Metode Grafis

OPERATIONS RESEARCH SERIES

MODEL LINEAR PROGRAMMING

Tjutju Tarliah Dimyati

PENYELESAIAN PERSOALAN LP
DENGAN METODE GRAFIS

METODE GRAFIS - TERMINOLOGI

• Hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan LP dengan dua
variabel keputusan melalui penerapan konsep Fungsi dan Grafik untuk
persamaan linier

• Fungsi tujuan berupa maksimasi atau minimasi
• Fungsi-fungsi pembatas berupa persamaan atau pertaksamaan
• Prinsipnya adalah mencari titik pada daerah fisibel yang akan memberikan

nilai fungsi tujuan terbaik, yang dinamai sebagai titik atau solusi optimum
Catatan:
1. Daerah fisibel adalah daerah yang berisi seluruh titik atau nilai variabel

keputusan yang memenuhi fungsi-fungsi pembatas
2. Solusi optimum adalah titik pada daerah fisibel yang memberikan nilai

fungsi tujuan terbaik (nilai terbesar untuk persoalan maksimasi atau terkecil
untuk persoalan minimasi)

METODE GRAFIS – CONTOH SOAL MEMAKSIMUMKAN

Suatu persoalan Linear Programming diformulasikan sebagai berikut:
Maksimumkan 5 1 + 2 2
Dengan pembatas
-2 1 + 2 ≤ 1
1 ≤ 2
1 + 2 ≤ 3
1 , 2 ≥ 0

Gunakan metode grafis untuk menunjukkan daerah fisibel dan titik
optimumnya (jika ada)

METODE GRAFIS – LANGKAH PENYELESAIAN

1. Buat sumbu horizontal dan sumbu vertikal, nyatakan masing-masing
sebagai variabel keputusan

2. Buat skala ukuran panjang pada masing-masing sumbu
3. Gambarkan garis setiap fungsi pembatas
4. Nyatakan arah daerah berlakunya setiap garis dan tentukan daerah

fisibel, jika ada
5. Tentukan titik-titik ujung dari daerah fisibel, jika ada
6. Gambarkan garis fungsi tujuan
7. Geser garis fungsi tujuan (tidak boleh berubah arah) pada daerah

fisibel hingga menyentuh titik ujung daerah fisibel yang dapat
memberikan nilai fungsi tujuan terbaik (nilai terbesar untuk persoalan
maksimasi atau terkecil untuk persoalan minimasi)
8. Tetapkan nilai koordinat dari titik ujung pada langkah 7 dan nyatakan
titik tersebut sebagai titik optimum
9. Buat kesimpulan mengenai solusi persoalan yang diselesaikan

METODE GRAFIS

Nyatakan sumbu horizontal sebagai sumbu untuk variabel keputusan 1 dan sumbu
vertikal sebagai sumbu untuk variabel keputusan 2

Untuk dapat menggambarkan garis fungsi pembatas maka tentukan titik potong
garis fungsi pembatas dengan masing-masing sumbu. Titik potong garis pada sumbu
sp ue1mmabbduaa tl aa2shabndoilalaeliahvhdanirniilayaabitevalak ra i1anbssaeealb ta n2gialsaaiia= t 2)ni=lai0 s1ed=a0ng(kuantnuktitsikempeontotanrgagtaarnids apafudnagsi

Contoh:

Untuk fungsi pembatas yang pertama pada soal di =ata0s,seyhaiintgu g-a2 - 21 1+= 21 ≤1
maka titik potong garis pada sumbu 1 adalah: 2 atau
1
1 = − 2

Titik potong garis pada sumbu 2 adalah: 1 = 0 sehingga 2 = 1

Maka tarik garis dari titik (0, 1) ke titik ( − 1 , 0)

2

MENGGAMBARKAN GARIS FUNGSI PEMBATAS

Fungsi pembatas 1 Untuk menentukan daerah berlakunya
-2 1 + 2 ≤ 1 garis pembatas 1 maka lakukan
pengujian sebagai berikut:
X2
Perhatikan sumbu 2. Jika arah berlaku
1 ke kiri, maka nilai 2 akan semakin
- 1/2 besar. Maka tidak mungkin 2 ≤ 1.

Jika arah berlaku ke kanan, maka nilai
=1
2 akan semakin kecil, misal 2
sehingga 2 ≤ 1 terpenuhi. 2

Dengan demikian daerah berlakunya
garis pembatas 1 adalah ke kanan (lihat
X1 tanda panah)

MENGGAMBARKAN GARIS FUNGSI PEMBATAS

Fungsi pembatas 2 . X2

1 ≤ 2 3 X1
2
Garis pembatas ini tidak akan 1
berpotongan dengan sumbu 2. Karena
itu gambarkan garis sejajar dengan - 1/2 1 2 3
sumbu 2 pada titik 1 = 2.

Karena 1 ≤ 2 maka daerah
berlakunya garis adalah arah ke kiri
(lihat tanda panah)

MENGGAMBARKAN GARIS FUNGSI PEMBATAS

Fungsi pembatas 3 . X2

1 + 2 ≤ 3 3
Titik potong pada sumbu 2 adalah 2
1 = 0 sehingga 2 = 3 1
Titik potong pada sumbu 1 adalah
2 = 0 sehingga 1 = 3
Tarik garis dari (0,3) ke (3,0)

Arah berlaku adalah ke kiri X1

123

MENENTUKAN DAERAH FISIBEL

Gabungan ketiga fungsi pembatas .

Setelah ketiga garis fungsi pembatas
digambarkan lengkap dengan daerah
berlakunya masing-masing maka akan
terlihat apakah persoalan ini memiliki
daerah fisibel atau tidak.

Karena 1 ≥ 0 maka seluruh titik di bawah
sumbu 1 tidak berlaku. Begitu juga karena
2 ≥ 0 maka seluruh titik di kiri sumbu 2
tidak berlaku.

Dengan memperhatikan daerah berlaku
masing-masing garis maka diperoleh daerah
yang memenuhi seluruh fungsi pembatas
adalah daerah OAEDB, sehingga OAEDB
disebut sebagai daerah fisibel.

MENGGAMBARKAN GARIS FUNGSI TUJUAN

Pada titik (0,0) nilai fungsi tujuan adalah Gambarnya adalah: X1
5 1 + 2 2 = 5(0) + 2(0) = 0
X2 3
Karena itu 2 2 = − 5 1 5
Sehingga 2 = − 5 4
3
1 2 2
1
Artinya, perbandingan antara skala
psuamdbaus u m1 bauda l2ahde25ngan skala pada - 1/2 1 2
Karena perbandingan skala tersebut
berharga negatif, maka garis akan
berada pada kuadran ke 2 (buka lagi
catatan grafik dan fungsi pada mata
kuliah Matematika). Tetapi garis fungsi
tujuan ini bisa digeser sejajar ke daerah
di kuadran 1 (lihat garis-garis merah)

MENENTUKAN SOLUSI OPTIMUM

Solusi optimum adalah titik ujung Jika fungsi tujuannya memaksimumkan
pada daerah fisibel yang akan maka penggeseran garis fungsi tujuan
memberikan nilai fungsi tujuan dilakukan hingga menyentuh titik ujung
terbaik (nilai terbesar untuk yang paling jauh dari titik O, sehingga
persoalan maksimasi atau terkecil akan diperoleh nilai fungsi tujuan
untuk persoalan minimasi). terbesar.

Untuk menentukan titik optimum Jika fungsi tujuannya meminimumkan
maka geserlah garis fungsi tujuan maka penggeseran garis fungsi tujuan
(harus sejajar) hingga mengenai titik dilakukan hingga menyentuh titik ujung
ujung daerah fisibel (pada contoh yang paling dekat dengan titik O,
soal, titik-titik ujung itu adalah titik sehingga akan diperoleh nilai fungsi
O, A, E, D, dan titik B). tujuan terkecil.

SOLUSI OPTIMUM

Penggeseran garis fungsi tujuan (garis
warna hijau) pada daerah fisibel
(daerah OAEDB) akan berakhir di titik D.
A. rtinya titik D adalah titik optimum.

Selanjutnya harus ditentukan koordinat
titik untuk diketahui nilai 1 dan 2 nya.

Dari gambar terlihat bahwa titik D
adalah perpotongan garis pembatas ke
2 (garis biru) dan ke 3 (garis ungu).
Maka carilah titik potong kedua garis
tersebut. Karena pembatas ke 2 adalah
ps ee1hmi=nbg2ag,taamsda3ikpayearmoitaluesh u k1nkilaa+ni nilai ini ke
2 ≤3
2 = 1.

Maka nilai fungsi tujuan adalah
5 1 + 2 2 = 5(2) + 2(1) = 12

METODE GRAFIS – CONTOH SOAL MEMINIMUMKAN

Suatu persoalan Linear Programming diformulasikan sebagai berikut:
Minimumkan 5 1 + 2 2
Dengan pembatas
-2 1 + 2 ≤ 1
1 ≤ 2
1 + 2 ≥ 3
1 , 2 ≥ 0

Gunakan metode grafis untuk menunjukkan daerah fisibel dan titik
optimumnya (jika ada)

CONTOH PERSOALAN MEMINIMUMKAN

Perbedaan soal ini dari soal Gambarnya:
sebelumnya adalah pada fungsi
tujuan (maksimumkan menjadi
minimumkan) dan tanda fungsi
pembatas ketiga ( ≤ menjadi ≥ ).

Untuk persoalan dengan fungsi
tujuan meminimumkan maka arah
penggeseran garis fungsi tujuan
harus mendekati titik O.

Perubahan pada fungsi pembatas
menyebabkan daerah fisibel
berubah, dari semula OAEDB
menjadi DEG

SOLUSI OPTIMUM PERSOALAN MEMINIMUMKAN

Garis fungsi tujuan yang ditarik dari Gambarnya:
(0,5) ke ((2,0) digeser sejajar di daerah
fisibel DEG ke arah mendekati titik O
dan harus berhenti di titik E sebagai titik
ujung daerah fisibel DEG yang paling
dekat ke titik O. Karena itu titik
optimumnya adalah titik E yang
merupakan perpotongan garis
pembatas 1 dan pembatas 3. Titik
potong kedua garis adalah:

-2 1 + 2 = 1

1 + 2 = 3

- 3 1 = -2 maka 1 = 2/3 dan

2 = 7/3 ; dengan nilai fungsi tujuan

5(2/3) + 2 (7/3) = 8

KASUS-KASUS KHUSUS
DAN ANALISIS SENSITIVITAS

PADA METODE GRAFIS

KASUS KHUSUS

Ada empat kondisi yang mungkin terjadi saat menyelesaikan
persoalan LP dengan metode grafis. Keempat kondisi tersebut
adalah:

1. Tidak ada daerah fisibel
2. Daerah fisibel tidak terbatas
3. Diperoleh solusi alternatif
4. Fungsi pembatas redundant

KASUS SOLUSI TIDAK FISIBEL

Kasus ini terjadi jika persoalan tidak Grafiknya adalah:
memiliki daerah fisibel, artinya tidak
ada daerah yang memenuhi seluruh 5
fungsi pembatas.
2
Contoh: 1

(P1) Maksimumkan 3 1 + 2 2 12 4
Dengan pembatas:
1 + 2 ≤ 2 Karena solusi optimum akan berada pada
5 1 + 4 2 ≥ 20 titik ujung daerah fisibel, maka jika tidak
1 , 2 ≥ 0 ada daerah fisibel, solusi optimum pun tidak
akan ada.

KASUS RUANG SOLUSI TIDAK TERBATAS

Kasus ini terjadi jika persoalan Grafiknya adalah:
memiliki daerah fisibel yang tidak Karena daerah fisibelnya adalah di atas
diketahui batasnya. garis CB, maka daerah fisibel ini akan terus
membesar tanpa batas sehingga titik
Untuk fungsi tujuan memaksimumkan, optimumnya tidak diketahui ada di mana.
kasus ini menyebabkan solusi optimum
tidak dapat diketahui karena daerah
fisibel tidak diketahui ujungnya.

Contoh:

(P2) Maksimumkan 3 1 + 2 2
Dengan pembatas:
1 + 2 ≥ 2
5 1 + 4 2 ≥ 20
1 , 2 ≥ 0

KASUS RUANG SOLUSI TIDAK TERBATAS

Kasus ruang solusi tidak terbatas tidak Maka titik C (0,5) adalah titik optimum dengan nilai
menjadi masalah jika fungsi tujuannya fungsi tujuan 3(0) + 2(5) = 10
meminimumkan, karena penggeseran
garis fungsi tujuan dilakukan mendekati
titik O
Contoh:

(P3) MDieninmguamnkpaenmb3a t1a+s: 2 2
1 + 2 ≥ 2
5 1 + 4 2 ≥ 20
1 , 2 ≥ 0

Pada gambar terlihat bahwa garis fungsi
tujuan (warna ungu) digeser di daerah
fisibel yang tidak terbatas dengan arah
mendekati titik O. Ketika berpotongan di
titik B belum boleh berhenti karena masih
ada titik pada daerah fisibel yang belum
tersentuh, yaitu titik C.

KASUS SOLUSI ALTERNATIF

Kasus solusi alternatif akan terjadi
jika fungsi tujuan sejajar (memiliki
kemiringan yang sama) dengan salah
satu fungsi pembatas yang menjadi
batas antara daerah fisibel dengan
daerah lain yang tidak fisibel.
Contoh:
(P4) Minimumkan 3 1 + 3 2

Dengan pembatas:
1 + 2 ≥ 2

5 1 + 4 2 ≤ 20

1 , 2 ≥ 0
Dari gambar terlihat bahwa daerah
fisibelnya adalah ABCD.

KASUS SOLUSI ALTERNATIF

Perhatikan bahwa perbandingan
anidlaaila h1s:a m 2apdaednagafunnpgesirbtuajunadningan
p e1r:ta m2ap.aHdaal fungsi pembatas
ini menunjukkan bahwa
garis fungsi tujuan (warna biru)
sejajar dengan garis fungsi pembatas
pertama (warna merah).

Dua garis sejajar tidak akan pernah
berpotongan, tetapi bisa berimpit.

Karena fungsi tujuan meminimumkan,
maka garis fungsi tujuan harus
digeser ke arah mendekati titik O.
Hal ini menyebabkan kedua garis
berimpit sehingga sepanjang garis
AD akan menjadi tempat kedudukan
titik-titik optimum

KASUS SOLUSI ALTERNATIF

Tentu saja jumlah titik di sepanjang garis AD ada sebanyak tidak terhingga.
Karena itu maka solusi alternatif dari persoalan ini cukup diwakili oleh koordinat
titik A dtuajunatnitiakdDa.laKhoo6r.dKinoaotrdtitinikaAt tiatidkaDlaahda l a1h= 2 1d=an0 d2a=n 0 sehingga nilai
fungsi 2 = 2 sehingga
nilai fungsi tujuan adalah 6 juga.

Catatan:

1. Solusi alternatif ditandai dengan nilai variabel keputusan yang berbeda
tetapi nilai fungsi tujuannya sama

2. Kasus solusi alternatif hanya akan terjadi jika garis fungsi tujuan sejajar
dengan garis fungsi pembatas yang berada pada posisi paling luar
berdasarkan arah penggeseran garis.

Pada contoh soal, jika fungsi tujuan meminimumkan dan sejajar dengan
pembatas kedua, karena garis fungsi tujuan harus digeser mendekati titik O
maka garis paling luar adalah garis AD sehingga tidak akan terjadi solusi
alternatif. Jika fungsi tujuan memaksimumkan, maka solusi alternatif akan
terjadi jika fungsi tujuan sejajar dengan pembatas kedua

KASUS PEMBATAS REDUNDANT

Kasus ini terjadi jika ada fungsi X2
pembatas yang tidak ikut 5C
membentuk daerah fisibel.
Contoh 2D B
X1
Maksimumkan 3 1 - 2 2 1
Dengan pembatas: A 45

1 + 2 ≥ 2 O
5 1 + 4 2 ≤ 20 12
1 ≤ 5
1 , 2 ≥ 0

Daerah fisibel adalah ABCD
memenuhi ketiga fungsi pembatas
tetapi pembatas ketiga tidak
membentuk daerah fisibel sehingga
dapat diabaikan.

ANALISIS SENSITIVITAS

Analisis sensitivas dilakukan untuk mengetahui apa yang terjadi dengan solusi
persoalan yang sudah diperoleh jika kemudian terjadi perubahan, baik perubahan
yang terjadi pada fungsi tujuan maupun fungsi pembatas.
Jenis perubahan yang mungkin terjadi akan terkait dengan salah satu dari:
1. Perubahan pada koefisien fungsi tujuan
2. Perubahan pada koefisien fungsi pembatas
3. Perubahan pada ruas kanan fungsi pembatas
4. Perubahan pada tanda fungsi pembatas
5. Penambahan fungsi pembatas

ANALISIS SENSITIVITAS

1. Perubahan pada koefisien fungsi tujuan

Perubahan pada fungsi tujuan akan menyebabkan kemiringan garis fungsi tujuan
berubah sehingga memungkinkan terjadinya:
a. Titik optimum semula berubah
b. Diperoleh solusi alternatif

2. Perubahan pada koefisien fungsi pembatas

Perubahan pada koefisien fungsi pembatas akan menyebabkan kemiringan garis
fungsi pembatas berubah sehingga memungkinkan terjadinya:
a. Daerah fisibel semula berubah
b. Titik optimum semula berubah
c. Diperoleh solusi alternatif

ANALISIS SENSITIVITAS

3. Perubahan pada ruas kanan fungsi pembatas
Perubahan pada ruas kanan fungsi pembatas tidak akan menyebabkan
kemiringan garis fungsi pembatas berubah tetapi menyebabkan:
a. Daerah fisibel semula berubah
b. Titik optimum semula berubah

4. Perubahan pada tanda fungsi pembatas
Perubahan pada tanda fungsi pembatas akan menyebabkan arah berlaku garis
fungsi pembatas berubah sehingga memungkinkan terjadinya:
a. Daerah fisibel semula berubah
b. Titik optimum semula berubah

ANALISIS SENSITIVITAS

5. Penambahan fungsi pembatas
Penambahan fungsi pembatas akan memungkinkan terjadinya:
a. Daerah fisibel semula berubah
b. Titik optimum semula berubah
c. Diperoleh solusi alternatif
d. Tidak ada daerah fisibel
e. Diperoleh fungsi pembatas yang bersifat redundant

KONKLUSI METODE GRAFIS

Berikut ini ada catatan penting yang harus diperhatikan saat memformulasikan
persoalan LP yang akan diselesaikan dengan metode grafis.
1. Jika fungsi tujuannya memaksimumkan dan seluruh koefisien fungsi tujuan

berharga positif maka tidak boleh seluruh fungsi pembatas bertanda ≥
karena akan menyebabkan terjadinya daerah fisibel tidak terbatas
(unbounded), sehingga solusi optimum tidak dapat ditentukan.
2. Jika fungsi tujuannya meminimumkan dan seluruh koefisien fungsi tujuan
berharga positif maka tidak boleh seluruh fungsi pembatas bertanda ≤
karena akan menyebabkan solusi optimumnya 0.
3. Jika fungsi tujuan sejajar dengan fungsi pembatas yang paling luar
(berdasarkan arah pergeseran garis fungsi tujuan), maka akan diperoleh
solusi alternatif, yaitu solusi dengan nilai X1 dan X2 yang berbeda tetapi nilai
fungsi tujuannya sama

AKHIR PEMBAHASAN METODE GRAFIS