และ 3 มิมิติติ มิมิติติ สรุรุป รุรุ สูสูตสูสู ร เรขาคณิณิต ณิณิ 2 มิมิติติ มิมิติติ จัดทำ โดย นางสาวศิริพร มาฆะพรศิริ รหัสนักศึกษา 65040140216 สาขาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี จัดทำ โดย นางสาวศิริพร มาฆะพรศิริ รหัสนักศึกษา 65040140216 สาขาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี
ก คำ นำ E-Book เรื่อง “สรุปสูตรเรขาคณิต 2 มิติ และ 3 มิติ” ฉบับนี้จัดทำ ขึ้น เพื่อศึกษาหาความรู้ในเรื่อง สูตร การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตต่างๆ ทั้งเรขาคณิต 2 มิติและ 3 มิติ ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า E-Book ฉบับนี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้ที่กำ ลังศึกษา หาความรู้ในเรื่อง “สรุปสูตรเรขาคณิต 2 มิติ และ 3 มิติ” หากมีข้อผิดพลาดประการ ใด ผู้จัดทำ ขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย E-Book เรื่อง “สรุปสูตรเรขาคณิต 2 มิติ และ 3 มิติ” ฉบับนี้จัดทำ ขึ้น เพื่อศึกษาหาความรู้ในเรื่อง สูตร การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตต่างๆ ทั้งเรขาคณิต 2 มิติและ 3 มิติ ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า E-Book ฉบับนี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้ที่กำ ลังศึกษา หาความรู้ในเรื่อง “สรุปสูตรเรขาคณิต 2 มิติ และ 3 มิติ” หากมีข้อผิดพลาดประการ ใด ผู้จัดทำ ขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย ผู้จัดทำ ศิริพร มาฆะพรศิริ ผู้จัดทำ ศิริพร มาฆะพรศิริ
สารบับัญ บับั เรื่รื่ รื่ อ รื่ อง หน้น้น้าน้ คำ นำ สารบัญ เรขาคณิต 2 มิติ สูตรคำ นวณเรขาคณิต 2 มิติ เรขาคณิต 3 มิติ สูตรคำ นวณเรขาคณิต 3 มิติ แบบฝึกหัดที่ 1 แบบฝึกหัดที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัดที่ 1 เฉลยแบบฝึกหัดที่ 2 เอกสารอ้างอิง ประวัติผู้จัดทำ คำ นำ สารบัญ เรขาคณิต 2 มิติ สูตรคำ นวณเรขาคณิต 2 มิติ เรขาคณิต 3 มิติ สูตรคำ นวณเรขาคณิต 3 มิติ แบบฝึกหัดที่ 1 แบบฝึกหัดที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัดที่ 1 เฉลยแบบฝึกหัดที่ 2 เอกสารอ้างอิง ประวัติผู้จัดทำ ก ข 1 7 13 17 21 23 27 29 31 33 ก ข 1 7 13 17 21 23 27 29 31 33 ข
1. เรขาคณิต 2 มิติ “เรขาคณิต 2 มิติ” คือ รูปเรขาคณิตที่แสดงความกว้าง และความยาวของรูป มีอยู่ด้วยกัน 3 ชนิด ได้แก่ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก : รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นฉาก มีด้านเท่ากันสองคู่และด้านตรงข้ามกันขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส : รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉากและ ด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยม : รูปปิดสองมิติที่มีสี่ด้าน สี่มุม และมุมภายในทั้งหมดรวมกันได้ 360 องศา
รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า : รูปสี่เหลี่ยมที่มีทุกมุมเป็นมุมฉาก ด้านตรงข้าม ยาวเท่ากันและขนานกันแต่ด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน : รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมไม่เป็นมุมฉาก มีด้านตรง ข้ามยาวเท่ากันและขนานกันสองคู่ และมุมตรงข้ามยาวเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน : รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านทั้งสี่ยาว เท่ากันและทุกมุมไม่เป็นมุมฉาก 2
รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว : รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านประชิดยาวเท่ากันสองคู่ มีเส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก และมีมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากันหนึ่งคู่ รูปสี่เหลี่ยมคางหมู : รูปสี่เหลี่ยมที่ด้านขนานกันคู่เดียว 3
2.1 แบ่งตามลักษณะของด้าน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า : รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทั้งสามด้าน รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า : รูปสามเหลี่ยมที่มีสามด้านยาวไม่เท่ากันเลย รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว : รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน รูปสามเหลี่ยม : รูปปิดสองมิติที่มีสามด้าน สามมุม โดยมุมภายในรวมกันได้ 180 องศา แบ่งได้ 2 ลักษณะคือ 2. 4
2.2 แบ่งตามลักษณะของมุม รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม (มุมที่มีขนาดมากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 90 องศา) รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมป้าน (มุมที่น้อยกว่า 180 แต่มากกว่า 90 องศา) 5
จุดศูนย์กลาง : จุดที่อยู่ตรงกลาง มีระยะห่างจากเส้นรอบวงเท่ากันโดย ตลอด ในวงกลมหนึ่งวงจะมีจุดศูนย์กลางเพียงจุดเดียว เส้นผ่านศูนย์กลาง : ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่ง ไปยังอีกด้านหนึ่งโดยผ่านจุดศูนย์กลาง โดยเส้นผ่านศูนย์กลางจะยาว เป็นสองเท่าของรัศมี เส้นรอบวง : ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นรอบวง รัศมี : ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและเส้นรอบวงของวงกลม 3. รูปวงกลม : เป็นรูปปิดที่ไม่มีมุม วาดโดยการกำ หนด จุดศูนย์กลางขึ้นมาหนึ่งจุด จากนั้นลากเส้นโค้งให้มีระยะ ห่างจากจุดนั้นเท่ากันโดยตลอด วาดวนไปรอบจุดศูนย์กลาง จนกระทั่งกลับมายังจุดเริ่มต้น 6
พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส สูตรคำ นวณเรขาคณิต 2 มิติ สูตรรูปสี่เหลี่ยม • ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ = ผลบวกของด้านรวมกันทุกด้าน พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง ยาว กว้าง x ยาว ด้าน ด้าน ด้าน x ด้าน 7
พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน ฐาน สูง พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ฐาน x สูง ความสูง ด้านคู่ขนาน ด้านคู่ขนาน ½ x ผลบวกของด้านคู่ขนาน x สูง 8
พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว สูง เส้นทแยงมุม ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม เส้นทแยงมุม ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม 9
½ x ฐาน x สูง • ความยาวรอบรูป = ผลบวกของด้านทุกด้าน พื้นที่สามเหลี่ยมใดๆ พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า สูตรรูปสามเหลี่ยม 10
r สูตรรูปวงกลม พื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่ว 11
เรขาคณิต 3 มิติ “เรขาคณิตสามมิติ” หรือเรียกอีกอย่างว่า “รูปทรง” หมายถึง รูปที่มีลักษณะเป็นสามมิติ คือ มีทั้งความกว้าง ความยาว และความลึก หรือความหนา นูน ให้ความรู้สึกถึงความหนาแน่นและปริมาตร ปริซึมสี่เหลี่ยมหรือรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่มีหน้าทุกหน้าเป็น รูปสี่เหลี่ยมจตุรัส เราจะเรียกมันว่า “ลูกบาศก์” 1. ปริซึม : เป็นเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่มีความ เท่ากันทุกประการโดยฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกันและด้านข้างแต่ละด้าน จะเห็นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามลักษณะของ รูปหลายเหลี่ยมที่ปรากฎบนหน้าตัดของปริซึม เช่น ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยม ปริซึมห้าเหลี่ยม เป็นต้น 13
3. พีระมิด : รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานด้านหนึ่งเป็นรูป หลายเหลี่ยม อีกด้านหนึ่งเป็นยอดแหลมซึ่งอยู่คนละระนาบกับฐาน และมีหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม การเรียกชื่อพีระมิดนั้นจะเรียก ตามลักษณะของรูปหลายเหลี่ยมตรงส่วนฐาน เช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม จะหมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยม ทรงกระบอก : เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัดหรือ ฐานทั้งสองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่บนระนาบที่ ขนานกัน มีสองแบบ คือ ทรงกระบอกตรงและทรงกระบอกเอียง 2. 14
4. กรวย : เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลมและ มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน 5. ทรงกลม : เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และทุกๆจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน 15
สูตรคำ นวณเรขาคณิต 3 มิติ ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง พื้นที่ผิวข้างปริซึม = ความยาวรอบรูปฐาน x สูง พื้นที่ผิวปริซึม = 2(พื้นที่หน้าตัด) x พื้นที่ผิวข้าง สูตรลูกบาศก์ ปริมาตรลูกบาศก์ = ด้าน x ด้าน x ด้าน พื้นที่ผิวทั้งหมด = ด้าน x ด้าน x 6 สูตรรูปทรงปริซึม 17
สูตรรูปทรงกระบอก 18
ปริมาตรพีระมิด = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูงตรง พื้นที่ผิวข้างแต่ละหน้า = ½ x ฐาน x สูงเอียง พื้นที่ผิวข้างทั้งหมด = ½ x ฐาน x สูงเอียง x จำ นวนหน้า พื้นที่ผิวพีระมิดทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน สูตรรูปทรงพีระมิด 19
สูตรรูปทรงกรวย สูตรรูปทรงกลม 20
แบบฝึกหัดที่ 1 คำ ชี้แจง : ให้นักเรียนบอกชนิดเรขาคณิต พร้อมทั้งหาพื้นที่ของ รูปเรขาคณิตที่กำ หนดให้ต่อไปนี้ 1. 10 ซม. 5 ซม. ชนิด พื้นที่ 2. 6 ซม. ชนิด พื้นที่ 3. สูง 6 ซม. 12 ซม. 27 ซม. ชนิด พื้นที่ 4. 11 ซม. 18 ซม. 8 ซม. ชนิด พื้นที่ 21
5 ซม. 8 ซม.ชนิดพื้นที่13 ซม. 31 ซม.ชนิดพื้นที่ 5. 6.7. 21 ซม. 8 ซม. ชนิดพื้นที่ 8. r ชนิดพื้นที่7 ซม. 22
ตอบ ตอบ แบบฝึกหัดที่ 2 1.จงหาพื้นที่ฐานของรูปปริซึมต่อไปนี้ 2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับ 4 เซนติเมตร และยาว 9 เซนติเมตร (กำ หนดให้ใช้ค่า π = 22/7 ) 3.จงหาปริมาตรของรูปทรงพีระมิดต่อไปนี้ ตอบ 23
ตอบ 4.จงหาปริมาตรของรูปทรงกรวยต่อไปนี้ 5.จงหาปริมาตรของทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 10.4 เซนติเมตร (กำ หนด π = 3.14 ) ตอบ 24
เฉลยแบบฝึกหัด
แบบฝึกหัดที่ 1 คำ ชี้แจง : ให้นักเรียนบอกชนิดเรขาคณิต พร้อมทั้งหาพื้นที่ของ รูปเรขาคณิตที่กำ หนดให้ต่อไปนี้ 1. 10 ซม. 5 ซม. ชนิด พื้นที่ 2. 6 ซม. ชนิด พื้นที่ 3. สูง 6 ซม. 12 ซม. 27 ซม. ชนิด พื้นที่ 4. 11 ซม. 18 ซม. 8 ซม. ชนิด พื้นที่ เฉลย รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 50 ตร.ซม. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 36 ตร.ซม. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน 324 ตร.ซม. รูปสี่เหลี่ยมคางหมู 116 ตร.ซม. 27
5 ซม. 8 ซม. ชนิด พื้นที่ 13 ซม. 31 ซม. ชนิด พื้นที่ 5. 6. 7. 21 ซม. 8 ซม.ชนิด พื้นที่ 8. r ชนิด พื้นที่ เฉลย 7 ซม. 28 รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 20 ตร.ซม. รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว 201.5 ตร.ซม. รูปสามเหลี่ยม 84 ตร.ซม. รูปวงกลม 154 ตร.ซม.
ตอบ ตอบ แบบฝึกหัดที่ 2 1.จงหาพื้นที่ฐานของรูปปริซึมต่อไปนี้ 2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับ 4 เซนติเมตร และยาว 9 เซนติเมตร (กำ หนดให้ใช้ค่า π = 22/7 ) 3.จงหาปริมาตรของรูปทรงพีระมิดต่อไปนี้ ตอบ เฉลย 29 180 ตารางหน่วย 113.14 ลูกบาศก์เซนติเมตร 48 ตารางนิ้ว
ตอบ 4.จงหาปริมาตรของรูปทรงกรวยต่อไปนี้ 5.จงหาปริมาตรของทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 10.4 เซนติเมตร (กำ หนด π = 3.14 ) ตอบ เฉลย 30 125 ลูกบาศก์เซนติเมตร 588.68 ลูกบาศก์เซนติเมตร
เอกสารอ้างอิง At home. (2565). สรุปสูตรเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ. สืบค้นเมื่อวันที่ 25 สิงหาคม 2566, จาก https://www.athometh.com/math/geometry/. Opendurian. (ม.ป.ป.). สรุปสูตรปริมาตรและพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิต 3 มิติ. สืบค้นเมื่อวันที่ 26 สิงหาคม 2566, จาก https://www.opendurian.com/news/. ศรีทอง ชัยชนะ. (2551). ชุดกิจกรรมปฏิบัติการคณิตศาสตร์. สืบค้นเมื่อวันที่ 27 สิงหาคม 2566, จาก https://www.kroobannok.com/news. 31
ประวัติ วั ผู้ ติ จัผู้ด จั ทำ ชื่อชื่: นางสาวศิริพริร มาฆะพรศิริ ชื่อชื่เล่น ล่ : อร อายุ : 20 ปี วันวั /เดือน/ปีเปีกิดกิ: 8 มีนมีาคม 2546 สัญชาติ: ไทย เชื้อชื้ชาติ: ไทย ศาสนา : พุทพุธ ที่อที่ยู่ : 156 หมู่ 7 ตำ บลโคกสี อำ เภอสว่า ว่ งแดนดิน จังจัหวัดวั สกลนคร 47110 เบอร์โร์ทร : 0981495124 FB : Siriporn makhapornsiri IG : _aon_siri นักนั ศึกษาชั้นชั้ ปีที่ปี ที่ 2 คณะครุศรุาสตร์ สาขาคณิตณิ ศาสตร์ มหาวิทวิยาลัยลัราชภัฏภัอุดอุรธานี 33
“การหาความรู้ คือความพยายาม ที่ก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่ดีที่สุด” “การหาความรู้ คือความพยายาม ที่ก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่ดีที่สุด”