เล่มที่-3-กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร-Finish

เลมที่
3

คาํ นํา

แบบฝก ทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ขั้นตอน (5 STEPs) เร่ือง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณิตศาสตร 5 รหัสวิชา ค23101 สําหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 จัดทําขึ้นเพ่ือพัฒนาการจัด
กระบวนการเรียนรแู ละยกระดับผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนของนักเรียนใหสูงขึ้น โดยผูจัดทําไดจัดกระบวนการ
เรียนรูใหแกนักเรียนไดเผชิญกิจกรรมอยางหลากหลายท้ังทักษะดานความรู กระบวนการ และการปลูกฝง
คุณธรรม จริยธรรมตามหลักปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง ตลอดจนมีเจตคติที่ดีตอคณิตศาสตรและคานิยมอัน
พึงประสงค

แบบฝก ทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ข้ันตอน (5 STEPs) เรื่อง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณิตศาสตร 5 รหัสวชิ า ค23101 สาํ หรบั นักเรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 3 จัดทําขน้ึ ครอบคลุมมาตรฐาน ตัวชี้วัด
และสาระการเรียนรูแกนกลาง ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 และหลักสูตร
สถานศึกษาโรงเรียนเมืองกระบ่ี ซึ่งประกอบดวยแบบฝกทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ข้ันตอน
(5 STEPs) เร่ือง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชาคณิตศาสตร 5 รหัสวิชา ค23101 สําหรับนักเรียนชั้น
มธั ยมศึกษาปท ่ี 3 ทั้งหมด 5 เลม

แบบฝก ทกั ษะน้ี เปนเลม ท่ี 3 กราฟของสมการเชงิ เสนสองตัวแปร ผูจัดทําไดเรียบเรียงแบบฝก
ทักษะดังกลาวอยางเปนระบบสอดคลองกับแผนการจัดการเรียนรู เพ่ือใหมีความสอดคลองกับความรู
ความสามารถ ความสนใจ ตามศักยภาพและความแตกตางระหวางบุคคลท่ีเอื้อตอการเรียนรูอยางมี
ประสิทธิภาพ โดยผานขั้นตอนการสรางและทดลองใชเพ่ือหาประสิทธิภาพของแบบฝกทักษะ จนไดส่ือที่มี
ประสทิ ธิภาพสามารถนําไปพัฒนาผูเรียนได

ผูจัดทําขอขอบพระคุณทุกฝายท่ีเก่ียวของในความสําเร็จของการพัฒนาแบบฝกทักษะ โดยใช
กระบวนการเรียนรู 5 ข้ันตอน (5 STEPs) เร่ือง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชาคณิตศาสตร 5 รหัสวิชา
ค23101 สาํ หรับนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 ในครั้งนี้ หากเกิดขอผิดพลาดประการใด ผูจัดทํายินดีนอมรับ
แกไ ขเพอ่ื ประโยชนตอการพัฒนาศักยภาพเยาวชนไทยตอไป

อริศรา สะใบงาม

ก

เลมที่
3

สารบญั

หนา

คาํ นาํ .......................................................................................................................................... ก
สารบัญ...................................................................................................................................... ข
คาํ ชีแ้ จงการใชแ บบฝก ทักษะ.................................................................................................... 1
คาํ ช้แี จงสาํ หรับครูผสู อน........................................................................................................... 2
คาํ ชแ้ี จงสําหรับนักเรยี น............................................................................................................ 3
มาตรฐานและตัวชวี้ ัด................................................................................................................ 4
จดุ ประสงคการเรียนรู................................................................................................................ 5
แบบทดสอบกอ นเรยี น............................................................................................................... 6
กระดาษคําตอบแบบทดสอบกอนเรยี น..................................................................................... 8
ใบความรทู ่ี 3.1 การหาจดุ ตดั แกน X และแกน Y...................................................................... 9
แบบฝกทกั ษะที่ 3.1 การหาจุดตัดแกน X และแกน Y …………………………………………………… 12
ใบความรทู ี่ 3.2 ความชันของเสนตรง………………………………………..…………………………………… 15
แบบฝกทกั ษะท่ี 3.2 ความชันของเสน ตรง………………………………………………………..…………… 17
ใบความรูท่ี 3.3 ความสัมพนั ธระหวางกราฟเสน ตรงสองเสน..................................................... 22
แบบฝก ทกั ษะที่ 3.3 ความสัมพนั ธระหวางกราฟเสนตรงสองเสน ............................................. 30
แบบทดสอบหลงั เรยี น............................................................................................................... 33
กระดาษคําตอบแบบทดสอบหลังเรียน...................................................................................... 35
บรรณานุกรม............................................................................................................................. 36
ภาคผนวก.................................................................................................................................. 37
38
เฉลยแบบทดสอบกอน-หลงั เรียน.................................................................................. 39
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 3.1 การหาจดุ ตัดแกน X และแกน Y......................................... 42
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 3.2 ความชนั ของเสนตรง........................................................... 47
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 3.3 ความสมั พันธระหวางกราฟเสนตรงสองเสน........................ 51
แบบบันทกึ คะแนน เลมที่ 3 เรอื่ ง กราฟของสมการเชิงเสน สองตวั แปร........................ 52
ประวัติผจู ัดทาํ ............................................................................................................................

ข

เลมที่
3

คําช้แี จงการใชแบบฝกทักษะ

1. แบบฝก ทกั ษะ โดยใชก ระบวนการเรยี นรู 5 ขั้นตอน (5 STEPs) เรื่อง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณิตศาสตร 5 รหสั วชิ า ค23101 สาํ หรับนักเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 3 ประกอบดว ยแบบฝกทักษะ 5 เลม ดังน้ี

เลม ท่ี 1 เร่ือง สมการเชงิ เสน สองตัวแปร
เลม ที่ 2 เรอ่ื ง ระบบสมการเชิงเสนสองตวั แปร
เลม ท่ี 3 เรื่อง กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร
เลมที่ 4 เรอ่ื ง การแกร ะบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร
เลมที่ 5 เรื่อง โจทยปญ หาระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร
2. แบบฝกทักษะเลมน้ี เปนเลมท่ี 3 เรื่อง กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร ใชประกอบแผนการ
จัดการเรียนรู รายวิชาคณติ ศาสตร 5 ค23101 ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 3 ใชเ วลา 3 ชั่วโมง
3. สวนประกอบของแบบฝกทักษะ ประกอบดวย คําช้ีแจง คําช้ีแจงสําหรับครูผูสอน คําช้ีแจงสําหรับ
นักเรียน มาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัด จุดประสงคการเรียนรู แบบทดสอบกอนเรียน กระดาษคําตอบ
แบบทดสอบกอนเรียน ใบความรู แบบฝกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน กระดาษคําตอบหลังเรียน และเฉลย
แบบฝก ทักษะท้ังหมด
4. ผูใชแบบฝกเลมน้ี ควรศึกษาแผนการจัดการเรียนรูและคําชี้แจงในการใชแบบฝกทักษะ
กอ นใชแ ละปฏิบัติตามขนั้ ตอนการจดั การเรยี นรูแ บบ 5 ขนั้ ตอน (5 STEPs) ดังนี้
ข้นั ท่ี 1 การเรยี นรูต้ังคาํ ถาม (Learn to Question)
ข้ันท่ี 2 การเรียนรูแสวงหาสารสนเทศ (Learn to Search)
ข้นั ท่ี 3 การเรยี นรูเ พอ่ื สรา งความรู (Learn to Construct)
ขั้นที่ 4 การเรียนรูเพอ่ื ส่ือสาร (Learn to Communicate)
ข้ันที่ 5 การเรียนรเู พ่ือตอบแทนสังคม (Learn to Serve)
5. แบบฝกทักษะนี้ไดเรียบเรียงขึ้นอยางเปนระบบทําใหผูเรียนสามารถนําไปศึกษาไดดวยตนเองหรือ
ครูใชประกอบการสอนรวมกับแผนการจัดการเรียนรูแบบ 5 ขั้นตอน (5 STEPs) ย่ิงทําใหแบบฝกทักษะนี้มี
ประสิทธภิ าพเกิดประสทิ ธิผลในการพฒั นาผูเ รียนเปน อยางดี

1

เลมท่ี
3

คาํ ชแ้ี จงสําหรบั ครูผูส อน

แบบฝกทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ข้ันตอน (5 STEPs) เรื่อง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณติ ศาสตร 5 รหสั วชิ า ค23101 สําหรับนักเรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 3 เลมที่ 3 เรื่อง กราฟของสมการเชิงเสน
สองตวั แปร เพื่อชว ยใหการจดั กิจกรรมการเรยี นรมู ีประสทิ ธิภาพ ครผู สู อนควรดาํ เนินการ ดังนี้

1. ขนั้ เตรยี มการจดั กระบวนการเรยี นรู
1.1 ศกึ ษารายละเอียดคาํ ชีแ้ จงในการใชแบบฝกทกั ษะใหเขาใจ
1.2 ศึกษามาตรฐานการเรียนรู ตัวช้ีวัด จุดประสงคการเรียนรู และขั้นตอนตาง ๆ ในแผนการ

จัดการเรียนรใู หเขาใจชดั เจน
1.3 เตรียมสื่ออุปกรณสําหรับการจัดกิจกรรมการเรียนรูใหพรอมและครบจํานวนนักเรียนใน

ช้นั เรยี นแตล ะกลมุ
1.4 แบงกลุมโดยใชผลจากการวิเคราะหผูเรียนเปนรายบุคคล กลุมละ 5 – 6 คน ใหมีการแบง

หนา ท่คี วามรับผดิ ชอบในกลุม
2. ขั้นการจัดกระบวนการเรียนรู
ครผู ูสอนดําเนนิ การจดั กจิ กรรมการเรยี นรู ตามกระบวนการเรยี นรูแบบ 5 ขั้นตอน (5 STEPs) ดงั น้ี
ขั้นที่ 1 การเรียนรูต้งั คําถาม (Learn to Question) เปน การกระตนุ ใหนักเรียนมีความสนใจโดยใช

คําถาม
ขั้นที่ 2 การเรียนรูแสวงหาสารสนเทศ (Learn to Search) เปนการคนหาขอมูลจากแหลงเรียนรู

ทีห่ ลากหลาย แลวนาํ มาสรุปเปน สารสนเทศ
ขั้นที่ 3 การเรียนรูเพื่อสรางความรู (Learn to Construct) เปนการนําความรูที่แสวงหามาใชใน

กจิ กรรมตา ง ๆ เชน กระบวนการกลุมและการทําแบบฝก เสริมทกั ษะการเรียนรู
ขน้ั ท่ี 4 การเรยี นรเู พ่อื สอ่ื สาร (Learn to Communicate) เปนการนําเสนอขอมูลเพ่ือแลกเปล่ียน

เรยี นรทู งั้ ภายในกลมุ และภายในชั้นเรียน
ข้ันท่ี 5 การเรียนรูเพื่อตอบแทนสังคม (Learn to Serve) เปนการนําความรูที่ไดรับขยายจาก

ตนเองเพือ่ ประโยชนต อคนรอบขา ง ชุมชน สังคม หรอื ระดับประเทศ
3. ขั้นหลงั การจดั กระบวนการเรียนรู
นักเรยี นวิเคราะหต นเองวา ควรจะทบทวนบทเรียนเพ่มิ เติมหรือศกึ ษาแบบฝกเลมตอไป

2

เลมที่
3

คาํ ชี้แจงสําหรบั นกั เรยี น

แบบฝกทักษะ โดยใชกระบวนการเรียนรู 5 ข้ันตอน (5 STEPs) เรื่อง ระบบสมการเชิงเสน รายวิชา
คณิตศาสตร 5 รหัสวิชา ค23101 สําหรบั นกั เรียนช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 3 เลมที่ 3 เร่ือง กราฟของสมการเชิงเสน
สองตวั แปร เพือ่ ชวยใหการจดั กจิ กรรมการเรียนรูมีประสทิ ธิภาพ นกั เรียนสามารถปฏิบัตติ ามลําดับขั้นตอนตาม
คําแนะนําอยางละเอียดและถกู ตอง ดังนี้

1. อานและทําความเขา ใจ คาํ ชแี้ จงแบบฝก ทักษะใหช ัดเจน
2. ศึกษามาตรฐานการเรยี นรู ตวั ชี้วัด จดุ ประสงคก ารเรยี นรู และสาระการเรยี นรู
3. นักเรียนทําแบบฝกทักษะและปฏิบัติตามคําแนะนํา มีความรับผิดชอบ ทํางานเปนกลุม โดยมี
ครผู สู อนใหความชวยเหลอื
4. ตรวจสอบคําตอบทั้งแบบทดสอบกอนเรียนและหลังเรียนจากเฉลย พรอมบันทึกคะแนนท่ีได
เพื่อเปรียบเทียบกับเกณฑ ซึ่งนักเรียนตองทําแบบทดสอบหลังเรียนใหถูกตองต้ังแต 7 ขอขึ้นไป จึงจะผาน
เกณฑ ถานักเรียนไมผานเกณฑตามท่ีกําหนด ใหนักเรียนนําเอกสารไปทบทวนเน้ือหาดวยตนเองและทํา
แบบทดสอบใหมอ ีกคร้ัง
5. สรุปผลการเรยี นรู ประเมนิ ปรับปรงุ และพัฒนาตนเอง

3

เลมที่
3

มาตรฐานและตวั ชว้ี ดั

สาระที่ 4 พีชคณติ

มาตรฐาน ค 4.2 ใชนิพจน สมการ อสมการ กราฟและแบบจําลองทางคณิตศาสตรอ่ืน ๆ แทน
สถานการณต าง ๆ ตลอดจนแปลความหมาย และนําไปใชแ กปญ หาได

สาระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การส่ือสาร การส่ือความหมายทาง
คณิตศาสตร และการนําเสนอ การเช่ือมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเช่ือมโยงคณิตศาสตรกับศาสตร
อน่ื ๆ และมคี วามคดิ รเิ ริม่ สรางสรรค

ตัวช้วี ัด

ค 4.2 ม. 3/4 อา นและแปลความหมายของกราฟของระบบสมการเชิงเสน สองตวั แปรและกราฟอื่น ๆ
ค 4.2 ม. 3/5 แกระบบสมการเชงิ เสน สองตัวแปรและนําไปใชแกปญหา พรอ มทง้ั ตระหนักถึงความ

สมเหตสุ มผลของคําตอบ
ค 6.1 ม. 3/1 ใชวธิ กี ารทหี่ ลากหลายแกปญ หา
ค 6.1 ม. 3/2 ใชความรู ทกั ษะ และกระบวนการทางคณิตศาสตร และเทคโนโลยใี นการแกป ญ หาใน

สถานการณตาง ๆ ไดอ ยางเหมาะสม
ค 6.1 ม. 3/3 ใชเ หตผุ ลประกอบการตดั สินใจและสรุปผลไดอยา งเหมาะสม
ค 6.1 ม. 3/4 ใชภ าษาและสัญลักษณท างคณิตศาสตรใ นการส่อื สาร การส่ือความหมายและการนาํ เสนอ

ไดอยางถกู ตองและชัดเจน
ค 6.1 ม. 3/5 เชื่อมโยงความรตู า งๆ ในคณติ ศาสตรแ ละนําความรู หลกั การกระบวนการทางคณิตศาสตร

ไปเชือ่ มโยงกับศาสตรอ ่ืน ๆ ไปเชือ่ มโยงกับศาสตรอนื่ ๆ

4

เลมที่
3

จดุ ประสงคการเรียนรู

นกั เรยี นสามารถ

1. หาจดุ ตัดบนแกน X และแกน Y ของกราฟสมการเชิงเสนสองตวั แปร
2. หาความชนั ของสมการเชิงเสน สองตัวแปรได
3. หาคําตอบของระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปรได
4. ระบุไดวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่กําหนดให มีคําตอบเพียงคําตอบเดียว

ไมมคี าํ ตอบ หรือมหี ลายคาํ ตอบ

เปา หมาย
มไี วใหพุงชน

5

เลมที่
3

แบบทดสอบกอนเรยี น

เรอื่ ง กราฟของสมการเชงิ เสน สองตัวแปร เวลา 10 นาที 10 คะแนน
รายวชิ าคณิตศาสตร 5 ค23101 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 3

คําช้แี จง ใหน กั เรียนเลอื กกาเครื่องหมาย X ขอท่ีถกู ตองที่สดุ เพียงคาํ ตอบเดียว

1. กราฟของสมการ 4x + 5y – 20 = 0 ตดั แกน Y ทีจ่ ดุ ใด

ก. (4, 0) ข. (5, 0)

ค. (0, 4) ง. (0, –5)

2. กราฟของสมการ y – 2x = 10 ตดั แกน X ที่จดุ ใด

ก. (-5, 0) ข. (5, 0)

ค. (0, -10) ง. (0, 10)

3. กราฟของสมการ 2x – 3y = 6 ตดั แกน X และ แกน Y ทจี่ ดุ ใด

ก. (–3, 0) และ (0, 2) ข. (3, 0) และ (0, 2)

ค. (–3, 0) และ (0, –2) ง. (3, 0) และ (0, –2)

4. ความชันของกราฟของสมการ y – 2x = 0 ตรงกับขอ ใด

ก. –2 ข. 1

ค. 2 ง. หาคาไมได

5. ความชนั ของกราฟของสมการ 2x – 3y = 6 ตรงกับขอใด
2
ก. –2 ข. - 3
คส.ม23การเสนตรงทีผ่ านจุด
ง. 3
และ
6. (1, 2) (–1, –2) เสนตรงน้ีมีความชนั ตรงกับขอใด

ก. 2 ข. –1

ค. 1 ง. –2

6

เลมที่
3

7. กราฟของสมการเชิงเสน สองตวั แปรคูใดขนานกัน
ก. 2y – 8 = 0 และ 3x – 9 = 0
ข. y – 3 = 0 และ x – 6 = 0
ค. 2x – 3y = 4 และ x – 2y = 3
ง. y – 2 = 4 และ y – 5 = 0

8. เสน ตรงคใู ดทบั กนั ไดสนิท
ก. 3x – 2y = 6 และ 9x – 6y = 18
ข. 3x + y = 4 และ 12x + 3y = 10
ค. 2x + 5y =7 และ 3x + 5y = 7
ง. x – 11y = 4 และ 6x – 20y = 12

9. คําตอบของระบบสมการในขอ ใดไมมีคาํ ตอบ
ก. y – x = 1 และ y + x = 3
ข. y – 3x = 0 และ y = 3x – 2
ค. y – 4x = 3 และ 2y – 8x = 6
ง. 2x – y = 7 และ 4x – 3y = 5

10. ขอ ใดกลา วไมถ กู ตอ ง
ก. กราฟของสมการ 4x – 3y = 2 และ 8x – 6y = 12 ขนานกนั
ข. กราฟของสมการ 2x + y = 1 จะทํามุมแหลมกับแกน X
ค. กราฟของสมการ 2x + y = 15 และ x – 3y = 4 ตัดกันท่จี ดุ (7, 1)
ง. กราฟของสมการ y – 3 = 0 จะตดั แกน Y ที่จุด (0, 3)

7

เลมที่
3

กระดาษคําตอบแบบทดสอบกอนเรียน

ใหนกั เรียนเลือกขอที่ถูกตองท่ีสดุ เพยี งคาํ ตอบเดยี ว แลว ทําเคร่ืองหมาย X ลงในกระดาษคําตอบ

ทดสอบกอ นเรยี น

ขอ ก ข ค ง
1
2 ต้งั ใจเรียนนะ
3 เอาใจชวยทุกคน
4
5 สู ๆ คะ
6
7
8
9
10

รวมคะแนน

8

เลมที่
3

ใบความรูที่ 3.1
การหาจดุ ตดั แกน X และจุดตดั แกน Y

• นักเรยี นสามารถหาจดุ ตัดบนแกน X และแกน Y ของกราฟสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ทบทวน

จากรปู ทวั่ ไปของสมการเชิงเสนสองตัวแปร Ax + By + C = 0
เม่ือ A, B และ C เปนคาคงตัว x, y เปนตัวแปร และ A กับ B ไมเทากับศูนยพรอมกันในกรณีที่
ตอ งการเขียนกราฟ เพอ่ื ความสะดวก อาจจัดสมการใหอ ยใู นรูปใหม ไดดังน้ี

Ax + By + C = 0

By = –Ax – C
A C
y = – B x – B

ถาให a = – A และ b = – C
B B
จะได y = ax + b (รูปมาตรฐานของสมการเชงิ เสนสองตัวแปร)

โดยท่ี a คือ ความชนั ของเสน ตรง (Slope)

b คือ ระยะเสนตรงตัดแกน Y (Y – intercept)

ซงึ่ จะไดวา เสน ตรงตดั แกน Y ท่ีจุด (0, b) น่นั เอง

9

เลมที่
3

การหาจดุ ตดั แกน X และจุดตัดแกน Y

หลักการเขยี นกราฟเสน ตรง หรือกราฟสมการเชงิ เสน y = ax + b
1. การหาจุดตดั แกน X (X – intercept)

จากสมการ y = ax + b หาไดโดยการแทนคา y = 0 ในสมการ แลวแกสมการ
หาคา x ดงั น้ี

จาก y = ax + b
แทนคา y = 0 ; 0 = ax + b
ดังน้นั x = –

นั่นคือ จดุ ตดั แกน X คือ (- ba, 0)

2. การหาจุดตัดแกน Y (Y – intercept)
จากสมการ y = ax + b หาไดโดยการแทนคา x = 0 ในสมการ แลวแกสมการ

หาคา y ดงั นี้
จาก y = ax + b
แทนคา x = 0 ; y = a(0) + b
ดงั นน้ั y = b
นัน่ คอื จดุ ตัดแกน Y คือ (0 , b)

10

เลมที่
3

3. ลากเสนตรงเช่ือมจุดตัดแกน X และจดุ ตดั แกน Y จะไดกราฟสมการเชงิ เสน สองตวั แปรทต่ี อ งการ

ตวั อยางท่ี 1 จงเขยี นกราฟสมการเชงิ เสน 2x + 3y = 4

วิธที าํ 2x + 3y = 4

จัดสมการใหม y=– +

แทนคา y = 0 ;0 = – +

=

ดงั นั้น x = 2
นนั่ คือ จดุ ตดั แกน X คอื (2, 0)

แทนคา x = 0 ; y = – (0) +

y=

ดังนัน้ y =

นั่นคือ จุดตัดแกน Y คือ (0, 4 )
3

เขียนกราฟไดด งั รูปตอไปน้ี จจุดดุ ตตัดัดแแกกนนXYคคือือ((-0ba,,b0))

Y

3
2
1

−2 −1−1 0 1 2 3 4 5 X

−2 2x + 3y = 4
−3

11

เลมที่
3

แบบฝกทกั ษะที่ 3.1
การหาจดุ ตัดแกน X และแกน Y

ชอื่ ......................................................ชั้น.........เลขที่...........

คําชแ้ี จง ใหนักเรยี นหาจดุ ตัดแกน X และแกน Y ของสมการเชิงเสนสองตัวแปรท่ีกาํ หนดใหตอ ไปน้ี

ตัวอยา งท่ี 1 y = 3x – 2 หาจุดตดั แกน Y โดยให x = 0
แทนคา x = 0 ; y = 3(0) –2
หาจุดตดั แกน X โดยให y = 0
แทนคา y = 0 ; 0 = 3x – 2 y = –2
ดงั นั้น y = –2
3x = 2

ดังนน้ั x =

นัน่ คอื จุดตดั แกน X คอื ( , 0) น่นั คือ จุดตัดแกน Y คอื (0, –2)
ั Y ื  ั ั (0 b)
ั X ื  ั ั ( 0)

1. x + y = 4 จัดสมการใหมใหอยูในรปู y = ax + b จะได..............................................

หาจุดตดั แกน X โดยให y = 0 หาจุดตดั แกน Y โดยให x = 0
แทนคา ......................................................... แทนคา.........................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
นนั่ คือ จุดตัดแกน X คือ.......................... นั่นคือ จุดตัดแกน Y คอื ..........................

12

เลมที่
3

2. 3x + y = 6 จดั สมการใหมใหอ ยูในรูป y = ax + b จะได..............................................

หาจดุ ตดั แกน X โดยให y = 0 หาจุดตดั แกน Y โดยให x = 0
แทนคา......................................................... แทนคา.........................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
นนั่ คือ จุดตดั แกน X คอื .......................... นน่ั คอื จุดตดั แกน Y คือ..........................

3. 3x + 2y = 6 จัดสมการใหมใหอยใู นรูป y = ax + b จะได..............................................

หาจดุ ตดั แกน X โดยให y = 0 หาจุดตัดแกน Y โดยให x = 0
แทนคา......................................................... แทนคา .........................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
นั่นคอื จุดตัดแกน X คอื .......................... น่ันคือ จุดตดั แกน Y คอื ..........................

4. x - y = 5 จดั สมการใหมใ หอ ยใู นรปู y = ax + b จะได.......................................

หาจุดตัดแกน X โดยให y = 0 หาจุดตดั แกน Y โดยให x = 0
แทนคา ......................................................... แทนคา.........................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
น่นั คอื จุดตดั แกน X คือ.......................... นนั่ คือ จุดตัดแกน Y คอื ...........................

13

เลมที่
3

5. 5x + 3y = 15 จดั สมการใหมใ หอยูในรูป y = ax + b จะได................................................

หาจดุ ตัดแกน X โดยให y = 0 หาจดุ ตัดแกน Y โดยให x = 0
แทนคา......................................................... แทนคา .........................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
..................................................................... .....................................................................
น่นั คือ จดุ ตัดแกน X คอื .......................... นัน่ คือ จดุ ตดั แกน Y คอื ...........................

เกณฑก ารใหคะแนน แบบฝกทักษะที่ 3.1

คะแนนทีใ่ ห ตัวชวี้ ดั ในการใหค ะแนน ขอละ 2 คะแนน
2 จัดสมการในรูป y = ax + b ได และหาจุดตัดแกน X
1.5 และจุดตัดแกน Y ไดถูกตอ ง
1
0 จัดสมการในรูป y = ax + b ได แตหาจุดตัดแกน X
หรอื จุดตดั แกน Y ไดถ ูกตอ งเพียงคา เดยี ว

จัดสมการในรูป y = ax + b ได และหาจุดตัดแกน X
และจดุ ตดั แกน Y ไมถกู ตอง

จัดสมการในรปู y = ax + b ไมได หาจุดตัดแกน X และ
จดุ ตัดแกน Y ไมถกู ตอ ง

14

เลมที่
3

ใบความรทู ี่ 3.2
ความชนั ของเสน ตรง

จดุ ประสงคก ารเรยี นรู
นักเรยี นสามารถ
• หาความชนั ของสมการเชิงเสนสองตวั แปรได

ความชนั ของเสนตรง

นกั เรียนสามารถหาความชันของเสนตรงไดดงั นี้

กรณที ่ี 1
จากรปู สมการมาตรฐานของสมการเชงิ เสน สองตัวแปร

y = ax + b
a เปน สัมประสทิ ธข์ิ อง x เรียก a วา ความชนั ของเสน ตรง

กรณที ี่ 2

ถาทราบจดุ ที่เสนตรงผา นจุด 2 จุด คือ (x1, y1) และ (x2, y2)
สามารถหาความชันของเสน ตรงไดด ังน้ี

ความชันของเสนตรง = y2 - y1
x2 - x1

15

เลมที่
3

ตัวอยา งที่ 2

จงหาความชันของเสน ตรง 3y = 4x + 12 และตดั แกน Y ท่ีจุดใด

วิธที าํ จาก 3y = 4x + 12

y= +4

นนั้ คือ a = ; b = 4

ดงั นน้ั ความชนั ของเสนตรงน้ี คือ และตดั แกน Y ทีจ่ ดุ (0, 4)

ตัวอยา งท่ี 3

จงหาความชนั ของเสนตรงท่ีผา นจุด (–2, 4) และ (1, 3)
วธิ ที าํ ให (x1, y1) = (–2, 4) และ (x2, y2) = (1, 3)

จาก ความชันของเสนตรง =

ดังน้นั ความชันของเสน ตรงน้ี คอื =

จาํ กนั ไดไ หมคะ วา
จดุ ตดั แกน Y คอื
คอู นั ดับ (0, b)

16

เลมที่
3

แบบฝก ทกั ษะที่ 3.2
ความชันของเสนตรง

ชอ่ื ......................................................ช้นั .........เลขท.ี่ ..........

คําช้ีแจง
ตอนท่ี 1 ใหน ักเรียนหาความชนั ของสมการเสนตรงตอ ไปน้ี พรอมเขยี นกราฟของสมการโดยใชแ กนคูเดียวกัน

1. 4x – 2y – 2 = 0
วธิ ีทาํ 4x –2y – 2 = 0
2y = 4x –2
y = 2x - 1
ดังน้ัน ความชันของสมการเสน ตรงน้ี คอื ………………….

2. 4x – y – 8 = 0

……ว…ิธ…ีท…ํา ……4…x…–…y…–…8…=…0………………………………………………………………………………………
…………………………………y …=…4x…–……8 ………………………………………………………………………………
…………………ด…ัง…น้ัน……ค…วา…ม…ชัน…ข…อ…งส…ม…กา…รเ…สน…ต…ร…งน…้ี ค…อื ……………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

3. 3x – 5y = 4
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………

17

เลมที่
3

เขยี นกราฟของสมการ y = 2x – 1, y = 4x – 8 และ y = ไดด งั นี้

y = 2x – 1 y = 4x – 8 y=
x –2 0 1
x –1 0 3 x –1 0 1 y
y y

Y

4

3
2
1

−5 −4 −3 −2 −1−10 12 345 6 X
−2
−3
−4
−5

−–––9876

จากกราฟ จะเห็นวา ถา a > 0 (ความชันเปนบวก) กราฟจะทํามุม....................กับแกน X เม่ือวัดมุม
ทวนเขม็ นาฬกิ า และ a ยิ่งมาก กราฟย่งิ ชนั

18

เลมที่
3

4. 5x + 2y – 7 = 0
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………

5. 2x + 4y = 8
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………

6. 5x + 4y = 2
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………
………………………………………………………………………………………………………………….....................……………

เขียนกราฟของสมการ y = − 5 x + 7 , y= − 1 x + 2 และ y = − 5 x + 1 ไดดงั นี้
2 2 2 4 2
5 7 1 5 1
y = − 2 x + 2 y = − 2 x + 2 y = − 4 x + 2

x –1 0 2 x –2 0 4 x –2 0 2
y y y

19

เลมที่
3

Y
4Y

3
2
1

−5 −4 −3 −2 −1−10 12 345 6 X
−2
−3
−4
−5
−6

จากกราฟ จะเห็นวา ถา a < 0 (ความชันเปนลบ) กราฟจะทํามุม..................กับแกน X เมื่อวัดมุม
ทวนเขม็ นาฬกิ า และ |a| ยิง่ มาก กราฟย่ิงชนั

ตอนที่ 2 ใหนกั เรียนหาความชันของสมการเสน ตรง ตอไปน้ี

7. เสน ตรงผา นจดุ (1,- 2) และ (3, 2)

วธิ ีทํา ให (x1, y1) = (1,- 2) และ (x2, y2) = (3, 2)

จาก ความชันของเสนตรง y2- y1 = 2 - (-2) = 4 = 2
x2- x1 3-1 2

ดงั นนั้ ความชนั ของสมการเสน ตรงนี้ คอื .......................

8. เสนตรงผา นจดุ (2, 3) และ (1, –2)

วิธที าํ ให (x1, y1) = (2, 3) และ (x2, y2) = (1, –2)

จาก ความชันของเสนตรง y2- y1 -2 - 3 -5
x2- x1 = 1-2 = -1 = 5

ดงั น้ัน ความชันของสมการเสน ตรงนี้ คอื ………………………

20

เลมที่
3

9. เสนตรงผานจุด (-2, 13) และ (2, 5)
…………………………………………………………………………………………....................……………………………………

……………………….............................………………………………………………………………………………………………………
……………………….............................………………………………………………………………………………………………………
……………………….............................………………………………………………………………………………………………………

10. เสน ตรงผา นจดุ (2, 11) และ (–2, –5)
…………………………………………………………………………………………....................……………………………………

……………………….............................………………………………………………………………………………………………………
……………………….............................………………………………………………………………………………………………………
……………………….............................………………………………………………………………………………………………………

เกณฑก ารใหคะแนน แบบฝกทกั ษะท่ี 3.2

ระดับคะแนน ตวั ช้ีวัดในการใหคะแนน

1 หาความชนั ของเสน ตรงไดถกู ตอ ง

0 หาความชนั ของเสน ตรงไมถกู ตอง

รวมคะแนน 10 คะแนน

21

เลมที่
3

ใบความรูที่ 3.3
ความสัมพนั ธร ะหวา งกราฟเสน ตรงสองเสน

จุดประสงคการเรียนรู
 หาคาํ ตอบของระบบสมการเชงิ เสนสองตัวแปรได
 ระบุไดวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่กําหนดให มีคําตอบเพียงคําตอบเดียว
ไมม ีคําตอบ หรือมีหลายคําตอบ

ความสมั พันธร ะหวางกราฟเสน ตรงสองเสน

พจิ ารณาความสัมพันธระหวา งกราฟเสนตรง 2 เสน ซ่ึงอยใู นรูป

y = a1x1 + b1

y = a2x2 + b2 ดังนี้

กรณที ่ี 1 เม่ือ a1 = a2 (ความชนั เทากัน) และ b1 = b2

กราฟเสน ตรงท้งั สองเสน จะเปนเสนตรงเดยี วกัน (กราฟเสนตรงสองเสน ทับกันสนิท)

ตวั อยา งที่ 4 x – 2y + 4 = 0 และ 4x – 8y + 16 = 0

จาก x – 2y + 4 = 0 จาก 4x – 8y + 16 = 0
จะได 8y = 4x + 16
จะได 2y = x + 4
1 y=
y = 2 x + 2

y = 1 x + 2
2

ความชันเทา กนั

22

เลมที่
3

เขียนกราฟไดดังตอไปน้ี อยาลมื นะครับ
ถา a1 = a2 (ความชันเทากัน)
Y
และ b1 = b2
8 กราฟเสน ตรงสองเสน

7 ทับกนั สนทิ
นนั่ หมายความวา
6 ระบบสมการน้ี
มหี ลายคาํ ตอบ
5 x – 2y + 4 = 0
4 นัน่ เอง

3 4x – 8y + 16 = 0
2

1

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6 X
−2
−3
−4

กรณที ี่ 2 เม่อื a1 = a2 (ความชันเทากนั ) และ b1≠ b2

กราฟเสนตรงท้ังสองเสน จะขนานกนั (กราฟเสน ตรงสองเสน จะขนานกนั )

ตัวอยา งที่ 5 2x – y + 4 = 0 และ 2x – y – 16 = 0
จาก 2x – y + 4 = 0
จะได y = 2x + 4 จาก 2x – y – 16 = 0
จะได y = 2x – 16

y = 2x + 4 y = 2x – 16

ความชันเทากนั อยา ลมื นะคะ
ถา a1 = a2 (ความชนั เทากัน)
Y
และ b1 ≠ b2
8 2x – y + 4 = 0 กราฟเสน ตรงสองเสน

7
6

5
4

3 จะขนานกนั
2

1 X นนั่ หมายความวา ระบบ
สมการนี้ ไมมคี ําตอบ
−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6 23
−2 ่
−3

2x – y – 16 = 0−4

เลมที่
3

กรณีท่ี 3 เมอื่ a1≠ a2 (ความชันไมเทากัน) และ b1 = b2

กราฟเสน ตรงทัง้ สองเสน จะตัดกนั ทแ่ี กน Y

ตวั อยางที่ 6 3x + y + 3 = 0 และ 2x – y – 3 = 0

จาก 3x + y + 3 = 0 จาก 2x – y – 3 = 0

จะได y = –3x – 3 จะได y = 2x – 3

Y ความชันไมเทา กนั

8

7

6 2x – y + 4 = 0

3x + y + 3 = 0 5
4

3

2

1 X
−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6

−2

−3

−4

อยา ลืมนะคะ
ถา a1 ≠ a2 (ความชนั ไมเ ทากนั )

และ b1 = b2
กราฟเสนตรงสองเสน

จะตัดกนั ท่ีแกน Y

นน่ั หมายความวา ระบบ
สมการนี้ มคี าํ ตอบเดยี ว

นน่ั เอง

24

เลมที่
3

กรณีที่ 4 เม่อื a1 ≠ a2 (ความชนั ไมเทา กัน) และ b1 ≠ b2

กราฟเสนตรงทั้งสองเสนจะตัดกัน

ตัวอยา งที่ 7 y = 8x – 4 และ y = 2x + 3

ความชันไมเ ทากนั

Y อยาลืมนะคะ
ถา a1 ≠ a2 (ความชันไมเ ทากนั )
8
และ b1 ≠ b2
7 y = 2x + 3 กราฟเสนตรงสองเสน
6
จะตัดกัน
5

4

3

2

1 X
−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6

−2

y = 8x – 4 −3
−4

น่นั หมายความวา
ระบบสมการนี้
มคี ําตอบเดียว

25

เลมที่
3

กรณีที่ 5 เมอ่ื a1 x a2 = –1 และ b1 = b2 อยาลืมนะครบั
ถา a1x a2= -1 และ b1 = b2
กราฟเสนตรงท้งั สองเสน จะตัดกนั เปน มุมฉากทแ่ี กน Y
กราฟเสนตรงสองเสน
จะตดั กนั เปน มุมฉาก

ทแ่ี กน Y

ตัวอยางท่ี 8 y = –x + 4 และ y = x + 4 ดังรปู
ความชนั คูณกันได -1
(-1) x 1 = -1

Y

y = –x + 4 8
7
6 นั่นหมายความวา
5 ระบบสมการน้ี
4 มีคาํ ตอบเดยี ว
3
2 นั่นเอง
1

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6 X

−2

y=x+4 −3
−4

26

เลมที่
3

กรณที ่ี 6 เมอื่ a1 xa2 = –1 และ b1≠ b2
กราฟเสนตรงทง้ั สองเสน จะตัดกนั เปน มมุ ฉาก

ตวั อยางท่ี 9 y = 3x + 4 และ y = – – 2 ดงั รปู

ความชนั คูณกนั ได -1

3 x �- 31� = -1

Y

8

7

6

5

4

y=– x – 2 3
2

1

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 0 1 2 3 4 5 6 X
−2
−3
−4

y = 3x + 4

นนั่ หมายความวา ระบบสมการนี้ อยา ลืมนะครับ
มคี ําตอบเดยี ว น่ันเอง ถา a1 x a2 = -1 และ b1 ≠ b2

กราฟเสนตรงสองเสน
จะตดั กนั เปนมุมฉาก

27

เลมที่
3

ความสมั พันธระหวา งกราฟเสนตรงสองเสน
สรุป
1. ถาความชันเทากัน a1 = a2 และจุดตัดบนแกน Y เปนจุดเดียวกัน b1 = b2 กราฟเสนตรงทั้ง
สองเสน จะเปน เสนตรงเดยี วกนั กราฟจะทับกันสนิท ระบบสมการจะ มหี ลายคาํ ตอบ
2. ถาความชันเทากัน a1 = a2 และจุดตัดบนแกน Y เปนจุดเดียวกัน b1 ≠ b2 กราฟเสนตรงท้ัง
สองเสนจะขนานกนั กราฟจะขนานกัน ระบบสมการจะ ไมมีคําตอบ
3. ถาความชันไมเ ทากนั a1 ≠ a2 กราฟจะตัดกันระบบสมการจะ มคี าํ ตอบเดยี ว
4. ถา ความชนั a1 x a2 = –1 กราฟจะตดั กันเปนมมุ ฉาก

เปน ยงั ไงกนั บาง เพื่อน ๆ
กราฟของสมการเชงิ เสน สองตวั แปร

ไมยากอยา งท่ีคดิ เลยใชไหม

28

เลมที่
3

ตัวอยางที่ 10 จงตรวจสอบวาระบบสมการมีคําตอบเดียว ไมมีคําตอบ หรือมีหลายคําตอบโดยไมตอง

เขยี นกราฟ

1. x – y = 4 , 2x + y = 2 จดั สมการใหอ ยใู นรูป y = ax + b
มี a1 = 1 และ b1 = –4
วิธที าํ จาก x – y = 4 มี a2 = –2 และ b2 = 2
ได y = x – 4
จาก 2x + y = 2

ได y = –2x + 2

เนอื่ งจาก ความชนั ไมเทา กัน a1 ≠ a2 กราฟตดั กนั
ดังนั้น ระบบสมการน้ี มคี าํ ตอบเดยี ว

………………………………………………………………………………………………………………….

2. x – 2y = 1 , 2x – 4y = 2

วธิ ีทํา จาก x – 2y = 1

ได y = จัดสมการใหอยูในรูป y = ax + b

จาก 2x – 4y = 2 มี a1 = และ b1 = –
ได y = มี a2 = และ b2 = –

เน่ืองจาก ความชันเทา กนั a1= a2 และ b1 = b2 กราฟทับกนั

ดงั นั้น ระบบสมการนี้ มหี ลายคาํ ตอบ

……………………………………………………………………………………………………………..

3. 3x = 2y – 6 , 2y – 3x = –3 จดั สมการใหอยใู นรูป y = ax + b

วิธที าํ จาก 3x = 2y – 6

ได y = + 3 มี a1 = และ b1 = 3

จาก 2y – 3x = –3 มี a2 = และ b2 = –

ได y = 29

เนื่องจาก ความชันเทา กนั a1= a2 และ b1 ≠ b2 กราฟขนานกัน
ดังนนั้ ระบบสมการน้ี ไมมีคําตอบ

เลมที่
3

แบบฝก ทกั ษะท่ี 3.3
ความสมั พนั ธระหวา งกราฟเสนตรงสองเสน

ชอื่ ......................................................ชน้ั .........เลขท.ี่ ..........

คําช้ีแจง ใหนักเรียนตรวจสอบวา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร มีคําตอบเดียว ไมมีคําตอบ หรือมีหลาย
คําตอบโดยไมต องวาดกราฟ

1. 3y + 6x – 12 = 0 และ y + 2x = 4
วิธที าํ ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

2. y = 5x – 7 และ 5y = –2x + 15
วิธีทาํ ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

3. 3x + y – 5 = 0 และ 3x + y – 7 = 0
วธิ ีทาํ ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

30

เลมที่
3

4. 3x – 2y - 5 = 0 และ 5x + 3y = 4
วิธที ํา ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

5. 3x + 4y - 8 = 0 และ 3y = 4x + 6
วิธที ํา ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

6. y – 4x = 3 และ 3y – 12x = 9
วิธที าํ ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

7. y = –4x + 3 และ 3y + 12x = 15
วิธีทาํ ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

31

เลมที่
3

8. 4x – 3y = 7 และ 3x + 4y = 5
วิธีทาํ ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

9. 3x – 2y = 8 และ 6x – 4y = 16
วธิ ีทํา ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

10. y + 4x = 5 และ y = –4x + 3
วธิ ีทาํ ....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

เกณฑก ารใหค ะแนน แบบฝก ทักษะท่ี 3.3
ตอบไดถกู ตอง ขอละ 1 คะแนน
ตอบผดิ หรือไมตอบ ขอละ 0 คะแนน

รวมคะแนน 10 คะแนน

32

เลมที่
3

แบบทดสอบหลังเรียน

เรื่อง กราฟของสมการเชงิ เสนสองตวั แปร เวลา 10 นาที 10 คะแนน
รายวชิ าคณติ ศาสตร 5 ค23101 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 3

คาํ ชีแ้ จง ใหน ักเรียนเลือกกาเคร่ืองหมาย x ขอที่ถูกตองท่ีสุดเพียงคาํ ตอบเดียว

1. กราฟของสมการ 4x + 5y – 20 = 0 ตัดแกน Y ทีจ่ ุดใด

ก. (5, 0) ข. (0, 4)

ค. (4, 0) ง. (0, –5)

2. กราฟของสมการ y – 2x = 10 ตัดแกน X ที่จุดใด

ก. (0, -10) ข. (0, 10)

ค. (-5, 0) ง. (5, 0)

3. กราฟของสมการ 2x – 3y = 6 ตัดแกน X และ แกน Y ทีจ่ ุดใด

ก. (3, 0) และ (0, -2) ข. (-3, 0) และ (0, 2)

ค. (3, 0) และ (0, 2) ง. (-3, 0) และ (0, –2)

4. ความชันของกราฟของสมการ y – 2x = 0 ตรงกบั ขอใด

ก. 1 ข. 2

ค. -2 ง. หาคาไมไ ด

5. ความชันของกราฟของสมการ 2x – 3y = 6 ตรงกับขอใด
2 2
ก. 33 ข. - 3
ค. ง.
-2

6. สมการเสน ตรงท่ีผา นจุด (1, 2) และ (–1, –2) เสน ตรงนีม้ ีความชันตรงกับขอใด

ก. -2 ข. 1

ค. -1 ง. 2

33

เลมที่
3

7. กราฟของสมการเชงิ เสน สองตวั แปรคูใดขนานกนั
ก. y – 3 = 0 และ x – 6 = 0
ข. y – 2 = 4 และ y – 5 = 0
ค. 2y – 8 = 0 และ 3x – 9 = 0
ง. 2x – 3y = 4 และ x – 2y = 3

8. เสน ตรงคูใดทบั กนั ไดส นิท
ก. 3x + y = 4 และ 12x + 3y = 10
ข. x - 11y = 4 และ 6x - 20y = 12
ค. 3x - 2y = 6 และ 9x - 6y = 18
ง. 2x + 5y = 7 และ 3x + 5y = 7

9. คาํ ตอบของระบบสมการในขอ ใดไมม ีคาํ ตอบ
ก. y – 3x = 0 และ y = 3x – 2
ข. y – x = 1 และ y + x = 3
ค. 2x – y = 7 และ 4x – 3y = 5
ง. y – 4x = 3 และ 2y – 8x = 6

10. ขอใดกลาวไมถ ูกตอ ง
ก. กราฟของสมการ y – 3 = 0 จะตดั แกน Y ทจ่ี ดุ (0, 3)
ข. กราฟของสมการ 4x – 3y = 2 และ 8x – 6y = 12 ขนานกัน
ค. กราฟของสมการ 2x + y = 1 จะทาํ มุมแหลมกบั แกน X
ง. กราฟของสมการ 2x + y = 15 และ x – 3y = 4 ตัดกนั ท่ีจดุ (7, 1)

34

เลมที่
3

ก ร ะ ด า ษ คํา ต อ บ แ บ บ ท ด ส อ บ ห ลั ง เ รี ย น
ใหน กั เรียนเลอื กขอทถ่ี ูกตองท่ีสดุ เพียงคําตอบเดียว แลวทาํ เคร่ืองหมาย X ลงในกระดาษคาํ ตอบ

ทดสอบหลังเรียน

ขอ ก ข ค ง
1
2 ตั้งใจเรียนนะ
3 เอาใจชวยทกุ คน
4
5 สู ๆ คะ
6
7
8
9
10

รวมคะแนน

35

เลมท่ี
3

บรรณานกุ รม

กนกวลี อุษณกรกุล และคณะ. คูมือครู คณิตศาสตร ม.3 เลม 1. พิมพครั้งที่ 1. กรุงเทพมหานคร : บริษัท
อกั ษรเจริญทศั น อจท. จาํ กดั .

กมล เอกไทยเจริญ. คมู อื คณติ ศาสตร ม.3 เลม รวม. กรงุ เทพมหานคร : ธีรพงษการพมิ พ.
โชคชัย สิริหาญอุดม. แบบฝกหัดคณิตศาสตร ม.3 เลม 1 (รายวิชาพ้ืนฐาน).กรุงเทพมหานคร: เดอะบุคส ,

2554
ณรงค ปนนิ่ม และคณะ.คูมือเตรียมสอบ คณิตศาสตร รวม ม.1 -2 -3.กรุงเทพมหานคร : ภูมิบัณฑิตการพิมพ

จาํ กัด.
มาลินท อิทธิรส และคณะ. หนังสือเรียนสาระการเรียนรูพ้ืนฐาน คณิตศาสตร ม.3. กรุงเทพมหานคร :

สาํ นักพิมพ บริษทั พฒั นาคณุ ภาพวชิ าการ(พว.)จํากัด, 2552
ยุพิน พิพิธกุล และสิริพร ทิพยคง.ชุดกิจกรรมพัฒนาการคิด คณิตศาสตร ม.3 เลม 1 ตามหลักสูตรแกนกลาง

การศกึ ษาข้นั พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร สํานักพิมพ บริษัทพัฒนาคุณภาพวิชาการ(พว.)
จาํ กัด , 2558
วาสนา ทองการุณ. คณติ ศาสตร ม.3 เลม 1. รายวชิ าพ้ืนฐาน. กรงุ เทพมหานครฯ : เดอะบุคส, 2555
วินิจ วงศรัตนะ. คูมือเตรียมสอบ คณิตศาสตร ม.1-3 พื้นฐาน&เพ่ิมเติม. กรุงเทพมหานคร : เทพเนรมิต
การพมิ พ.
สามารถ พงศไ พบลู ย. เฉลย-เกง็ O-Net ม.3. นนทบุรี : บรษิ ัทไทยเนรมติ กิจ อนิ เตอรโ ปรเกรสซฟี จาํ กดั .
สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี,สถาบัน. หนังสือเรียนรายวิชา คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษา
ปที่ 3 กลุมสาระการเรียนรคู ณติ ศาสตร ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551.
พิมพครง้ั ท่ี 1. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพส กสค.ลาดพรา ว,2553
สมนึก ภัททิยธนี และปาหนัน ภัททิยธนี. คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3. พิมพคร้ังที่ 1. กาฬสินธุ : โรงพิมพ
ประสานการพมิ พ, 2553

36

เลมที่
3

ภาคผนวก

37

เลมที่
3

เฉลยแบบทดสอบกอน - หลังเรียน

กอนเรยี น หลงั เรียน

ขอ ก ข ค ง ขอ ก ข ค ง
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10  10 

รวมคะแนน รวมคะแนน

38

เลมที่
3

แบบฝกทักษะที่ 3.1
การหาจดุ ตดั แกน X และแกน Y

ชอื่ ......................................................ช้นั .........เลขท่ี...........

คาํ ชแ้ี จง ใหนกั เรียนหาจดุ ตดั แกน X และแกน Y ของสมการเชงิ เสนสองตัวแปรที่กาํ หนดใหต อ ไปน้ี

ตัวอยา ง 1 y = 3x – 2

หาจุดตัดแกน X โดยให y = 0 หาจดุ ตดั แกน Y โดยให x = 0
แทนคา y = 0 ; 0 = 3x – 2 แทนคา x = 0 ; y = 3(0) –2

3x = 2 y = –2

ดงั น้นั x = ดงั นั้น y = –2

นัน่ คือ จุดตัดแกน X คือ ( , 0) นัน่ คือ จุดตัดแกน Y คอื (0, –2)

ั X ื  ั ั ( 0) ั ื  ั ั ( b)
1. x + y = 4 จัดสมการใหมใหอ ยใู นรปู y = ax + b จะได y = - x + 4

หาจุดตัดแกน X โดยให y = 0 หาจุดตัดแกน Y โดยให x = 0
แทนคา.........y...=....0...;....y....=...-..x...+....4.................. แทนคา.......x....=...0....;..y.....=....-.x....+....4............
...................................0....=....-.x...+....4.................. ..................................y...=....-..0...+....4............
...................................x....=...4........................... ..................................y...=....4.....................
..................................................................... ..............................................................
น่ันคอื จุดตัดแกน X คือ......(...4...,...0...).. นัน่ คือ จุดตัดแกน Y คอื .....(...0...,...4...).....

39

เลมที่
3

2. 3x + y = 6 จดั สมการใหมใ หอ ยูในรูป y = ax + b จะได y = -3x + 6

หาจดุ ตัดแกน X โดยให y = 0 หาจดุ ตดั แกน Y โดยให x = 0
แทนคา....y....=....0...;....y.....=....-.3..x...+....6................... แทนคา ....x....=...0....;....y....=....-..3..x...+....6...............
................................0...=....-.3...x...+....6................... ...............................y....=....-.3..(..0..)..+....6.............
..............................3..x....=....6............................. ...............................y....=....6..........................
................................x....=....2............................. .................................................................
นั่นคือ จดุ ตัดแกน X คือ....(..2....,..0....).... น่ันคือ จุดตัดแกน Y คอื ....(..0....,..6....)....

3. 3x + 2y = 6 จดั สมการใหมใหอ ยูในรูป y = ax + b จะได y = - 3 x + 3
2

..ห.แ......ทา......จน.........ุดค......ตา..........ดั ........แ............ก........น................X................yโ........ด........=ย........ใ....0....ห............;....y............3=2........yx....xx....0........====................-323............23....3x........x....2........+................3............ แห...ทา..จน...ดุค..ตา....ัด....แ......ก....น........Y........โ..ด..x....ย....=ใ....ห....0....x..;....=......yy..0......==......-0......32..+......(..03....)......+......3

..............................................y....=...3................
.....................................................................
นั่นคือ จุดตดั แกน X คือ........(..2....,..0....)...... นนั่ คือ จุดตัดแกน Y คือ.........(...0...,...3...).....

4. x - y = 5 จดั สมการใหมใหอยใู นรปู y = ax + b จะได y = -3x + 6

หาจดุ ตัดแกน X โดยให y = 0 หาจดุ ตัดแกน Y โดยให x = 0
แทนคา .........y....=....0...;....y...=....x...-...5.................... แทนคา...........x...=....0...;.....y....=....x...-...5.................
....................................0....=...x....-..5.................... ......................................y...=....0....-..5..................
....................................x....=....5......................... ......................................y...=....-.5.......................
..................................................................... .....................................................................
น่นั คอื จดุ ตัดแกน X คือ....(..5....,..0....).... นนั่ คือ จุดตดั แกน Y คือ.....(..0....,..-..5...)..

40

เลมที่
3

-5 15 หรอื -5 x + 5
3 3
5. 5x + 3y = 15 จัดสมการใหมใ หอยูในรปู y = ax + b จะได y = 3 x +

หาจุดตัดแกน X โดยให y = 0 หาจุดตดั แกน Y โดยให x = 0
.แ..ท..น...ค..า....................y......=........0........;........y......=........-..35......x......+........5.......................... แ...ท..น...ค..า............x......=........0........;......y........=............-..35......x........+......5..............................
......................................................................xx......==........53........x......(....53......).......................... ................................................................yy........==......(5....-....53........)..0........+........5......................

นน่ั คือ จุดตัดแกน X คอื ....(...3...,...0...).... นน่ั คือ จดุ ตดั แกน Y คอื ......(.0....,..5...)....

41

เลมที่
3

แบบฝก ทักษะท่ี 3.2
ความชันของเสน ตรง

ชอ่ื ......................................................ช้ัน.........เลขท.่ี ..........

คาํ ชีแ้ จง
ตอนที่ 1 ใหน ักเรียนหาความชนั ของสมการเสน ตรงตอไปน้ี พรอมเขยี นกราฟของสมการโดยใชแ กนคูเดียวกนั
1. 4x – 2y – 2 = 0

วธิ ีทํา 4x –2y – 2 = 0
2y = 4x –2
y = 2x - 1

ดงั นั้น ความชันของสมการเสนตรงน้ี คอื ………2…….

2. 4x – y – 8 = 0
……ว…ธิ …ีท…าํ …………………4x…–……y…–…8…=……0 ………………………………………………………………………
……………………………………………y…=……4x……– …8…………………………………………………………………
……ด…ัง…น…้นั …ค…ว…าม…ช…นั …ข…อ…งส…ม…ก…าร…เส…น…ต…ร…งน…้ี ค…อื………………4…………….…………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

3. 3x – 5y = 4
……ว…ิธ…ีท…ํา …………………3…x…–…5…y…=……4……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………y……=…………53……x ……- ……45…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……ด…งั …นน้ั……ค…ว…าม…ช…นั …ข…อง…ส…ม…ก…าร…เส…น…ต…รง…น…้ี ค…อื ………35…………………………………………………………

42

เลมที่
3

เขียนกราฟของสมการ y = 2x – 1, y = 4x – 8 และ y = ไดด งั น้ี

y = 2x – 1 y = 4x – 8 y=

x –1 0 3 x012 x –2 0 1
y -3 -1 5 y -8 -4 0 4 1
y -2 - 5 - 2

Y y = 2x – 1

4 y = 4x – 8

3 12 345
2
1

−5 −4 −3 −2 −1−10 6 X

−2

−3

y= −4
−5

−–––7986

จากกราฟ จะเห็นวา ถา a > 0 (ความชันเปนบวก) กราฟจะทํา มุมแหลม กับแกน X เมื่อวัดมุม
ทวนเข็มนาฬกิ า และ a ย่งิ มาก กราฟยงิ่ ชนั

43

เลมที่
3

4. 5x + 2y – 7= 0
.....ว...ิธ..ีท..ํา.........…………………………5…x…+…2…y…=…7……………………………………………………………………………………
..........................................…………………………………………………………………………y……=……-……52……x……+……2……7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
.....ด...ัง.น...ั้น.....ค...ว.…าม…ช…นั …ข…อง…ส…ม…กา…ร…เส…น…ต…รง…น…ี้ ค…อื ……-…25……………………………………………………………………………
5. 2x + 4y = 8
.....ว...ิธ..ีท..ํา.........…………………………2…x…+…4…y…=…8……………………………………………………………………………………
..........................................…………………………………………………………………………y……=……-……21……x……+……2……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
.....ด...ัง.น...น้ั.....ค...ว.…าม…ช…นั …ข…อง…ส…ม…กา…ร…เส…น…ต…รง…น…้ี ค…อื ………- …21…………………………………………………………………………
6. 5x + 4y = 2
.....ว...ิธ..ีท..าํ.........…………………………5x…+……4y……=…2……………………………………………………………………………………
..........................................…………………………………………………………………………y……=……-……45……x……+…………21………………………………………………………………………………………………………………………………………………
.....ด...ัง.น...ั้น.....ค...ว.…าม…ช…นั …ข…อง…ส…ม…กา…ร…เส…น…ต…รง…น…้ี ค…ือ……-…45……………………………………………………………………………

เขยี นกราฟของสมการ y = − 5 x + 7 , y= − 1 x + 2 และ y = − 5 x + 1 ไดด งั นี้
2 2 2 4 2

y = − 5 x + 7 y = − 1 x + 2 y = − 5 x + 1
2 2 2 4 2

x -1 0 2 x –2 0 4 x –2 0 2
7 3 y3 2 0 1
y 6 2 - 2 y 3 2 -2

44

เลมที่
3

y=

y=
y=

จากกราฟ จะเห็นวา ถา a < 0 (ความชันเปนลบ) กราฟจะทํา มุมปาน กับแกน X เม่ือวัดมุมทวน
เขม็ นาฬิกา และ |a| ยงิ่ มาก กราฟยิง่ ชนั

ตอนที่ 2 ใหน กั เรียนหาความชนั ของสมการเสนตรง ตอไปน้ี

7. เสน ตรงผา นจุด (1,- 2) และ (3, 2)

วิธที าํ ให (x1, y1) = (1,- 2) และ (x2, y2) = (3, 2)

จาก ความชันของเสนตรง y2 - y1 2 - (-2) 4 = 2
x2 - x1 = 3-1 = 2
ดงั น้นั ความชันของสมการเสนตรงนี้คอื ..........2............

8. เสนตรงผานจดุ (2, 3) และ (1, –2)

วธิ ที าํ ให (x1, y1) = (2, 3) และ (x2, y2) = (1, –2)

จาก ความชันของเสน ตรง y2 - y1 = -2 - 3 = -5 = 5
x2 - x1 1 - 2 -1
ดงั นน้ั ความชนั ของสมการเสนตรงนี้ คอื ..........5............

45

เลมที่
3

9. เสน ตรงผา นจุด (-2, 13) และ (2, 5)
…ว…ธิ ีท…ํา…………………ใ…ห… (…x1…, …y1…) …=…(-…2…, 1…3…) …แล…ะ…(…x2…,…y2…)…=…(…2,…5…) ……………………………………
……………………………………………………จ……า……ก……ค……ว……าม……ช……ัน……ข……อง……เส……น……ต……รง…………yx……22 ……––……yx……11 ……=……25……––……(……1-23……) ……=……-……84……=……-……2……………………………………
…ด…งั น…ัน้……ค…วา…ม…ช…นั ข…อ…ง…สม…ก…า…รเ…ส…นต…ร…ง…น้ีค…ือ……-…2………………………………………………………………

10. เสนตรงผานจดุ (2, 11) และ (–2, –5)
………วิธ………ีท………าํ ………………………………………………………ใจห………าก………(x………ค1,ว………yา………ม1)………ช=ัน………ข………(2อ………,ง1………เส1………น)………ตแร………ลง………ะ………xy2………(2x––………2,………xyy11………2)=………=………(--(5………2-2)–………,-………-1521………) ………=………--………146………………=………4………………………………………………………
…ดงั…น…้ัน……ค…วา…ม…ช…นั ข…อ…ง…สม…ก…า…รเ…ส…น…ตร…ง…น…้ี ค…ือ……4………………………………………………………………

เกณฑการใหคะแนน แบบฝก ทักษะที่ 3.2

ระดบั คะแนน ตวั ช้วี ดั ในการใหคะแนน

1 หาความชนั ของเสน ตรงไดถูกตอ ง

0 หาความชนั ของเสนตรงไมถ กู ตอ ง

รวมคะแนน 10 คะแนน

46

เลมที่
3

แบบฝก ทักษะที่ 3.3
ความสัมพนั ธระหวางกราฟเสนตรงสองเสน

คาํ ชแ้ี จง ใหนกั เรียนตรวจสอบวา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมีคําตอบเดียว ไมมีคําตอบ หรือมีหลายคําตอบ
โดยไมตองวาดกราฟ

1. 3y + 6x – 12 = 0 และ y + 2x = 4
วิธีทํา .........3..y...=....-..6..x...+....1..2...............................................y....=....-.2..x...+....4....................................................

............................y...=....-.2...x...+....4......................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
.........................a..1...=....a..2...แ..ล..ะ....b..1...=....b..2...(.ก...ร..า..ฟ...ท..บั...ก..ัน...ส..น...ิท..)...........................................................................
.........................ร..ะ..บ...บ..ส...ม..ก...า..ร..ม..หี...ล..า..ย..ค...าํ ..ต..อ..บ..................................................................................................

2. y = 5x – 7 และ 5y = –2x + 15
วิธีทาํ .........y...=....5..x....-..7......................................................5...y...=....-.2..x....+....1..5...............................................

..................................................................................................................................................................................................y........=........-..52......x......+........3................................................................................................
.........................a..1...≠....a..2...แ..ล..ะ....b..1...≠....b...2..(..ก..ร..า..ฟ...ต..ดั..ก...ัน..)...................................................................................
.........................ร..ะ..บ...บ..ส...ม..ก...า..ร..ม..คี..ํา..ต...อ..บ...เ.ด...ยี ..ว..................................................................................................

3. 3x + y – 5 = 0 และ 3x + y – 7 = 0
วธิ ที ํา .........3..x....+....y...-...5...=....0...............................................3..x...+....y....–...7....=....0.............................................

.........................................y...=....-.3..x....+....5....................................................y....=....-.3..x....+...7...................................
....................................................................................................................................................................
.........................a..1...=....a..2...แ..ล...ะ...b...1...≠...b...2...(.ก..ร..า..ฟ...ข..น...า..น..ก...นั ..)..............................................................................
.........................ร..ะ...บ..บ...ส..ม...ก..า..ร..ไ.ม...ม..ีค...าํ ..ต..อ...บ......................................................................................................

47

เลมท่ี
3

4. 3x - 2y – 5 = 0 และ 5x + 3y = 4
วธิ ีทํา ..........3..x....-..2...y...-...5...=....0................................................5...x...+....3..y....=...4...............................................

......................................................................................y......=........32......x......-......25......................................................................................................y......=........-....53........x......+........43....................................................................
..........................a...1..≠....a..2...แ..ล...ะ...b...1...≠....b..2...(.ก..ร..า..ฟ...ต...ัด..ก..นั...).................................................................................
..........................ร..ะ...บ..บ...ส..ม...ก..า..ร..ม...ีค..ํา..ต..อ...บ..เ..ด..ีย..ว.................................................................................................
5. 3x + 4y – 8 = 0 และ 3y = 4x + 6

วธิ ีทํา ...............3..x...+....4..y....-...8...=....0...............................................3..y....=....4..x...+....6..........................................
..................................................................................................y......=........-....4..3......x......+........2..........................................................................y......=........34......x......+........2..................................................................................
...............................a..1...≠....a..2...แ..ล..ะ....b..1...≠....b...2..(..ก..ร..า..ฟ...ต..ัด...ก..ัน...)............................................................................
...............................ร..ะ..บ...บ...ส..ม..ก...า..ร..ม..คี...าํ ..ต..อ..บ...เ.ด...ยี ..ว............................................................................................
6. y – 4x = 3 และ 3y – 12x = 9

วิธีทํา ........................y....–...4..x....=....3..............................................3..y....–...1...2..x...=....9........................................
.................................................y...=....4...x...+....3...................................................y...=....4..x...+....3...............................
....................................................................................................................................................................
...............................a..1...=....a..2...แ..ล..ะ....b..1...=....b...2..(..ก..ร..า..ฟ...ท..ับ...ก..นั...ส..น...ิท...)....................................................................
...............................ร..ะ..บ...บ...ส..ม..ก...า..ร..ม..หี...ล..า..ย..ค...าํ ..ต..อ...บ...........................................................................................

48