สื่อการเรียนเรื่องเซต

บทท่ี 1 เซต ( sets)

สอนโดย... ครูวรภทั ร สกลุ ไทย

เซต (set)

• เซต (set) เป็นคำในทำงคณิตศำสตร์ท่ีไม่นิยำมควำมหมำย แต่บ่งบอกถึงกลุม่
ของสิ่งต่ำง ๆ เช่น นก 1 ฝงู ในทำงคณิตศำสตร์ จะเรียกวำ่ นก 1 เซต

• ช่ือเซต นิยมใชต้ วั อกั ษรภำษำองั กฤษตวั พิมพใ์ หญ่ เช่น เซต A , เซต B
• เรียกสิ่งท่ีอยใู่ นเซต วำ่ สมาชิก ใชส้ ัญลกั ษณ์ แทนคำวำ่ สมำชิก คือ ∈

สญั ลกั ษณ์ที่ควรทรำบในเร่ือง เซต

• R แทนเซตของจำนวนจริง
• Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
• ′ แทนเซตของจำนวนอตรรกยะ
• Z แทนเซตของจำนวนจริง
• N แทนเซตของจำนวนนบั

กำรเขียนเซต สำมำรถเขียนได้ 2 แบบ

• แบบแจกแจงสมาชิก เป็นกำรเขียนเซตโดยเขียนสมำชิกทุกตวั ลงในเครื่องหมำย
วงเลบ็ ปี กกำ และใชเ้ ครื่องหมำยจุลภำคคนั่ ระหวำ่ งสมำชิกแตล่ ะตวั ในเซตน้นั เช่น
A = { 1 , 2 , 3 , 4 } และบำงคร้ังอำจใช้ “ … “ เพื่อแสดงวำ่ ยงั มี
สมำชิกตวั อ่ืน ๆ อีก เช่น B = { … , -2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , … }

• แบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชิก เป็ นการเขียนตวั แปรแทนสมาชิกทุกตัวของเซต และ
หลงั ตวั แปร มเี ครื่องหมาย “l” หรือ : ตามด้วยการบอกสมบัตขิ องสมาชิก เช่น
{ x l x เป็ นชื่อของเดอื นใน 1 ปี }

Quiz !!!

จงเขียนเซต { x+1 l x ∈ N และ x < 10 }
แบบแจกแจงสมำชิก

ชนิดของเซต

• เซตจำกดั ( finite set ) คือเซตที่สำมำรถระบุจำนวนสมำชิกเป็นจำนวนนบั
หรือศนู ยไ์ ด้ เช่น เซตของจำนวนนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษำปี ท่ี 4 โรงเรียนนำดูน
ประชำสรรพ์

• เซตอนนั ต์ ( infinite set ) คือเซตที่ไม่สำมำรถระบุจำนวนสมำชิกเป็ น
จำนวนนบั หรือ ศนู ยไ์ ด้ เช่น เซตของจำนวนเตม็

• เซตวำ่ ง (null set) คือ เซตที่ไม่มีสมำชิก หรือ เซตที่มีสมำชิกเท่ำกบั 0 ใช้
สัญลกั ษณ์เป็น { } หรือ ∅

สบั เซต ( sub set )

เซต A เป็นสับเซตของ B กต็ ่อเม่ือ สมำชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมำชิกของเซต B
ใชส้ ญั ลกั ษณ์ ⊂ แทนคำวำ่ “เป็นสับเซต” และใชส้ ัญลกั ษณ์ ⊄ แทนคำวำ่ “ไม่เป็น
สับเซต” เช่น A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { 1 , 2 , 3 , 4 }
ดงั น้นั A ⊂ B แต่ B ⊄ A

สบั เซตแท้
ถำ้ A ⊂ B และ A ≠ B เรียก A วำ่ เป็นสบั เซตแทข้ อง B

สมบตั ิของสบั เซต

กำหนดให้ A , B และ C เป็นเซตใด ๆ
1. A ⊂ A
2. ⊂ A
3. ถำ้ A ⊂ B และ B ⊂ C แลว้ A ⊂ C
4. A ⊂ B และ B ⊂ A กต็ ่อเม่ือ A = B

เอกภพสมั พทั ธ์ และ แผนภำพเวนน์

• เอกภพสัมพทั ธ์ ( Relative Universe)
คือ เซตท่ีกำหนดข้ึน โดยมีขอ้ ตกลงวำ่ จะไม่กล่ำวถึงสิ่งใดนอกเหนือไปจำกสมำชิกของ
เซตที่กำหนดข้ึนน้ี ใชส้ ญั ลกั ษณ์ แทนเอกภพสัมพทั ธ์

แผนภำพเวนน์ ( Venn Diagram )

คือ แผนภำพท่ีเขียนแทนเซตดว้ ยรูปปิ ดใด ๆ เช่น รูปส่ีเหลี่ยม รูปวงกลม รูปวงรี หรือ
รูปปิ ดอ่ืน ๆ โดยทวั่ ไปจะใชร้ ูปส่ีเหลี่ยมผนื ผำ้ แทนเอกภพสมั พทั ธ์ และเขียนเซตอ่ืน ๆ
ลงในรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผำ้ ดงั รูป



A

กำรดำเนินกำรระหวำ่ งเซต ( operation of set)

คือ กำรสร้ำงเซตข้ึนมำใหม่จำกเซตที่กำหนดให้ มี 4 รูปแบบ
1. ยเู นียน ( Union )
ยเู นียนของเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดว้ ยสมำชิกซ่ึงเป็นสมำชิกของเซต
A หรือของเซต B หรือของท้งั สองเซต ยเู นียนของเซต A และเซต B เขียนแทน
ดว้ ย A ∪ B
นน่ั คือ A ∪ B = { x l x ∈ A หรือ x ∈ B }

กำรดำเนินกำรระหวำ่ งเซต ( operation of set)

2. อินเตอร์เซกชนั ( Intersection )
อินเตอร์เซกชนั ของเซต A และเซต B คือ เซตท่ีประกอบดว้ ยสมำชิกซ่ึงเป็นสมำชิก
ของเซต A และเซต B อินเตอร์เซกชนั ของเซต A และ เซต B เขียนแทนดว้ ย
A ∩ B นนั่ คือ A ∩ B = { x l x ∈ A และ x ∈ B }

กำรดำเนินกำรระหวำ่ งเซต ( operation of set)

3. คอมพลีเมนต์ ( Complement )
คอมพลีเมนต์ ของเซต A ซ่ึงเป็นสับเซตของเอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตท่ี
ประกอบดว้ ยสมำชิกซ่ึงเป็นสมำชิกของ แตไ่ ม่เป็นสมำชิกของ A คอมพลีเมนต์
ของเซต A เขียนแทนดว้ ย ′
นนั่ คือ ′ = { x ∈ l x ∉ A }

กำรดำเนินกำรระหวำ่ งเซต ( operation of set)

4. ผลตำ่ งระหวำ่ งเซต ( Difference of set )
ผลต่ำงระหวำ่ งเซต A และ เซต B คือ เซตที่ประกอบดว้ ยสมำชิกของเซต A ซ่ึงไม่
เป็นสมำชิกของเซต B
ผลตำ่ งระหวำ่ งเซต A และเซต B เขียนแทนดว้ ย A – B
นนั่ คือ A – B = { x l x ∈ A และ x ∉ B }

เซตเป็นจริงตำมกฎต่อไปน้ี ( 1 )

1. Idempotent laws
1.1 A ∪ A = A
1.2 A ∩ A = A

2. Associative laws
2.1 ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
2.2 ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

เซตเป็นจริงตำมกฎต่อไปน้ี ( 2 )

3. Commutive laws
3.1 A ∪ B = B ∪ A
3.2 A ∩ B = B ∩ A

4. Distributive laws
4.1 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )
4.2 A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )

เซตเป็นจริงตำมกฎต่อไปน้ี ( 3 )

5. Identity laws
5.1 A ∪ ∅ = A
5.2 A ∩ = A
5.3 A ∪ =
5.4 A ∩ ∅ = ∅

6. De Morgan’ s laws
6.1 ( ∪ )′= ′ ∩ ′
6.2 ( ∩ )′= ′ ∪ ′

จำนวนสมำชิกของเซตจำกดั

ถำ้ A เป็นเซตใด ๆ เขียน n(A) แทน “จำนวนสมำชิกของเซต A”
ตวั อยำ่ ง กำหนด A = { 1 , 2 , 3 , 4 }

B = { 2 , 5 , 8 , 10 , 16 }
จะได้ n(A) = 4 และ n(B) = 5

จำนวนสมำชิกของเซตจำกดั

ถำ้ A เป็นเซตใด ๆ เขียน n(A) แทน “จำนวนสมำชิกของเซต A”
ตวั อยำ่ ง กำหนด A = { 1 , 2 , 3 , 4 }

B = { 2 , 5 , 8 , 10 , 16 }
จะได้ n(A) = 4 และ n(B) = 5

กำรแกป้ ัญหำโดยใชเ้ ซต

สำมำรถแกโ้ จทยป์ ัญหำได้ 2 วิธี คือ
1. โดยใชแ้ ผนภำพเวนน์
2. โดยใชส้ ูตร
n(A∪B)=n(A) + n(B) – n(A∩B)

n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) - n(A∩ C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)

QuiZ ??

ถำ้ n(A) = 8 , n(B) = 5 และ n(A∩B) ≠ 0
แลว้ n(A∪B) มีคำ่ มำกที่สุดเท่ำกบั เท่ำใด