τρόπος: Αρχικά θα χρησιμοποιήσουμε τα διαστήματα.
Θα μετατρέψουμε τις ταχύτητες από km/h σε m/s

1  36Km  36000m  10m / s
h 3600s

2  54Km  54000m  15m / s
h 3600s

Έστω ότι θα συναντηθούν στο σημείο Γ τη χρονική στιγμή t μετά την t=0 όπως φαίνεται στο

παρακάτω σχήμα:

Η απόσταση είναι d = (ΑΒ) = 1 km  d = 1000 m.
Σύμφωνα με το σχήμα έχουμε:

s1 + s2 = d  υ1t + υ2t = d  t(υ1 + υ2) = d 

t d 
1  2

 t  1000  t  40s.
10  15

Το διάστημα που διανύει το κινητό Α είναι: s1 = υ1t  s1 = 400 m
και το δεύτερο κινητό s2 = d – s1  s2 = 600 m.
Δηλαδή συναντώνται σε θέση που απέχει 400 m από το Α ή 600 m από το Β.

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 6 http://vmarousis.blogspot.com

2oς τρόπος: Η λύση με τις εξισώσεις θέσης (δηλαδή με τη χρήση προσανατολισμένου άξονα Οx)
Η εξίσωση θέσης στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση έχει τη μορφή x = x0 + υ·t όπου x0 και υ0 οι
αλγεβρικές τιμές των μεγεθών.

Για το κινητό που βρίσκεται στη θέση Α έχουμε: x0A = 0 και υA = +10 m/s, ενώ
για το κινητό που βρίσκεται στη θέση Β έχουμε: x0Β = 1000 m και υB = –15 m/s,
Άρα xA = x0A + υΑt  xA = 0 + 10t  xA = 10t (S.I) και

xΒ = x0Β – |υΒ|t  xΒ = – 15t  xΒ = 1000 - 15t (S.I)
Συνάντηση έχουμε όταν τα δύο σώματα βρεθούν στην ίδια θέση την ίδια χρονική στιγμή, άρα:
x A = x B  10t = 1000 – 15t  25t = 1000  t = 40s
και για τις θέσεις έχουμε: xA = 10·40  xA = 400 m = xB
β. Θεωρώντας την φορά προς τα δεξιά ως θετική, προκύπτει ότι η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας είναι

αρνητική έτσι τα ζητούμενα διαγράμματα είναι:

γ. Τα διαγράμματα της μετατόπισης και της θέσης είναι:

Μπορείτε να καταλάβετε τη διαφορά; x = θέση, Δx = μετατόπιση, s = διάστημα !!!!!!!!!!

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 7 http://vmarousis.blogspot.com

Και άλλες παρατηρήσεις για τη λύση των ασκήσεων

Ευθύγραμμη Ομαλή κίνηση (ΕΟΚ)

i) Στις εξισώσεις κίνησης της ΕΟΚ: x= xο+υ(t-to), x = xο+υt, x = υt και Δx = υΔt τα μεγέθη x, xο, Δx
και υ είναι αλγεβρικά. Έτσι:
α) Η συντεταγμένη θέσης x και η συντεταγμένη θέσης xο τη χρονική στιγμή to=0 έχουν θετικές τιμές,
όταν το κινητό βρίσκεται στο θετικό ημιάξονα, και αρνητικές τιμές όταν βρίσκεται στον αρνητικό
ημιάξονα.
β) Η ταχύτητα υ έχει θετική τιμή, όταν το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και αρνητική τιμή,
όταν κινείται κατά την αρνητική φορά.

ii) Έστω ότι η κίνηση ενός κινητού είναι ευθύγραμμη και περιγράφεται από την εξίσωση
x = 3 - 6t (S.I.). Τότε:

α) Προκύπτει ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή γιατί η εξίσωση x = f(t) είναι πρωτοβάθμια.
β) Συγκρίνοντας την εξίσωση αυτή με την αντίστοιχη της θεωρίας έχουμε:

x =3 - 6t  xο=3 m και υ = - 6 m/s
x=xο+υt

iii) Από ένα διάγραμμα υ-t μπορώ να πάρω πληροφορίες για:
a) την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας υ του κινητού οποιαδήποτε χρονική στιγμή t,
b) την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης Δx σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα Δt (εμβαδό),
c) το διάστημα S που διάνυσε το κινητό σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα Δt.

iv) Από ένα διάγραμμα θέσης – χρόνου (x-t) μπορώ να πάρω πληροφορίες για:
a) τη θέση x του κινητού σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή,
b) την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης Δx του κινητού σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα Δt.
c) την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας υ του κινητού σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή.

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 8 http://vmarousis.blogspot.com

x (m) 4 6 t (s)
8

4
02
-4

Παράδειγμα: Από το διάγραμμα του παραπάνω σχήματος, το οποίο αναφέρεται σε σημειακό
αντικείμενο που κινείται ευθύγραμμα, προκύπτει ότι:
 Πρόκειται για διάγραμμα θέσης – χρόνου (x - t).

 Επειδή η γραφική παράσταση είναι ευθεία, η σχέση των x και t είναι πρωτοβάθμια, άρα η κίνηση
είναι ευθύγραμμη ομαλή (υ=σταθ.).

 Η κίνηση τελειώνει τη χρονική στιγμή t = 6 sec. Άρα, η χρονική διάρκεια της κίνησης είναι
Δt = t – to = 6s – 0 = 6s.

 Σε χρονική διάρκεια Δt = 6 s, το κινητό μετατοπίζεται από τη θέση xο = - 4 m στη θέση x = 8 m.
Άρα η μετατόπισή του είναι Δx = x – xο = 8m – (– 4m)  Δx = 12 m.

 Τη χρονική στιγμή t = 2 s το αντικείμενο διέρχεται από τη θέση x = 0.

 Από τη στιγμή t = 0 μέχρι τη στιγμή t = 2 s είναι x < 0, δηλαδή το αντικείμενο κινείται στον
αρνητικό ημιάξονα, Από τη χρονική στιγμή t = 2 s μέχρι τη στιγμή t = 6 s είναι x > 0, δηλαδή το
κινητό κινείται στο θετικό ημιάξονα.

 Η σταθερή ταχύτητα του σημειακού αντικειμένου είναι: υ = Δx /Δt  υ = 12m/ 6s  υ = 2m/s .
Επειδή είναι υ > 0, σε όλη τη διάρκεια της κίνησης κινείται προς τα θετικά του άξονα των x.

v) Αν μια ευθύγραμμη κίνηση αποτελείται από διαδοχικές κινήσεις τότε:
 Η συνολική μετατόπιση του κινητού έχει αλγεβρική τιμή Δx = Δx1 + Δx2 + Δx3 +
 Το συνολικό διάστημα που διάνυσε το κινητό είναι: Sολ = Δx1  Δx2  Δx3 

vi) Όταν δύο κινητά συναντιούνται κάποια χρονική στιγμή t, τότε έχουν την ίδια θέση:
x1 = x2 = x , όταν αυτές αναφέρονται στο ίδιο σύστημα αναφοράς.

vii) Η έκφραση, να βρεθεί η μετατόπιση κατά τη διάρκεια του 4ου ( του νου) sec της κίνησης

σημαίνει: χρονική διάρκεια Δt = 4 – 3 = 1 sec, δηλαδή αναφέρεται σε χρονική διάρκεια από το
τέλος του 3ου , μέχρι και το τέλος του 4ου sec.

viii) H μέση (αριθμητική) ταχύτητα ενός κινητού υπολογίζεται αν διαιρέσουμε το ολικό διάστημα με τον
ολικό χρόνο της κίνησης, έστω και αν κάποια στιγμή το κινητό ήταν ακίνητο: υμ = Sολ/ tολ και έχει
νόημα σε κινήσεις όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται.

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 9 http://vmarousis.blogspot.com

Ευθύγραμμη Ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση (ΕΟΕπιταχ – ΕΟΕπιβρ)

i) Κατά την εφαρμογή της σχέσης υ = υο  αt, η ταχύτητα υ είναι αυτή που αποκτά το κινητό στο
τέλος της χρονικής διάρκειας Δt = t – 0 = t και υο είναι η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t = 0. Έτσι

αν σε ένα πρόβλημα μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε την ταχύτητα ή το διάστημα σε κάποια

συγκεκριμένη χρονική διάρκεια π.χ. μεταξύ του 5ου και του 7ου sec της κίνησης, η παραπάνω σχέση

θα γραφεί: υ7 = υ5  α(t7-t5) και το αντίστοιχο διάστημα: S5,7 = υ5(t7-t5)  ½ α(t7-t5)2. Γι’ αυτό καλό
είναι στις σχέσεις αυτές να βάζουμε Δt αντί σκέτου t:

υ = υο + αΔt και Δx = υο Δt + 1 αΔt2
2

ii) Όταν σε μια ευθύγραμμη κίνηση δίνεται μια σχέση της μορφής υ = -10 + 2t (S.I.) τότε

συγκρίνοντάς την με την αντίστοιχη σχέση της θεωρίας υ = υο + αt προκύπτουν τα εξής

συμπεράσματα:

α) Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη.

β) Η αρχική ταχύτητα του κινητού έχει αλγεβρική τιμή υο = - 10m/s.
γ) Η επιτάχυνση του κινητού έχει αλγεβρική τιμή α = 2m/s2.

δ) Επειδή υ0  α, η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη προς τα αρνητικά του
άξονα (υ0 < 0).

iii) Όταν σε μια ευθύγραμμη κίνηση δίνεται μια σχέση της μορφής x = 2t – 6t2 (S.I.), τότε
συγκρίνοντάς την με την αντίστοιχη σχέση της θεωρίας x = υοt + ½ αt2 προκύπτουν τα εξής
συμπεράσματα:

α) Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη.
β) Η αρχική του ταχύτητα έχει αλγεβρική τιμή υο = 2m/s.
γ) Η επιτάχυνση του κινητού έχει αλγεβρική τιμή α = -3m/s2.
δ) Επειδή υ0  α, η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη προς τα θετικά του άξονα

(υ0 > 0).

iv) Από τα διαγράμματα x – t, υ – t, και α – t, μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες για :

Διάγραμμα x – t :
α) τη θέση x για κάθε χρονική στιγμή με απ` ευθείας ανάγνωση,
β) την ταχύτητα υ κάθε χρονική στιγμή από την κλίση της γραφικής παράστασης,

Διάγραμμα υ – t :
α) την ταχύτητα υ κάθε χρονική στιγμή με απ` ευθείας ανάγνωση,
β) την επιτάχυνση α κάθε χρονική στιγμή από την κλίση της γραφικής παράστασης,
γ) την μετατόπιση Δx από το εμβαδόν μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα των
χρόνων.

Διάγραμμα α – t :
α) την επιτάχυνση α κάθε χρονική στιγμή με απ` ευθείας ανάγνωση,
β) τη μεταβολή της ταχύτητας Δυ από το εμβαδόν μεταξύ της γραφικής παράστασης και του
άξονα των χρόνων.
v) Από τις σχέσεις: υ = υο  αt και Δx = υοt  ½ αt2 με απαλοιφή του χρόνου t, προκύπτει μια
σχέση που συνδέει την ταχύτητα υ που αποκτά ένα κινητό, όταν αυτό έχει μετατοπιστεί κατά Δx η

οποία πρέπει να αποδεικνύεται:   2  2   x

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 10 http://vmarousis.blogspot.com

Διαδοχικές κινήσεις
i. Κατασκευάζουμε κατάλληλο σχήμα, τοποθετώντας το κινητό στις θέσεις και τις αντίστοιχες

χρονικές στιγμές στις οποίες αλλάζει η κίνηση τοποθετώντας με σύμβολα όλα τα δεδομένα του
προβλήματος πάνω στο σχήμα.

ii. Αναγνωρίζουμε τα είδη των κινήσεων, χωρίζοντας τη συνολική κίνηση στα επιμέρους χρονικά
διαστήματα.

iii. Γράφουμε για κάθε κίνηση τις εξισώσεις που ισχύουν, σχηματίζουμε ένα σύστημα τόσων
εξισώσεων, όσοι είναι και οι άγνωστοι και απαντάμε στα ερωτήματα.

 Προσοχή!! Στις διαδοχικές κινήσεις ισχύει:

« Η τελική ταχύτητα της προηγούμενης κίνησης είναι η αρχική της επόμενης »

Προσοχή!!! Όταν δεν χρησιμοποιούμε άξονα για τη λύση μιας άσκησης τότε τα μεγέθη υ, α , υ0 ,
Δx στις σχέσεις υ = υο  αt και Δx = υοt  ½ αt2 αντικαθίστανται με τα μέτρα τους.

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω 4 παραδείγματα, ένα για κάθε κατηγορία
ασκήσεων όπως τις χωρίσαμε παραπάνω.

Παράδειγμα 1ης κατηγορίας
Ένα αυτοκίνητο ξεκινά από την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση α = 2m/s2. α) Να βρείτε τη
χρονική στιγμή που η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι υ1 = 30 m/s και το διάστημα που έχει διανύσει μέχρι
τότε. β) Να γίνει το διάγραμμα υ - t και s – t μέχρι τότε.
Απ:

α

Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με υ0=0, άρα: υ = αt και x = ½ αt2

Οπότε: υ1 = 2t1  30 = 2· t1  t1 = 30/2  t1 = 15 s. Επίσης s = x1 = ½ αt1 2  s = ½ 2·152 

s = 225 m.

Τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι:

υ (m/s) s (m)
30
225

0 t (s) 0 t (s)

15 15

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 11 http://vmarousis.blogspot.com

Παράδειγμα 2ης κατηγορίας υ (m/s)
18
Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου 8
για ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα.
α. Να προσδιορίσετε το είδος της κίνησης σε καθεμία από τις
τρεις φάσεις της.
β. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του κινητού από 2 - 6s.

Απ: 0 24 t (s)
α. Από 0-2s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά 6

επιταχυνόμενη με α1 = Δυ 18 - 8 10 =5 m/s2

= =

Δt 2-0 2

Από 2-4s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή με α2 = Δυ 18 - 18 =0 = 0 m/s2
4-2
= 2

Δt

Από 4-6s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη με α3 = Δυ 0 - 18 = -18 = -9 m/s2
6-4
= 2

Δt

β. Η μετατόπιση του κινητού από 2-6s υπολογίζετε από το εμβαδόν του αντίστοιχου τραπεζίου της γραφικής

παράστασης υ – t. Άρα Δx = ½ (β+Β)·υψος = ½[(4 - 2)+(6-2)]·18 = ½ (2+4)·18 = 3·18  Δx = 54m.

Παράδειγμα 3ης κατηγορίας

Ένα κινητό ξεκινά από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α1 = 5 m/s2 για
χρόνο t1 = 4 s και στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα για χρόνο t2 =6 s. α. Να υπολογιστεί η
συνολική μετατόπιση του κινητού κατά τη διάρκεια της κίνησης του.
β. Να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου (υ-t) και θέσης - χρόνου (x-t) αν την t=0, x=0m.

t1 t2

α1 υ1 υ1
A B Γ

Απ:
Για χρόνο t1 = 4 s μετατοπίζεται κατά ΑΒ = x1 κάνοντας ευθ/μμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση άρα:
υ1=α1·t1  υ1=5·4  υ1=20 m/s και x1= ½ α1t1 2  x1= ½ 5·42  x1= 40 m.
Μετά τη χρονική στιγμή t1 και για χρόνο t2 = 6 s κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα
υ1=20 m/s.

Άρα ΒΓ = x2= υ1·t2  x2= 20·6  x2= 120 m. Επομένως Δxολ = x1 + x2 = 40+120  Δxολ = 160 m.
Τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι:

υ (m/s) x (m)
20
160

40

0 4 10 t (s) 0 4 10 t (s)

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 12 http://vmarousis.blogspot.com

Παράδειγμα 4ης κατηγορίας

Δύο κινητά Α και Β απέχουν d = 400 m. Τη χρονική στιγμή t=0 το κινητό Α έχει ταχύτητα 10m/s και
επιταχύνεται με σταθερό ρυθμό 2m/s2. Το άλλο κινητό Β έχει αντίρροπη αλλά σταθερή ταχύτητα 20m/s.
α. Πότε και που θα συναντηθούν τα δύο κινητά; β. Πόση η μετατόπιση κάθε κινητού μέχρι τη στιγμή της
συνάντησης; γ. Ποια η ταχύτητα κάθε κινητού εκείνη τη στιγμή;

t=0 υ0 t t=0
α υ2
s1
A Σ s2 B

α. Έστω ότι θα συναντηθούν στο Σ τη στιγμή t.
Τότε s1 = υοt + ½ αt2 και s2 = υ2t

Όμως s1+ s2 = d  10t + ½ 2 t2 + 20 t= 400 
t2 + 30t – 400 = 0 (εξίσωση 2ου βαθμού ως προς t) 

t =10s.
β. Θα συναντηθούν σε απόσταση s2 = υ2t = 20·10 = 200m από το Β.
γ. Με ταχύτητες υ2=20m/s και υ1 = υ0+αt = 10+2·10=30 m/s.

Καλό διάβασμα !!!

Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός 13 http://vmarousis.blogspot.com