Physik 4 Klasse Kapitel1+2+3.docx

3.2.2. Zeitdilatation (Zeitdehnung)

Einsteins Gedankenexperiment:
Lichtuhr: Messung der Zeit durch die Laufzeit eines Lichtstrahles (z.B. Lichtstrahl auf und
ab entspricht 1 ns)

ruhende Lichtuhr Spiegel
L Lichtstrahl

L  ctB

Spiegel

Abbildung 3-4: Ruhende Lichtuhr. Der mit der Uhr mitbewegte Beobachter bzw. relativ zur Uhr
ruhende Beobachter sieht den Lichtstrahl auf- und ablaufen. Der Lichtstrahl legt dabei die Strecke
2·L zurück.

bewegte Lichtuhr ctR tR… Zeit eines ruhdenen
ctB Beobachters (außer-

v  tR Halb der Uhr)
tB… Zeit eines Beobachters,

der sich mit der Uhr

mitbewegt (bewegter

Beobachter)

Abbildung 3-5: Bewegt Lichtuhr. Der außenstehende Beobachter, an dem sich die Lichtuhr mit
einer Geschwindigkeit v vorbeibewegt, sieht einen längeren Lichtweg. Da die Lichtgeschwindigkeit
c0 konstant ist, muss die Zeit der bewegten Uhr tB kleiner als die Zeit des ruhenden Beobachters tR
sein. Die Zeit in der bewegten Uhr geht also langsamer als die Zeit des ruhenden Beobachters

Berechen Zeit in der bewegten Uhr tB

c2  t 2  v2  tR2  c2  tR2
B

c2  t 2  c2  tR2  v2  tR2
B

 c2 t 2  tR2 c2  v2
B

 t
2  tR2 c2  v2  tR2 1  v2 
B c2 c2

tB  tR 1  v2 
c2

tR  tB

1  v2 
c2

tB….Zeit des bewegten Systems (z.B. Rakete)
tR….Zeit des ruhenden Systems (z.B. Erde)
v…Relativgeschwindigkeit

c…Vakuumlichtgeschwindigkeit

Zeitdilatation: Bewegte Uhren gehen langsamer.

Den Faktor um den eine bewegte Uhr langsamer geht, nennt man Gamma- oder

Lorentzfaktor:

 1 v2
c2
1 

Also kann man die obigen Formeln auch schreiben als:

tB  tR


tR  tB 

Aufgabe: In Teilchenbeschleunigern bewegen sich Elektronen mit 99,9% der
Lichtgeschwindigkeit (v = 0,999c0).
a) Um das wie vielfache geht die Zeit für die Elektronen langsamer?
a) Wie viel Zeit vergeht für die Elektronen, wenn für den Beobachter 1 s vergangen ist?

a)   1  1  1  22,37  Zeitdilatation um das 22,37-fache
0,999c2 0,9992 c2 1  0,9992
1  1  c2
c2

b) tB  tR  1s / 22,37  0,045s  Für die Elektronen vergehen 0,045s.


Aufgabe: Ein Satellit umkreist die Erde mit einer Geschwindigkeit von 28000km/h
(≈8km/s)

a) Berechne den Lorentzfaktor

b) Wie viele Sekunden sind für den Satelliten nach 10 Jahren vom ruhenden Beobachter

aus gesehen weniger vergangen.

a)   1  1  1,000000000336  Zeitdilatation um
 1 28000 / 3,6m / s2  1 28000  3,6m / s2
3 108 2 3 108 2

das ca. 1.000 000 000 336-fache

b) tB  tR  tR 1  t R  t R  1  1  10  365  86400s  1/1,000 000 000 336 1  0,11s  Für den
 

Satelliten sind nach 10 Jahren um 0,11 s weniger vergangen.

Aufgabe: Flug zu Epsilon Eridani (Science fiction)

Das unserer Sonne nächstgelegene sonnenähnliche
Stern mit nachgewiesenem Planetensystem ist ε

Eridani in einer Entfernung von 10,5 Lj

(Lichtjahren). Gehen Sie bei den folgenden
Überlegungen davon aus, dass Erde und ε Eridani in

Bezug

zueinander ruhen.

a) Geben Sie die Entfernung zu ε Eridani als

Vielfaches der Entfernung

zwischen Erde und Sonne (1AE=150 Millionen km), sowie in Kilometern an.

b) Von der Erde werde ein Raumschiff mit der Geschwindigkeit von 0,8c auf
die Reise zu ε Eridani geschickt. Wie lange wird diese Reise dauern, wenn sie von einem

Erdbewohner beurteilt wird?

c) Um wie viele Jahre werden die Astronauten bei dieser Reise altern, wenn

sie dies von ihrer Borduhr aus beurteilen?

d) Wie lange würde die Reise mit heutigen Raketen bei einer Geschwindigkeit von

v=10km/s von der Erde aus dauern. Wie lange vom Raumschiff aus gesehen. Wie viele

Sekunden wären auf dem Raumschiff bei dieser Reise weniger vergangen als auf der

ruhenden Erde.

a)

rErde,Eridani  c  t  3108 m 10,5  365  24  3600s  9,934 1016m  9,934 1013km
s

Vielfaches Erde - ε Eridani:

rErde,Eridani  9,934 1013km  662256  660000 fach
1AE 1,5108 km

b)

t Erde  11,5 a  13,125a  13,1a
0,8

c)

tB  tR 1  v2 
c2

t Rakete  t Erde 1  v2 
c2

tRakete  13,125a 1  0,8c2   7,875a  7,9a

c2

(Zwillingsparadoxon)

d) t Erde  9,934 1013km  9,934 1012s  315000a
10km / s

t Rakete  t Erde 1  v2 
c2

tRakete  315000a 1   10km / s / s 2   314999,999825a
 300000km 

Differenz:

tErde  tRakete  315000a  314999,999825a  0,000175a  1,533h

Die Zeitdilatation muss beim GPS-System berücksichtigt werden, da sich die Satelliten
relativ schnell bewegen.

Hafele-Keating-Experiment (1971):
Für dieses Experiment flogen der Physiker Joseph Hafele und der Astronom Richard
Keating mit vier Atomuhren jeweils einmal ostwärts und westwärts in einem
Verkehrsflugzeug um die Welt. Vor und nach den Flügen wurde der Stand der Uhren mit
dem von baugleichen Atomuhren verglichen, die im United States Naval Observatory
betrieben wurden. Dabei ergaben sich Verschiebungen im Bereich einiger hundert
Nanosekunden. Diese Ergebnisse stimmten mit einer Genauigkeit von 10 % mit der
Vorhersage der Allgemeinen Relativitätstheorie überein. Seitdem wurden wiederholt
Messungen in ähnlicher Form mit höherer Genauigkeit durchgeführt.

Abbildung 3-6: Oktober 1971 in Washington der Physiker Dr. Joseph C. Hafele (l) und Dr. Richard
Keating (r)

3.2.3. Längenkontraktion (Lorentzkontraktion)
Längen und Entfernungen schrumpfen in Bewegungsrichung um den Faktor .

Abbildung 3-7: Darstellung der Längenkontraktion einer vorbeifliegenden Rakete bei
verschiedenen Geschwindigkeiten

lB  lR 1 v2 lR….Länge des Gegenstandes in Ruhe
c02 lB….Länge des Gegenstandes in Bewegung

lB  lR


Aufgabe: Myonen (200mal schwereres instabiles Schwesterteilchen des Elektrons)
entstehen in ca. 9 km Höhe in der Atmosphäre durch die Wechselwirkung kosmischer
Strahlung mit Luftmolekülen. Die Myonen haben eine Geschwindigkeit von v = 99,5% der
Lichtgeschwindigkeit..
a) Berechne die Strecke bis zur Erdoberfläche aus der Sicht eines Myons.
b) Wie viele Kilometer kann ein Myon bei 99,5% der Lichtgeschwindigkeit zurücklegen?
c) Berechne die Lebensdauer des Myons (Halbwertszeit 1,52 µs) aus der Sicht des
ruhenden Beobachters.

a)

lB  lR 1  0,995c2  9km 1 0,9952  0,899km

c2

Bei 99,5% der Lichtgeschwindigkeit verkürzen sich die Strecke in Bewegungsrichtung um

ca. das 10-fache.

b) s  v  t  0,995 300000km/ s 1,52106s  0,45km

Also ca. ¼ der Myonen kommen auf der Erdoberfläche an (2 Halbwertszeiten)

c) tB  1,52s 1 0,9952

tR  1,52s 1  15,22s
1  0,9952

In dieser Zeit kann das Myon folgenen Weg zurücklegen:

s  v  t  0,995 300000km / s 15,22106s  4,5km

Also wieder braucht das Myon (diesmal aus Sicht des auf der Erde ruhenen Beobachters)

ca. 2 Halbwertszeiten um die Erdoberfläche zu erreichen.

3.2.4. Masse und Energie
Für relativistische Geschwindigkeiten nimmt die Masse zu.

m  m0
v2
1 c02

m…relativistische Masse

m0….Ruhemasse

Wollte man einen Körper auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigen, bräuchte man
unendlich viel Energie, da die relativistische Masse auch auf Unendlich anwachsen würde.
Aus diesem Grund kann kein Körper auf Überlichtgeschwindigkeit beschleunigt werden.

Aufgabe: e- in Kathodenstrahlröhren werden auf 6% von c beschleunigt. (m0 = 9,1093910-
31kg). Berechne die relativistische Masse.

m  m0  9,10939 1031kg  9,10939 1031kg  9,125831031kg
1 v2 0,06c2 1  0,062
c2 1 
c2

Aufgabe: Gesucht ist die Geschwindigkeit, um die Ruhemasse zu verzehnfachen.

m  10m0

 10  1

1 v2
c2

 1 v2 1  1 v2 1  v2 1 1  v 1 1
c2 10 c2 100 c2 100 c 100

 v  c 1 1

100

 v  3108m / s 1 1  2,985 108m / s das sind 99,5% von c.

100

Einstein´sche Gleichung:

E  mc2

Masse und Energie sind äquivalent.

d.h. Masse kann unter bestimmten Voraussetzungen in Energie umgewandelt werden und
umgekehrt.

Aufgabe: Berechne die Ruheenergie von 1kg Masse

 E  m  c02  1kg  3108 m / s 2  9 1016J  90PJ

Vergleich: Weltenergieverbrauch/Tag: ca. 1000PJ

Massendefekt: Gibt ein Körper Energie ab, so verringert sich seine Masse. Es wird also
ein Teil der Masse in Energie umgewandelt

z.B. Kernspaltung (0,1% der Masse in Energie umgewandelt) und Kernfusion (1%),
chemische Verbrennung (10-7 Teil wird in Energie umgewandelt): 10 000 000 kg
(Kohle+Sauerstoff) ergeben 9 999 999 kg Verbrennungsprodukte (Asche+Kohlendioxid)

Bsp.: Wie viel Energie wird bei der Spaltung von 1kg 235U frei? (Masse der
Spaltprodukte: 0,999kg)

 E  m  c02  0,001kg  3108 m / s 2  9 1013J  90TJ

Vergleich mit 300MW Donaukraftwerk: Wie lange müsste diese in Betrieb um 90 TJ zu
erzeugen?

P W  E
tt

t  E  90TJ  90 1012J  9 1013 s  3105s  3,47 Tage
P 300M W 300 106 J 3108

s

Vergleich mit der Verbrennung von Steinkohle

Heizwert ca. 30MJ/kg

90TJ  90 1012J  9 1013 kg  3  106 kg
30MJ/ kg 30 106 J 3  107

kg

1kg 235U entspricht 3 Millionen Kilogramm Steinkohle! (das ist ein Würfel von ca. 13m
Seitenkantenlänge voller Kohle!)

Bei der Kernfusion (Sonne: 4H1He+-Strahlung) wird ca. das 10-fache an Energie frei
wie bei der Kernspaltung.

Abbildung 3-8: Die 4 Wasserstoffkerne sind einzeln um ca. 1% schwerer als der Heliumkern
(Massendefekt)

Rechenaufgabe: 1 Liter Teewasser erwärmt, Energiezufuhr: 300kJ
Ges.: Massenzunahme

E 3105 J  3,331012kg
c02 3108 m / s 2
 E  mc02m

Also hat der eine Liter nach dem Erwärmen 1,000 000 000 003 33 kg Masse. Das ist

experimentell nicht wägbar.

Bei der Kernspaltung und Kernfusion wird ein Teil der Ruhemasse als Energie freigesetzt.
Kernspaltung ca. 0,1%
Kernfusion ca. 1%
Die Spalt- bzw. Fusionsprodukte sind dann leichter.

3.2.5. Relativistischer Dopplereffekt (Optischer Dopplereffekt)
=Stauchung oder Dehung (Frequenzverschiebung) eines Lichtsignals bei
Relativgeschwindigkeit
(so wie auch beim akustischen Dopplereffekt)

Bewegen sich Beobachter und Lichtquelle aufeinander zu  Blauverschiebung (höhere
Frequenz)
Bewegen sich Beobachter und Lichtquelle voneinader weg  Rotverschiebung (niedriger
Frequenz)
z.Bsp.:
Messung
-der Geschwindigkeit von Sternen und Galaxien,
-der Ausdehnungsgeschwindigkeit des Universums,
-Rotationsbewegung von Wirbelstürmen
-Endeckung von Planenten um andere Sterne (Exoplaneten),
-Flugsicherung
-Laserdoppler zur Geschwindigkeitsmessung

3.3. Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

= Theorie der Gravitation

3.3.1. Äquivalenzprinzip

Einstein hat die ART aus einem Gedankenexperiment heraus entwickelt:
Man stelle sich vor eine Person befinde sich in einem abgeschlossenen Raum ohne
Fenster, sodass er vollständig von der Außenwelt abgeschirmt ist. Nun lässt die Person
einen Ball fallen. Es sind nun 2 Gründe möglich, warum der Ball zu Boden fällt:
1) der Raum ist ein gleichförmig beschleunigtes Bezugssystem (z.B. ein Raum in einer
Rakete): der Ball „fällt“ (beschleunigt) auf Gund seiner Trägheit gegen den Boden des
Raumes
2) der Raum ist ein ruhendes Bezugssystem in einem Graviationsfeld (z.B. ein Raum auf
der Erde): der Ball „fällt“ (beschleunigt) auf Grund seiner Gewichtskraft gegen den Boden
des Raumes

beschleunigets Bezugssystem ruhendes Bezugssystem im
(ohne Graviationsfeld) Gravitationsfeld

Einstein hat nun angenommen, dass man ein gleichförmig beschleunigtes Bezugssystem
nicht von einem homogenen Gravitationsfeld unterscheiden kann (Äquivalenzprinzip).
Aus dieser Annahme heraus hat Einstein die ART entwickelt.

Masse hat also zwei Eigenschaften:

1) Trägheit  träge Masse mt

Ft  mt  a Ft…Trägheitskraft
mt…träge Masse

Die Trägheitskraft entsteht durch Beschleunigung

2) Gewicht  schwere Masse ms

Fs  ms  g Fs…Gewichtskraft
ms…schwere Masse

Die Schwerkraft entsteht durch die Graviation.

Also:

Auf 1 kg Masse wirkt die gleiche Kraft, egal ob
1) die Masse mit a = 10m/s2 beschleunigt wird (Rakete)oder
2) die Masse mit g = 10m/s2 in einem Gravitationsfeld (Erde) angezogen wird.

Äquivalenzprinzip:
Ein homogenes Gravitationsfeld ist einem gleichmäßig beschleunigten Bezugssystem
vollkommen äquivalent. (Trägheit ist äquivalent zum Gewicht eines Körpers)
oder anders formuliert
Gravitatioskräfte lassen sich nicht von Trägheitskräften unterscheiden.

also: in einer Black Box (keine Informationen über den Außenraum) kann man nicht
entscheiden ob man durch eine Rakete beschleunigt wird oder ruhend auf der Oberfläche
eines Planeten sich befindet (und daher beschleunigt wird).

Das Äquivalenzprinzip wird im Experiment mit zwei unterschiedlichen Massen, im

Gravitationsfeld fallen, gemessen. Z.B. sollte eine doppelt so schwere Masse auch eine
doppelt so große Trägheit haben. Beide Massen sollen also in allen Experimenten gleich
schnell fallen. Das tun sie auch. Die bisherige Genauigkeit der Messungen beträgt 10-13.
Das bedeutet, experimentell könne noch unterschieden werden wenn zum Beispiel die
schwere Masse m=1,000 000 000 000 0 kg hätte aber die schwere Masse m=1,000 000 000
000 1 kg hätte.

3.3.2. Lichtablenkung und Rotverschiebung
Da die Masse und Energie äquivalent sind
 Licht (Ruhemasse 0) hat Energie und daher eine dynamische Masse
 Licht wird von Gravitationsfeld abgelenkt

1919 Sonnenfinsternis: Sterne in der Nähe der Sonne wurden fotografiert und die
Positionen vermessen. Positionsverschiebung ca. 1/3600° = 1´´  Einsteins Theorie der
Lichtablenkung im Gravitationsfeld wurde bestätigt.

Schlußfolgerungen aus der ART:

Gravitationsfelder lenken das Licht ab. Mathematisch lässt sich das durch den gekrümmten
Raum beschreiben.
Gravitationsfelder krümmen den Raum (Licht breitet sich nicht mehr geradlinig aus)

Lichtablenkung im Graviationsfeld. Der Raum ist hierbei nur zweidimensional dargestellt
und die Krümmung erfolgt zur Veranschaulichung in die dritte Dimension. In Wirklichkeit
ist die Raum-Zeit (4-dimensional) gekrümmt (Also stellt euch einen 5-dimensionalen
Raum vor, dann könnt ihr euch auch die Krümmung der 4-dimensionalen Raumzeit
vorstellen. Üben! )

Ein Stern (rechts, mit eigener kleiner Raumkrümmung) umkreist einnen Neutronensterns
(links, mit viel größerer Raumkrümmung). Video!

Ein Mond (mit eigener lokaler Raumkrümmung) bewegt sich um einen Planeten in dessen
Raumkrümmung.
Ein Gedankenexperiment um zu verstehen, dass der Raum gekrümmt ist (nicht lernen):
Hierbei muss man wissen, dass sich Längen in starken Graviationsfeldern verkürzen
(Längenkontraktion)

Wir messen den Umfang und den Durchmesser eines Kreises um die Sonne.
Das Ergebniss weicht - der Relativitätstheorie gemäß – von der Vorhersage der
euklidischen Geometrie ab. In der Umgebung der Sonne schrumpfen alle Maßstäbe. Man
benötigt daher für den Durch messer mehr Maßstäbe als erwartet.

Das Ergebnis der Messung kann auch durch eine „Raumkrümmung“ ausgedrückt werden.
Auf der gekrümmten Fläche ist der Durchmesser eines Kreises länger als in der Ebene.
Man benötigt daher mehr Maßstäbe (nicht geschrumpft), um ihn auszulegen.

Die Ergebnisse der Messungen können also auf zwei Weisen ausgedrückt werden.

Zusammenfassend: Effekte, die sich durch die ART beschreiben lassen:
 Lichtablenkung
 Zeitdilatation im Graviationsfeld (Uhren gehen im Graviationsfeld langsamer)
 Längenkontrakion im Gravitationsfeld
 Rotverschiebung im Gravitationsfeld
 Periheldrehung des Merkur (Merkurbahn ist Ellipse, sonnennächster Punkt nennt
man Perihel, Ellipse ist nicht raumfest, sondern dreht sich mit der Zeit) Video!

S

Perihel

 Graviationslinsen: Licht ferner Galaxien wird durch vor ihr liegende Massen
(andere Galaxien) verzerrt. Es entstehen Einsteinringe und Einsteinbögen.

 Gravitationswellen (entstehen bei der Beschlunigung von Massen, z.B. wenn sich
zwei schwere Sterne umkreisen). Der direkte Nachweis ist noch nicht gelungen steht
aber wahrscheinlich unmittelbar bevor (am 10.02. 2016 gibt die USA zusammen mit
Italien dazu eine Pressekonferenz)

 Schwarze Löcher

Simulation eines schwarzen Loches, das sich vor der Erde vorbeibewegt. Der
Beobachter ist ca. 500 km vom Schwarzen Loch entfernt.
Bisher konnte man schwarze Löcher nicht direkt beobachten.
2015 wurde aber eine Initiative gegründet, in der man 2016 die größten
Radioteleskope der Erde zusammenschalten möchte und mittels Interferometrie das
Schwarze Loch im Zentrum unserer Milchstraße abbilden möchte. Diese Projekt
nennt sich Event Horizon Telescope (EHT, Ereignishorizontteleskop)

Das Schwarze Loch im Zentrum unserer Milchstraße, bekannt unter der
Bezeichnung Sagittarius A* (als ‘A-Stern‘ ausgesprochen), ist zwar gut vier
Millionen mal massereicher als die Sonne, aber es ist immer noch winzig in der
Sicht von manchem Astronomen. Es liegt in einer Entfernung von rund 26000
Lichtjahren und dabei ist der Ereignishorizont kleiner als die Bahn des Planeten
Merkur um die Sonne. Zum Vergleich: das ist ungefähr so, als wollte man von New
York aus die Jahreszahl auf einer Ein-Cent-Münze in Wien lesen.

Aus der Form des Ereignishorizontes kann überprüft werden ob die ART bei großen
Graviationsfeldstärken noch gültig ist.
http://www.eventhorizontelescope.org/

 Expansion des Universums