เล่มที่-2-ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

เลม ที่
2

คํานํา

แบบฝกทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ขั้นตอน (5 STEPs) เร่ือง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณติ ศาสตร 5 รหัสวชิ า ค23101 สําหรบั นักเรยี นช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 3 จัดทําขึ้นเพ่ือพัฒนาการจัดกระบวนการ
เรียนรูและยกระดับผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนของนักเรียนใหสูงขึ้น โดยผูจัดทําไดจัดกระบวนการเรียนรูใหแก
นักเรียนไดเผชิญกิจกรรมอยางหลากหลายท้ังทักษะดานความรู กระบวนการ และการปลูกฝงคุณธรรม
จริยธรรมตามหลักปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง ตลอดจนมเี จตคตทิ ด่ี ีตอคณติ ศาสตรและคานิยมอนั พึงประสงค

แบบฝกทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ขั้นตอน (5 STEPs) เร่ือง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณิตศาสตร 5 รหัสวิชา ค23101 สําหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 จัดทําขึ้นครอบคลุมมาตรฐาน ตัวช้ีวัด
และสาระการเรียนรูแกนกลาง ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 และหลักสูตร
สถานศึกษาโรงเรียนเมืองกระบ่ี ซ่ึงประกอบดวยแบบฝกทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ข้ันตอน
(5 STEPs) เรื่อง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชาคณิตศาสตรพ้ืนฐาน ค23101 ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 3 ท้ังหมด
5 เลม

แบบฝก ทกั ษะน้ี เปนเลมที่ 2 ระบบสมการเชงิ เสนสองตัวแปร ผูจัดทําไดเรียบเรียงแบบฝก
ทักษะดังกลาวอยางเปนระบบสอดคลองกับแผนการจัดการเรียนรู เพื่อใหมีความสอดคลองกับความรู
ความสามารถ ความสนใจ ตามศักยภาพและความแตกตางระหวางบุคคลท่ีเอ้ือตอการเรียนรูอยางมี
ประสิทธิภาพ โดยผานข้ันตอนการสรางและทดลองใชเพ่ือหาประสิทธิภาพของแบบฝกทักษะ จนไดสื่อท่ีมี
ประสิทธภิ าพสามารถนาํ ไปพัฒนาผเู รียนได

ผูจัดทําขอขอบพระคุณทุกฝายท่ีเกี่ยวของในความสําเร็จของการพัฒนาแบบฝกทักษะโดยใช
กระบวนการเรียนรู 5 ขั้นตอน (5 STEPs) เร่ือง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชาคณิตศาสตร 5 รหัสวิชา
ค23101 สําหรับนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 3 ในครั้งนี้ หากเกิดขอผิดพลาดประการใด ผูจัดทํายินดีนอมรับ
แกไ ขเพ่ือประโยชนต อ การพฒั นาศักยภาพเยาวชนไทยตอไป

อริศรา สะใบงาม

ก

เลม ที่
2

สารบญั

หนา

คํานาํ .......................................................................................................................................... ก
สารบญั ...................................................................................................................................... ข
คาํ ชแ้ี จงการใชแบบฝก ทักษะ.................................................................................................... 1
คาํ ชแี้ จงสาํ หรบั ครผู ูส อน........................................................................................................... 2
คําชแี้ จงสําหรบั นกั เรียน............................................................................................................ 3
มาตรฐานและตวั ชว้ี ดั ................................................................................................................ 4
จดุ ประสงคการเรียนรู. ............................................................................................................... 5
แบบทดสอบกอ นเรยี น............................................................................................................... 6
กระดาษคาํ ตอบแบบทดสอบกอนเรียน..................................................................................... 8
ใบความรทู ี่ 2.1 ระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปร...................................................................... 9
แบบฝก ทกั ษะท่ี 2.1.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตวั แปร ………………………………………………… 12
แบบฝก ทกั ษะท่ี 2.1.2 ระบบสมการเชงิ เสนสองตัวแปร(ตอ) ………………………………………..… 13
ใบความรทู ่ี 2.2 คําตอบของระบบสมการเชงิ เสน สองตัวแปร................................................... 16
แบบฝก ทกั ษะที่ 2.2 คําตอบของระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร............................................. 21
แบบทดสอบหลังเรยี น............................................................................................................... 27
กระดาษคําตอบแบบทดสอบหลงั เรียน...................................................................................... 29
บรรณานุกรม............................................................................................................................. 30
ภาคผนวก.................................................................................................................................. 31
32
เฉลยแบบทดสอบกอน-หลงั เรยี น.................................................................................. 33
เฉลยแบบฝกทักษะที่ 2.1.1 ระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปร...................................... 35
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 2.1.2 ระบบสมการเชิงเสนสองตวั แปร(ตอ).............................. 37
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 2.2 คาํ ตอบของระบบสมการเชงิ เสนสองตัวแปร………………….. 42
แบบบันทึกคะแนน เลม ที่ 2 เร่อื ง ระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปร..............................

ข

เลม ที่
2

คาํ ช้ีแจงการใชแบบฝกทกั ษะ

1. แบบฝกทกั ษะ โดยใชก ระบวนการเรยี นรู 5 ขัน้ ตอน (5 STEPs) เร่อื ง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณติ ศาสตร 5 รหัสวิชา ค23101 สําหรบั นกั เรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 3 ประกอบดว ยแบบฝกทักษะ 5 เลม ดังน้ี

เลมท่ี 1 เร่ือง สมการเชงิ เสนสองตัวแปร
เลม ท่ี 2 เรื่อง ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร
เลม ท่ี 3 เร่ือง กราฟของสมการเชงิ เสนสองตัวแปร
เลมที่ 4 เรอื่ ง การแกร ะบบสมการเชิงเสน สองตวั แปร
เลมท่ี 5 เร่ือง โจทยปญ หาระบบสมการเชงิ เสนสองตวั แปร
2. แบบฝก ทักษะ โดยใชก ระบวนการเรยี นรู 5 ขัน้ ตอน (5 STEPs) เรื่อง ระบบสมการเชงิ เสน รายวิชา
คณิตศาสตร 5 รหัสวิชา ค23101 สาํ หรบั นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 3 ใชเ วลา 2 ช่ัวโมง
3. สว นประกอบของแบบฝกทักษะ ประกอบดวย คําช้ีแจง คําชี้แจงสําหรับครูผูสอน คําช้ีแจงสําหรับ
นักเรียน มาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัด จุดประสงคการเรียนรู แบบทดสอบกอนเรียน กระดาษคําตอบ
แบบทดสอบกอนเรียน ใบความรู แบบฝกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน กระดาษคําตอบหลังเรียน และเฉลย
แบบฝกทักษะทั้งหมด
4. ผูใชแบบฝกเลมนี้ ควรศึกษาแผนการจัดการเรียนรูและคําช้ีแจงในการใชแบบฝกทักษะ
กอนใชและปฏิบัตติ าม ขั้นตอนการจัดการเรียนรแู บบ 5 ขน้ั ตอน (5 STEPs) ดงั นี้
ข้ันที่ 1 การเรยี นรูตั้งคําถาม (Learn to Question)
ขัน้ ที่ 2 การเรยี นรูแสวงหาสารสนเทศ (Learn to Search)
ข้นั ที่ 3 การเรียนรเู พือ่ สรา งความรู (Learn to Construct)
ข้ันท่ี 4 การเรียนรเู พื่อสื่อสาร (Learn to Communicate)
ขนั้ ที่ 5 การเรียนรเู พื่อตอบแทนสังคม (Learn to Serve)
5. แบบฝกทักษะน้ีไดเรียบเรียงขึ้นอยางเปนระบบทําใหผูเรียนสามารถนําไปศึกษาไดดวย
ตนเองหรือครูใชประกอบการสอนรวมกับแผนการจัดการเรียนรูแบบ 5 ขั้นตอน (5 STEPs) ย่ิงทําให
แบบฝกทกั ษะน้มี ปี ระสทิ ธภิ าพเกิดประสทิ ธผิ ลในการพัฒนาผเู รียนเปน อยา งดี

1

เลม ที่
2

คําช้แี จงสําหรบั ครูผูสอน

แบบฝกทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ข้ันตอน (5 STEPs) เร่ือง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณิตศาสตร 5 รหัสวิชา ค23101 สําหรับนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 เลมที่ 2 เรื่อง ระบบสมการเชิงเสน
สองตัวแปร เพอื่ ชวยใหก ารจัดกิจกรรมการเรียนรูมีประสิทธิภาพ ครผู ูสอนควรดาํ เนินการ ดังน้ี

1. ขัน้ เตรยี มการจดั กระบวนการเรียนรู
1.1 ศึกษารายละเอยี ดคาํ ช้ีแจงในการใชแ บบฝกทกั ษะใหเขา ใจ
1.2 ศึกษามาตรฐานการเรียนรู ตัวช้ีวัด จุดประสงคการเรียนรู และข้ันตอนตาง ๆ ในแผนการ

จัดการเรียนรูใหเ ขา ใจชัดเจน
1.3 เตรียมสื่ออุปกรณสําหรับการจัดกิจกรรมการเรียนรูใหพรอมและครบจํานวนนักเรียนใน

ชั้นเรยี นแตล ะกลมุ
1.4 แบงกลุมโดยใชผลจากการวิเคราะหผูเรียนเปนรายบุคคล กลุมละ 5 – 6 คน ใหมีการแบง

หนา ทคี่ วามรับผิดชอบในกลุม
2. ขน้ั การจดั กระบวนการเรียนรู
ครผู ูสอนดาํ เนินการจัดกิจกรรมการเรยี นรู ตามกระบวนการเรยี นรูแบบ 5 ขั้นตอน (5 STEPs) ดงั นี้
ขัน้ ที่ 1 การเรยี นรตู ั้งคาํ ถาม (Learn to Question) เปนการกระตุน ใหนักเรียนมคี วามสนใจโดยใช

คาํ ถาม
ขนั้ ท่ี 2 การเรยี นรแู สวงหาสารสนเทศ (Learn to Search) เปน การคนหาขอมลู จากแหลงเรียนรูที่

หลากหลาย แลวนาํ มาสรปุ เปนสารสนเทศ
ขั้นที่ 3 การเรียนรูเพื่อสรางความรู (Learn to Construct) เปนการนําความรูท่ีแสวงหามาใชใน

กจิ กรรมตา ง ๆ เชน กระบวนการกลมุ และการทาํ แบบฝกเสรมิ ทกั ษะการเรยี นรู
ข้นั ท่ี 4 การเรยี นรูเพ่ือส่อื สาร (Learn to Communicate) เปนการนําเสนอขอมูลเพ่ือแลกเปล่ียน

เรียนรูท้ังภายในกลมุ และภายในชน้ั เรียน
ขั้นท่ี 5 การเรียนรูเพื่อตอบแทนสังคม (Learn to Serve) เปนการนําความรูท่ีไดรับขยายจาก

ตนเองเพื่อประโยชนตอ คนรอบขา ง ชมุ ชน สังคม หรอื ระดบั ประเทศ
3. ขั้นหลังการจดั กระบวนการเรียนรู
นกั เรียนวเิ คราะหต นเองวา ควรจะทบทวนบทเรยี นเพ่ิมเติมหรือศกึ ษาแบบฝก เลมตอ ไป

2

เลม ที่
2

คําชี้แจงสาํ หรบั นกั เรียน

แบบฝกทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ข้ันตอน (5 STEPs) เร่ือง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณิตศาสตร 5 รหัสวิชา ค23101 สําหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 เลมท่ี 2 เร่ือง ระบบสมการเชิงเสน
สองตัวแปร เพ่ือชวยใหการจัดกิจกรรมการเรียนรูมีประสิทธิภาพ นักเรียนสามารถปฏิบัติตามลําดับขั้นตอน
ตามคาํ แนะนาํ อยางละเอยี ดและถูกตอง ดังน้ี

1. อานและทําความเขา ใจ คาํ ชแ้ี จงแบบฝก ทักษะใหชดั เจน
2. ศกึ ษามาตรฐานการเรียนรู ตวั ชี้วัด จุดประสงคการเรยี นรู และสาระการเรียนรู
3. นักเรียนทําแบบฝกทกั ษะและปฏิบัติตามคําแนะนํา มคี วามรับผิดชอบ ทาํ งานเปนกลมุ โดยมี
ครูผูสอนใหความชว ยเหลือ
4. ตรวจสอบคําตอบท้ังแบบทดสอบกอนเรียนและหลังเรียนจากเฉลย พรอมบันทึกคะแนนท่ีได
เพ่ือเปรียบเทียบกับเกณฑ ซ่ึงนักเรียนตองทําแบบทดสอบหลังเรียนใหถูกตองตั้งแต 7 ขอขึ้นไป จึงจะผาน
เกณฑ ถานักเรียนไมผานเกณฑตามท่ีกําหนด ใหนักเรียนนําเอกสารไปทบทวนเน้ือหาดวยตนเองและทํา
แบบทดสอบใหมอกี ครงั้
5. สรุปผลการเรียนรู ประเมนิ ปรบั ปรงุ และพฒั นาตนเอง

3

เลม ที่
2

มาตรฐานและตวั ชี้วัด

สาระที่ 4 พชี คณิต

มาตรฐาน ค 4.2 ใชน พิ จน สมการ อสมการ กราฟและแบบจาํ ลองทางคณิตศาสตรอื่น ๆ แทนสถานการณ
ตาง ๆ ตลอดจนแปลความหมาย และนําไปใชแกปญ หาได

สาระท่ี 6 ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การส่ือความหมายทาง
คณิตศาสตร และการนําเสนอ การเช่ือมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตร
อนื่ ๆ และมีความคิดรเิ รมิ่ สรางสรรค

ตัวช้วี ัด

ค 4.2 ม. 3/4 อานและแปลความหมายของกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตวั แปรและกราฟอนื่ ๆ
ค 4.2 ม. 3/5 แกร ะบบสมการเชิงเสน สองตวั แปรและนาํ ไปใชแ กปญหา พรอมทั้งตระหนักถึงความ

สมเหตสุ มผลของคําตอบ
ค 6.1 ม. 3/1 ใชวธิ ีการทห่ี ลากหลายแกป ญ หา
ค 6.1 ม. 3/2 ใชค วามรู ทกั ษะ และกระบวนการทางคณิตศาสตร และเทคโนโลยใี นการแกป ญหาใน

สถานการณต า ง ๆ ไดอ ยา งเหมาะสม
ค 6.1 ม. 3/3 ใชเหตุผลประกอบการตดั สนิ ใจและสรุปผลไดอ ยา งเหมาะสม
ค 6.1 ม. 3/4 ใชภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตรในการส่ือสาร การส่อื ความหมายและการนําเสนอ

ไดอยา งถูกตอ งและชัดเจน
ค 6.1 ม. 3/5 เชอ่ื มโยงความรตู า งๆ ในคณิตศาสตรแ ละนาํ ความรู หลักการกระบวนการทางคณิตศาสตร

ไปเชอ่ื มโยงกบั ศาสตรอ่นื ๆ

4

เลม ที่
2

จุดประสงคก ารเรยี นรู

นกั เรียนสามารถ
1. อธิบายเก่ยี วกับระบบสมการเชิงเสนสองตวั แปร
2. หาคําตอบของระบบสมการเชงิ เสนสองตวั แปรได
3. เขยี นกราฟของระบบสมการเชงิ เสนสองตัวแปร และแปลความหมาย
กราฟของระบบสมการได

เปาหมาย
มีไวใ หพุงชน

5

เลม ที่
2

แบบทดสอบกอนเรยี น

เรือ่ ง ระบบสมการเชงิ เสนสองตวั แปร เวลา 10 นาที 10 คะแนน
รายวิชาคณติ ศาสตร 5 ค23101 ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 3

คําชี้แจง ใหนกั เรยี นเลือกกาเครือ่ งหมาย x ขอ ท่ถี กู ตอ งทีส่ ุดเพยี งคาํ ตอบเดียว

1. ขอใดกลา วถูกตอง

ก. สมการเชิงเสน สองตวั แปรต้ังแต 1 สมการขน้ึ ไป เปนระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปร

ข. สมการเชงิ เสน สองตัวแปรตงั้ แต 2 สมการขน้ึ ไป เปน ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร

ค. ถูกทง้ั ขอ ก และ ข

ง. ผิดท้ังขอ ก และ ข

2. ถา กราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตวั แปรทับกนั สนทิ มคี วามหมายตรงกบั ขอ ใด

ก. ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปรน้ี มีคาํ ตอบเพียงคําตอบเดยี ว

ข. ระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปรนี้ ไมมีคาํ ตอบ

ค. ระบบสมการเชิงเสน สองตวั แปรน้ี มีหลายคาํ ตอบ

ง. ไมม ีขอ ใดถกู

3. ขอใดเปน คาํ ตอบของระบบสมการ x + 3y = 3 และ 2x – y = 13

ก. (1 , -6) ข. (1 , 6)

ค. (6 , -1) ง. (6 , 1)

4. ขอใดเปน คําตอบของระบบสมการ 4x + y = 10 และ 2x – 5y = 16

ก. (3 , 2) ข. (3 , -2)

ค. (-3 , -2) ง. (2 , -3)

5. คาํ ตอบของระบบสมการ x + y = 9 และ x – y = 5 คือขอ ใด

ก. (7 , 2) ข. (7 , 16)

ค. (8 , 3) ง. (3 , 8)

6. คาํ ตอบของระบบสมการ x + 2y = 4 และ 3x + 6y = 12 มีก่คี าํ ตอบ

ก. ไมมีคําตอบ ข. มคี าํ ตอบเดยี ว

ค. มี 2 คําตอบ ง. มีหลายคําตอบ

6

เลม ที่
2

7. คําตอบของระบบสมการ 2x + y = 3 และ 4x + 2y = 4 มีกีค่ าํ ตอบ

ก. ไมมีคําตอบ ข. มี 2 คาํ ตอบ

ค. มีหลายคาํ ตอบ ง. มคี าํ ตอบเดยี ว

8. จากระบบสมการ 2x + 5y = 5 และ 3x + 8y = 7 แลว (x , y) เทา กบั เทาไร

ก. (5 , 1) ข. (5 , -1)

ค. (-5 , -1) ง. (-5 , 1)

9. ถา (2 , -4) เปน คาํ ตอบของระบบสมการ 5x + y – 6 = 0 และ ax – y = 6

จะไดคา a ตรงกับขอใด

ก. -1 ข. 1

ค. -5 ง. 5

10. (2 , 3) เปน คาํ ตอบของระบบสมการใด

ก. 5x – 3y = 1 ข. 5x + 3y = 1

7x + 2y = 8 7x + 2y = 8

ค. 5x – 3y = 1 ง. 5x + 3y = 1

7x – 2y = 8 7x – 2y = 8

เร่ิมตน ไดด ี มีชยั ไปกวา ครงึ่
เปนไงกนั บาง กบั การทดสอบกอนเรยี น

เพื่อน ๆ พอทําไดก นั ไหมเอย

7

เลม ที่
2

ก ร ะ ด า ษ คํา ต อ บ แ บ บ ท ด ส อ บ ก อ น เ รี ย น
ใหน กั เรยี นเลอื กขอ ทีถ่ ูกตองทีส่ ดุ เพยี งคําตอบเดยี ว แลวทําเคร่อื งหมาย x ลงในกระดาษคําตอบ

ทดสอบกอ นเรียน

ขอ ก ข ค ง
1
2 ตงั้ ใจเรยี นนะ
3 เอาใจชว ยทุกคน
4
5 สู ๆ คะ
6
7
8
9
10

รวมคะแนน

8

เลม ที่
2

ใบความรทู ่ี 2.1

ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร

จดุ ประสงคการเรียนรู

นักเรยี นสามารถ
1. อธิบายเกี่ยวกบั ระบบสมการเชงิ เสนสองตวั แปร
2. หาคาํ ตอบของระบบสมการเชงิ เสนสองตวั แปรได

ทบทวน จากรูปทัว่ ไปของสมการเชิงเสน สองตัวแปร Ax + By + C = 0
เม่ือ A, B และ C เปนคา คงตัว x, y เปนตัวแปร และ A กับ B ไมเ ทา กับศูนยพรอมกัน

ในกรณที ี่ตองการเขยี นกราฟเพือ่ ความสะดวก อาจจัดสมการใหอยูใ นรูปใหม ได ดงั นี้

Ax + By + C = 0 ทุกคนพรอมกันรึยังครับ
By = -Ax – C ถา พรอ มแลว
ไปลยุ กันเลยครบั
y=- x–

ถาให a = – และ b = –

จะได y = ax + b

9

เลม ที่
2

ระบบสมการเชงิ เสน สองตัวแปร
(System of linear equation with two variables)

บทนิยาม

ให a, b, c, d, e และ f เปนจํานวนจริงท่ี a, b ไมเปนศูนยพรอมกัน และ c, d ไมเปน
ศนู ยพ รอ มกนั เรียกระบบท่ปี ระกอบดวยสมการ

ax + by = e
cx + dy = f
ระบบสมการเชงิ เสน สองตัวแปร ที่มี x และ y เปนตัวแปร
โดยท่ี a และ c เปนสัมประสิทธ์ิของ x
b และ d เปนสัมประสิทธ์ิของ y

ตวั อยาง ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร

3x + 4y = 6 x + 5y = 3
x – 2y = -5 -y = 5 – 2x

x–y=1 y = 3x + 1 , y = 3x – 2
y = 2 (0x + y = 2) y=x–3

จากตัวอยางขางตน จะเห็นวา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ก็คือ สมการเชิงเสนสองตัวแปรตั้งแต
2 สมการขนึ้ ไปท่ีมตี วั แปรเดยี วกัน เรยี กวา ระบบสมการ

10

เลม ที่
2

ตัวอยางท่ี 1 กําหนดให x , y เปนจํานวนจริงใด ๆ 3x – y = 3 และ 2x – y = 2 จากสมการทั้งสองนํามาจัด

สมการใหมใหอยูในรปู y = ax + b

จะได 3x – y = 3 2x – y = 2

y = 3x – 3 y = 2x – 2

x 0123

y = 3x – 3 – 3 0 3 6

y = 2x – 2 – 2 0 2 4

จากตาราง พบวา (1, 0) เปน คาํ ตอบของระบบสมการน้ี

ตรวจคาํ ตอบ y = 3x – 3 y = 2x – 2

0 = 3(1) – 3 0 = 2(1) – 2

0=3–3 0=2–2

0 = 0 เปน จริง 0 = 0 เปน จรงิ

ดังนน้ั คาํ ตอบของระบบสมการนี้ คอื (1, 0)

ตัวอยางท่ี 2 กําหนดให x , y เปนจํานวนจริงใด ๆ x + y = 5 และ x – y = 3 จากสมการทั้งสองนํามาจัด

สมการใหมใ หอยใู นรปู y = ax + b x–y=3

จะได x + y = 5 y=x–3

y=5–x

x 012 3 4
y=5–x 543 2 1
y= x–3 –3 –2 –1 0 1

จากตาราง พบวา (4, 1) เปน คาํ ตอบของระบบสมการน้ี

ตรวจคาํ ตอบ y = 5 – x y=x–3

1=5–4 1=4–3

1 = 1 เปนจรงิ 1 = 1 เปนจริง

ดังนน้ั คาํ ตอบของระบบสมการน้ี คือ (4, 1)

11

เลม ที่
2

แบบฝกทักษะท่ี 2.1.1
ระบบสมการเชงิ เสนสองตัวแปร

ชอื่ ......................................................ช้นั .........เลขที.่ ..........

คําชี้แจง ใหน กั เรียนจัดสมการตอไปนี้ใหอยูในรูป y = ax + b

ขอที่ สมการเชงิ เสนสองตวั แปร y = ax + b
y = –x + 24
ตัวอยา ง 1 x + y – 24 = 0
y = 3x 4– 5
ตวั อยาง 2 3x – 4y – 5 = 0
1. x – y – 4 = 0
2. 3x – y + 4 = 0
3. 4x + y + 3 = 0
4. 6x – 2y – 4 = 0
5. 2x – y – 9 = 0
6. 3x – 4y + 24 = 0
7. x – 2y + 6 = 0
8. 3x – 2y – 2 = 0
9. 2x – y – 3 = 0
10. 5x – y + 1 = 0

เกณฑก ารใหค ะแนน แบบฝกทกั ษะที่ 2.1.1 12
ตอบไดถูกตอง ขอละ 1 คะแนน

ตอบผดิ หรอื ไมต อบ ขอละ 0 คะแนน
รวมคะแนน 10 คะแนน

เลม ที่
2

แบบฝก ทกั ษะท่ี 2.1.2
ระบบสมการเชงิ เสน สองตัวแปร (ตอ)

ชอ่ื ......................................................ช้นั .........เลขท่.ี ..........

คําช้ีแจง ใหนักเรียนเติมตัวเลขลงในตารางใหสมบูรณ และหาคําตอบของระบบสมการท่ีกําหนดให
พรอมทั้งตรวจคําตอบ (กรณรี ะบบสมการมีเพยี งคําตอบเดียว ดงั ตวั อยา งที่ 1 และ 2)

1. กําหนดให x , y เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ y = 2x - 3 และ x – y = 3

x -2 -1 0 1
y = 2x - 3
y=x–3

จากตาราง พบวา ………………………….เปน คาํ ตอบของระบบสมการ

ตรวจคาํ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

2. กาํ หนดให x , y เปนจาํ นวนจริงใด ๆ y = 2x และ x + y = 1

x –1 0 1 2
y = 2x
y = x +1

จากตาราง พบวา ………………………….เปนคําตอบของระบบสมการ

ตรวจคําตอบ…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..…

13

เลม ที่
2

3. กาํ หนดให x , y เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ x + y = –6 และ x – y = 2
x –2 –1 0 1

y = –6 – x
y=x–2
จากตาราง พบวา ………………………….เปน คําตอบของระบบสมการ

ตรวจคาํ ตอบ…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

4. กาํ หนดให x , y เปนจาํ นวนจริงใด ๆ 2x – y = 3 และ 3x – 2y = 4
x –2 0 2 4

y = 2x – 3

y = 32x – 2

จากตาราง พบวา ………………………….เปน คาํ ตอบของระบบสมการ

ตรวจคําตอบ…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

เปน ยงั ไงกนั บา งคะ
แวะมาใหกําลังใจ สู ๆ นะคะ

14

เลม ที่
2

5. กําหนดให x , y เปน จาํ นวนจริงใด ๆ x + y = 3 และ y - x = 1
x -2 -1 0 1

y = -x + 3
y=x+1
จากตาราง พบวา ………………………….เปน คาํ ตอบของระบบสมการ

ตรวจคําตอบ…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

เกณฑการใหค ะแนน แบบฝกทกั ษะท่ี 2.1.2

คะแนนทใ่ี ห ตวั ชว้ี ดั ในการใหคะแนน ขอละ 2 คะแนน
สวนท่ี 1 ( 1 คะแนน)
1 เตมิ ตวั เลขลงในตารางไดถกู ตอง 5 – 8 จาํ นวน
0.5
เตมิ ตวั เลขลงในตารางไดถูกตอง 1 – 4 จาํ นวน
0.5
สว นท่ี 2 (0.5 คะแนน)
0.5 ระบุคาํ ตอบของระบบสมการไดถูกตอง

สวนท่ี 3 (0.5 คะแนน)
แสดงวธิ ีการตรวจคําตอบไดถูกตอ ง

15

เลม ที่
2

ใบความรูท่ี 2.2
คาํ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน สองตัวแปร

จดุ ประสงคการเรยี นรู
นกั เรียนสามารถ
1. หาคาํ ตอบของระบบสมการเชิงเสน สองตวั แปรได
2. เขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และแปลความหมายกราฟของ
ระบบสมการได

คําตอบของระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร

บทนยิ าม
คาํ ตอบของระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร คือ คูอนั ดบั (x , y) ท่ีสอดคลองกบั

สมการทั้งสองของระบบสมการ หรอื
คูอนั ดับ (x , y) ท่ีคา x และคา y ทาํ ใหสมการทั้งสองของระบบสมการเปน จรงิ

16

เลม ที่
2

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร อาจมีคําตอบเพียงคําตอบเดียวหรือไมมี
คําตอบ หรือมีหลายคําตอบก็ได ดงั ตัวอยา งตอไปนี้

ตวั อยางท่ี 3 กําหนดให x, y เปน จํานวนจริงใด ๆ
3x – y = 3 ………………. (1)
2x + y = 2 ………………. (2)

x0 123
036
y = 3x – 3 –3 0 –2 –4

y = 2 – 2x 2 เสนตรงสองเสนตดั กัน
มีคําตอบเพียง
Y
คําตอบเดียว นะคะ
3x – y = 3
X
6

5
4
3

2
1

−2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6 7
−2

−3
−4

2x + y = 2
จากกราฟ จะมีคูอ นั ดับมากมายท่เี ปน คาํ ตอบของสมการ 3x – y = 3 และ
2x + y = 2
จากกราฟ เสน ตรงทีไ่ ดจ าก สมการ (1) และเสน ตรงท่ีไดจ าก สมการ (2) ตัดกันที่จุด (1, 0)
เพียงจุดเดยี ว
ดงั น้ัน (1, 0) เปน คําตอบของระบบสมการทีก่ ําหนดให มีคําตอบเดยี ว

17

เลม ที่
2

ตวั อยางท่ี 4 กําหนดให x, y เปน จํานวนจริงใด ๆ

x – 2y = 1 ………………. (1)

2x – 4y = 2 ………………. (2)

x 012 3
y = x –2 1 –0.5 0 0.5 1
y = 2x 4– 2 –0.5 0 0.5 1

เสนตรงสองเสนทับกนั Y
มีหลายคําตอบนะคะ
3

2 x − 2 y =1
1 2x − 4 y =2

−1 0 123 X
−1

−2

จากกราฟ จะมคี ูอันดบั มากมายทเี่ ปน คําตอบของสมการ x – 2y = 1 และ 2x – 4y = 2
เน่ืองจาก กราฟของสมการทั้งสอง เปนเสนตรงสองเสนซึ่งทับกัน หรือ เปนเสนตรงเดียวกัน
แสดงวา คอู นั ดบั ทุกคอู นั ดับบนพกิ ดั ของจดุ บนเสนตรงที่ทับกันนี้ เปนคําตอบของสมการทัง้ สอง
ดงั นัน้ ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้ มีหลายคําตอบ

18

เลม ที่
2

ตัวอยางท่ี 5 กาํ หนดให x, y เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ

3x = 2y – 6 ………………. (1)

x 01 2 3
6 7.5
y = 3x 2+ 6 3 4.5 1.5 3
y = 3x 2– 3 –1.5 0

Y 3=x 2 y − 6 เสนตรงสองเสนขนานกัน
แบบนี้ ไมมีคาํ ตอบนะครบั
8

7

6

5

4

3 2 y − 3x =−3

2

1 X
−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6

−2

−3

−4

จากกราฟ จะมีคูอันดับมากมายท่ีเปน คําตอบของสมการ 3x = 2y – 6 และ 2y – 3x = –3
เน่ืองจากกราฟของสมการทั้งสอง เปนเสนตรงสองเสนขนานกัน จึงไมมีคูอันดับใดเปนคําตอบของ
สมการทง้ั สอง

ดังนน้ั ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปรน้ี ไมม คี าํ ตอบ เพราะเสน ตรงทง้ั สองเสน ขนานกัน

19

เลม ที่
2

ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร

สรุป
สาํ หรับระบบสมการเชิงเสนสองตวั แปรใด ๆ
ax + by = e
cx + dy = f
คําตอบของระบบสมการคือ คูอันดับ (x, y) ที่ทําใหสมการท้ังสองเปนจริง

ซึ่งเปน ไปได 3 กรณี คือ
 มคี าํ ตอบเพยี งคําตอบเดยี ว
 มีหลายคําตอบ
 ไมมคี ําตอบ

เปนยงั ไงกนั บางเพ่ือน ๆ
ระบบสมการเชิงเสน สองตวั แปร

ไมย ากอยา งทค่ี ิดเลยใชไ หม

20

เลม ที่
2

แบบฝกทกั ษะท่ี 2.2
คาํ ตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ชอ่ื ......................................................ช้ัน.........เลขท่ี...........

คําชี้แจง ใหนกั เรียนหาคาํ ตอบของระบบสมการเชิงเสนตอไปน้ีโดยใชกราฟ เมื่อกําหนด x, y เปนจํานวนจริง
แลว ระบุวา ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปรมีคาํ ตอบเดียว ไมม ีคําตอบ หรือมหี ลายคําตอบ

1. x + y = 3 และ x – y = 2
x 123

y=3–x
y=x–2

จากกราฟ เสนตรงท่ีไดจาก............................ และเสน ตรงที่ไดจาก......................... 21
ตดั กันท่จี ดุ .....................เพียงจุดเดียว
ดังน้นั ..............เปน คําตอบของระบบสมการทก่ี ําหนดให .......................................

เลม ที่
2

2. y = 3x + 2 และ y = 3x - 3

x –1 0 1
y = 3x + 2
y = 3x - 3

จากกราฟ เสนตรงที่ไดจาก.......................และเสน ตรงท่ไี ดจ าก ............................
กราฟของสมการทั้งสอง เปนเสน ตรงสองเสน............................ จึงไมม ีคอู นั ดับใด
เปน คาํ ตอบของสมการทงั้ สอง
ดังนน้ั ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปรน้ี ..............................................................

22

เลม ที่
2

3. x + 2y = 6 และ 2x + 4y = 12

x –2 0 2
y = -X +2 6
y = -2X 4+ 12

จากกราฟ จะมคี ูอนั ดับมากมายท่เี ปน คําตอบของสมการ.................... และ.....................
กราฟของสมการทงั้ สอง เปน ................................................ หรอื เปนเสน ตรงเดยี วกนั
แสดงวา คูอันดับทุกคูอันดับบนพิกัดของจุดบนเสนตรงที่.................................. เปนคําตอบของ
สมการทง้ั สอง
ดังนัน้ ระบบสมการเชิงเสนสองตวั แปรนี้ .................................................

23

เลม ที่
2

4. 2x + y = 4 และ 4x – y = 2

x 012
y = –2x + 4
y = 4x – 2

จากกราฟ เสนตรงที่ไดจาก.......................... และเสน ตรงท่ไี ดจาก........................
ตดั กนั ท่จี ุด.....................เพยี งจดุ เดียว
ดังนน้ั ..............เปน คาํ ตอบของระบบสมการที่กําหนดให. .....................................

สู ๆ นะ
อีกนิดเดยี ว

24

เลม ที่
2

5. y = –x + 4 และ y = 1 x + 1
2

x 024

y = –x + 4

y = 1 x+ 1
2

จากกราฟ เสน ตรงท่ีไดจาก.......................... และเสน ตรงทไ่ี ดจาก........................
ตัดกนั ทีจ่ ุด.....................เพยี งจุดเดียว
ดงั นั้น ..............เปนคาํ ตอบของระบบสมการทีก่ าํ หนดให ....................................

เกง มากคะ
ทาํ เสรจ็ ทกุ ขอเลย

25

เลม ที่
2

เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทักษะท่ี 2.2

คะแนนทใ่ี ห ตวั ชวี้ ัดในการใหค ะแนน ขอละ 2 คะแนน
สว นท่ี 1 ( 1 คะแนน)
1 เตมิ ตวั เลขลงในตารางไดถูกตอง 4 – 6 จํานวน
0.5
เติมตัวเลขลงในตารางไดถกู ตอง 1 – 3 จํานวน
0.5
สว นที่ 2 (0.5 คะแนน)
0.5 เขยี นกราฟไดถกู ตอง

สวนท่ี 3 (0.5 คะแนน)
ระบไุ ดว าระบบสมการท่กี าํ หนดให มคี ําตอบ ไมมคี ําตอบ หรอื
มหี ลายคาํ ตอบ

26

เลม ที่
2

แบบทดสอบหลังเรยี น

เรอื่ ง ระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปร เวลา 10 นาที 10 คะแนน
รายวชิ าคณติ ศาสตร 5 ค23101 ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 3

คาํ ชแี้ จง ใหนักเรยี นเลอื กกาเครอ่ื งหมาย x ขอท่ีถูกตองที่สุดเพยี งคาํ ตอบเดยี ว

1. ขอ ใดกลาวถูกตอง

ก. สมการเชิงเสนสองตัวแปรต้งั แต 2 สมการข้ึนไป เปนระบบสมการเชงิ เสนสองตัวแปร

ข. สมการเชิงเสนสองตัวแปรตัง้ แต 1 สมการข้นึ ไป เปน ระบบสมการเชงิ เสนสองตัวแปร

ค. ถกู ทัง้ ขอ ก และ ข

ง. ผดิ ทั้งขอ ก และ ข

2. ถากราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรทบั กันสนิท มคี วามหมายตรงกบั ขอ ใด

ก. ระบบสมการเชงิ เสน สองตัวแปรนี้ มคี าํ ตอบเพียงคาํ ตอบเดยี ว

ข. ระบบสมการเชิงเสนสองตวั แปรน้ี มหี ลายคาํ ตอบ

ค. ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้ ไมม ีคําตอบ

ง. ไมม ีขอใดถกู

3. ขอใดเปน คาํ ตอบของระบบสมการ x + 3y = 3 และ 2x – y = 13

ก. (1 , -6) ข. (1 , 6)

ค. (6 , 1) ง. (6 , -1)

4. ขอ ใดเปนคาํ ตอบของระบบสมการ 4x + y = 10 และ 2x – 5y = 16

ก. (3 , -2) ข. (3 , 2)

ค. (-3 , -2) ง. (2 , -3)

5. คาํ ตอบของระบบสมการ x + y = 9 และ x – y = 5 คอื ขอใด

ก. (8 , 3) ข. (7 , 16)

ค. (7 , 2) ง. (3 , 8)

6. คาํ ตอบของระบบสมการ x + 2y = 4 และ 3x + 6y = 12 มกี ค่ี ําตอบ

ก. ไมม ีคําตอบ ข. มคี าํ ตอบเดียว

ค. มี 2 คาํ ตอบ ง. มหี ลายคาํ ตอบ

27

เลม ที่
2

7. คําตอบของระบบสมการ 2x + y = 3 และ 4x + 2y = 4 มกี ี่คาํ ตอบ

ก. มี 2 คาํ ตอบ ข. ไมมีคําตอบ

ค. มีหลายคาํ ตอบ ง. มีคาํ ตอบเดยี ว

8. จากระบบสมการ 2x + 5y = 5 และ 3x + 8y = 7 แลว (x , y) เทา กับเทาไร

ก. (5 , -1) ข. (5 , 1)

ค. (-5 , -1) ง. (-5 , 1)

9. ถา (2 , -4) เปนคาํ ตอบของระบบสมการ 5x + y – 6 = 0 และ ax – y = 6

จะไดคา a ตรงกับขอใด

ก. -5 ข. 5

ค. -1 ง. 1

10. (2 , 3) เปนคําตอบของระบบสมการใด

ก. 5x – 3y = 1 ข. 5x + 3y = 1

7x + 2y = 8 7x + 2y = 8

ค. 5x + 3y = 1 ง. 5x - 3y = 1

7x – 2y = 8 7x – 2y = 8

งา ยนิดเดยี ว
ทาํ ไดอยูแลว

28

เลม ที่
2

กระดาษคําตอบแบบทดสอบหลังเรยี น

ใหนกั เรยี นเลือกขอทถี่ ูกตองท่ีสดุ เพียงคําตอบเดยี ว แลวทาํ เคร่ืองหมาย x ลงในกระดาษคําตอบ

ทดสอบหลงั เรียน

ขอ ก ข ค ง
1
2 ตัง้ ใจเรียนนะ
3 เอาใจชว ยทุกคน
4
5 สู ๆ คะ
6
7
8
9
10

รวมคะแนน

29

เลม ที่
2

บรรณานุกรม

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และคณะ. คูมือครู คณิตศาสตร ม.3 เลม 1. พิมพคร้งั ที่ 1. กรงุ เทพมหานคร : บรษิ ทั
อกั ษรเจรญิ ทัศน อจท. จาํ กดั .

กมล เอกไทยเจริญ. คมู ือคณิตศาสตร ม.3 เลมรวม. กรุงเทพมหานคร : ธรี พงษก ารพิมพ.
โชคชยั สิรหิ าญอดุ ม. แบบฝกหัดคณิตศาสตร ม.3 เลม 1 (รายวชิ าพื้นฐาน). กรุงเทพมหานคร : เดอะบคุ ส ,

2554
ณรงค ปน นิ่ม และคณะ. คูมือเตรยี มสอบ คณิตศาสตร รวม ม.1 -2 -3. กรงุ เทพมหานคร : ภมู ิบัณฑิตการพมิ พ

จาํ กดั .
มาลินท อทิ ธริ ส และคณะ. หนงั สอื เรียนสาระการเรยี นรพู ื้นฐาน คณิตศาสตร ม.3. กรงุ เทพมหานคร :

สํานักพิมพ บริษัทพฒั นาคุณภาพวิชาการ (พว.) จาํ กัด , 2552
ยุพนิ พิพิธกลุ และสริ พิ ร ทิพยค ง. ชดุ กจิ กรรมพัฒนาการคดิ คณิตศาสตร ม.3 เลม 1 ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาข้นั พน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : สาํ นักพิมพ บรษิ ัทพัฒนาคุณภาพวชิ าการ (พว.)

จํากดั , 2558
วาสนา ทองการุณ. คณิตศาสตร ม.3 เลม 1. รายวชิ าพ้ืนฐาน. กรุงเทพมหานครฯ : เดอะบุคส, 2555
วินิจ วงศร ตั นะ. คมู ือเตรยี มสอบ คณติ ศาสตร ม. 1-3 พน้ื ฐาน & เพิม่ เติม. กรงุ เทพมหานคร : เทพเนรมติ การพมิ พ.
สามารถ พงศไพบลู ย. เฉลย-เกง็ O-Net ม.3. นนทบรุ ี : บรษิ ทั ไทยเนรมติ กิจ อนิ เตอรโ ปรเกรสซฟี จาํ กัด.
สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลย,ี สถาบัน. หนงั สือเรยี นรายวิชา คณติ ศาสตร เลม 1 ช้นั มัธยมศึกษา

ปท่ี 3 กลุมสาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขัน้ พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551.
พมิ พค รงั้ ที่ 1. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ สกสค.ลาดพราว, 2553
สมนึก ภัททยิ ธนี และปาหนนั ภทั ทยิ ธน.ี คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 3. พิมพครัง้ ท่ี 1. กาฬสนิ ธุ : โรงพิมพ
ประสานการพมิ พ, 2553

30

เลม ที่
2

ภาคผนวก

31

เลม ที่
2

เฉลยแบบทดสอบกอน - หลังเรียน

กอ นเรียน หลังเรียน

ขอ ก ข ค ง ขอ ก ข ค ง
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10  10 

รวมคะแนน รวมคะแนน

32

เลม ที่
2

แบบฝกทกั ษะท่ี 2.1.1
ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร

คําชี้แจง ใหนกั เรยี นจัดสมการตอไปนีใ้ หอยใู นรปู y = ax + b

ขอท่ี สมการเชิงเสน สองตัวแปร y = ax + b
y = –x + 24
ตวั อยาง 1 x + y – 24 = 0
y = 3x –4 5
ตวั อยาง 2 3x – 4y – 5 = 0
1. x – y – 4 = 0 y=x–4
2. 3x – y + 4 = 0
3. 4x + y + 3 = 0 y = 3x + 4
4. 6x – 2y – 4 = 0
5. 2x – y – 9 = 0 y = –3 – 4x หรอื y = –4x – 3
6. 3x – 4y + 24 = 0 y = 6x 2– 4
7. x – 2y + 6 = 0 y = 2x – 9
8. 3x – 2y – 2 = 0
9. 2x – y – 3 = 0 y = 3x +4 24
10. 5x – y + 1 = 0 y= 3xx+22–62
y=

y = 2x – 3

y = 5x + 1

เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกั ษะท่ี 2.1.1
ตอบไดถกู ตอง ขอละ 1 คะแนน

ตอบผดิ หรอื ไมต อบ ขอละ 0 คะแนน
รวมคะแนน 10 คะแนน

33

เลม ที่
2

แบบฝก ทกั ษะท่ี 2.1.2
ระบบสมการเชงิ เสนสองตัวแปร (ตอ )

คําช้แี จง ใหนักเรยี นเติมตัวเลขลงในตารางใหสมบูรณ และหาคําตอบของระบบสมการที่กําหนดให พรอมท้ัง
ตรวจคาํ ตอบ (กรณีระบบสมการมีเพียงคําตอบเดียว ดังตวั อยางที่ 1 และ 2)

1. กาํ หนดให x , y เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ y = 2x - 3 และ x – y = 3

x -2 -1 0 1

y = 2x - 3 -7 -5 -3 -1

y=x–3 –5 –4 -3 -2
จากตาราง พบวา …………(0…,(…-03…,) -…3…) …. เปน คําตอบของระบบสมการ
ตรวจคําตอบ………………y…=…2…x…-…3…………………………………………y……=…x…–…3……………………
………………………………-…3…=…2…(0…)…-…3………………………………………-3……=…0…–…3……………………
………………………………-…3…=…-…3…เป…น …จ…ร…ิง …………………………………-3…=……-3…เ…ป…น …จร…ิง……………

……………………………………………………………………………………………………………………………
……ด…ัง…น…นั้ …ค…ํา…ตอ…บ…ข…อ…งร…ะ…บ…บ…สม…ก…า…รน…้ี …คือ……(0…, …-3…) ………………………………………………………

2. กําหนดให x , y เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ y = 2x และ x - y = 1 2
4
x –1 0 1 3
y = 2x -2 0 2
y = x +1 0 1 2

จากตาราง พบวา …………(…1,…2…)……….เปนคําตอบของระบบสมการ
ตรวจคาํ ตอบ………………y…=…2…x…………………………………………………y …=…x…+…1……………………
…………………………………2…=…2…(1…)……………………………………………2……=…1…+…1……………………
…………………………………2…=…2……เป…น…จร…งิ ………………………………………2…=…2…เ…ป…นจ…ร…งิ ……………
……ด…งั …น…ัน้ …ค…าํ …ตอ…บ…ข…อ…งร…ะ…บ…บส…ม…ก…า…รน…ี้ …คอื……(1…, …2)……………………………………………………

34

3. กาํ หนดให x , y เปนจํานวนจริงใด ๆ x + y = –6 และ x – y = 2 เลม ที่
2
x –2 –1 0 1
–7 35
y = –6 – x –4 –5 –6
–1
y=x–2 –4 –3 –2

จากตาราง พบวา …………(–…2…, …-4…) …….เปนคําตอบของระบบสมการ
ตรวจคําตอบ……………………y …=…–…6…–……x …………………………………y…=…x……–…2……………………
……………………………………–…4 …=…–…6…–…(…–2…)……………………………–…4…=…–…2…–…2……………………
……………………………………–…4 …=…–…6…+…2…………………………………–…4…=…–…4……เป…น…จ…รงิ ……………
……………………………………–…4…=…–…4…เป…น…จ…ร…งิ ………………………………………………………………
…………ดัง…น…น้ั …ค…ํา…ต…อบ…ข…อ…งร…ะ…บ…บ…สม…ก…า…รน…ี้…ค…ือ…(–…2…, …–4…)…………………………………………………

4. กาํ หนดให x , y เปนจาํ นวนจริงใด ๆ 2x – y = 3 และ 3x – 2y = 4

x –2 0 2 4

y = 2x – 3 –7 –3 1 5

y = 32x – 2 –5 –2 1 4

จากตาราง พบวา …………(…2,…1…)……….เปนคําตอบของระบบสมการ
……ตร……ว……จค……าํ ……ต……อ……บ………………………………………y11………===………224………x(2…–……–)………3–3………3………………………………………………………………………………………………………………………11y………===………………33322…(……x2–………–)2…–……2………2………………………………………………………
………………………………1…=…1…เ…ป…น…จร…ิง……………………………………1…=……1…เป…น …จ…ร…ิง ………………
…………ด…ัง…น้ัน……ค…าํ ต…อ…บ…ข…อง…ร…ะบ…บ…ส…ม…ก…าร…น…ี้ ค…ือ…(…2…, 1…)……………………………………………………

เปนยังไงกันบางคะ
แวะมาใหก ําลังใจ สู ๆ นะคะ
เหลอื อีก 1 ขอ ไปลุยตอกันเลย

เลม ที่
2

5. กาํ หนดให x , y เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ x + y = 3 และ y - x = 1

x -2 -1 0 1
y = -x + 3 5 4 3 2
y = x + 1 -1 0 1 2

จากตาราง พบวา ………(…1…, 2…)………….เปนคําตอบของระบบสมการ
ตรวจคาํ ตอบ…………y……=…-x…+……3……………………………………y…=……x…+…1……………………………
……………………………2……=…- …(1…) …+…3…………………………………2…=……1…+…1……………………………
……………………………2……=…-1……+…3……………………………………2…=……2…………………………………
……………………………2……=…2…เ…ปน…จ…ร…งิ ………………………………2…=……2…เป…น…จ…ร…งิ ……………………
…………ด…งั น…้นั……คาํ…ต…อ…บ…ขอ…ง…ร…ะบ…บ…ส…ม…ก…าร…น…้ี ค…อื …(…1,…2…)……………………………………………………

เกณฑก ารใหคะแนน แบบฝก ทักษะท่ี 2. 1. 2

คะแนนทใ่ี ห ตวั ชว้ี ัดในการใหค ะแนน ขอละ 2 คะแนน
สว นที่ 1 ( 1 คะแนน)
1 เตมิ ตวั เลขลงในตารางไดถกู ตอง 4 – 6 จํานวน
0.5
เตมิ ตวั เลขลงในตารางไดถูกตอง 1 – 3 จํานวน
0.5
สว นท่ี 2 (0.5 คะแนน)
0.5 เขียนกราฟไดถูกตอง

สว นท่ี 3 (0.5 คะแนน)
ระบไุ ดวาระบบสมการทีก่ ําหนดให มีคําตอบ ไมมคี ําตอบ หรอื
มหี ลายคาํ ตอบ

36

เลม ที่
2

แบบฝก ทกั ษะที่ 2.2
คําตอบของระบบสมการเชงิ เสน สองตัวแปร

คําชแี้ จง ใหนกั เรียนหาคาํ ตอบของระบบสมการเชงิ เสนตอไปน้ีโดยใชก ราฟ

เมื่อกําหนด x, y เปนจํานวนจริง แลวระบุวา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมีคําตอบเดียว ไมมี
คําตอบ หรอื มหี ลายคําตอบ

1. x + y = 3 และ x – y = 2

x 012
y=3–x 321
y=x–2 -2 -1 0

Y

8 X
7
6
5
4
3
2
1

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6
−2
−3
−4

จากกราฟ เสนตรงท่ีไดจาก x + y = 3 และเสนตรงที่ไดจ าก x – y = 2
ตดั กนั ทจี่ ุด (2.5 , 0.5) เพียงจุดเดียว
ดังนนั้ (2.5 , 0.5) เปนคําตอบของระบบสมการท่ีกําหนดให มคี ําตอบเดียว

37

เลม ที่
2

2. y = 3x + 2 และ y = 3x - 3

x –1 0 1
y = 3x + 2 -1 2 5
y = 3x - 3 -6 -3 0

Y

5 y = 3x + 2
4

3 y = 3x - 3
2

1

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6 X
−2
−3
−4

−5
−6

จากกราฟ เสนตรงท่ีไดจาก y = 3x + 2 และเสนตรงทีไ่ ดจ าก y = 3x – 3
กราฟของสมการทั้งสอง เปนเสนตรงสองเสน ขนานกัน จึงไมม คี ูอันดับใดเปน คาํ ตอบของสมการทั้งสอง
ดงั นน้ั ระบบสมการเชงิ เสนสองตวั แปรนี้ ไมมีคาํ ตอบ

38

เลม ที่
2

3. x + 2y = 6 และ 2x + 4y = 12

x –2 0 2

y = –x +2 6 432

y = –2x + 12 4 3 2
4

Y

8 X
7
6
5
4
3
2
1

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6
−2
−3
−4

จากกราฟ จะมีคูอ นั ดับมากมายทเ่ี ปน คาํ ตอบของสมการ x + 2y = 6 และ 2x + 4y = 12
กราฟของสมการท้งั สอง เปน เสนตรงสองเสน ซ่งึ ทบั กัน หรอื เปนเสน ตรงเดียวกัน
แสดงวา คอู ันดบั ทกุ คูอนั ดับบนพกิ ัดของจุดบนเสนตรงที่ ทับกนั นี้ เปนคาํ ตอบของสมการท้งั สอง
ดงั น้ัน ระบบสมการเชงิ เสน สองตัวแปรนี้ มีหลายคาํ ตอบ

39

เลม ที่
2

4. 2x + y = 4 และ 4x – y = 2

x 0 1 2
y = –2x + 4 4 2 0
y = 4x – 2 –2 2 6

Y 4x – y = 2 X

8
7
6
5
4
3
2
1

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6
−2

−3 2x + y = 4

−4

จากกราฟ เสน ตรงท่ีไดจาก 2x + y = 4 และเสน ตรงท่ีไดจ าก 4x – y = 2
ตดั กนั ทีจ่ ุด (1 , 2) เพยี งจดุ เดียว
ดงั นนั้ (1 , 2) เปนคาํ ตอบของระบบสมการทก่ี ําหนดให มีคําตอบเดียว

40

เลม ท่ี
2

5. y= –x +4 และ y = 1 x + 1
2

x 024

y = –x + 4 420

y = 1 x+ 1 1 2 3
2

Y

y = –x + 4 8
7
6 y = 1 x + 1
5 2
4

3

2

1 X
−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6

−2

−3

−4

จากกราฟ เสน ตรงที่ไดจ าก y = -x + 4 และเสนตรงที่ไดจ าก y = 12x + 1
ตดั กนั ท่จี ดุ (2 , 2) เพียงจุดเดียว

ดงั นัน้ (2 , 2) เปน คาํ ตอบของระบบสมการท่กี ําหนดให มีคําตอบเดียว

41

เลม ที่
2

แบบบนั ทึกคะแนน
เลมที่ 2 เร่ือง ระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปร

ช่ือ-สกลุ ..........................................ชนั้ ....................กลุมท.่ี ................เลขท.่ี ............

1. คะแนนจากแบบทดสอบ คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด ผลการประเมิน
..................................
แบบทดสอบ 10
กอนเรยี น 10
หลังเรียน

2. คะแนนจากแบบฝกทกั ษะ คะแนนเต็ม คะแนนท่ไี ด ผลการประเมิน

แบบฝกทักษะ 10
แบบฝก ทักษะที่ 2.1.1 10
แบบฝกทักษะที่ 2.1.2 10
แบบฝกทกั ษะที่ 2.2 30
10
รวม 100
คา เฉลยี่
รอ ยละ

หมายเหตุ นักเรียนตองไดค ะแนนหลังเรียน ตั้งแต 7 คะแนน จงึ ผา นเกณฑการประเมิน

ลงช่ือ ................................................... ผตู รวจ
42

เลมท่ี
2

ชื่อ – สกุล ประวัติผจู ดั ทาํ
วนั เดอื นปเ กดิ
สถานท่ที าํ งานปจ จบุ นั นางอริศรา สะใบงาม
ตาํ แหนง 19 กันยายน 2526
ประวัติการศึกษา โรงเรียนเมืองกระบ่ี อําเภอเมือง จังหวดั กระบี่
ครู วทิ ยฐานะ ชํานาญการ
ประวตั ิการทาํ งาน ปรญิ ญาโท กศ.ม.(การบรหิ ารการศึกษา)
มหาวิทยาลยั บรู พา
ปริญญาตรี วท.บ. (ศกึ ษาศาสตร) วชิ าเอก คณิตศาสตร
มหาวทิ ยาลัยสงขลานครนิ ทร
ครูผูส อนรายวิชา คณติ ศาสตร ระดบั ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 5-6 เปน เวลา 2 ป
ครูผสู อนรายวชิ า คณิตศาสตร ระดับช้นั มธั ยมศกึ ษาตอนตน เปน เวลา 6 ป

43