เรื่องพีระมิด กรวย ทรงกลม ม.3

พีระมิด กรวย ทรงกลม

คณิตศาสตร์
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3

จัดทำโดย

นางสาวกุลธาดา คำน้ำเที่ยง

คำนำ
รายงานเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา เทคโนโลยีดิจิทัลเพื่อการจัดการ
เรียนรู้คณิตศาสตร์ รหัสวิชา 4092107 เพื่อศึกษาความเข้าใจเรื่อง พื้นที่ผิวและ
ปริมาตรของพีระมิด พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย พื้นที่ผิวและปริมาตร
ของทรงกลมและเนื้อหาในแต่ละเรื่องการเรียนรู้ประกอบด้วย เนื้อหาสาระ
สูตรการหาพื้นที่และปริมาตร ตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่มีความเหมาะสมและ
เข้าใจง่ายเพื่อที่จะมุ่งส่งเสริมพัฒนาความรู้เข้าใจ
ผู้จัดทำรายงานเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้อ่านหรือนักเขียน นักศึกษา
ที่กำลังศึกษาหาข้อมูลเรื่องนี้ หากมีข้อผิดพลาดประการใด ผู้จัดทำก็ขอน้อม
รับไว้และขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย

ผู้จัดทำ
นางสาวกุลธาดา คำน้ำเที่ยง

สารบัญ หน้า
1
เรื่อง 2
พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด 3
-ปริมาตรของพีระมิด 6
-พื้นที่ผิวของพีระมิด 7
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย 8
-พื้นที่ผิวของกรวย 12
-ปริมาตรของกรวย 13
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม 13
-พื้นที่ผิวของทรงกลม 16
-ปริมาตรของทรงกลม
แบบฝึกหัด



2

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง
ซึ่งในบทเรียนนี้จะกล่าวถึงเฉพาะพีระมิดตรงที่มีส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดศูนย์กลาง
ของฐานรูปหลาย เหลี่ยมนั้นๆ และเรียกจุดดังกล่าวว่า จุดเซนทรอยด์
การเรียกชื่อพีระมิด นิยม เรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน ตัวอย่างเช่น พีระมิด
ฐานสี่เหลี่ยม พีระมิดฐานหกเหลี่ยม พีระมิดฐานสามเหลี่ยม เป็นต้น

ปริมาตรของพีระมิด โดยทั่วไปสูตรการหาปริมาตรของพีระมิดเป็นดังนี้

3

พื้นที่ผิวของพีระมิด

จากรูปที่คลี่พีระมิดรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าได้ว่า ฐานของพีระมิด คือ รูปหลาย
เหลี่ยมที่เป็นฐานและหน้าของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีจำนวนเท่ากับจำนวน
เหลี่ยมของฐานนั้น ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดประกอบด้วย พื้นที่ฐานและพื้นที่
ผิวข้าง และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดหรือจำนวนเหลี่ยมของฐานคูณด้วยพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
หน้าจั่ว

4

ตัวอย่างที่ 1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความ
สูงพีระมิดเป็น 12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงของพีระมิดทั้งสองด้าน
1. ความสูงเอียงด้านกว้าง

ให้ความยาวของสูงเอียง a เซนติเมตร

2. ความสูงเอียงด้านยาว
ให้ความยาวของสูงเอียง c เซนติเมตร

5

ตัวอย่างที่ 2 พีระมิดแห่งหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 6 เมตร สูงเอียง 5
เมตร และสูงตรง 4 เมตร จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด
วิธีทำ

6

ทรงกรวย
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย

สิ่งต่างๆ ที่ส่วนประกอบมีลักษณะกรวย ส่วนใหญ่เป็นสิ่งที่มนุษย์สร้างขึ้น เช่น โคมไฟ
หมวก นอกจากนี้กรวยยังเป็นชื่อขนมชนิดหนึ่งเป็นต้น

ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า กรวย คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูป
วงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุด
ใด ๆ บนเส้นรอบวงของฐาน เรียก
เส้นตรงนี้ว่า “สูงเอียง”

รูปข้างล่างนี้เป็นรูปของกรวยและส่วนต่างๆ ของกรวย

7

พื้นที่ผิวของกรวย

การหาพื้นที่ผิวเอียงของกรวย ทำได้โดยตัดกรวยตามแนวสูงเอียงแล้วคลี่แผ่ออกจะ
เกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง ดังรูป

8

ปริมาตรของกรวย

ความสัมพันธ์ของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธ์ของ
ปริซึมกับพีระมิด ที่มีส่วนสูงและพื้นที่ฐานเท่ากัน นั่นคือ

ปริมาตรของกรวย เป็น ของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มีพื้นฐานและส่วนสูง
เท่ากับกรวย

9

ตัวอย่างที่ 3 แท่งไม้รูปร่างเป็นกรวยอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 เซนติเมตร สูง
8เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวกรวยนี้ (กำหนดให้ π ≈ 3.14)
วิธีทำ เนื่องจาก พื้นที่ผิวกรวย = πrl + πr 2

หาสูงเอียง (l) จากทฤษฎีพีทาโกรัส

10

ตัวอย่างที่ 4 จากรูปจงหาปริมาตรของกรวยที่มีหน่วยของความยาวเป็นเซนติเมตร

วิธีทำ

11

ตัวอย่างที่ 5 จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย ซึ่งสูง 24 เซนติเมตร และเส้นผ่าน
ศูนย์กลาง 14 เซนติเมตร

วิธีทำ

12

ทรงกลม
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

ทรงกลมเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติอีกชนิดหนึ่ง เราอาจพบเห็นได้จากส่วนประกอบของ
สิ่งที่มนุษย์สร้างขึ้น และสิ่งมีชีวิตทั้งพืช สัตว์ ตลอดจนจุลพืชที่ไม่สามารถเห็นได้ด้วยตา
เปล่า เช่น ลูกเทนนิส ลูกปิงปอง

ในทางคณิตศาสตร์ให้ความหมายคำว่า ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้ง
เรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้งห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน

จุดคงที่นั้น เรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม
ระยะที่เท่ากันนั้น เรียกว่า รัศมีของทรงกลม

13

พื้นที่ผิวของทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม เป็นสี่เท่าของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเท่ากับรัศมีของทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลมอาจหาได้จากการทดลองหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของ
ครึ่งวงกลมกับปริมาตรของกรวย

ข้อกำหนด 1) ครึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี r หน่วย
2) กรวยที่มีรัศมีเท่ากับครึ่งทรงกลม r หน่วย และส่วนสูงของกรวย (h)

เป็น 2 เท่าของรัศมี ฐานของกรวย คือ 2r หน่วย

14

ตัวอย่างที่ 6 ปริมาตรลูกทุ่มน้ำหนักโลหะตันทรงกลมลูกหนึ่งประมาณ 267.95 ลูกบาศก์
เซนติเมตร แสดงว่าลูกทุ่มน้ำหนักหนักนี้มีรัศมีเท่าใด (กำหนด π ≈ 3.14)
วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 7 จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของลูกโลกพลาสติก ซึ่งมีรัศมียาว 7 เซนติเมตร 15
วิธีทำ

พื้นที่ผิวทรงกลม = 616 ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรทรงกลม = 1,437.3 ลูกบาศก์เซนติเมตร

16

แบบฝึกหัด

1. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 6 เมตร สูง 4 เมตร จงหาปริมาตร และความ
ยาวของสูงเอียงของพีระมิดนี้

2. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานยาวด้านละ 18 เซนติเมตร สันยาว 15 เซนติเมตร
หาความสูงเอียงและพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด

3. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 9 นิ้ว ยาว 10 นิ้ว และสูงตรง 15 นิ้ว พีระมิดมี
ปริมาตรกี่ลูกบาศก์นิ้ว

4. กรวยอันหนึ่ง มีเส้นผ่านศูนย์กลางฐานยาว 7 นิ้วและสูง 12 นิ้ว จงหาปริมาตรของ
กรวยนี้

5. กรวยหนึ่งมีความสูง นิ้ว มีความยาวสูงเอียง นิ้ว จงหาปริมาตร และ พื้นที่ผิวทั้งหมด
ของกรวยนี้ (ตอบในรูปค่า π)

6. ต้องการทาสีแตงโมรูปทรงกลมรูปหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 7 นิ้ว ต้องเสียค่าทาสี
เท่าไหร่ ถ้าราคา 2 บาทต่อ 1 ตารางนิ้ว

7. กระทะรูปครึ่งทรงกลมใบหนึ่งมีปริมาตร 18π ลูกบาศก์นิ้ว จงคำนวณหารัศมี

17

อ้างอิง
http://korat.nfe.go.th/ma_m1/chap6/chap6_3.pdf?
bclid=IwAR1EwgWxfOWLFSkvqzxcGPbcexiDUPRCxAD8scAds3k253BnBXeKzHxve7U

http://www.sesao15.go.th/filedownload/rs2.pdf?
fbclid=IwAR2K02p8AoMZ_Tq_MdfchYgNQwcM6y_xGzYLGfUOcvJl002RMqyanCA9Ygs

https://www.kroobannok.com/news_file/p98859101902.pdf?
fbclid=IwAR2K02p8AoMZ_Tq_MdfchYgNQwcM6y_xGzYLGfUOcvJl002RMqyanCA9Ygs

http://www.satriwit3.ac.th/files/1612131010465494_20051512124828.pdf?
fbclid=IwAR08TmMoiQTu-X4k6p7ygRuN-3oZLMwc01kf8sYfosnvCMCUnMgzDiQW8Uo

http://academic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1579659621_example.pdf